CC BY
0
УДК 004.942
doi: 10.21685/2307-4205-2024-4-17
АРХИТЕКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЯДРА ЦИФРОВЫХ ДВОЙНИКОВ РАЗЛИЧНЫХ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА БАЗЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОТОТИПИРОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
И. Е. Старостин1, С. И. Гавриленков2
1 2 Московский государственный технический университет гражданской авиации, Москва, Россия
1 [email protected], 2 gavrilenkov@mstuca
Аннотация. Актуальность и цели. Основой решения практических задач современной технологии являются математические модели объектов, в которых протекают процессы различной физической и химической природы. Основными требованиями к математическим моделям являются точность и адекватность - непротиворечивость физическим и химическим законам. В общем случае для построения таких моделей систем авторами был предложен в рамках механики, электродинамики и современной неравновесной термодинамики метод математического прототипирования энергетических процессов. Соответственно, модели физических и химических процессов различной природы, даваемые упомянутым методом, не противоречат общим физическим законам (законам термодинамики, механики и электродинамики), а также физическим особенностям рассматриваемой системы. Однако для численной реализации упомянутых математических моделей необходимы данные испытаний объектов. Так как с учетом процессов старения, протекающих в объекте, изменяются его свойства, то возникает необходимость непрерывного мониторинга его состояния, который может быть осуществлен путем непрерывной обработки данных его измеряемых параметров. Это и обусловливает необходимость использования цифровых двойников рассматриваемого объекта, причем в основу математического ядра упомянутых цифровых двойников положен метод математического прототипирования энергетических процессов. Архитектуре математического ядра таких цифровых двойников посвящена настоящая работа. Материалы и методы. Синтез уравнений динамики физических и химических процессов осуществляется на базе метода математического прототипирования энергетических процессов. Аналитическое решение уравнений динамики системы строится специальными методами интегрирования систем дифференциальных уравнений. На основе упомянутого аналитического решения строится модель системы для решения практических задач. Результаты. Предложенная архитектура математического ядра цифровых двойников различных физико-химических систем на базе метода математического прототипирования позволяет более точно диагностировать и прогнозировать состояние таких систем. Выводы. Предлагаемая архитектура математического ядра цифровых двойников систем различной физической и химической природы является единым подходом построения математического ядра цифровых двойников упомянутых систем различной природы.
Ключевые слова: метод математического прототипирования энергетических процессов, математическое моделирование, цифровые двойники
Для цитирования: Старостин И. Е., Гавриленков С. И. Архитектура математического ядра цифровых двойников различных физико-химических систем на базе метода математического прототипирования энергетических процессов // Надежность и качество сложных систем. 2024. № 4. С. 160-168. doi: 10.21685/2307-4205-2024-4-17
ARCHITECTURE OF THE MATHEMATICAL CORE OF DIGITAL TWINS OF VARIOUS PHYSICAL AND CHEMICAL SYSTEMS BASED ON THE METHOD OF MATHEMATICAL PROTOTYPING OF ENERGY PROCESSES
I.E. Starostin1, S.I. Gavrilenkov2
1 2 Moscow State Technical University of Civil Aviation, Moscow, Russia 1 [email protected], 2 gavrilenkov@mstuca
Abstract. Background. The basis for solving practical problems of modern engineering and technology are mathematical models of objects in which processes of various physical and chemical nature occur. The main requirements for mathematical models are their accuracy and adequacy (i.e. consistency with physical and chemical laws). In general,
© Старостин И. Е., Гавриленков С. И., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
to build such models of systems, the author proposed a method of mathematical prototyping of energy processes within the framework of mechanics, electrodynamics and modern nonequilibrium thermodynamics. Accordingly, the models of physical and chemical processes of various nature, given by the above-mentioned method, do not contradict the general physical laws (the laws of thermodynamics, mechanics and electrodynamics), as well as the physical features of the system under consideration. However, for the numerical implementation of the above-mentioned mathematical models, test data of the objects is necessary. Since, taking into account the aging processes occurring in the object, its properties change, there is a need for continuous monitoring of its condition, which can be carried out by continuous processing of data of its measured parameters. This is what determines the need to use digital twins of the object under consideration, and the mathematical core of the said digital twins is based on the method of mathematical prototyping of energy processes. The architecture of the mathematical core of such digital twins is the subject of this paper. Materials and methods. The synthesis of equations of dynamics of physical and chemical processes is carried out on the basis of the method of mathematical prototyping of energy processes. The analytical solution of the equations of the system dynamics is constructed by special methods of integrating systems of differential equations. Based on the mentioned analytical solution, a model of the system is constructed for solving practical problems. Results. The proposed architecture of the mathematical core of digital twins of various physical and chemical systems based on the method of mathematical prototyping allows for more accurate diagnosis and prediction of the state of such systems. Conclusions. The proposed architecture of the mathematical core of digital twins of systems of various physical and chemical nature is a unified approach to constructing the mathematical core of digital twins of the mentioned systems of various nature.
