CC BY
57
УДК 152. 972
Е.А. Митюшов
Уральский государственный технический университет
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ И КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНОСТИ
Abstract
The orthonormed bases for different symmetry types and anisotropic properties of sixdimensional space were found. Moreover, the phenomenological criteria of limitation for different anisotropic elasto-plastic materials were obtained.
Анизотропные тензорные пространства
Следуя работе [1], рассмотрим шестимерное пространство
S = symE ® E е T2 = E ® E симметричных тензоров второго ранга. Здесь E - векторы
3-мерного евклидова векторного пространства E3.
В шестимерном пространстве S существует такой ортонормированный базис
ш (к) (к = 1,2,...,6), при котором любой симметричный тензор второго ранга а
представим в виде
а = У а кш(к), ш«-ш(г )=ш5к)ш5; )={0, к *l,
к= к 13 13 [i, к=г
где а к е R - координаты симметричного тензора в данном тензорном базисе.
При этом
а к = а • ш(к).
Помимо линейных операций сложения тензоров и умножения тензора на число введем операцию умножения двух тензоров в фиксированном базисе ш(к) (к = 1,2,...,6).
Определение 1. Произведением двух симметричных тензоров второго ранга а и в в базисе ш(к) (к = 1,2, ...,б) называется тензор ав е S, определяемый равенством
аР = ]С аквкш(к),
к=1
где ак, вк - координаты тензоров а и в в базисе ш(к) (к = 1,2,...,б).
Дадим еще одно определение.
Определение 2. Директором ортонормированного базиса ш(к) (к = 1,2,...,б)
называется тензор
ш = ]Г ш(к). к=1
Базис ш(к) (к = 1,2,. ..,б) инвариантен относительно преобразований симметрии
векторного пространства E3.
В случае ортотропной симметрии ортонормированный базис
Ш<‘> 0 0 ш12) 0 0 ш1з) 0 0
Ш<‘> = 0 Ш« 0 , Ш(2) = 0 Ш<2> 0 , Ш(з) = 0 ш2з) 0
0 0 Ш« 0 0 Ш(з2) 0 0 шзз)
(4) 1
Ш'' ; =
42
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 , Ш« = -!= 0 0 0 , Ш<6)=' 1 0 0
42 -У2
0 1 0 1 0 0 0 0 0
Используя кватернионное представление числовых троек (ш(; составляющих ортонормированный базис в пространстве Я3 [2], имеем
(к) Ш(к)
Ш 2 , Ш з
Ш(1) =
Ш(2) =
Ш(3) =
2,2 2 2 Р0 + р1 - р2 - р3
0 0
0
0
2ІРіР2 — Р0Рз) 0
0 2(0 Р2 + РьРз)
2(0 Рз + Рі Р2 ) 0
0
2 2,2 2 Р0 - Р1 + Р2 - Р3
00
2(1 Рз - Р0 Р2 ) 0
0 2(0 Рі + Р 2 Рз)
0
0
0 0
2(2Рз - Р0Рі) 0 0
2222 Р0 - Р1 - Р2 + Рз
(4) 1
Ш ; = —
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 , Ш« = -!= 0 0 0 , Ш(6>=-!= 1 0 0
42 42
0 1 0 1 0 0 0 0 0
При этом р0 + р2 + р2 + Рз = 1-
Ортотропия при объемной изотропии (один из базисных тензоров является шаровым)
Ш(1)=-^
1
4з
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ш(2 ) =
1
42^
1 + 42 + 42
1 0 0
0 42 0
0 0 — 1 — 42
,ШМ =
1
1 + 4з + 4з
1 0 0
0 4з 0
0 0 — 1 — 4з
(4) 1
Ш ; = —
1
72
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 , Ш« = -!= 0 0 0 , Ш(6> = -!= 1 0 0
0 1 0 42 1 0 0 42 0 0 0
где 4 2,з = ґ ±
VI
+ ґ + ґ
2
Тетрагональная симметрия и трансверсальная изотропия
ш(1) =
V2+42
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 , ш(2)=- 1 0 1 0 (3) 1 , ш''-' = —= 0 -1 0
0 0 41 V2+4 2 0 0 42 42 0 0 0
1
ш(4) =
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 , ш(5)=-^ 0 0 0 , ш(б)=-^ 1 0 0
’ 42 ’ 42
0 1 0 1 0 0 0 0 0
где ди = і ±
УІ2
+ і
Кубическая симметрия
ш(1)=-^
1
43
(4) 1
42
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 (2) 1 ш'■' = —= 0 1 0 (3) 1 , ш ; = —== 0 -1 0
46 42
0 1 0 0 - 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 . ши=4 0 0 0 (6) 1 , ш; = —==■ 1 0 0
л/2 42
0 1 0 1 0 0 0 0 0
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что полученные базисы являются ортонормированными.
