CC BY
64
помощью функции linprog пакета Optimization Toolbox среды MatLAB.
Для определенности рассмотрим решение основной и дуальной задач с характерными ограничениями на конкретном примере и установим верхнюю и нижнюю границы переменных состояния.
Основная задача: c1=[3 1]; A1=[3 2; -4 1]; b1=[24 -8]'; A1eq=[1 -2]; b1eq=0.
Нижняя и верхняя границы переменных состояния основной задачи: lb1=[01]'; ub1=[inf 3]'.
В режиме прямых вычислений получим решение задачи ЛП: [x1,z1]=linprog(c1,A1,b1,A1eq, b1eq,lb1,ub1).
В результате минимум z1=8 при значении вектора x1=[2.28571.1429]'.
Дуальная задача: с2=[24 -8 0]; A2=[-3 4 -1]; b2=[3]; A2eq=[2 1 -2]; b2eq=[-1].
Верхнюю и нижнюю границы u(2) вектора переменных состояния дуальной задачи
и=[и( 1 )и( 2 )и( 3 )] определим путем подстановки
в условие-равенство двух ограничений равенств: Л2ед=[2 1 -2; с2], Ь2ед=[-1 с1*1Ь] и Л2ед=[2 1 -2; с2], Ь2ед=[-1 с1*х1], где х1=[2.2851 1.1429]' - оптимальное решение основной задачи.
В результате находим решение для случая, когда нижняя и верхняя границы вектора и при вариации и(2) равны:
1Ь2=[0 0.2024 0]', иЬ2=[т/ 1 т/]'.
Используем их при записи функции linprog для решения дуальной задачи: [и,г2]=1трто%(с2, Л2,Ь2,Л2ед,Ь2ед, 1Ь2, иЬ2).
Окончательно имеем: и=[011]', 22=^2=8.000.
Заметим, что Х2=-г2 принято согласно правилам перехода от основного к дуальному варианту решения.
Таким образом, элементу вектора 1<х(2)<3 в дуальной задаче соответствует и(2) с ограничениями 0.2024<и(2)< 1.
АППРОКСИМАЦИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЗАМЕРОВ МОДИФИЦИРОВАННЫМ ЗАКОНОМ ЭРЛАНГА
С.А. Неклюдова (Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций)
В практике встречаются попытки решения задачи прогнозирования технического состояния изделия (ТСИ) экстраполяцией ретроспективных наблюдений (по материалам ряда дефектаций) или имитационным моделированием исследуемого процесса в предполагаемых условиях с помощью специально разработанных моделирующих алгоритмов. Проведение вычислительного эксперимента при имитационном моделировании случайного процесса, как правило, базируется на методе статистических испытаний. При этом возникает необходимость установления законов распределения случайных величин как для воспроизводства их реализаций, так и для определения закономерностей показателей, получаемых в результате моделирования.
Большинство элементов изделия эксплуатируется в однородных условиях, и их износ подчиняется нормальному закону. Однако есть элементы, перекрывающие два района (и более) с разными условиями эксплуатации. Это приводит к неравномерному износу элементов. Причем замеры на таких участках располагаются неравномерно: чем больше износ элементов, тем больше на этом участке делают замеров. Указанные особенности обусловили постановку задачи подбора закона распределения, которому следует совокупность экспериментальных данных. По существу это сводится к аппроксимации эмпирического распределения соответствующим теоретическим законом. Один
из возможных методов решения данной задачи основан на использовании в качестве аппроксимирующего закона распределения Эрланга. Это позволяет количественно и функционально учесть практически весь диапазон той неравномерности, с которой следуют события (наблюденные значения). В теории вероятностей известны два вида такого распределения - ненормированное и нормированное.
