Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности для решения задачи транспорта веществ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 2. Электрическая структура приземного слоя при сильной ионизации и слабом турбулентном перемешивании:

a - N = 108 м-3; б - N = 109 м-3; е - N = 1010 м-3

Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ [1] и [3].

Вывод. Построена математическая модель переноса радиоактивных примесей в приземном слое атмосферы. Полученные результаты согласуются с известными. Построенная модель может использоваться для моделирования электрической структуры приземного слоя в условиях радиоактивного и аэрозольного загрязнений атмосферы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Морозов, В.Н., Куповых, Г.В. Теория электрических явлений в атмосфере: монография. Saarbruken: Lambert Academic Publishing, 2012. - 332 с.

2. Куповых, Г.В. Электродинамические процессы в приземном слое атмосферы. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. - 114 с.

3. Редин, А.А., Куповых, Г.В., Клово, А.Г., Болдырев, А.С. Математическое моделирование электродинамических процессов в приземном слое в условиях аэрозольного загрязнения атмосферы // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск "Актуальные задачи математического моделирования". 2011. - № 8 (121). - С. 111-121.

4. Самарский, А.А., Гулин, А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. - 316 с.

УДК 516.9 ББК 22.151

А.С. Рыпалов

АППРОКСИМАЦИЯ 3-Й КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СХЕМАМИ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТА ВЕЩЕСТВ

Аннотация. Работа посвящена исследованию аппроксимации 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности. Получены аппроксимации оператора конвективного и диффузионного переноса разностной схемой, обладающей четвертым порядком погрешности аппроксимации. Был рассмотрен дискретный оператор диффузионного переноса в случае отсутствия влияния границы области. Было установлено, что построенная схема повышенного порядка точности аппроксимирует оператор диффузионного переноса в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Ключевые слова: схемы повышенного порядка точности, диффузия, диффузионный перенос, дискретный оператор, аппроксимация, граничные условия, краевая задача, разностная схема.

A.S. Rypalov

APPROXIMATION OF THE THIRD BOUNDARY VALUE PROBLEM OF SCHEMES OF HIGHER ORDER ACCURACY FOR SOLVING THE PROBLEM OF TRANSPORT

MATERIALS

Annotation. The work deals with the approximation of the third boundary value problem of schemes of high order. Obtain an approximation of the operator of the convective and diffusive transport difference scheme, which has the fourth-order approximation error. He was considered a discrete operator diffusive transport in the absence of the influence of the boundary. It was found that the construction of schemes of higher order accuracy approximates the operator diffusive transport in the border nodes in the case of boundary conditions of the third kind with the second order of accuracy.

Key words: schemes of high order, diffusion, diffusion transfer, discrete operator, approximation, boundary conditions, boundary value problem, finite-difference scheme.

Задача транспорта веществ может быть представлена уравнением диффузии-конвекции-реакции [1, 2]:

с, + uc'x + vc; = (цс'х )'х +(Mc'y )' y + f,

с граничными условиями:

С'п (X У,' )= апС + Рп ,

где и^ - компоненты вектора скорости, д - коэффициент турбулентного обмена, f - функция, описывающая интенсивность и распределение источников.

Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи вводится равномерная сетка:

^={г=пт, х,. = я, у = д; п=он i=онх, у=он

М,т = Т, НА = 1х, = 1у}, где т - шаг по времени, кх, ку - шаги по пространству, - верхняя граница по времени, Ых, Ыу - границы по пространству:

Дискретные аналоги операторов конвективного ис'х и диффузионного (лс'х)' переноса второго порядка погрешности аппроксимации в случае частичной заполненности ячеек будут записаны следующим образом [3,4]:

С<^1,7 _ С,,У / \ С1,У ~ С'

(?0 )i,JUC'x = (?1 J+1 / 2 j '+l'i, ''J +(q 2 )i,jUi-1 / 2,j , (!)

x

" , , c,.„c,.,. , , ci,J - Ci-1,J

(qo )i,j C< ) x = (qi )i,j ЦМ / 2J-ijTLL - (q 2 )i,J ^i-1 / 2,J h 2

X X

\i \ i \ \ axCi,J + Px

- (qi L -(q 2 )i,j\Mi,

(2)

12 'iJ\r-'J

где qt - коэффициенты «заполненности» контрольных областей [5].

