CC BY
22
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 519.6:501
Аппроксимация автоволновых решений в моделях ламинарного пламени*
Е. Н. Ладоша, А. Д. Пугачёв, Д. С. Цымбалов
(Донской государственный технический университет)
Предложен новый алгоритм расчёта параметров ламинарного пламени в горючей смеси. От известных оптимизационных алгоритмов разработку отличает способ аппроксимации точного решения задачи — постулируется реалистичный вид не температурного поля, а его производной по автомодельной переменной. В результате процедура определения эффективных параметров модели упростилась, а погрешность аппроксимации сохранилась на приемлемом уровне.
Ключевые слова: волна горения, аппроксимация, методы оптимизации.
Введение. Разработка действенных методов исследования автосолитонных уравнений представляет большой интерес для ряда естественнонаучных и технических приложений [1]. Простейшей формой горения является плоское ламинарное пламя, формируемое процессами различной природы — химическими реакциями и микропереносом. Результирующий процесс представляет собой бегущую волну превращений [2]. Математической моделью пламени служат нелинейные уравнения с частными производными. В данной работе развит новый подход к решению уравнения горения, опирающийся на рациональный выбор функционального вида решения и отработанную технику оптимизации.
Постановка задачи и описание моделей. Динамика автоволн горения описывается уравнением [2]:
°^ + ^ + ^(Х-тУ=0, Г(-») = 1, Г(со) = 0, (1)
в котором температура Ти энергия активации © выражены в единицах Тад (температуры сгорания в адиабатических условиях); п ~ 1 — эффективный порядок брутто-реакции; О, 1/К и V — коэффициент диффузии, предельная скорость химического превращения и скорость распространения пламени соответственно. Решение (1) позволяет определять брутто-характеристики химизма путём измерения скорости распространения пламени, его толщины и температуры. Определённые таким образом физико-химические характеристики ламинарного пламени используются при проектировании энергосиловых установок.
Приблизим реальный химический источник, характеризующийся скоростью \/\/ев'т (1 - Т) = 0 ,
функцией 1/КаГр(1-Г) : для удобства перейдём к безразмерным переменным Т =Т/Ттах и 0 = 0/Гтах . Последняя величина служит важной физико-химической характеристикой горючей смеси — своего рода форм-фактором источника, определяющим ширину благоприятного для реакции температурного интервала Ттт + Гтах. Независимой переменной выбрана безразмерная температура Т, которая совпадает с безразмерной концентрацией [В] продукта В одностадийной реакции А —> В+ <5 (<? —тепловыделение).
Работа выполнена при финансовой поддержке фонда ALCOA.
Из условия совпадения максимумов исходной и приближающей функций следует связь модельного показателя 3 с содержательной величиной © :
В отсутствие активации 3 ->0, при незначительной (по отношению к условиям в пламени) высоте энергетического барьера реакции 3 ->■ ©1/2 / а в условиях, когда активация существенна, р->©. Безразмерная температура Т*, соответствующая максимальной скорости реакции в точечной системе — реакторе идеального смешения равна 3/(3 + 1) ■ Множитель а в приближающей
формуле определяется равенством аррениусовского е 0/г и степенного а Гр скоростных множителей при Т = Т*, из которого следует явное выражение:
При высоком активационном барьере выражение (3) упрощается: а»е 0+1. Однако практически интересен случай, когда величина 0 оказывается в пределах от одной до нескольких единиц. Модельный пример [3] с 3 = 2 попадает в категорию реалистичных: ему соответствуют 0 = 4/3
и а = (3 / 2е)2.
Полученный таким способом коэффициент а следует включить в вероятностный фактор реакции 1/К, определяющий решение задачи (1). Поправка к скорости распространения пламени имеет химическую природу и оказывается существенной, если рассматривать горение моторных топлив. Например, для водородно-воздушных смесей величина © изменяется от ~ 2 при стехиометрическом соотношении компонентов до ~ 15 на нижнем концентрационном пределе, что требует корректировать скорость пламени. Соответствующий поправочный коэффициент близок к
асимптотическому а1/2 « е(~0+1)/2.
Идея предлагаемого метода решения задачи состоит в том, что сначала выбирается форма производной решения (1) по пространству, затем конструируется соответствующая функция источника, содержащая некоторые подгоночные параметры. Задача сводится к минимизации некоторого функционала совпадения (ФС) с применением стандартных численных методов.
