случае, поведение дисперсионных кривых стремиться к упругому случаю.
4. В окрестностях частот запирания упругого спектра ветви наследственно-упругого спектра имеют наибольшую кривизну. Увеличение значения k, как и уменьшение значения в-, ведет к сглаживанию дисперсионных кривых в этих областях. Таким образом, упругий спектр приближенно можно рассматривать как асимптотический для наследственно-упругого при k ^ 0 в >> 1 •
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Sergeeva N. V. The Dispersion Equations for Thin Viseoelastie Cylinder // Представляем научные достижения миру. Естественные науки : материалы V международной конференции молодых ученых «Presenting Academic Achievements to the World». Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 5. С. 179-185.
2. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М, : Наука, 1977. 384 с.
3. Березин В. Л., Каплунов Ю. Д., Коссович Ю. И. Дисперсионные уравнения для тонкого цилиндра. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1994. 17 с.
4. Барышев А. А., Лысункина Ю. В. О применении метода продолжения решения по параметру к анализу дисперсионных уравнений в системе Mathematica // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 108-111.
УДК 539.3
Э. В. Антоненко
АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ ПРОГИБА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1. Устойчивость и колебания механических систем с переменными характеристиками по длине их элементов представляют большую и сложную проблему. Поведение таких неоднородных систем зависит от величины критических сил и частот собственных колебаний [1-4].
Математическое содержание проблемы сводится к определению собственных значений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при заданных граничных условиях. Математические модели, основанные на классической теории дифференциальных уравнений и механике тонкостенных конструкций, не позволяют получить в общем виде аналитические зависимости для критических сил и частот собственных колебаний.
Приближенные решения таких задач удается получить при использовании энергетических методов Рэлея, Тимошенко, Ритца, когда форма прогиба задается с точностью до одного неопределенного параметра. Функции прогиба должны удовлетворять граничным условиям.
Рассмотрим задачи устойчивости при осевом сжатии и собственных поперечных колебаний в пределах упругости неоднородного стержня. Жесткость Е1 = О и погонная масса т переменны вдоль оси х.
2. Критическую силу N. определяют из дифференциального уравнения изогнутой оси стержня (см. [3,4]
d2 ^ + N. ^ = 0, (1)
dx2 \ dx2 J dx2
где y = y(x) - функции прогиба. Для стержней с постоянной жесткостью EI = D = const уравнение (1) принимает вид
yIV(x) + a2y"(x) = 0, а2 = E^. (2)
Здесь и далее штрихами обозначены производные по осевой координате.
Из уравнения (2) для различных граничных условий получены классические выражения критической силы однородного стержня
n2EI EI п2
N.0 = —^2; N.o = ; п = ^, (3)
(мl)2 12 м2
где l - длина стержня. Значение коэффициентов м и П учитывающие граничные условия, приведены в таблице.
Для неоднородных стержней уравнение (1) имеет вид
y'V(x)+2 W) y'"(x) +
D"(x) + N.
D(x) D(x)
У" (x) = 0. (4)
Из уравнения (4) выражения для N. в виде подобном (3) получить не удается.
Относительно простые выражения для критической силы можно получить из формулы Рэлея
¡Е1 (х)[у"(х)]Чх
N. = ^-. (5)
j[y'(x)}2dx о
Входящие в (5) функции прогиба, удовлетворяющие граничным условиям, приведены в таблице. Тригонометрические аппроксимирующие функции при подстановке в (5) дают значения критической силы, совпадающие с точными решениями (3). Аппроксимирующие функции в виде полиномов дают завышенные значения (погрешности расчетов А отражены в таблице), что соответствует теореме Рэлея.
№ Граничные условия Функции и коэффициенты Параметры
1 2/(0) = /(0) = 0 у(х) = Аэш2^: Ц = 1,?/ = 7Г2,
у(1) = у"(1) = 0 у[х) = .г4 — 21х3 + 13х кп=Т+0(1-Т)+ +ф-1 А = +2, 3%
2 у( 0) = ¡/(О) = 0 у{х) = .Ып;!у : ц = 0.5,1] = 47Г2,
У(1) = У'(1) = о у(х) = .г4 — 21х3 + 12х2 кп=Т + 0(1-Т)+ , /л "Т^Тч э1и 4;?7Г7 ■П1 и) 4»ТГ А = +3,1%
3 у( 0) = у'( 0) = 0 у{х) = Л(1 -С08^); // = 2,?? = 0.257т,
у"(1) = у'"{1) = 0 у(х) = .г4 — 41х3 + 612х2 =1 + Т)(1 -/) + (!- П)^ А = +4, 3%
3. Дифференциальное уравнение собственных поперечных колебаний стержня можно получить из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Оно имеет вид (см. [2])
д 2у
, д2у д2 т(х) дй* +
Е1 (х)
дх2
= 0.