Для аппроксимации третьей краевой задачи диффузии-конвекции достаточно рассмотреть

оператор диффузионного переноса (лс')'. Построим аппроксимацию оператора диффузионного переноса (лс')' разностной схемой, которая обладает четвертым порядком точности, аппроксимируя оператор (/лс') ' - /С ж' к2 /12 - л "с "к2 /4 - л' с '"к2 /6 - л'" с 'к2 / 6 вторым порядком точности [6, 7].

3-я краевая задача

Рассмотрим случай, когда л = соnst. Тогда для получения схемы четвертого порядка погрешности аппроксимации достаточно будет рассмотреть выражение (лс') ' - лCW'к2 /12.

Для этого доопределим задачу вычислительными граничными условиями с'" = 0. Введем обозначения:

L (с ) = с)- L2 (с ) , L ( с) = (лс ') ', L2 ( с ) = (лс "' ) ' к2/12. Запишем аппроксимацию оператора L (с):

(qo)iLi(с) = (qi)iлCi+' 2с -(q21лCi с-1 -|(qi-(q211л aCi + P

,2 2/11 ,2 t 2/1\ i }

к2 к21 1 к

иция оператора L2 (с)

следующем виде:

Аппроксимация оператора L2 (с) с учетом s = с" и граничного условия -" = 0 запишется в

(qo )Л (с ) = (qi )i л-^--(q 2 )i лss^, (3)

( ) ( ) Ci+1 - Ci ( ) Ci - Ci-1 |( ) ( ) laCi + P

(qo h-, = (qi )i —Г2--(q 2 л —^--q A - (q 2 Л —7— •

к к к

Подставим (3) в выражение (4), в результате чего получим:

/ q )i+i Ci+2- Ci+i (q2 )i+i Ci+i- Ci |(qi )i+i- (q2 )i+J a+' + p

(4)

q )i L2 (c)=q )i л -2 (qo )i л

V (q o )i+1 12к2 (qo )i+1 12к2 (qo \+1 12к

i(qi )i Ci+1 - Ci (42 )i Ci - Ci-1 l(q1 )i -(q2 )i| aCi + p ^ (qo12к2 (qo12к2 (qo) 12к

+ (42 ), М

(?1 к С,. - С,- (42 ),._1 С,- - 2 |(41 ),_1 - (42 У «С.! + Р

(4о ),_1 12Й2 (40 ),_1 12h2

( 4о Х_1

12h

или

(4о X L2 (с) = -

' (41 ),+1^ М Л

(4о ),.

"(41X

V ,+1

12h2

_(41X М

3h

2 С+1 +

И

12А

(41 >'+ 4 (4о),+(42 ^

С -

-(42X МС-1 _ -(42X

3А

М ( 42 ),-1

^ (4о ),-1

-(41X М

( 41) ,+1 \12>,+1 I «С,+1 + р

( 4о ),+1

12А

+ М |(4 ) (4 ) «С, + Р (4 ) М |(41 Х-1 -(42 Ц «С,-1 + Р + б1(41),.-(42 XI—А (42 АМ (50)-; ПЙГ" •

В итоге получим представление оператора диффузионного переноса (мс)' разностной схемой, обладающей четвертым порядком точности, которое может быть записано в следующем виде:

-(4о X м(с) = -

м

(4о Х+

12А2

"(41 X Т^Г С+2 -(41 X ТГТ С- +

ЗА

2 +1

(5)

12А2

( 41),+ 28 ( 4о),+( 42X

-( 42 X

Г(42Х+1^ , ^ , ^ (41 ),.-1 V( 4о ),+1

М (42

( 4о ),-1

-(42 X 3^ С-1 -

(42 ),-1 С ^ 2 Л 12А2 (4о ),-1

-(41) м 1(41 )'+1 -(42У +

7 Ми \ ( \\UCt + Р ( \

+ ^ |( 41 )-( 42 -Г- "( 42 X М ( 4о )м

( 4о ),+1 12А

(41 ),.-1 -(42 У «с,-1 + р

12А

Рассмотрим аппроксимацию граничных условий. Пусть (41) = 1, (41), = 1, (42), = о, тогда аппроксимация оператора диффузионного переноса запишется:

