CC BY
59
2012, № 2
13
УДК 681.518.3, 514:681.323/043.3/
С. А. Прохоров
АППРОКСИМАТИВНЫЙ АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
S. A. Prohorov
APPROXIMATIVE ANALYSIS OF PROBABILISTIC CHARACTERISTICS OF RANDOM PROCESSES
Аннотация. Описаны основные результаты в области прикладного анализа случайных процессов, временных рядов и потоков событий. Выделена проблема и описаны главные этапы аппроксимативного анализа вероятностных характеристик для произвольной вероятностной характеристики. Указаны результаты, полученные в ходе исследований в области разработки технологии и ПО автоматизированных систем прикладного анализа случайных процессов, содержащие математическое описание, методы и алгоритмы моделирования случайных процессов, потоков событий и неэквидистантных временных рядов; методы и алгоритмы анализа законов распределения, характеристических функций, корреляционно-спектральных функций, структурных функций; решение задач вторичной обработки временных рядов, включающих идентификацию случайных процессов по виду функциональной характеристики, аппроксимацию законов распределения, характеристических, корреляционных, структурных функций, спектральных плотностей мощности параметрическими моделями, представляющими собой как функции заданного вида, так и ортогональные функции экспоненциального типа. Приведено описание комплексов автоматизированных систем, позволяющих решать разнообразные прикладные задачи анализа случайных процессов и временных рядов. Даны также примеры реальных задач, при решении которых использовались указанные методы и алгоритмы прикладного анализа случайных процессов: в физике, акустике, океанологии, медицине, машиностроении и в других областях, где необходима обработка случайных процессов с различными характеристиками.
Abstract. The article describes the main results obtained in the field of application analysis of random processes, time series and flows of events. It highlights the issue and describes the main stages of approximative analysis of probabilistic characteristics. It briefly specifies the results obtained in the course of research works in the field of development of technology and software for automated systems of random processes application analysis, including: mathematical description, methods and algorithms of simulation of random processes, flows of events and nonuniform time series; methods and algorithms of analysis of distribution laws, characteristic functions, correlation and spectral functions, structural functions; and solution of problems of secondary processing of time series, including identification of random processes in terms of the type of functional characteristic, approximation of distribution laws, characteristic, correlation and structural functions, power spectral density, by means of parametric models, which are the functions of given type as well as the orthogonal functions of exponential type. It gives the description of functionality of the automated systems set enabling to solve different application problems of analysis of random processes and time series. The article also describes the examples of real problems which solution involved the specified methods and algorithms of application analysis of random processes: in physics, acoustics, oceanology, medicine, machine engineering and other fields where the researchers face the necessity to process random processes with various characteristics.
14
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
Ключевые слова: случайные процессы, случайные потоки, ортогональные функции, корреляционно-спектральный анализ, временные ряды, автоматизированная система.
Key words: stochastic processes, stochastic flows, orthogonal functions, correlation-spectral analysis, time series, automated systems.
При проведении научных исследований, комплексных испытаний с помощью средств информационно-измерительной техники исследователь получает случайный сигнал х(, 0),
характеристики которого 0 подлежат определению.
Все вероятностные характеристики, определяемые во временной области, можно условно разделить на характеристики положения и формы кривой распределения вероятностей случайного процесса и характеристики взаимосвязи (рис. 1).
Рис. 1. Классификация вероятностных характеристик
При этом наиболее часто определяются (в порядке возрастания материальных и вычислительных затрат):
- числовые характеристики случайного процесса;
- авто- и взаимные корреляционные функции;
- спектральные плотности мощности;
- законы распределения.
На основании общей теории статистических измерений [1] измеряемая вероятностная характеристика определяется как предел выборочного среднего функционально преобразованного случайного процесса:
0 [х ( я=[ xJ ( Я, (1)
где 0 - измеряемая вероятностная характеристика; ^ - оператор идеального усреднения; й - параметр усреднения (время Т, совокупность реализаций N или время и совокупность реализаций ТЫ); g - оператор, представляющий собой преобразования, лежащие в основе определения вероятностной характеристики 0; хДх) - J-я реализация случайного процесса.
На практике исследователь имеет дело с ограниченной совокупностью выборочных данных (результатов измерения):
0[X(X)] = ^[х} (X)] а = 1, 2, ..., Ы). (2)
2012, № 2
15
Следующим шагом является построение математической модели анализируемой вероятностной функциональной характеристики в виде параметрической модели. Необходимо отметить, что модель должна сохранять основные свойства анализируемой характеристики, особенно условие нормировки [1].
Учитывая большое разнообразие функциональных вероятностных характеристик, наиболее целесообразно искать их модель в виде ряда в том или ином ортогональном базисе |к (х, а/ у) с весом ц(х), где а / у - параметр масштаба [1].