(6)
Для однородного стержня из уравнения (б) следует (см. [2, 4])
у1У (х) - к4у(х) = 0; к4 =
где щ - круговая частота колебаний. Из уравнения (7) следует
тщ ~ЕГ
(7)
2 4 Е1
щ = атг4
а = к/,
(8)
а
закрепления краев стержня а = пп, при смешанных граничных условиях а = (4п + 1)п/4, если п - номер тона колебания. Значения а для первых четырех тонов приведены в [4].
Для неоднородных стержней уравнение (б) имеет вид
у1У(х) + 2^у"\х) + ^Т^у"(х) - тйщ2у(х) = 0,
Я(х)
Я(х)
Я(х)
(9)
из которого искомую величину и2 в виде (8) получить не удается.
^лгр^уу р^л^д ТТОЗВОЛЯСТ ПОЛУ НИ^ТЪ)
} П(х)[у"(х)}2ёх
и2 = ^-. (10)
/ ш(х)у2(х)^х о
В зависимости (10), как ив (5), функции прогиба у (х) должны удовлетворять граничным условиям. Полиномы, приведенные в таблице, позволяют получить частоты только первого тона. Аппроксимирующие тригонометрические функции при использовании (10) дают значения и, совпадающие с точным решением (8) для однородных стержней.
4. На основе результатов численных эксперимертов и сравнения их с имеющимися для некоторых частных законов неоднородностей стержней предлагается для расчета Ж* и и использовать аппроксимирующие функции из таблицы для стержней с монотонной и дискретной по их длине неоднородностью.
Например, для шарнирно опертого стержня со ступенчато изменяющейся неоднородностью (О = и ш = тх при 0 ^ х < 1\\ О = О2, т = т2 при ¡1 < х ^ I), для которого _ = у, О = Ш = получим выражение критической силы
/ 2
N = км, = — О,
V 1 / ^ _ (11)
км = км (_, О) = _+ О (1 - _ + (О - 1)^Г>
N. - критическая сила при рассматриваемых граничных условиях однородного стержня с жесткостью Для однородных стержней км = 1-Графическая зависимость км = км (_, О) для этих граничных условий приведена на рисунке.
Частоты собственных колебаний таких неоднородных стержней удобно представить в виде, аналогичном (11):
и = иокш, кш = кш (_, О, ш),
где и0 - частоты колебаний однородных стержней с жесткостью и погонной массой т\.
Результаты расчетов км и кт для разных видов неоднородностей и граничных условий подготовлены к печати.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Антоненко Э. В., Шульга Т. Э. Модели выгоднейшего изменения толщины тонких цилиндров при осевом сжатии // Вестн. Сарат. техн. ун-та. 2014. № 4. С. 3 10.
2. Бабаков И. М. Теория колебаний. М, : Наука, 1965. 559 с.
3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М, : Наука, 1974. 640 с.
4. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник : в 3 т. М. : Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.
УДК 532
Т. А. Ильясова, И. А. Панкратов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ ВОДЫ В ОЗЕРЕ
1. Постановка задачи. В работе [1] была рассмотрена упрощённая модель течений в озерах, бассейнах и других водоёмах для начальной оценки циркуляции. Такие течения могут описываться линеаризованными уравнениями, получающимися из уравнений количества движения, если в них пренебречь инерционными членами и членами, зависящими от времени в уравнении неразрывности [2].
В статье [1] было показано, что решение указанной задачи сводится к уравнению Пуассона относительно функции тока 'ф :
W = 7 V2'. (1)
Здесь W = дг\\3/дх2 — дт2\3/дх\ - величина, зависящая от ветрового воздействия; 7 - коэффициент ветрового напряжения. Величины гх\3, т2\5 обусловлены ветровыми напряжениями.