гМ- ..С,+2 -16с,+1 +15с, 7 «С +р

=-М-771--Т М--•

6А 3 А

Представим в виде ряда Тейлора функцию с в узлах , + 2,, +1 относительно ,:

(6)

А2 , А3

С+1 = С + ас,' + у С"+у <"+ О (А4), С+2 = С + 2ас" + 2а2с"+^С"+ О (А4). (7)

Запишем с ,+2 - 16с,.+1 + 15с,. с учетом представлений (7):

4А3

8А3

с.+2 -16с+1 + 15с. = с, + 2ас" + 2а2с"" + —с""-16с,. - 16ас,' - 8а2с"" —— с""+

+15с. + О (к4) = -14ас" - 6А2с""-4А-с,'"+ О (к4).

Подставим данное выражение в уравнение (6), в результате чего получим:

м(с)= м7^-«^ + мс" + § ас; + о(а 2) (8)

Из полученного выражения и равенств с" = ас + р, с"" = о следует, что схема (9) аппроксимирует оператор диффузионного переноса в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Теперь рассмотрим случай (41) = 1, (41). = 1, (42). = 1, (42) = о, тогда аппроксимация оператора диффузионного переноса запишется:

/ч с +2 - 16с + + 31с . -16с ., ас . , + р ¿(с)=-м—-.-— + м

12А2

6А

Представим в виде ряда Тейлора функцию с в узлах , + 2,, +1,, относительно , -1:

С

С

-2

С

h2 h3 / ч

= с,+ hcU + - + - c^ + O (h4), (10)

4h3

c,+ = c,_ + 2hc\_x + 2h2c<_ + —<1 + O(h4), (11)

9h2 9h3

c,+2 = c,_1 + 3hc'^ + — <1 + — c^ + O (h4). (12)

Запишем c,+2 - 16c,+1 + 31c, - 16c,_ с учетом представлений (10) - (12):

-h2 -h3

c,+2 _16c,+1 + 31c, _ 16c,-! = c,_, + 3hc;_1 + — c;_! + -rc;_1 - (13)

64h3 h2

_16c,_1 _ 32hc,'_1 _ 32h2 c;_1 _ 1 + 31c,_1 + 31hc;_1 + 31 — ch +

+31 c;_1 _ 16c,_1 + O (h4 ) = 2hc,'_1 _12h2c,'_1 _ 76- <1 + O (h4).

Выражение (9) с учетом равенства (13) запишется в следующем виде:

,4 2h(c' _ac , 1 _В) „ 35hc" t L(c)=_И '-1 P} + ^c,"_1 _--f1 + O(h 2) (14)

12h 36

Из полученного выражения и равенств c' = ac + В, c'" = 0 следует, что схема (14) аппроксимирует оператор диффузионного переноса в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.

Заключение

Построены схемы повышенного (четвертого) порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов, учитывающие заполненность ячеек. Исследована аппроксимация третьей краевой задачи диффузии-конвекции для оператора диффузионного переноса. Было установлено, что схема повышенного (четвертого) порядка точности для оператора диффузионного переноса аппроксимирует данный оператор в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности. Для аппроксимации задачи по временной переменной предлагается использовать схемы с весами [8]. После дискретизации задача сводится к решению сеточных уравнений, для решения которых предлагается применять адаптивный вариант попеременно-треугольного метода [9], который показал себя как наиболее эффективный метод при решении задач гидродинамики [10, 11].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дегтярева, Е.Е., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях // Инженерный вестник Дона. - 2012. Т. 23. № 4-2. С. 30.- URL:http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283 (дата обращения 20.11.2015 г.).

2. Никитина, А.В., Чистяков, А.Е., Фоменко, Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т.20. № 2. - С. 335-339.

URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/794 (дата обращения 21.10. 2015 г.).

3. Самарский, А.А. Теория разностных схем. - М. Наука, 1989. - 656 с.

4. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование - 2014. - Т. 15. - № 4. С. 610-620.

5. Сухинов, А.И., Проценко. Е.А., Чистяков. А.Е., Шретер. С.А. Сравнение вычислительных эффективно-стей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Вычислительные методы и программирование. - 2015.- Т 16. - № 3. C. 328-338.

6. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Семенякина, А.А., Никитина, А.В. Параллельная реализация задач транспорта веществ и восстановления донной поверхности на основе схем повышенного порядка точности // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т.16. - № 2. - C. 256-267.

