Аппроксимация и численное моделирование задачи динамической реконструкции управлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

мы ослабили предположение о кусочной непрерывности оптимального управления, которое присутствует в более ранних работах

Ключевые слова: оптимальное управление; особое управление; условия второго порядка.

УДК 517.9

АППРОКСИМАЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ УПРАВЛЕНИЙ

© Д.О. Михайлова

Ключевые слова: динамическая система; управление; динамическая регуляризация. Построены новые динамические регуляризующие алгоритмы реконструкции граничного управления в параболических системах, которые позволяют получить кусочноравномерную сходимость регуляризованных приближений. Выполнена конечномерная аппроксимация задачи. Обсуждаются результаты численного моделирования.

Рассматривается задача о восстановлении неизвестных управлений в параболической системе по результатам приближенных измерений состояний наблюдаемого движения системы. Задача решается в динамическом варианте, когда для определения текущего приближения неизвестного управления разрешено использовать только измерения, поступившие в данный момент времени. Для решения задачи предлагается воспользоваться методом динамической регуляризации [1]. Работа продолжает исследования [2, 3].

Пусть управляемая система на конечном отрезке времени T = [¿о, $] описывается параболической краевой задачей [4, гл. 3]

n д д yt = дХ-{ aij (x) ~dx~^) - а(Х) У + f (¿, x), (¿,x) e Q = T x

i,j=l i j

y(to,x)= yo(x), x e Q С Rn;

д y

+ иУ = g(x) u(t), t e T, x e Г = дQ, v = const ^ 0;

эллиптический оператор в правой части уравнения коэрцитивен [4, гл. 3, § 3], aij = aji e e L^(Q), a e L^(Q), a ^ a0 = const ^ 0, f e L2(Q), g e L™^), y0 e L2(Q), управление u e L2(T; Rm), u(t) e P С Rm, t e T.

Пусть в соответствующие текущие моменты времени t e T приближенно измеряются состояния системы y[t], причем результаты этих измерений ys[t] удовлетворяют условию || ys[t] — y[t] ||l2(q) ^ 5 , 0 ^ 5 ^ 50. Задача восстановления состоит в том, чтобы построить

динамический алгоритм D : ys us , восстанавливающий ту реализацию и управляющего воздействия на динамическую систему, которая соответствует результатам наблюдений. При этом результат us = us (t), t e T, восстановления искомого управления и = u(t), t e T, должен быть тем точнее, чем меньше ошибки измерений: us ^ u, 5 ^ 0.

Задачу реконструкции предлагается решать модифицированным методом динамической регуляризации, предложенным Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским [1]. Решение задачи восстановления будем искать в виде семейства конечношаговых динамических алгоритмов D = { DJ : a e Е, 0 ^5 ^ 5о }. Каждый алгоритм формализуется в виде тройки D% = = {(ti)i=0; (Ei)li=10; (Fi)1—0), где (ti)i=0 — точки разбиения а отрезка времени T: to = to < < ti < • • • <ti-1 <ti = $; Ei — отображение, которое в динамике формирует на отрезке

2611

[и,и+1] управление для вспомогательной системы-модели (поводыря); ^ —отображение, формирующее движение поводыря на отрезке [и,и+\]. Работа алгоритма во времени и динамическое формирование его реализации (выхода) подробно описаны в [1, 2].

В данном конкретном случае в качестве поводыря выберем копию исходной системы. Стратегия управления поводырем есть экстремальный сдвиг из теории позиционного управления локально регуляризированный методом Тихонова со специальным стабилизатором.

Теорема. При использовании стабилизатора в виде суммы классической вариации и нормы пространства интегрируемых с квадратом функций в задаче реконструкции управления имеют место поточечная сходимость, сходимость в среднеквадратичном, сходимость вариаций и кусочно-равном,ерная сходимость регуляризованных приближений.

Для численного моделирования задачи выполнена конечномерная аппроксимация, основанная на методе Фурье с использованием оператора ортогонального проектирования ^(О) на . Соответствующая конечномерная экстремальная задача решалась методом проекции субградиента [2]. Доказана теорема об аппроксимации задачи реконструкции.

Численное моделирование проводилось в динамической системе

Уг = а2 Ухх, ^,х) € Ц = Т х О; у(0,х) = уо(х), х € О = (0,I);

Ух(г, о) = и(г), ух(г,1) = 0, г € т = [0,$].

Проведены вычислительные эксперименты, показавшие способность предложенных алгоритмов восстанавливать тонкую структуру искомых управлений. На рисунках представлены результаты реконструкции гладкого и импульсного управлений при разных 5 (¿1 = = 0.01, ¿2 = 0.0002 ). Сплошная линия соответствует восстанавливаемому управлению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

2. Короткий М.А. Восстановление управлений статическим и динамическим методами регуляризации с негладкими стабилизаторами // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 1. С. 39-53.

3. Короткий А.И., Михайлова Д.О. Восстановление граничных управлений в параболических системах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 178-197.

4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена по программе Президиума РАН «Фундаментальные проблемы нелинейной динамики в математических и физических науках» при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1009), поддержана молодежным грантом ИММ УрО РАН «Восстановление управлений в динамических системах» и РФФИ (проект 11-01-00073).

Mikhailova D.O. APPROXIMATION AND COMPUTATIONAL MODELING OF DYNAMIC CONTROL RECONSTRUCTION PROBLEM

New dynamic regularizing algorithms for boundary control reconstruction in parabolic systems have been constructed. These algorithms let obtain the piecewise uniform convergence of regularized approximations. A finite-dimensional approximation of the problem has been done. Results of computational modeling are discussed.

Keywords: dynamic system; control; dynamic regularization.

2612