Keywords: method of mathematical prototyping of energy processes, mathematical modeling, digital twins
For citation: Starostin I.E., Gavrilenkov S.I. Architecture of the mathematical core of digital twins of various physical and chemical systems based on the method of mathematical prototyping of energy processes. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2024;(4):160-168. (in Russ.). doi: 10.21685/2307-4205-2024-4-17
Введение
Концепция цифрового двойника (ЦД) призвана ускорить обнаружение физических проблем, производить более качественный продукт, а также диагностировать и прогнозировать в режиме реального времени различные дефекты и аварийные режимы [1, 2]. Важнейшей составляющей математического ядра ЦД объекта является математическая модель (ММ), воспроизводящая его реальное поведение [3].
Для построения упомянутых ММ объектов, характеризующихся протеканием в них физических и химических процессов различной природы, автором был предложен в рамках современной неравновесной термодинамики, механики и электродинамики метод математического прототипирования энергетических процессов (ММПЭП) [4-6]. Отсюда построенные ММПЭП модели динамики процессов различной физической и химической природы не противоречат общим физическим законам (законам сохранения, началам термодинамики, и т.д.), а также физическим особенностям протекания процессов в рассматриваемом объекте [4, 5]. ММ объекта, которая является основой математического ядра его ЦД, получается путем задания аналитического выражения общего решения систем дифференциальных уравнений ММПЭП, вбирающего в себя физические особенности протекания процессов в рассматриваемом объекте, коэффициенты которого определяются из уравнений ММПЭП [5].
Для построения ММ системы на основе ММПЭП и последующего построения аналитических выражений общего решения систем уравнений ММПЭП целесообразно применять методы декомпозиции [5, 7], т.е. сначала строятся локально упрощенные ММ на основе ММПЭП, затем полученные модели объединяются в сложную модель (также даваемой ММПЭП) [4-8]. Упомянутая декомпозиция позволяет полностью формализовать и существенно ускорить построение ММ систем различной физической и химической природы [7, 8]. Это дает возможность разработки на базе ММПЭП единого подхода построения математического ядра ЦД различных физико-химических объектов, которому посвящена настоящая работа.
Материалы и методы
В соответствие с ММПЭП состояние системы однозначно характеризуется независимо от ее предыстории параметрами состояния [4]. Причиной (и необходимым условием) протекания процессов в системе являются динамические силы, определяемые через частные производные свободной энергии по координатам состояния, расходуемой на протекание процессов в системе [4]. Помимо динамических сил независимо от последних протекание процессов в системе определяется кинетическими свойствами (рис. 1) [4]. Динамика процессов в системе в свою очередь определяет динамику измеряемых параметров (ИП) и контролируемых параметров (КП) (рис. 1) [4].
