Антигравитация в классической и интуиционистской теориях гравитации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 83-87.

УДК 530.12:531.51 А.К. Гуц

АНТИГРАВИТАЦИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ И ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

Показано, что общая теория относительности и ее интуиционистское обобщение описывают не только явление гравитации (притяжение), но и антигравитации (отталкивание), которые являются проявлением искривлености пространства-времени. Приводится семейство пространств-времен, т. е. семейство 4-мерных бран в 5-мерном балке, в которых при движении в балке сила гравитации меняет знак, т. е. притяжение заменяется на отталкивание.

Ключевые слова: антигравитация, общая теория относительности, интуиционистская теория гравитации.

Физика развивалась как наука о материи, которая обладает универсальным свойством, именуемым гравитацией, т. е. взаимным тяготением, притяжением тел.

Однако для физика, считающего для себя важным время от времени философски вглядываться в природу вещей, картина Природы, допускающей только притяжение тел без возможности их отталкивания, представлялась неполной.

Фридрих Энгельс в книге «Диалектика природы», о которой хорошо отозвался Эйнштейн, писал: «Обыкновенно принимается, что тяжесть есть наиболее всеобщее определение материальности, т. е., что притяжение, а не отталкивание есть необходимое свойство материи. Но притяжение и отталкивание столь же неотделимы друг от друга, как положительное и отрицательное, и поэтому уже на основании самой диалектики можно предсказать, что истинная теория материи должна отвести отталкиванию такое же важное место, как и притяжению, и что теория материи, основывающаяся только на притяжении, ложна, недостаточна, половинчата» [1, с.193].

Что говорит физика о гравитации и антигравитации в начале XXI в.?

1. Гравитация

Под гравитацией имеется ввиду свойство тел притягивать друг друга.

Ньютон писал: «Под словом “притяжение” я разумею здесь вообще какое бы то ни было стремление тел к взаимному сближению, происходит ли это стремление от действия самих тел, которые или стараются приблизиться друг к другу, или которые приводят друг друга в движение посредством испускаемого эфира, или это стремление вызывается эфиром или воздухом, или вообще какою-либо средою, материальною или нематериальною, заставляющей погруженные в нее тела приводить друг друга в движение» [2, с. 244]. Причину «свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезою, гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам, не место в экспериментальной философии. В такой философии предложения выводятся из явлений и обобщаются помощию наведения. Так были изучены непроницаемость, подвижность и напор тел, законы движения и тяготение. Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря» [2, с. 662].

М.В. Ломоносов в свое время возражал против теории гравитации Ньютона поскольку не мог согласиться, что одно тело действует на другое

© А.К. Гуц, 2012

на расстоянии без каких-либо промежуточных агентов. Он говорил о том, что причиной проявления притяжения является «тяго-тительная материя», наполняющая Вселенную. Взаимодействие частиц этой материи с телами и вызывает эффект тяготения друг к другу. В 1782 г. Ж. Лесаж предположил, развивая мысль Ломоносова, что всю вселенную заполняют бесчисленные очень малые «мировые» частицы. Они двигаются хаотически во всех направлениях с очень большими скоростями и при соударении с телами передают им свой импульс. Тела являются друг для друга экраном от этих частиц и разница переданных импульсов создает силу тяготения этих тел.

В какой-то мере Ломоносов и, особенно, Лесаж предугадали, что квантами гравитационного взаимодействтя являются гравитоны и гравитино.

2. Классическая теория гравитации Эйнштейна

Общая теория относительности (далее -ОТО) создавалась Эйнштеном как теория гравитации, т. е. притяжения.

Основой ОТО являются уравнения Эйнштейна1

„ 1 „ 8яв ^

~~ --------- Tik. (1)

2 с

Общая теория относительности трактует гравитацию как кривизну пространства-времени. Потенциалы гравитационного поля gk, а их десять, - это метрика пространства-времени, или, на языке дифференциальной геометрии, - первая квадратичная форма, с помощью которой измеряются длины мировых линий, площади и объемы областей, (внутренняя) кривизна.

ОТО дает объяснение природе гравитации (притяжению), говоря, что мы наблюдаем силу притяжения, поскольку тело оказывается в точке пространства-времени с ненулевой кривизной. Кривизна пространства-времени и есть причина гравитации2.

Поскольку никто не наблюдал падающих вверх вещей, то вопрос, может ли кривизна проявиться как отталкивание, как-то выпадал из внимания. Все силы исследователей были направлены на проблемы тяготеющей материи, и хотя сам Эйнштейн, вводя космологическую постоянную Л и записывая уравнения поля в более общем виде г. 1 п л 8пО

- 2 gkR + М* =—Г Тгк, (2)

2 с

ввел в теорию антигравитацию на большом расстоянии, а Гильберт [4-6] и Бауэр [7] обнаружили ее на малых расстояниях, все эти странные, непривычные проявления кривизны не считались характерными для общей теории относительности и поэтому не включались в учебники.