В качестве модельных решений — профилей установившейся температурной и (или) концентрационной волны — будем выделять: 1) квазилогистические, являющиеся решением
уравнения = с;Гр (1-Г)У, 2) тригонометрические, отвечающие уравнению с!Т/о!? -
= ф/псоэ2 [п(г -1 / 2)] , и 3) квазикинетические, соответствующие профилю температуры
(ГГ/сЬ = с;е~07г (1 - Т), где 0' ф 0 и, как правило, меньше по абсолютной величине, у ^ 1 — порядок реакции.
Существенно, что во всех базовых моделях контур величины (ГГ/(Гг представляет собой
пик, расположенный в интервале дозволенных значений Г ; на краях этого интервала реализуются однородные условия (начальные или конечные). Без потери общности можно считать, что профиль температуры и (или) концентрации исходных продуктов в волне горения задаётся формулой вида с,Т (т) • (1 - Г , где Г (т) — некоторая возрастающая функция, причём Г (о) = 0. В
последнем выражении учтено влияние энергетических и материальных факторов на структуру зоны активного горения. Выбранная математическая структура позволяет объединить все перечисленные профили волны горения, т. е. унифицировать рассмотрение. Явное выделение множи-
(2)
а = (і + 1 / 3)Р е43.
(3)
теля (1 -Г)У вызвано тем обстоятельством, что горение связано с материальными ограничениями
и подчиняется реакции некоторого (не обязательно целого) порядка по реагентам.
Рассмотрим волну горения с квазикинетическим профилем
с!Т /бг = <;е~°7Г (1 - Г )У (4)
как вполне реалистичную. Вторая производная искомого распределения Цг) по независимой переменной равна
d2T/dz2 = q2 [©'/Г2 -Y'/fl-T)] e-5'/r(l-T)Y
(5)
Подстановкой (4) и (5) в уравнение (1) нетрудно убедиться, что разрешающий его в выбранном классе профилей Дг) источник имеет вид
-|2 '
f(T) = W \k-C\0'/T2 -Y'/(l-T)] e-§'/f (l-Tf
(6)
Зависимость (6) нуждается в определении подгоночных коэффициентов к, С, 0' и у' ■ Их нетрудно вычислить, зная вид источника:
f3Kcn(T) = w[e-°'T (7)
Минимизировав функционал совпадения
0C = \[f(T)-f3KCn(T)]dT, (8)
о
с учётом необратимости реакции в пламени, которая определяется ограничением на параметры к и С, обеспечивающим положительность множителя в фигурных скобках (6) при Т= 0 1, полу-
чаем искомые параметры модельного источника {к, С, 0', у' }■ Через них выражается скорость распространения пламени и — собственное значение краевой задачи (1):
и =(WD/C)1/2 к . (9)
Полученный результат не связан с выбором профиля волны, а является следствием фундаментальных свойств уравнения (1) и регулярности предложенного способа его решения. Поскольку W и D — заданные константы, определение скорости горения свелось нахождению нетривиального (к^ 1, CV О, 0V0, y'*y) аппроксимирующего выражения (6).
Результаты компьютерного эксперимента. Численные эксперименты свидетельствуют о слабой зависимости эффективного порядка реакции в пламени от высоты активационного барьера
0, что позволяет с хорошей точностью считать y'~ Y ■ Кроме того, оказывается, что 0' близко
к 0 . Эти обстоятельства, с одной стороны, существенно облегчают определение подгоночных коэффициентов, а с другой — предоставляют основания для физической интерпретации расчётных данных. В соответствии с (6) получается приближённое решение краевой задачи (1):
[ е0/г (l - Т)vdT =qz + const,
^(WC/D?2,
0' = 0,9390-0,02102, (10)
к = (1,028 - 0,0519y) • e °'0714Э5/3,
_ g-11,33+6,0690+3,
Представление о погрешности решения (10) можно получить, сравнивая модельную функцию (6) при подстановке в неё коэффициентов (10) с исходной формой источника (7), а также само решение краевой задачи — скорость распространения пламени — с соответствующими результатами, полученными независимыми методами. Локальное отклонение предложенной модельной функции от оригинальной составляет доли процента даже при наименее благоприятном сочетании параметров 0' и У/ когда максимальная скорость реакции реализуется при близкой к 0 или, наоборот, к 1 безразмерной температуре Т . В первом случае реализуются холодные пламена, во втором — нормальные или горячие.
