CC BY
16
УДК 621.3.019
Б.И. Филиппов
АПОСТЕРИОРНЫЙ АНАЛИЗ НАДЁЖНОСТИ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ
Показан порядок проведения статистических испытаний радиоэлектронных систем по различным процедурам. Определены оценки: среднего времени безотказной работы, достоверности среднего времени безотказной работы, длительности испытаний. Показано, что при оценке среднего времени безотказной работы метод максимального правдоподобия эффективнее испытаний [n, Б, r].
Радиотехническая система, время безотказной работы, длительность испытаний
B.I. Filippov
A POSTERIORI RELIABILITY ANALYSIS OF RADIO-ELECTRONIC SYSTEMS
The order of statistical tests for radio-electronic systems according to various procedures is shown. The estimates are defined for the average time of a non-failure operation, the reliability of the average time of a non-failure operation, and duration of tests. It is shown that under assessment of the average time of a non-failure operation, the method of maximum likelihood is more efficient than the tests [n, Б, r].
Radio-electronic system, time of a non-failure operation, duration of tests
1. Задачи апостериорного анализа
Апостериорный анализ надёжности выполняется после изготовления опытной партии аппаратуры с целью определения её характеристик надёжности. Для этого проводятся статистические испытания аппаратуры радиоэлектронных систем (РЭС) по одной из нижеперечисленных процедур [1]:
а) процедура [п, Б, г] предполагает, что в испытаниях участвует п РЭС до г отказов без замены отказавших систем;
б) процедура [п, В, г] предполагает, что в испытаниях участвует п РЭС до г отказов с заменой отказавших систем (восстановление);
в) процедура [п, Б, Т] предполагает, что в испытаниях участвует пРЭС в течение заданного времени Т (длительность испытаний) без замены отказавших систем;
г) процедура [п, В, Т] предполагает, что в испытаниях участвует п РЭС в течение заданного времени Т с заменой отказавших систем (восстановление);
д) смешанные процедуры: [п, Б, г/Т] или [п, В, г/Т] предполагают, что задана длительность испытаний и число отказов, испытания прекращаются, когда либо г, либо Т достигают заданного значения; при этом если длительность испытаний до последнего отказа 1г < Т, то обработка результатов выполняется по процедурам а) или б), если 1г > Т, то обработка результатов выполняется по процедурам в) или г);
е) процедура [п, Б, п] - испытания проводятся до отказа всех п РЭС, участвующих в испытаниях; эта процедура используется редко, в основном в тех случаях, когда необходимо определить статистические характеристики последовательности отказов отдельных элементов РЭС.
Каждая из процедур испытаний имеет определённые достоинства и недостатки, некоторые из них будут показаны в последующих разделах.
Обработка результатов испытаний имеет целью решение одной из двух задач:
1-я задача. Определение характеристик надёжности изготовленных образцов РЭС.
2-я задача. Определение степени соответствия характеристик надёжности изготовленных образцов РЭС техническим условиям.
2. Определение характеристик надёжности по результатам испытаний (1-я задача).
2.1. Оценка среднего времени безотказной работы.
1. В результате испытаний по процедуре [п, Б, г] без замены отказавших систем получена выборка моментов времени отказов системы ..., tГ), по которой определена выборка интервалов времени между отказами (уь ., уг) (рис. 1).
У1 У2 Уз ... У ... Уг
—>
0
t2 Ь
и
Рис. 1. Моменты отказов и интервалы между отказами
2. Сделана оценка полученной выборки на соответствия теоретической модели потока отказов (например, путём проверки соответствия функции распределения интервалов между отказами показательному закону распределения по критерию Колмогорова или критерию %2).
Решение задачи
1. Так как моменты времени t1, tз, ..., ^ образуют последовательность зависимых случайных величин, в дальнейшем будем рассматривать интервалы времени между отказами уь у2, ..., у, которые являются взаимно независимыми случайными величинами с показательной функцией плотности вероятностей (ФПВ)
w(yi) = 1(п-7+1) ехр{-1(п-7+1) уг},
(1)
1
где 1 = — - интенсивность отказов одной системы; t - среднее время безотказной работы одной си-
t
стемы, (п-/+1) - число систем, участвующих в испытаниях с учётом отказавших.