Обнаружение темной энергии, т. е. антитяготеющей материи говорит нам о том, что общая теория относительности не есть теория только тяготеющей материи, а есть теория пространства, времени и материи. Материя искривляет пространство-время и кривизна проявляется то как притяжение, то как отталкивание.

Источником гравитации являются вещество и поля; источником антигравитации

- космологическая постоянная и темная энергия. Уравнения Эйнштейна связывают кривизну пространства-времени с материей (вещество и поля, темная материя, космологическая постоянная и темная энергия). Поэтому кривизна проявляется или как гравитация (притяжения), или как антигравитация (отталкивание).

Тем самым Эйнштейн построил теорию пространства, времени и материи, о необходимости которой писал философ-диалектик Энгельс.

2.1. Антигравитация

Под антигравитацией имеется ввиду свойство тел отталкивать друг друга. Иначе говоря, явление отдаления одного тела от другого. Причем это отталкивание никоим образом не обязано наличию у этих тел одноименного электрического заряда.

2.2. Космологическая антигравитация

Эйнштейн ввел в общую теорию относительности космологическую постоянную в 1917 г. при построении модели Вселенной. Вселенная, по мнению Эйнштейна, должна была быть статичной и пространственно замкнутой. Для того чтобы получить нужную модель, ему пришлось подправить уравнения гравитационного поля, добавляя к ним член gikЛ .

Модифицированные уравнения поля были записаны в виде (2).

Космологическая постоянная означала наличие отрицательного давления, сказывающегося на больших расстояниях и препятствующего гравитационному сжатию материи во Вселенной. Другими словами, космологическая постоянная означала наличие антигравитационных сил на больших расстояниях.

Позже, благодаря статье Фридмана, в которой были найдены нестационарные модели Вселенной с расширяющимся пространством, Эйнштейн отказался от необходимости учитывать космологическую постоянную.

2.2.1. Модель Вселенной Фридмана

Однородная и изотропная Вселенная может быть описана нестационарной (т. е. зависящей от времени) метрикой специального вида (так называемая метрика Фрид-мана-Робертсона-Уокера)

ds2 = c2dt2 - a2(t) x

dr2

1 - Kr2

r 2sin

2ф dq>2

(З)

К = -1,0,+1, где постоянная к определяет одну из трех возможных геометрий пространства (плоское К = 0, постоянной положительной кривизны, К = +1, постоянной отрицательной кривизны К = —1), а функция а (ґ) - масштабный фактор, зависящая от времени величина.

Подставляя метрику (3) в уравнения Эйнштейна (2) с тензором энергии-импульса для идеальной жидкости в правой части:

Tk =(c P+ p)UuUk - pg ik ,

(4)

получаем уравнения. Фридмана для эволюции масштабного фактора:

а

a

'а

a

8nGp

3

4nG

a

з p P + “

Л^

Лc2

и уравнение неразрывности:

dJP = -5H (p + Ц

dt ^ c

где H = ala - <<постоянная>> Хаббла.

(Б)

(6)

(7)

2.2.2. Статичная Вселенная Эйнштейна

В случае статичной Вселенной, так как когда a = const и Л = 0 имеем H = a/a = 0 , a/a = 0 и

р = -3р=8лЬ |8)

Из (8) следует, что либо р, либо p отрицательно.

Эйнштейн, строя в 1917 г. модель статической Вселенной, чтобы обеспечить положительность р и p, ввел в уравнения поля космологическую постоянную. Тогда при p = 0 и Л Ф 0 из уравнений (5), (6) вытекает, что

P

h^c2

(9)

4яО а~

Поскольку Р >0, то Л >0. Значит К = +1, т. е. пространство является 3-мерной сферой с радиусом а = 1/\/Л".

Тяготение стремится собрать все вещество в точку, но мы имеем радиус Вселенной неизменным. Следовательно, космологическая постоянная обеспечивает противодействие притяжению и действует как антигравитация.

2.3. Гильбертово отталкивание

В 1917 г. Гильберт сделал выдающееся открытие - он обнаружил гравитационное отталкивание в поле Шварцшильда [4- 6]. Удивительно, но об этом никогда не упоми-

нается в многочисленных учебниках по общей теории относительности.

Радиальная компонента уравнений геодезических в пространстве-времени Шварцшильда

ds 2=(1 -

dr2

1-

2m

- r 2(dd2 + sm2edq>2\

где m = GMIc2 имеет вид (а = 2m):

d 2r

За

dr

а^ - а)

2r3

dt 2r( r -а)

Запишем первый интеграл:

(10)

= 0. (11)

dr

r-а

r -а

(12)

г ) ^ г

где константа А отрицательна для массивной пробной частицы и равна нулю для фотона.