Представим модель вероятностной функциональной характеристики в виде
т
/(х) = X Рл ^ а / у); (3)
k=0
' I 1|2
если k = n;
||к (х,а / у)|п (х,а / у)(х)х = <|Н1к а [0, если к Ф п.
Для минимизации квадратической погрешности приближения
ь Г т
A = J
f (x Pk Vk a/y)
k=0
ц(х )dx = min (4)
лишь коэффициенты разложения - коэффициенты Фурье - с учетом свойств ортогональных функций автоматически определяются выражением
1 ь
Рк =1м[ (х )|к (х, а / у)ц(х )* (5)
Для определения же остальных параметров модели следует решать дополнительные задачи.
Таким образом, для построения ортогональной модели необходимо:
1) выбрать ортогональный базис - |к (х, а / у);
2) определить численное значение параметра масштаба - а / у ;
3) определить коэффициенты разложения - Рк ;
4) определить количество членов разложения ряда (3);
5) определить корректирующие коэффициенты, обеспечивающие выполнение моделью основных свойств вероятностной функциональной характеристики, как правило, условия нормировки [1].
Графическая интерпретация аппроксимативного анализа вероятностных характеристик случайных процессов представлена ниже:
г , ,-|Йе[0,7У1 _v Г -,1 =1,М] _V Лг , Г г "|1 =1..М ]
{ ( )}Д] ^ {, Л / }у.0...Л] ^ 0 ( Й = ^{х^ t]1/ Л^.}
Г -| г =1, М ]
где {х., t]i / Лt]l} л о ^ - временной ряд.
j=0...N
i=1, Mj j =0...N
Аппроксимативный корреляционно-спектральный анализ случайных процессов
0[X (t)] = <52x рx (т);
Px (т) ^ Pax ( Pm ) ^ Sax (( Pm ) ^ Fax (t P„ )
u u u
Л
^k At, Юэ, Sx (юэ ) Pa (tOi, юх ).
16
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
Аппроксимативный анализ взаимных корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов
0[X(х),Г (X)] = < рху (т);
Рху (Т) ^ Раху (T, Рт ) ^ «а (( Рт ) ^ Ра (( Рт )
U U U
Л
^Vk Aœ3, œ3, (соэ ) Pa ( œ2 ).
В работах [1-6] рассматриваются особенности построения ортогональных моделей вероятностных функциональных характеристик случайных процессов и временных рядов как во временной, так и в частотных областях:
1) корреляционных и взаимных корреляционных функций;
2) интервалов корреляции;
3) спектральных и взаимных спектральных плотностей мощности;
4) спектральных функций;
5) эквивалентной ширины спектральной плотности мощности;
6) структурных и взаимных структурных функций;
7) плотностей распределения вероятностей;
8) функций распределения;
9) характеристических функций.
Разработанные алгоритмы для определения параметров ортогональных моделей легли в основу созданных автоматизированных систем для аппроксимативного анализа вероятностных характеристик случайных процессов, потоков событий, неэквидистантных временных рядов [1-5]. Разработанные системы применялись для аппроксимативного анализа:
1) гидрологических параметров в открытой части Балтийского моря;
2) звукопоглощающих характеристик самолетных конструкций;
3) амортизаторов передней подвески автомобилей;
4) электрических сигналов нейронов, нервов и мышц;
5) вариабельности сердечного ритма;
6) импульсных и частотных характеристик динамических систем;
7) котировок акций топливно-энергетических компаний;
8) температурных полей камер сгорания.
Список литературы
1. Прикладной анализ случайных процессов / под ред. С. А. Прохорова. - Самара : СНЦ РАН, 2007. - 582 с.
2. Прохоров, С. А. Прикладной анализ неэквидистантных временных рядов / С. А. Прохоров. - Самара : Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2001. - 375 с.
3. Прохоров, С. А. Аппроксимативный анализ случайных процессов / С. А. Прохоров. -2-е изд., перераб. и доп. - Самара : СНЦ РАН, 2001. - 380 с.
4. Прохоров, С. А. Моделирование и анализ случайных процессов : лаб. практикум / С. А. Прохоров. - 2-е изд., перераб. и доп. - Самара : СНЦ РАН, 2002. - 277 с.
5. Автоматизированные системы аппроксимативного анализа случайных процессов / под ред. С. А. Прохорова. - Самара : Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2010. - 27 с.
6. URL: http://www.ssau.ru/resources/sotrudniki/prohorov/11/
Прохоров Сергей Антонович
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
информационных систем и технологий, Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королева Е-шаП: [email protected]
Prokhorov Sergey Antonovich
doctor of technical sciences, professor,
head of sub-department
of information
systems and technology,
Samara State Aerospace University
named after S. P. Korolev
2012, № 2
17
УДК 681.518.3, 514:681.323/043.3/ Прохоров, С. А.
Аппроксимативный анализ вероятностных характеристик случайных процессов /
С. А. Прохоров // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 2. - С. 13-17.