Характерной особенностью указанных распределений Эрланга является принятие порядком распределения только целочисленных значений (1=1,2,3,...). В практике математической статистики величина t может принимать любые, в том числе нецелочисленные значения от 0 до бесконечности. С учетом этого предлагается ввести понятие обобщенного нормированного распределения Эр-ланга, пригодного для любых, в том числе и нецелочисленных значений t. При этом соответствующей заменой переменных обобщенное нормированное распределение Эрланга удалось свести к частному случаю гамма-распределения. Для краткости назовем его просто законом распределения Эрланга, который описывается следующими выражениями:
• дифференциальная форма /^) - плотность вероятности:
/(t)= (т)--Г1"1 -е~тЫ . (1)
Л(т)
• интегральная форма F(t) - функция распределения:
F(t)=P(t* <t)=Jf(t)dt=1 ~A(m'mM) . (2) о A(m)
В (1,2) t, t* - неслучайная и случайная величины; Р - оператор вероятности; m =T2/D - порядок распределения закона Эрланга (D - дисперсия случайной величины); h=1/T - параметр распределения (Т - математическое ожидание случайной величины).
Гамма-функция A(m) находится по формуле:
A(m)=Jzm-1 -e~zdz .
(3)
Неполная гамма-функция A(m,x ) находится по формуле:
A(m,x)=Jzm-1 e~zdz ,
(4)
где параметр x в нашем случае принимает значение x=mht.
Введем обозначение
A(m,x)_ A(m,mht) V(t)=- ~
(5)
A(m) A(m)
тогда функция распределения (2) принимает вид: F(t)=1-V(t). (6)
Для вычисления функции (5) существует специальная таблица, а также разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитать ее при любых значениях аргументов т, h и t.
С целью практического использования закона
распределения Эрланга и для оценки вероятностных характеристик совокупности эмпирических данных, являющихся реализациями непрерывной случайной величины, по этим данным необходимо определить следующие числовые характеристики: Т , В и т - оценки математического ожидания, дисперсии и порядка распределения Эрланга соответственно.
Для определения оценок Г и В при большом (несколько десятков) количестве наблюдений N в математической статистике применяются следующие формулы:
1 N 1 N 2
Т=-% ; В=а1 =—Т(ь -т) . (7) N1=1' 8 N-1^ ' '
Полученные по зависимостям (7) значения Т и В позволяют оценить порядок распределения
Т)2
Эрланга по формуле: тп-
D
(8)
Практическая ценность изложенного метода заключается в возможности использования его для аппроксимации достаточно широкого круга эмпирических распределений, каждое из которых характеризуется своим порядком распределения т. При т=1 - экспоненциальное распределение; при 0 < т < 1 - распределение с дисперсией (неравномерностью) больше, чем в экспоненциальном распределении; при т~8 - распределение, близкое к нормальному, а при т дисперсия убывает до нуля, и распределение стремится к закону единичной функции, характеризующей неслучайную величину.
о
x
МЕХАНИЗМЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В СИСТЕМАХ С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ СХЕМАМИ ОПИСАНИЯ ДАННЫХ
Д.С. Квасов, к.т.н. (Владимирский государственный университет)
Огромное количество существующих в настоящее информационных систем функционирует на основе так называемых классификаторов - линейных или древовидных списков параметров, позволяющих описывать информацию с некоторой точки зрения.
Одной из основных особенностей по обработке информации, которую должна учитывать подобная система, является периодическое изменение схем, описывающих данные. Под схемой понимается совокупность параметров определяющих некоторый информационный срез. Следует учитывать, что в каждый момент времени данные должны представляться в соответствии с актуальным на данный период классификатором и со связанной с ним схемой. При этом должна присутствовать возможность сопоставления информации
за разные исторические периоды. В настоящей статье предлагается один из вариантов решения данной проблемы.
Под классификацией будем понимать группу классификаторов, описывающих одну и ту же информацию, но в разные временные периоды.
Выделим два вида классификаций:
• базовые классификации, содержащие условно постоянную информацию (к таким классификациям относятся в первую очередь те, которые идентифицируют временную принадлежность различных данных: «года», «периоды»);
• классификации, содержащие периодически изменяемую информацию.
Классификаторы, входящие в состав одной и той же классификации могут различаться как структурой, так и своим содержанием. Базовые