Совместная плотность вероятностей г интервалов у{ с учётом их независимости равна
t
t
г
™г(У )= ъ Г(У1, уг, ..., У ) = П М!(У, )• (2)
I=1
л
2. Для определения оценки среднего времени безотказной работы t * используем метод максимального правдоподобия (МП).
Обозначим функцию правдоподобия через
* г
¿у(0 = П ъ(у, )• (3)
,=1
В условиях решаемой задачи функция правдоподобия представляет собой ФПВ интервалов у
*
при данном значении параметра t .
Сущность метода МП заключается в том, что в процессе обработки статистических данных вычисляется функция правдоподобия, а значение оценки искомого параметра (¡' - оценка параметра * равно значению аргумента, при котором функция правдоподобия максимальна (рис. 2).
Рис. 2. Возможный вид функций правдоподобия
Тогда оценка среднего времени безотказной работы будет равна
t * = t *мп = а^ тах ) ; t е (0; 0 .
(4)
3. Найдем t 'мп .
ЭЬу Ц *)
Для поиска экстремума функции правдоподобия необходимо решить уравнение -*— = 0.
Эt
Так как любая монотонная функция от функции правдоподобия также является функцией правдоподобия, для упрощения решения перейдём к уравнению
Э 1п Ьу « *) Эt *
= 0.
С учётом (1) и (3) получим
Ьу Ц•) = П ^(у,) = 111(п -, + 1)е(п",+1)
-Е (п-,+1) у,
у, = е
,=1t
П -V (п -,+1),
,=1
,=1
,=1'
1п Ьу (t •) = Е
,=1
1п(п -1 +1) - 1п t * - (П * +1) у,
Заменим 1 = 1Н* и продифференцируем
э 1п Ьу ^ *)
= Е
Эt ,=1
1 п -, + 1
- * + * уг
t t
= 0.
(5)
(6)
Решая (4), получим оценку среднего времени безотказной работы
Г
1 г
t = t мп =-x(п-■ + 1)у,.
г г=1
4. Преобразуем выражение (8) к моментам времени t1, ..., tГ.
1 Г 1 Г 1 Г 1
у, = ^ ? • — X (п - г + 1)(^ - ) = - X (п - г + — X (п - г + 1)ti-l = -
Г г=1 Г г=1 Г г=1 Г
(8)
X и + (П - ГХ
г=1
Тогда
Г
X Ц + (п - Г X.
г=1
(9)
где (п—г^Г - суммарное время работы не отказавших систем; Xtг - суммарное время безотказной ра-
г=1
боты всех отказавших систем; X ti + (п - Г УГ - суммарное время работы всех систем до г-го отказа.
г=1
2.2. Достоверность оценки среднего времени безотказной работы.
Полученная по экспериментальным данным оценка Г является случайной величиной, точность приближения которой к истинному значению параметра t зависит как от объёма испытаний, так и от методики испытаний и обработки результатов, поэтому требует проверки полученной оценки на достоверность.
Проверка осуществляется по четырем позициям:
1) состоятельность оценки;
2) несмещённость оценки;
3) эффективность оценки;
4) достаточность оценки.
Проверка на состоятельность требует выполнения неравенства
Нш Р
{ Г -1' > е}
>£[= 0 или Р)
{ Г -1' <е}= 1,
(10)
где е - сколь угодно малая величина.
Вероятность того, что отклонение оценки от истинного значения равно нулю, возрастает при увеличении числа отказов. В нашем случае оценка состоятельна в силу закона больших чисел.
Для несмещённости оценки необходимо, чтобы математическое ожидание оценки было равно истинному значению параметра, то есть
! { ?*}= (*, для любого значения г.
(11)
Для полученной оценки
т
1 1 Г Г 1 1 Г t' 1 1
{ Г}=-X (п - г+1) • т-[у, } = - X (п - г+1)-——- = t^-X1 = ^ .
(п - г +1) г,=1
Г г=1
Гг=1
Следовательно, оценка Г является несмещенной.
Для проверки эффективности оценки необходимо убедиться, что удовлетворяется неравенство Рао - Крамера:
о2^) >
1
Л (^)
(12)
где О 2 (Г*) - дисперсия оценки; - информация по Фишеру, которая содержится в статистике у о
*
параметре t
Г
/(?') = 02^ 1пЬу(Г)[-. (13)
В рассматриваемом случае Ьу(* - функция правдоподобия (3).