Уравнение (11) показывает, что радиальное ускорение либо отрицательно, либо положительно. Другими словами, гравитация (кривизна) действует либо как притяжение к центру г = 0, в котором находится точечный источник т гравитационного поля, либо как отталкивание от центра в зависимости от абсолютной величины скорости частицы.

Если

<

1 r-а

V3

то имеет место притяжение, а если

>

1 r -а

л/з r

- наблюдается отталкивание.

(13)

(14)

3. Интуиционистская теория гравитации

В [8] была предложена теория гравитации, основанная на неклассическом дифференциальном исчислении Кока-Ловера.

Переход от классического дифференциального и интегрального исчисления к анализу Кока-Ловера означает переход от классической двузначной логики к интуиционистской логике.

Место поля вещественных чисел 1Я занимает коммутативное кольцо Я, элементами которого кроме вещественных чисел являются бесконечно малые величины (ин-финитезималы).

Теория множеств не может уже служить способом интерпретации объектов такой теории, и приходится использовать теорию то-посов. Топосные модели представляют окружающий нас Мир более многогранным, многовариантным, наделенным новыми физическими свойствами. В топосной модели каждая физическая величина размножается, предстает в бесчисленном количестве клас-

сических вариантов. Иначе говоря, Мир, Вселенная предстает в бесчисленном количестве вариантов, каждый из которых подчинен классической логике. Интуиционизм теории проявился во множественности вселенных. Это соответствует семантике Крипке.

Таким образом, предлагаемая интуиционистская теория гравитации является теорией гравитации Мультиверса (multiver-se), т. е. теорий, в которой Мир описывается как бесконечное множество взаимодействующих вселенных (universes).

Lop

В топосе Sets , где L - категория гладких колец вида IA = C “ (IRm )/I, I - конечно-порожденный идеал, каждый вариант интуиционистской физической величины v описывается с помощью классической величины v(lA), относящейся к гладкому кольцу IA . Это называется «величиной v в стадии IA ».

Бесконечно малые величины, инфини-тезималы, - это элементы объекта

D = {d : d2 =0} , которые могут быть проинтерпретированы в стадии C“ (IRm)/I как гладкие функции d(a) е C“ (IRm), d 2(a) e I.

Какая физика может нас ожидать, если мы рассмотрим уравнения Эйнштейна, в правой части которых стоит бесконечно малая (инфинитезимальная) плотность материи?

3.1. Решение уравнений Эйнштейна

Рассмотрим интуиционистские уравнения Эйнштейна с ненулевым почтивакуум-ным тензором энергии-импульса:

^ 1 , г. 8жО

Rik -- ga(R - 2Л ) = —г р• uUk, (15)

2 с

_ u k 1 g,ku u =1,

где плотность материи р = d е D - произвольно взятый инфинитезимал.

Неклассическая плотность вакуумной материи согласуется с привычным занулением правой части уравнений Эйнштейна в случае вакуума в общей теории относительности, поскольку в классическом случае d = 0.

Неклассическое сферически-симметри-чное решение уравнений с инфинитези-мальной плотностью материи р имеет вид

ds 2 =

1-

(кс1 р- 2Л) r

.2 Л

(Л + кс 2р)г2

dr2 - r2(dd2 + sin20^dq>2),

u=

1

0,0,0

(кс2р - 2Л)r2

2Лр = кс2р2, к = 8пО/с4,

Л - необратимая величина кольца Я.

В стадии 1 = 1С“ (1Я)/(х) эта метрика совпадает с метрикой пространства-времени Минковского. Грубо говоря, неклассический «пылевидный» вакуум имеет «бесконечно малое» слабое гравитационное поле. Это решение в стадии

Ор = 1С “ (1Я)/{ар+1} принимает вид:

ыа) = I+£ (кс'Рк;2Л к) • г,

gn(a) = -

г

1 -I

(кс2рк +Лк) ^ r2ak

(16)

g22(a) = - r, gss(a) = -r sin20.

Оно удовлетворяет уравнениям

Rk(a) - 2 g л ( a )[ R( a ) - 2 Л ( a )] =

8nG

р(a) • u (a )uk (a )mod (ap+1), (17)

где

^■(a) = 1Л kak, р(с! ) = Ik

ak.

k=1

k=1

3.2. Антигравитация

Для решения Шварцшильда-Котлера

(16) в стадии £С“(1Я)/{а3} , когда Л,р зависят только от одной переменной, например, от а е 1Я [1, с. 295], рассматривая случай Л = Л1а,р = р2 а2, имеем

goo(a) = 1 + “(кс2 р2а - 2Л1)аг2.