Рис. 1. Факторы, определяющие динамику физических и химических процессов
В общем случае ММ рассматриваемого объекта (см. рис. 2) представляет собой алгоритм определения из экспериментальных данных ИП объекта его начального состояния и индивидуальных параметров с последующим определением КП рассматриваемого объекта (с учетом внешних условий протекания процессов) (видно из рис. 1) - математическое ядро ЦД объекта [4, 6]. Следует отметить, что в КП рассматриваемого могут войти и его ИП в последующие моменты времени [6].
Рис. 2. Математическая модель системы для решения практических задач. Пунктиром показаны задания аналитического решения
Аналитически общее решение системы дифференциальных уравнений ММПЭП представимо в виде [5]:
x() = x* (Дхu) qTon,s (e(e0,^ u)sqynp)), (1)
Ax (t) = Дх* (e (eo, t), й (t, й), q„HCC, S (t)), ii = U [U (t)], (2)
s(t) = s(e(^t)a(t,u)qw), eo = x*-1 (xo'хii) qтоп, qдисс, qупр), (3)
e(e>,0) = eo, e(eo,t + т) = е(e(eo,т),t), dim(e) = dim(x), (4)
Ve0,U q дисс , s3ili+l(AX* (e (eo,t ) U q дисс , s )) = AX** (eo, U q дисс , s ) , (5)
'dx(t)^ i*, \ a** i \
из ~иг = o следует s (e, U, s, qупр)=s ( s, qупр), (6)
V J ext
из U (t ) = U = const следует ii (t, ii ) = ii (U), (7)
где х (г) - динамика параметров состояния системы; и (г) - динамика характеристик системы, не изменяющихся в результате протекания процессов внутри системы, а изменяющихся только в результате внешних воздействий на нее; (х (г) / (И) - внешние потоки в систему. Как видно из выражений (1)-(7),
функция х* (дх, и, qтоп, $ ) характеризует топологическую, функция Ах* (е, и, qдисс, 8) - диссипатив-
ную, а функции $ (е, и, 8, qупр) и $ (е,и, qупр) - управляющую составляющие системы [5]. Для любой
системы (1)-(7) найдется система уравнений ММПЭП, общим решением которого будет (1)-(7) [5], т.е. аналитическое задание (1)-(7) общего решения уравнений ММПЭП корректно [5]. Квадратные скобки в выражении (1) означают взятие функционала динамики и (г).
Как известно из теории динамических систем [10], любая динамика системы стремится к некоторой ее установившейся динамике [10]. Соответственно, как нетрудно видеть, входящая в (1)-(7) управляющая составляющая системы характеризует ее установившуюся динамику, а диссипативная составляющая - переход к последней. Также видно, что в случае выполнения условия (7) уравнения
(I)-(4) будут описывать множество непересекающихся в фазовом пространстве динамик состояния системы [5, 11]. Обратно, упомянутое множество непересекающихся динамик удовлетворяет (1)-(4)
[II]. Отсюда аналитическое выражение динамики [5, 9]:
х(г) = Гх(Ьхо,Ьх) Ьх,0 = ьх,о(х0) Ьх = Ьх(ь), Ь = Ь(íi,p,Ь), (8)
описывающее качественный характер динамики системы (т.е. установившиеся и переходные динамики, пересекаемость/непересекаемость динамик в фазовом пространстве, участки монотонности, выпуклости и т.д.), полученной ММПЭП, удовлетворяет (1)-(7), т.е. является корректным [5, 9]. Входящие в уравнение (8) параметры р - индивидуальные параметры рассматриваемой системы (т.е. меняющиеся от экземпляра к экземпляру системы рассматриваемого класса); Ь - параметры, одинаковые для всего класса рассматриваемой системы; х0 - начальное состояние системы; Ь - параметры, меняющиеся независимо друг от друга с изменением р , Ь при любых фиксированных й [5, 9]. Измеряемые у (г) и контролируемые ъ (г) параметры системы [4, 5]:
у (г ) = У (г, Су, р, Ь), ъ (г ) = ъ (г, с2, р, Ь), Су = Су [ х (г), и (г)], с2 = с2 [ х (г), и (г)]. (9)
Согласно уравнениям (8) и (9) имеем
у (г ) = Ху (г, Ь х,о, Ьу), ъ (г ) = Х2 (г, Ь хД), Ь), Ь5, = Ь5, (Ь), Ь2 = Ь2 (Ь). (10)
Для задания аналитического выражения (8) динамики рассматриваемой системы используется локальное упрощение уравнений ММПЭП с последующим получением соответствующих упрощенных аналитических выражений (8), из которых формируется полное общее решение (8) исходных дифференциальных уравнений ММПЭП [4, 5, 8, 9, 12]. Это дает возможность, используя аналогию локально упрощенных дифференциальных уравнений ММПЭП, существенно упростить построение аналитического выражения (8) [7]. Записав (10) для репрезентативных участков динамики ИП уг (г)
г 1
1 пк-
в текущем режиме работы рассматриваемой системы, а также контрольных динамик {у(-)(г)},-г = 1, пк , имеем [9]
Уг ( ) = !у (, Ь х,о, Ьу (ь )), у(-)(г ) = йу ((, ьх,0,, Ьу ()), ,= тпк, (11)
ответствующих 11(-), г = 1,пк , имеем [9]
где в силу (8):
Ь = Ь(11,р,Ь), Ь(-)= Ь(й(-),р,Ь), г = Щ . (12)
Введя, используя (11), функции ^Хо и Щ , Щ в виде [9]:
Ь х,о = §хо [у г (г)], Ь = (ь,,Ь с), ь, = ^ [уг (г )], Ьс = ^ [уг (г)], (13)
(используя методы символьной регрессии [13-15], методы интерполяции [8], нейронные сети как универсальный интерполятор [16]), имеем, воспользовавшись методами интерполяции [8], в силу (12) и (13) [5, 9]:
Ьс = Ьи((ь^,й), ъ(5= 1£с [у(-)(г)], , = Щ, (14)
где Ьи - выбранный метод интерполяции [8] (в частности, нейронные сети [16]). В силу (13), (14) уравнение (8) примет вид [5]:
X(г) = (г,Ьх,о,Ьх(ь,,Ьс)), Ьх,о = 1Хо[уг(г)], Ь, = ^[уг(г)]. (15)
Нетрудно видеть, что заданное в виде (14), (15) аналитическое выражение общего решения уравнений ММПЭП является корректным, т.е. удовлетворяет (1)-(7) [5, 9]. Согласно (8), (13) имеем для параметров р , Ь :
((,Ь«) = Ь((,р,Ь), р = (,Рс), 61-;= !ь>[у(-)(г)], , = тпк; (16)
((, Ь с ) = Ь ( Р, ь), р = (р, ,Рс) Ь х,о (хо ) = Ьх^ (17)
где р, , рс - индивидуальные параметры системы, соответственно медленно меняющиеся в результате процессов старения или не меняющиеся вообще. Оценив в силу (14)-(17) начальные приближения параметров Ьх о, Ь,, Ьс, хо, р и частично параметров Ь, мы затем с использованием уравнений
ММПЭП упомянутые параметры уточним (специальные методы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений [8]), что существенно ускорит построение ММ рассматриваемой системы [4, 8]. Уточнение осуществляется путем сведения к нулю разности скорости изменения состояния системы, полученной путем дифференцирования по времени (15) и скорости изменения состояния системы, полученной из уравнений ММПЭП, и разности расчетных и экспериментальных значений ИП (см. рис. 2) [6]. Полученные аналитические выражения (1о) для ИП и КП непосредственно используются для решения практических задач (см. рис. 2) [6, 9].
