Аппроксимативные свойства частичных сумм Фурье-Мейкснера на [0,∞) Текст научной статьи по специальности «Математика»

6

• ••

Известия ДГПУ, №3, 2015

ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

УДК 517.5

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЧНЫХ СУММ

ФУРЬЕ-МЕЙКСНЕРА НА [о,«)

APPROXIMATION PROPERTIES OF FOURIER-MEIXNER

PARTIAL SUMS ON [о,«)

© 2015 Гаджиева З. Д., Эсетов Ф. Э., Юзбекова М. Н.

Дагестанский государственный педагогический университет

© 2015 Gadzhieva Z. D., Esetov F. E., Yuzbekova M. N.

Dagestan State Pedagogical University

Резюме. Данная работа посвящена исследованию аппроксимативных свойств рядов по классическим ортогональным полиномам Мейкснера. Вводятся новые, так называемые смешанные ряды по полиномам Мейкснера, и исследуются аппроксимативные свойства частичных сумм этих рядов. Показано, что смешанные ряды обладают лучшими аппроксимативными свойствами, чем ряды Фурье по тем же ортогональным полиномам. Разработанные в настоящей работе методы и полученные здесь результаты могут быть использованы при организации работы студенческих научных кружков, а также в работе научных семинаров магистров и аспирантов.

Abstract. The article deals with the study of approximation properties of series in the Meixner classical orthogonal polynomials. The authors introduce the so-called mixed series on Meixner polinomials, and investigate the approximation properties of partial sums of these series. They show the mixed series have better approximation properties than the Fourier series for the same orthogonal polynomials. The methods developed in the given article and the results obtained can be used both during organizing the students’ scientific societies and in the maters’ and postgraduates’ scientific seminars.

Rezjume. Dannaja rabota posvjashhena issledovaniju approksimativnyh svojstv rjadov po klassiches-kim ortogonal'nym polinomam Mejksnera. Vvodjatsja novye, tak nazyvaemye smeshannye rjady po po-linomam Mejksnera, i issledujutsja approksimativnye svojstva chastichnyh summ jetih rjadov. Pokazano, chto smeshannye rjady obladajut luchshimi approksimativnymi svojstvami, chem rjady Fur’e po tem zhe ortogonal’nym polinomam. Razrabotannye v nastojashhej rabote metody i poluchennye zdes' rezul'taty mogut byt’ ispol'zovany pri organizacii raboty studencheskih nauchnyh kruzhkov, a takzhe v rabote nauchnyh seminarov magistrov i aspirantov.

Ключевые слова: полином Мейкснера, ряды Фурье, аппроксимативные свойства частичных сумм Фурье-Мейкснера, смешанные ряды.

Keywords: Meixner polynomial, Fourier series, approximation properties of Fourier-Meixner partial sums, mixed series.

Klyuchevyie slova: polinom Mejksnera, rjady Fur’e, approksimativnye svojstva chastichnyh summ Fur'e-Mejksnera, smeshannye rjady.

Естественные и точные науки

7

Классические полиномы Мейкснера

M„(x, q) (n=0,1,...) можно определить с

помощью следующего равенства .[1. С.157]

a (и+аЛ n (- п )k

M п (x,q) = L

(~ x) k

k!

'1 - !' q

V n J

k

k=0 (a+1) k

V

(1)

где 0<q<1, а-произвольное число, (a)k =a(a + l)-(a + k-l) - символ Похга-мера. В случае, когда а>-1 полиномы Мейкснера

M

a

a

п (x) = M п (x, q) (n=0,1,...) образуют

ортогональную систему с весом [1. с.161] V( x) = v( x,a, q) =

= (1 - q)a+1 qx Г(x + a +11.

Г(х +1)

на сетке Q = {0,1,...}, точнее

L V(x)Mk (x)Ma (x) =

xeQ

f n+A

(2)

= hanq8]m =

q ~n Г (a +1)8 n. (3)

V n J

где 8fa - символ Кронекера.

Пусть N>0, h = 1/ N и рассмотрим полиномы Мейкснера вида

Ma,N(x) = Ma(Nx,e~h) (n=o,i,...). (4)

Из (2) - (4) следует, что полиномы M

И, N (x). (n=0,1,..) образуют ортого-

нальную систему на сетке q = {о, h,2h,...} с весом

In (x) = v( Nx ,a, e ~h) =

(1 -e~h)a+1 e~x Г(Nx + a + 1 (5)

( ) Г (Nx +1)

т.е.

L Vn (x)Mk,N (x)MnN (x) = hn,N8kn, ^ ^

xeQh

-h

где ha = ha,e где hn,N hn,N

Положим maN (x) =

= K,N} !/2мИ,N(x) ■ (7)

Из (6) и (7) вытекает, что полиномы m И, N (x) (n=0,1...) образуют ортонормированную систему на Q с весом v (x). Пусть

M%N(x) = e~xl2mn,N(x) (n=o,i,...) (8)

функции Мейкснера. Из (5) - (8) следует, что функции Мейкснера

цИ (x) = P*N (x) образуют ортонормированную систему на Q с весом

P( x) = (1 - e-h )a+1 Г (Nx;a+11,

Г (Nx +1)

т. е.