6

Тогда гравитационная сила в постоянном поле [9, с. 327]

а =^= \--Ь +

1 - с-

дхв

(§ V >0в

дха

\6 00 J

действующая на пробную частицу, равна

fr = -

тс

[Кс2р2a - 2Л1J ar

6^1 - v2 /с2

1 +—(кср^ - 2 Л1 )ar2 6

по mod (a ),

f = fo =0. Следовательно3,

fr = -

mc

6>A - v2/^

кс 2р2 - -3 Л;2r2 j a -2Л1

ar,

k=1

3

k=1

/9 = Л = 0.

Пусть р2 >0 , т. е. плотность материи

положительна.

Если г Ф су](3/2)кр2/ | Л1 |, то на каждой

сфере радиуса г при переходе изменяющегося параметра а через значение

а(г) = 2Л1/(кс2р2 - 2/3 К^г2) направление вектор-силы / меняется на противоположное, т. е. гравитационное притяжение заменятся на гравитационное отталкивание.

На сфере г = с^(3/2)кр2/ | Л1 | гравитация переходит в антигравитацию при переходе а через значение а = 0 .

Таким образом, можем наблюдать антигравитацию для любого г > 0 .

Заметим, что метрику (16) можно рассматривать в рамках классической теории гравитации, гравитационная сила, действующая на пробное тело, для которой вычисляется также с помощью формул, данных для /г, /о .

В этом случае очевидно, что можно подобрать функции Л = Л1а,р = р2а2 так, что р2 >0 , а /г меняет знак в точках а = 0 и

а = 2Л1/(кс 2р2) внутри обширной пространственной области с радиусом

г < с^6кр2/ | Л1 |4, т. е. притяжение к центру г = 0 заменяется отталкиванием от центра г = 0 , причем плотность материи, представляющая собой покоящуюся пыль, всегда положительна.

При переходе через а = 0 меняет знак космологическая постоянная, и наблюдаемую смену гравитации на антигравитацию можно расценивать как проявление космологического отталкивания. Но при переходе

через точку а = 2Л1/(кс2р2) космологическая постоянная сохраняет знак, а значит мы имеем иной тип антигравитации.

Если г > с^6кр2/ | Л1 |, то знаменатель

выражения для /г остается положительным при

а > а+ (г) = —2— [Л1 +4л\ - (6кс2р2/г2) ] кс —

или

а < а(г) = —2—[Л1 -у/л2, - (6—с2—2/г2)].

—с —

При Л1 >0 имеем а+ (г)< 2Л1/( —с2—2).

Следовательно, для любого г > с-^6—2/Л1 параметр а , изменясь в некотором (достаточно малом) интервале

(2Л1/(—с2 — 2) - £(г), 2Л1/(— с2— 2) + е(г)) изменит знак величины /г, меняя тем самым притяжение на отталкивание.

При Л1 <0 имеем 2Л1/(—с2—2) < а_(г).

Следовательно, для любого г > с у] 6к—2/Л1 параметр а, изменясь в том же интервале, также поменяет знак гравитационной силы.

Параметр a, как в классическом случае, так и в интуиционистском, можно рассматривать как 5-ю координату. Получаем, что при смене браны по мере продвижения в 5-мерном балке гравитация заменяется на антигравитацию. Уравнение для балка в интуиционистской теории гравитации — это уравнения для физических констант, зависящих от a [8]. В классическом случае прибегают, как правило, к многомерным обобщениям общей теории относительности.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Впервые точный вид уравнений гравитационного поля нашел Гильберт, выписав их в открытке, посланной Эйнштейну.

2 Впрочем, Мак-Витти считал, что сказать, «что тяготение есть проявление кривизны четырехмерного геометрического многообразия, это значит объяснить некоторую тайну с помощью загадки и придать физическое значение одной из математических функций, полезной при описании физической ситуации» [3, с. 24]. Иначе говоря, кривизна, по его мнению, как и поле, например, гравитационное, - это не более чем вспомогательное средство при вычислениях [3, с. 25].

3 Используется формальная формула:

—1— = 1+a + a2 + a3 +... = 1 + a + a2(mod(a3)). 1-a

4 Неравенство получено как условие положительности знаменателя в формуле для fr при любом a.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Энгельс Ф. Диалектика природы. М. : Государственное издательство политической литературы, 1953.

[2] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М. : Наука, 1989.

[3] Мак Витти Дж. Общая теория относительности и космология. М. : ИЛ, 1961.

[4] Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Оцйтдег Nachr. 1915. S. 395 (Erste Mitteilung, vorgelegt am 20. Nov. 1915).

[5] Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Math. Annalen. 1924. B. 92. S. 1-32.

[6] Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Berlin: Dritter Band (Verlag von J. Springer), 1935. P. 258.

[7] Bauer H. Mathematische Emltl^ng in die Gravi-tationstheorie Einsteins. Leiptzig, 1922.

[8] Гуц А. К. Элементы теории времени. М. : Издательство ЛКИ, 2011.

[9] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М. : ФМ, 1967.