Оценка будет эффективной, если неравенство Рао - Крамера (12) становится равенством
9 1
°2(^) = Т7ч- (14)
у
л
Найдем дисперсию полученной оценки - а (^*) .
а2 ( Г) = М { (Г-1 •) 2 }= М { (г) 2}- М { (•) 2 }= -1 £ (п -, +1)2 о 2( у,) =
Г '=* (15)
✓ * ч 2 ✓ * ч 2
= -1 £ (п - , + 1)2 - (^2
г 2 ,=1 (п -, +1)2 Г
2
1 г (А
где t* = — £(п-, + 1)у, известно из (9), дисперсия интервалов у, равна а2(у-) = —-—--, так как
Г,=1 г (п -, +1)2
у^ - интервалы между отказами имеют показательный закон распределения (1), который определяется одним параметром 1(п-/+1).
Найдем информацию по Фишеру - ).
Э 1п Ьу Ц *) = - +
Эt* t* Ц*)2 £
Тогда
Из (7) известно, что-_у.-= -— + _- £ (п -, +1)у, .
/г(t*) = а2£(п -, +1)у,-1 = -1-Г£(п -, +1)2а2(у,) =
^ )2,=1 I (t )4,=1
1 г (t*)2
= —^—т £ (п - + 1)2-—-- =—¡Т"7.
(t )4;=1 ' (п -1+1)2 а у
Следовательно, а 2 ( Р) = —1— и полученная оценка эффективна.
1 1 /у а*)
Для достаточности оценки необходимо выполнение равенства
/у ^ ^ = /у (^ ), (17)
где Зу (?*) - информация по Фишеру, которая содержится в статистике у о параметре t^ . В то же
время известно, что любая эффективная оценка достаточна.
Таким образом, полученная нами оценка « является состоятельной, несмещенной, достаточной и эффективной.
t t 1 Г
Вместо оценки t * можно было искать оценку интенсивности отказов 1, так как 1 = = — .
t * t£
Однако 1 является смещённой и неэффективной оценкой. Математическое ожидание оценки не сов-
Л Г
падает с соизмеримым параметром, так как т{1} =-1.
г -1
t Г - 1
Несмещённая оценка получится, если взять 1 =-, но дисперсия несмещённой оценки оказывается равной
М = 12
(16)
г 1
г - 2
и оценка 1 остаётся неэффективной.
2.3. Доверительный интервал среднего времени безотказной работы.
Полученная в разделе 2.2 оценка среднего времени безотказной работы г является точечной оценкой искомого параметра t*. Эта оценка является случайной величиной, которая в конкретном испытании может принять любое положительное значение от 0 до ^. Поэтому в дополнение к точечной оценке обычно определяется интервальная оценка измеряемого параметра. Имеется в виду, что
по одной оценке Г * определяется доверительный интервал (Г * н ,г' в ) , в котором находится истинное значение измеряемого параметра t * с заданной доверительной вероятностью
Р { Г'н < Г*< Г'в }= У, (18)
где у - доверительная вероятность (или коэффициент доверия); ГН и Г*В - соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала.
^-1-1-1->
г в
Рис. 3. Доверительный интервал
Для определения доверительного интервала надо знать (найти) функцию распределения вероятностей оценок Г * . Для этого преобразуем выражение (17) для того, чтобы в нём использовались нормированные величины.
¡'Н = Г (1 -е1) Л
, при этом Г в * —гн * = Г * (£ + £2) - длина интервала.
¡В = Г '(1 + £ 2)
Тогда (17) перепишется в виде
Р { Г * (1 — £1) < Г*< Г * (1 + £2)}=У. (19)
С учётом того, что Г* > Г * (1 — £1),
Г * Г *
Г*< Г * (1 + £2) или Г* < -——, Г*>
1 — £1 1 + £2
выражение (19) примет вид
РГ* <-Г— 1 = у, или Р < — < — \ = У . (20)
[1 + £2 1 — £1 \ [1 + £2 Г * 1 — £1 \
Г * Г *
Таким образом, необходимо найти ФПВ величины — : м>(— ).