Аналогично выражения (14)-(17) можно строить для локальных упрощений уравнений ММПЭП в каждой области упрощений [5, 12], которое осуществляется путем упрощения функций состояния (ФС) для свойств веществ и процессов (СВП) (см. рис. 1) с сохранением соответствующих ограничений на соответствующие ФС [4]. Отсюда, идентифицировав, используя (14)-(17), локально
упрощенные ФС, мы переходим к более сложным ФС для СВП (индуктивное порождение регрессионных моделей [15]) [4, 12, 15]. Это существенно упрощает и формализует построение ММ [4, 12, 15].
Интерполяционная архитектура ММ (10), (14), (15) обусловлена нелинейностью (в общем случае) рассматриваемой системы, проявляющейся в том, что СВП в достаточно малых областях фазового пространства определяются «своими» для каждой области коэффициентами [4, 9]. Интерполяционное приближение любой функции сколь угодно точно приближается к исходной функции при уменьшении максимального расстояния между опорными точками [8]. Отсюда в силу того, что структура аналитической модели (10), (14), (15) была получена из уравнений ММПЭП, полученная ММ адекватна, и с ростом экспериментальных опорных динамик растет ее точность [9].
В работе [17] на основе предложенного подхода была построена аналитическая ММ литийион-ных аккумуляторов, хорошо описывающая результаты испытаний аккумуляторов. В работе [18] на основе методов гидродинамики была построена ММ скважины с электроцентробежным насосом, которая была приведена к регрессионной ММ. Так как гидродинамика - частный случай ММПЭП [4], то упомянутая ММ была построена в работе [18] с помощью приведенного в настоящей работе подхода. Аналогично в работе [19] были на основе термодинамических ММ получены ММ газотурбинных двигателей. Термодинамические модели циклов двигателей - частный случай ММПЭП [4], отсюда в работе [19] для построения нейросетевых моделей газотурбинных двигателей был использован предложенный подход.
Приведенный подход будет положен в основу предлагаемого в настоящей работе математического ядра ЦД различных физико-химических объектов.
Архитектура программной реализации математического ядра цифровых двойников систем различной физической и химической природы
Как следует из описанного выше, в основу математического ядра ЦД положено аналитическое общее решение уравнений ММПЭП (10), (14), (15). Это аналитическое решение либо зашивается на этапе создания ЦД и в процессе его функционирования лишь обновляются его параметры, либо в процессе функционирования ЦД упомянутое аналитическое выражение (10), (14), (15) формируется путем интегрирования дифференциальных уравнений ММПЭП вышеупомянутыми специальными методами (см. рис. 3).
Рис. 3. Структура математического ядра цифрового двойника. Жирными прямоугольниками показаны сущности, присутствующие в цифровом двойнике любого физико-химического объекта
В первом случае после расчета параметров аналитического выражения (14), (15) динамики состояния системы последнее подается в функцию параметров системы (на рис. 3 показано пунктирной стрелкой) с получением аналитической модели системы (10), (14) (рис. 3). Во втором случае после расчета параметров аналитического выражения (14), (15) эти параметры уточняются (на рис. 3 блок интегратора динамики состояния (БИДС) с использованием блока оптимизатора) с последующим получением аналитической модели (10), (14).
Более того, БИДС может выполнять функцию построения аналитической модели (14), (15) в заданном классе аналитических моделей (показанный на рис. 3 блок класса аналитических выражений динамики состояния системы). В таком случае построение аналитического выражения (14), (15) осуществляется в БИДС вышеописанными методами, в том числе методами символьной регрессии [12-15], шаговыми методами [8] с последующей аппроксимацией вычисляются опорные динамики (14), (15) [15].