7. Чистяков, А.Е., Семенякина, А.А. Применение методов интерполяции для восстановления донной поверхности // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2013. - № 4. - С. 21-28.

8. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Shishenya A. V. Error estimate for diffusion equations solved by schemes with weights // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Vol. 6, № 3, pp. 324-331.

9. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2012. - Vol. 4. № 4. pp. 398-409.

10. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Vol. 6. № 4. pp. 351-363.

11. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Timofeeva E. F., Shishenya A. V. Mathematical model for calculating coastal wave processes // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2013. - Vol. 5. № 2. pp. 122-129.

c

УДК 516.9 ББК 22.151

И.И. Софрони

КОМПЛЕКС АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ ДЛЯ РАСЧЕТА ТРАНСПОРТА НАНОСОВ И ТРАНСПОРТА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВЗВЕСЕЙ НА МНОГОПРОЦЕССОРНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ

Аннотация. Работа посвящена разработке взаимосвязных программных комплексов, предназначенных для математического моделирования перемещения донных материалов и примесей, в том числе и биологических веществ, в прибрежных системах для применения на высокопроизводительных вычислительных системах.

Ключевые слова: многопроцессорная вычислительная система, сеточные уравнения, взвеси, наносы.

I.I. Sofroni

COMPLEX ALGORITHMS AND PROGRAMS FOR CALCULATION OF SEDIMENT TRANSPORT AND TRANSPORT OF MULTICOMPONENT SUSPENSIONS ON MULTIPROCESSOR SYSTEMS

Annotation. The work is dedicated to the development of interconnectivity software systems designed to move the bottom of mathematical modeling of materials and contaminants , including biological substances in coastal systems for use in high-performance computing systems.

Keywords: multiprocessor computer systems , difference equations , slurry deposits.

Одной из основных задач вычислительной математики является проблема решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нахождения приближенного решения систем уравнений используются прямые и итерационные методы. В классе двухслойных итерационных методов одним из наиболее успешных является предложенный А.А.Самарским попеременно-треугольный метод (ПТМ). Позднее академиком А.Н. Коноваловым был разработан и опубликован в 2002 году адаптивный вариант ПТМ в самосопряженном случае. Алгоритм ПТМ показал себя как наиболее эффективный метод в классе двухслойных итерационных методов, для решения вычислительно трудоемких задач. В работе [1] данный метод, в случае несамосопряженного оператора (с несимметричной матрицей), был применен для решения задач гидродинамики. Позднее был предложен вариант метода конечных объемов в случае учета заполненностей контрольных областей [2]. Алгоритм расчета, учитывающий частичную «заполненность» ячеек, лишен недостатка связанного со ступенчатым представлением границы области на прямоугольной сетке. Данный метод был применен для решения трехмерных задач гидродинамики [3]. Применение схем, учитывающих «заполненности» контрольных областей, потребовало создания модифицированного варианта ПТМ [4]. Данный метод имеет те же оценки скорости сходимости, как и его не модифицированный вариант, в случае равномерной прямоугольной сетки. Метод эффективен для решения задач на сетках, учитывающих сложную геометрию рассматриваемых объектов [5]. Авторским коллективом предложена двумерная модель транспорта наносов в мелководных водоемах, включающая уравнения движения, неразрывности и перемещения наносов, учитывающая две пространственные переменные и следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно [6]. В разработанном программном комплексе касательное напряжение рассчитывалось на основе двумерной модели гидродинамики. Позже разработана и программно реализована математическая модель транспорта наносов, учитывающая переход донных материалов во взвешенное состояние и обратно [7, 8]. Описание гидродинамических процессов в данном программном комплексе происходило на основе модели, учитывающей три уравнения движения (без гидростатического приближения). Проведен анализ численного решения модельной задачи, показавший, что с увеличением размеров расчетной сетки временные затраты для явной схемы существенно уменьшаются. Модификация явной схемы - введение разностной производной второго порядка с множителем-регуляризатором - позволяет существенно ослабить ограничения на допустимую величину шага по времени [9]. Кроме того, явные регуляризованные схемы показали преимущество по реальным временным затратам (10-15 раз и более) по сравнению с использовавшимися ранее традиционными неявными и нерегуляризованными явными схемами [10]. В области разработки и программной реализации математических моделей динамики популяций разработа-