Г * Г *
Из (9) можно определить, что суммарное время наработки на отказ равно
Н = Г *г = I (п — 1 + 1)у . (21)
1=1
ФПВ интервалов у известна (1)
п—1+1
Г * -у „
У) = 7-"ТТе Г* , У > 0. (22)
(п — 1 +1)
В этом законе необходимо заменить переменную, чтобы получить стандартное распределение вероятностей с дисперсией, равной 1. Обозначим через
0
Г
Г
Г
н
Г
п - г +1 _ dy, Ь =--2 у,; —
t *
t *
2(п -1 +1)
(23)
1
Тогда ) = — е 2 - экспоненциальное распределение с единичной дисперсией. Извест-
I— Г
но, что в этом случае имеет гауссовское распределение, а £имеет распределение %2(2г) с
,=1
2г степенями свободы, которое широко используется в статистике для обработки экспериментальных данных.
С учётом (21) и (23)
Введём переменную
,=1 t
* 2^ 2гt * х = £ ь = — =-.
¡=1 , t * t *
(24)
(25)
X имеет распределение % (2г) с 2г степенями свободы; г - число отказов.
Распределения %2(2г) табулированы. Для большого числа степеней свободы это распределение стремится к нормальному.
11
Пусть -= a2 и-= al, тогда выражение (20) для доверительного интервала преобра-
1 + е,
1
зуется к виду
Р{ 2гa2 < х < 2гa1 }= g .
(26)
На рис. 4 показана ФПВ % , заштрихованная площадь под кривой представляет собой доверительную вероятность у (вся площадь под кривой ФПВ, как известно, равна единице). Как видно из рисунка, доверительный интервал можно расположить на оси х по-разному, то есть решение задачи неоднозначно.
ъ(х)
%2+у (2г)
%2-у (2г ) X
Рис. 4. Функция плотности вероятностей %
Обычно поступают так, чтобы границы интервала отсекали справа и слева одинаковые площа-
1 -у
ди под кривой, равные
2
Тогда нижняя граница доверительного интервала
2
2
„ 2 /Т \ это ч
Х1-У (2г)-»
1—У 1 %-^ точка распределения с 2(2г),
а верхняя граница доверительного интервала
%2+1 (2г) [ 1+1
% ^ точка распределения с (2г), значения которых определяются
по таблицам квантилей с (2г) распределения. Затем на основании (26)
р| (2г) < Т < с2_1 (2г) \ — у, или Р-
I 2 2
*
%2+У (2г) <—(2г)
. 2 t 2 .
— у, или
Р
2Й'
< t <
2гГ*
х2-у (2г) х2+у (2г) „ 2 2 , Из (27) очевидно, что нижняя граница доверительного интервала равна
— у.
(27)
^ > ■
2гГ
с2-у (2г)
• — t н ,
(28)
а верхняя граница, соответственно, равна
2гР
%2+у (2г) 2
— t В .
(29)
Таким образом, процедура определения верхней и нижней границ доверительного интервала сводится к следующему:
1. Перед испытанием задаётся г - число отказов и у - доверительная вероятность.
2. В процессе испытаний определяется ^ (суммарное время наработки на отказ ^ — Н *).
3. По формулам (28), (29) вычисляются tв * и tн *. 2.4. Длительность испытаний.
Длительность испытаний Т = tг, то есть совпадает с моментом г-го отказа, когда испытания прекращаются. Для процедуры испытаний (п, Б, г) - это случайная величина. В то же время знание сроков проведения испытаний является важным как для исполнителей, так и для руководителей испытаний.
г
Функцию плотности вероятностей м>(Т) найти трудно, так как Т — tг — £ уг , а величины уг раз-
г—1
нородны (распределение уг зависит от г (1)). Поэтому определим только среднее значение времени испытаний и его дисперсию.
Среднее время испытаний
г г 1
т(Т) — ) — £ т{у1} — ? • £-—
,—1 ,—1 п - г +1,
то есть больше, чем оценка среднего времени безотказной работы V . Запишем (30) в виде ряда
(30)
2
2
п 1
т(Гг) = Г I -
к=п—г+1 к
где к = п — 1 +1, тогда при 1 = 1 к = п, а при 1 = г к = п — г +1.
т 1
Обозначим ф(т) = X —, тогда т(ГГ) = Г *[ф(т) — ф(п — г )].