Для вычисления динамики состояния системы БИДС принимает на вход функцию правой части, даваемую блоком, реализующим ММПЭП, который в свою очередь на вход принимает структуру системы и ФС для СВП, а также функцию внешних воздействий, даваемую блоком внешних воздействий (рис. 3). Реализация ММПЭП в соответствующем блоке (рис. 3) осуществляется с использованием блочного или матричного подхода [20], что позволяет ускорить расчеты путем распараллеливания вычислений [20]. Блоки предобработки динамики измеряемых параметров, свойств веществ и процессов в системе, внешних воздействий на систему в общем случае представляют собой функторы, содержащие внутри себя свойства класса системы.
Обучение ММ, положенной в основу математического ядра ЦД, осуществляется путем локального упрощения ФС для СВП. Для этого задается блок класса ФС для СВП (рис. 3) [4]. Настройка параметров модели, полученной ММПЭП, (показано на рис. 3 толстой пунктирной линией) осуществляется путем сведения расчетных значений ИП к соответствующим экспериментальным в каждой области локального упрощения ФС для СВП с последующим построением полных ФС для СВП [4, 12, 15].
Результаты
Универсальный класс ЦД объектов различной физической и химической природы, показанный на рис. 3, сколь угодно точно диагностирует и прогнозирует их параметры в приемлемые сроки. Это достигается использованием параллельной реализации матричных операций и параллельного расчета динамик при разных параметрах системы.
Обсуждение
Для реализации ЦД предложенного класса необходимо разработать единые классы ФС для СВП, в котором для каждой конкретной системы задаются соответствующие опции. Аналогичное касается и класса аналитических ММ динамик. Также необходимо разрабатывать соответствующие эвристические методы для алгоритмов поиска ММ в упомянутых классах [12-15].
Заключение
Универсальность предложенного класса ЦД различных физико-химических объектов обусловливает необходимость разработки программно-технологической платформы ЦД на базе ММПЭП. Основная задача упомянутой платформы - разработка показанных на рис. 3 блоков в зависимости от требований пользования в соответствующей предметной области [20].
Список литературы
1. Гончаров А. С., Саклаков В. М. Цифровой двойник: обзор существующих решений и перспективы развития технологии // Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСИТ-2018) : материалы Всерос. науч.-практ. конф. (г. Кемерово, 11-13 октября 2018 г.). Кемерово, 2018. С. 24-26.
2. Курганова Н. В., Филин М. А., Черняев Д. С. [и др.]. Внедрение цифровых двойников как одно из ключевых направлений цифровизации производства // International Journal of Open Information Technologies. 2019. Vol. 7, № 5. P. 105-115.
3. Петров А. В. Имитация как основа технологии цифровых двойников // Вестник ИрГТУ. 2018. Т. 22, № 10. С. 56-66. doi: 10.21285/1814-3520-2018-10-56-66
4. Khalyutin S. P., Starostin I. E., Agafonkina I. V. Generalized Method of Mathematical Prototyping of Energy Processes for Digital Twins Development // Energies. 2023. № 16 (4). P. 1933-1958. doi: 10.3390/en16041933
5. Старостин И. Е. Построение на основе интерполяции моделей различных физических и химических систем методом математического прототипирования энергетических процессов // Надежность и качество сложных систем. 2024. № 1. С. 49-59. doi: 10.21685/2307-4205-2024-1-6
6. Старостин И. Е., Дружинин А. А., Гавриленков С. И. Использование машинного обучения с учителем для построения математических моделей систем методом математического прототипирования энергетических процессов // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. 2023. Т. 1. С. 66-72.
7. Антонов А. В. Системный анализ. М. : Высш. шк., 2004. 454 с.
8. Калиткин Н. Н. Численные методы. СПб. : БХВ-Петербург, 2011. 592 с.
9. Старостин И. Е. Метод математического прототипирования энергетических процессов как инструмент синтеза математического ядра цифровых двойников различных физико-химических систем // Надежность и качество сложных систем. 2024. № 3. С. 41-50. doi: 10.21685/2307-4205-2024-3-5.
10. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л. : ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. 448 с.
11. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск : Удмурт. гос. ун-т, 2000. 369 с.
12. Ланцов В. Н. Методы понижения порядка моделей сложных систем. Владимир : Издательство ВлГУ, 2017. 84 с.
13. Данг Тхи Фук, Дивеев А. И., Софронова Е. А. Решение задач идентификации математических моделей объектов и процессов методом символьной регрессии // Cloud of Science. 2018. Т. 5, № 1. С. 147-162.
14. Дивеев А. И., Ломакова Е. М. Метод бинарного генетического программирования для поиска математического выражения // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер.: Инженерные исследования. 2017. Т. 18, № 1. С. 125-134.
15. Стрижов В. В. Методы индуктивного порождения регрессионных моделей. М. : Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, 2008. 56 с.
16. Haykin S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. Upper Saddle River, USA : Prentice hall, 2006. 1105 p.
17. Старостин И. Е., Халютин С. П. Аналитическая модель динамики напряжения литийионного аккумулятора // Электричество. 2024. № 10. С. 13-22.
18. Соловьев И. Г., Говорков Д. А., Цибульский В. Р. Идентификация гидродинамической модели скважины с электроцентробежным насосом по данным контроля возмущенных режимов эксплуатации // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2020. Т. 331, № 5. С. 181-192.
19. Раэриндзатуву Ж. С., Гишваров А. С. Параметрическая диагностика одновального ГТД на основе нейросе-тевого моделирования рабочих процессов // Вестник УГАТУ. 2017. Т. 21, № 4 (78). С. 86-96.
20. Starostin I. E., Drujinin A.A. The concept of a software and technological platform for digital twins based on energy dynamics methods // 2023 5th International Youth Conference on Radio Electronics, Electrical and Power Engineering (REEPE). 2023. P. 1-6.
References
1. Goncharov A.S., Saklakov V.M. Digital twin: an overview of existing solutions and prospects for technology development. Informatsionno-telekommunikatsionnye sistemy i tekhnologii (ITSIT-2018): materialy Vseros. nauch.-prakt. konf. (g. Kemerovo, 11-13 oktyabrya 2018 g.) = Information and telecommunication systems and technologies (ITSIT-2018) : proceedings of the All-Russian scientific and practical conference (Kemerovo, October 11-13, 2018). Kemerovo, 2018:24-26. (In Russ.)
2. Kurganova N.V., Filin M.A., Chernyaev D.S. et al. The introduction of digital twins as one of the key areas of digitalization of production. International Journal of Open Information Technologies. 2019;7(5): 105-115. (In Russ.)
3. Petrov A.V. Imitation as the basis of digital twin technology. Vestnik IrGTU = Bulletin of IrSTU. 2018;22(10): 56-66. (In Russ.). doi: 10.21285/1814-3520-2018-10-56-66
4. Khalyutin S.P., Starostin I.E., Agafonkina I.V. Generalized Method of Mathematical Prototyping of Energy Processes for Digital Twins Development. Energies. 2023;(16):1933-1958. doi: 10.3390/en16041933
5. Starostin I.E. Building models of various physical and chemical systems based on interpolation by mathematical prototyping of energy processes. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2024;(1):49-59. (In Russ.). doi: 10.21685/2307-4205-2024-1-6
6. Starostin I.E., Druzhinin A.A., Gavrilenkov S.I. Using machine learning with a teacher to build mathematical models of systems by mathematical prototyping of energy processes. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma Nadezhnost' i kachestvo = Proceedings of the International Sympo-sium Reliability and Quality. 2023;1:66-72. (In Russ.)
7. Antonov A.V. Sistemnyy analiz = System analysis. Moscow: Vyssh. shk., 2004:454. (In Russ.)
8. Kalitkin N.N. Chislennye metody = Numerical methods. Saint Petersburg: BKhV-Peterburg, 2011:592. (In Russ.)
9. Starostin I.E. Method of mathematical prototyping of energy processes as a tool for synthesizing the mathematical core of digital twins of various physico-chemical systems. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2024;(3):41-50. (In Russ.). doi: 10.21685/2307-4205-2024-3-5.