L цИ(x)Pk (x)P(x) = 8kn

xeQh

• (9)

Пусть h>0, & ж h - нормированное

пространство дискретных функций

f=f(x), заданных на сетке q , для которых определена норма

|| f И=| f(x)|- Если f £ &ж h > то мы

можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера

fk = L P(xman,N (x)f(x) (10)

xeQh

и соответствующий ряд Фурье-Мейкснера

ж

f - L f?HkN (x), (11)

k=0

частичные суммы которого обозначим

через sn,N (f), т-е-

ж

Sn,N ( f ,x) = L fk pk,N (x). (12)

k=o

Будем рассматривать s%n (f)

как ап-

парат приближения функции

f £ и изучим их аппроксимативные свойства. В настоящей работе рассматривается наиболее важный случай, когда a = -1/2. В этом случае мы введем следующие упрощения:

Sn,N (f, x) = S-N2(f, x),

pn,N(x) = Mn.N (x) fk = fk '

Пусть h>0, f £ &ю h. Рассмотрим задачу приближения функции f суммами Фурье -

8

• ••

Известия ДГПУ, №3, 2015

МейкснеР Sn,N(f,x) = s-,1/2(f,X) ■ ЧеРез Рп -обозначим множество полиномов вида

Фп = Фп (х) = e-X/2Pn (х)> где Pn = Pn (x) - алгебраический полином степени n. Заметим, что если ф е Р , то

Sn,N (Фп (X)) = Фп (x) (13)

поэтому мы можем записать следующую цепочку соотношений

I f (X) - Sn, N(f, x) 1=1 f (x) -Фп (f, x) + Фп (f, x) - /14Ч

- Sn,N (f, X) < f (X) -Фп (f, X) 1 + 1 Фп (f, X) -

- Sn, N (f, X) 1< En (f, x)+ 1 Sn,N (Фп (f ) - f, X) 1 ■

Пусть фп (f) = Фп (f, x) - элемент из Рп > осуществляющий наилучшее приближение к функции f е ^ , т.е.

E n (f, X) = If-Фп (f)I I= inf

фпеРп

1 |f-фп\1 ■ (15)

Далее

\Sn,N (Фп (f) - f, X) I <I \Фп (f) --f\WAX) = En(fWAx), (16)

где

Kn (x) = SUP\ SnN ( f, x) \ =

Ilf II <1

n „-A\ Г(Nt + 1/2) , __ .. C..M

(1 - e ) ^ 1'. I ^ ^k• N (t)^k,N (X) I

teQ, L (Nt + 1) k=0

(17)

тем называть

Функцию Лп, N (x) буд е

функцией Лебега сумм Фурье-Мейкснера. В связи с неравенствами (14) и (16) возникает вопрос об оценке Лп N(х) при

0 < x < да. В настоящей работе получены

оценки сверху функции К ,N ( x) . Для

формулировки результатов нам понадобится обозначение 0 = 0 = 4п +1. Основными результатами настоящей работы являются следующие утверждения:

Теорема 1. Пусть Л> 0, п/N <Л, X е Gi, где g = [0,3/0]• Тогда справедлива следу-

ющая оценка

K.N (x) < С( К) ln(п +1) •

Теорема 2. Пусть Л> 0, п / N <Л,

x е G2 > где G2 = [3/0,0/2] •

Тогда имеет место оценка Лп,м( x)< С(Л)к( п +1) •

Теорема 3. Пусть Л > 0, п/N <Л,

x eG3, где G3 = [0/2,0-2013].

Тогда имеет место оценка

ЛпМ (x) < C (Л)[п1/4 I ^ (x, h)I +

+ ln(n + 1)]

Литература

1. Шарапудинов И. И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала: ДГУ, 1997. 252. с. 2. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам: тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов: УНЦ «Колледж», 2002. C. 228-229.

References

1. Sharapudinov I. I. Polynomials orthogonal on the grid. Theory and Applications. Makhachkala: DSU publishing, 1997. 252 p. 2. Sharapudinov I. I. Mixed series in the orthogonal polynomials: abstracts of the 11th Saratov winter school. Saratov: State. URC "College" Publishing House, 2002, p. 228-229.

Literatura

1. Sharapudinov I. I. Mnogochleny, ortogonal'nye na setkah. Teorija i prilozhenija. Mahachkala: izd-vo Dag. Gos. Un-ta., 1997. 252 s. 2. Sharapudinov I. I. Smeshannye rjady po ortogonal'nym polinomam: tezisy dokladov 11-j Saratovskoj zimnej shkoly. Saratov: izd-vo Gos. UNC «KoNedzh», 2002, s. 228-229.

Статья поступила вредкцию 05.11.2015 г.