к=1 к
Известно, что при т >> 1, функция ф(т) » 1п т . Значит, если г >> 1, то среднее время испытаний
т(Т) = т(ГГ) » Г * • 1п
п
п — Г
(31)
Если
п = Г, то т(Т) = т(ГГ) = Г * • ф(п) = Г * • 1п п. Дисперсия времени испытаний равна
Г г 1
1
М 2(Гг ) = X М 2( у,) = (Г*)2 X
1=1
=1(п — 1 +1)2
Обозначим
тогда
т 1 р2
ф(т) = Хтт; ф(¥) ^^;
к=1к2 6
М 2(Гг ) = (Г *)2[ф(п) — ф(п — г )].
Если п = г, то
М2(Гг) = (Г-)2 • ф(п) ® (Г*)
• \2 Р
6
(32)
(33)
(34)
То есть дисперсия времени испытаний уменьшается с увеличением Г, но эта процедура не очень эффективна, так как дисперсия стремится не к нулю, а к некоторому постоянному числу (как будет видно в дальнейшем, более эффективной процедурой испытаний является процедура с заменой отказавших блоков).
2.5. Оценка среднего времени безотказной работы (процедура [п, В, г]).
Рассмотрим испытания системы на надёжность по процедуре [п, В, г], когда отказавшие системы заменяются или восстанавливаются. В остальном задача аналогична рассмотренной в разделе 2.1.
В результате испытаний получена выборка моментов отказов и интервалов между отказами (рис. 5).
У1 У2 У3 ... у1 Уг
—>
0 г1 г2 г3 г1 гг г
Рис. 5. Моменты отказов и интервалы между отказами
Модель отказов для одной системы
w(t) = 1-е"1г, Г > 0, 1> 0, (35)
или 60
1 -А
w(t) =--e '* , t > 0,
t *
где t* - среднее время наработки на отказ. Решение задачи.
1. Теперь выборка интервалов yi = ti — ti-i однородна, и каждый интервал подчиняется закону
w(yi) = п-1-е~n1y' . (36)
где n-l - общая интенсивность отказов систем, участвующих в испытаниях.
2. Для определения оценки среднего времени безотказной работы t* также используем метод максимального правдоподобия (МП).
В условиях решаемой задачи функция правдоподобия представляет собой закон распределения интервалов y при данном значении параметра t
r
■т-л — П
r ( п \ r — Х-^Ук
Ly(t*) = Пw(Ук) = У - e k=1 . (37)
3. Оценка t * по максимуму правдоподобия определяется как параметр, соответствующий максимальному значению функции правдоподобия
dlnLy(t*) =—r__Х = 0.
dt * = t * (t*)r' ¿1Ук = '
тогда оценка
n JL n -1
t* = -I Ук =
r
m=1 r • (38)
где n • tr = t^ - суммарная наработка на отказ, общая для обоих планов испытаний.
h
Отсюда следует, что t* = — , и значит, качество оценки такое же, как и при процедуре [n, Б, r]
r
при одинаковых tS и r.
4. Полученная оценка является несмещенной, так как
П r
m{t*} = -1щ{yk } = t * , (39)
r к=1
и эффективной, так как
,2 г г г
■ *
г2 7
5. Средняя продолжительность испытаний равна
s2{?*} = ^ I s2{ Уг} = ^ (40)
г г
Щ{*г} = IтЛУк} = —* *. (41)
к=1 П
Если г = п, то т1{*г} = **, то есть меньше, чем для процедуры [п, Б, г], когда она была равна (I* 1п п ). Дисперсия продолжительности испытаний равна
\2
r Г
M2{tr ) = IM 2{ yk } = —(t*)2. (42)
Если n = r, то M2{tr} =- и стягивается по n, чем больше участников испытаний, тем меньше
n
M2 {tr}. Следовательно, по сравнению с процедурой испытаний [n, Б, r] рассматриваемая процедура более эффективна.
ЛИТЕРАТУРА
1. Левин Б.Р. Теория надёжности радиотехнических систем. М.: Сов. радио, 1978. 264 с.
Филиппов Борис Иванович - Boris I. Filippov -
кандидат технических наук, доцент кафедры Ph.D., Associate Professor,
«Защита информации» Новосибирского Department of Information Security
государственного технического университета Novosibirsk State Technical University
Статья поступила в редакцию 15.02.16, принята к опубликованию 15.06.16