10. Nemytskiy V.V., Stepanov V.V. Kachestvennaya teoriya differentsial'nykh uravneniy = Qualitative theory of differential equations. Moscow-Leningrad: OGIZ Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1947:448. (In Russ.)
11. Arnol'd V.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya = Ordinary differential equations. Izhevsk: Udmurt. gos. un-t, 2000:369.
12. Lantsov V.N. Metody ponizheniya poryadka modeley slozhnykh system = Methods of lowering the order of models of complex systems. Vladimir: Izdatel'stvo VlGU, 2017:84. (In Russ.)
13. Dang Tkhi Fuk, Diveev A.I., Sofronova E.A. Solving problems of identification of mathematical models of obj ects and processes by symbolic regression. Cloud of Science. 2018;5(1): 147—162. (In Russ.)
14. Diveev A.I., Lomakova E.M. Binary genetic programming method for searching mathematical expressions. Vest-nik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Ser.: Inzhenernye issledovaniya = Bulletin of the Peoples' Friendship University of Russia. Ser.: Engineering Research. 2017;18(1):125-134. (In Russ.)
15. Strizhov V.V. Metody induktivnogo porozhdeniya regressionnykh modeley = Methods of inductive generation of regression models. Moscow: Vychislitel'nyy tsentr im. A.A. Dorodnitsyna RAN, 2008:56. (In Russ.)
16. Haykin S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. Upper Saddle River, USA: Prentice hall, 2006:1105.
17. Starostin I.E., Khalyutin S.P. Analytical model of lithium-ion battery voltage dynamics. Elektrichestvo = Electricity. 2024;(10):13-22. (In Russ.)
18. Solov'ev I.G., Govorkov D.A., Tsibul'skiy V.R. Identification of the hydrodynamic model of a well with an electric centrifugal pump based on monitoring data of disturbed operating modes. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta. Inzhiniring georesursov = Proceedings of Tomsk Polytechnic University. Georesource engineering. 2020;331(5):181-192. (In Russ.)
19. Raerindzatuvu Zh.S., Gishvarov A.S. Parametric diagnostics of single-channel GTE based on neural network modeling of work processes. Vestnik UGATU = Bulletin of UGATU. 2017;21(4):86-96. (In Russ.)
20. Starostin I.E., Drujinin A.A. The concept of a software and technological platform for digital twins based on energy dynamics methods. 2023 5th International Youth Conference on Radio Electronics, Electrical and Power Engineering (REEPE). 2023:1-6.
Информация об авторах /
Игорь Евгеньевич Старостин
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры электротехники и авиационного электрооборудования, Московский государственный технический университет гражданской авиации (Россия, г. Москва, Кронштадтский бульвар, 20) E-mail: [email protected]
Станислав Иванович Гавриленков
заведующий учебной лабораторией
кафедры электротехники и авиационного
электрооборудования,
Московский государственный технический
университет гражданской авиации
(Россия, г. Москва, Кронштадтский бульвар, 20)
E-mail: gavrilenkov@mstuca
Information about the authors Igor E. Starostin
Doctor of technical sciences, professor, professor of the sub-department of electrical engineering and aviation electrical equipment, Moscow State Technical University of Civil Aviation (20 Kronshtadtskiy boulevard, Moscow, Russia)
Stanislav I. Gavrilenkov
Head of the educational laboratory
of the sub-department of electrical engineering
and aviation electrical equipment,
Moscow State Technical University of Civil Aviation
(20 Kronshtadtskiy boulevard, Moscow, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests. Поступила в редакцию/Received 25.09.2024 Поступила после рецензирования/Revised 21.10.2024 Принята к публикации/Accepted 05.11.2024