Сопоставлять непосредственно приближённое решение краевой задачи (10) с найденными альтернативными способами нецелесообразно, поскольку детали профиля источника (7), следовательно, качество их аппроксимации уравнением (6) и соотношениями (10) отражается, главным образом, на определяемом формулой (9) собственном значении и. Само же решение (профиль термохимических параметров в волне горения) является интегральной характеристикой, что снижает погрешность его определения. Поэтому представительно сравнивать вычисляемое нашим методом собственное значения и задачи с полученными известными способами. В безразмерном виде
Эта величина определялась многими авторами с использованием разнообразных методик [3]. Рассчитанная нами зависимость и = у(0,у) приближается формулой
Формулы (12)—(14) хорошо согласуются с классическими результатами Зельдовича — Франк-Каменецкого, Кармана и другими приближениями [2—4].
Выводы. Результаты проведённых компьютерных экспериментов свидетельствуют о том, что полученные результаты приемлемо согласуются с классическими в физике горения. Расчётным путём установлено, что сходное поведение демонстрируют все классы аппроксимирующих моделей — квазилогистические, тригонометрические и гибридные. Разнообразные модели и способы решения рассматриваемой краевой задачи приводят к близким скоростям ламинарного пламени. Этот факт свидетельствует о структурной устойчивости уравнения (1) и оправдывает применение предложенного нами нового способа решения задачи (1).
Также установлены и (или) подтверждены следующие свойства решения задачи (1), (7):
1) существует стационарный режим горения, которому отвечает некоторая скорость распространения пламени и, полностью определяемая физико-химическими свойствами среды;
2) среда неустойчива к параметрическим возмущениям, т. е. локальное возмущение усиливается и развивается в волну горения;
3) пространственный масштаб волны нормального горения совпадает с диффузионной длиной, отвечающей времени химического превращения.
Библиографический список
1. Кернер, Б. С. Автосолитоны: локализованные сильно-неравновесные области в однородных диссипативных системах / Б. С. Кернер, В. В. Осипов. — Москва: Наука, 1991. — 200 с.
2. Щетинков, Е. С. Физика горения газов / Е. С. Щетинков. — Москва: Наука, 1965. —
740 с.
и = к/С1/2.
(П)
(14)
(12)
(13)
3. Вильямс, Ф. А. Теория горения / Ф. А. Вильямс. — Москва: Наука, 1971. — 616 с.
4. Основы практической теории горения / Под ред. В. В. Померанцева. — Ленинград: Энергия, 1973. — 264 с.
Материал поступил в редакцию 09.06.2012.
References
1. Kerner, В. S. Avtosolitony': lokalizovanny'e sil'no-neravnovesny'e oblasti v odnorodny'x dissipativny'x sistemax / B. S. Kerner, V. V. Osipov. — Moskva: Nauka, 1991. — 200 s. — In Russian.
2. Shhetinkov, E. S. Fizika goreniya gazov / E. S. Shhetinkov. — Moskva: Nauka, 1965. — 740 s. — In Russian.
3. Vil'yams, F. A. Teoriya goreniya / F. A. Vil'yams. — Moskva: Nauka, 1971. — 616 s. — In
Russian.
4. Osnovy' prakticheskoj teorii goreniya / Pod red. V. V. Pomeranceva. — Leningrad: E'nergiya, 1973. — 264 s. — In Russian.
AUTOWAVE SOLUTION APPROXIMATION IN LAMINAR FLAME MODELS
E. N. Ladosha, A. D. Pugachev, D. S. Tsymbalov
(Don State Technical University)
A new algorithm for computing laminar flame in the combustible mixture is suggested. The work differs from the known optimization algorithms in the accurate solution approximation method - the realistic form of not the temperature field itself, but of its derivative with respect to the self-simulated variable is postulated. As a result, the effective model parameter determination procedure is simplified, and the approximation error remains at the acceptable value.
Keywords: combustion wave, approximation, optimization technique.