Можно также убедиться, что при соответствующих преобразованиях симметрии
пространства Е3 произведение тензоров не меняется, а скалярное произведение а • в -
это скалярное произведение тензора ав с директором тензорного базиса, то есть:
а • в = (ав) • ю .
Определение 3. Анизотропным тензорным пространством Б называется тензорное пространство Б, в котором введена операция умножения двух тензоров в фиксированном тензорном базисе.
В пространстве Б выполняются аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей и делителями нуля:
1. а + в = в + а;
2. (а + в) + 5 = а + (в + б);
3. 3 0: а + 0 = а;
4. УаеБ 3(-а):а + (-а) = 0;
5. ав = ва;
6. (ав)б = а(вб);
7. (а + в)б = а8 + в5;
8. аю - а.
Кроме того, для элементов, не являющихся делителями нуля:
9. Уае Б (Л!-! а к * 0)3 а-1 : аа- = ю ;
10. в = ар-‘ (П6=Д *0).
Директор базиса - это тензорная единица пространства S , а в силу принятых аксиом в этом пространстве можно выполнять алгебраические, функциональные, дифференциальные и интегральные операции.
Легко проверяются алгебраические тождества
(a + ß)2 = а2 + 2aß + ß2; а-1 - (а + ш)-1 = а-1 (а + ш)-1, =ак ^ 0, а ^ -ш .
В тензорном пространстве S может быть введена метрика, при этом расстояние между двумя точками (элементами) пространства определим формулой
р(а',а") = л/а'-а",
а также может быть введен угол разориентации между двумя тензорами а' и а" соотношением
а'-а "
Ф = arccos-
л/а'-а/л/аЛа"
Аналогичным образом может быть определено анизотропное пространство Т4 = Б ® Б тензоров четвертого ранга, симметричных по первым двум и последним двум индексам и парам крайних индексов. Базисом данного пространства, инвариантным относительно преобразований симметрии векторного пространства Е3, является система ш(к) ® ш(к) ( = 1,2,... ,б), а тензорной единицей - тензор
I = Т ш(к )®ш(к) или Іі]тп = ш(к )ш(к)
При этом
IJ mn
k—1 k—1
»<kWk).„<■ Wi >—4^«4>«£П —Г к*'.
11, k — l
Анизотропные тензор-функции тензорного аргумента
Областью Б е Б анизотропного тензорного пространства Б назовем
6
множество тензоров а = Г акш(к), ак є Мк е ^ .
к=1
Будем говорить, что в области Б пространства Б задана анизотропная тензор-функция / (а) соответствующей симметрии, если указан закон, по которому каждому
тензору а из Б ставится в соответствие тензор /(а) є Б . В базисе ш (к) (к = 1,2,. ,6)
этот закон может быть представлен в виде
/(а) = Г Фк (аь а 2 , • • ^ а6 )ш(к) , Фк (а1, а 2 , • • ^ а6 ) = /(а) -ш(к),
к=1
где фк(а1,а2,...,а6) - скалярные функции, определенные при ак єМк .
Введем в рассмотрение элементарные анизотропные тензор-функции тензорного аргумента, как обобщение обычных элементарных функций, равенствами:
1. Степенная функция
,р = V а р ш(к)
а‘
k—і
2. Логарифмическая функция
ln а = ^ ln а k ш
(к)
k=1
3. Основная показательная функция
6 , . ,ak oo(k)
k=1
4. Тригонометрические функции
6 ( ) 6 ( ) sin а = ^ sin а k ш\к), cos а = ^ cos а k ш^)
k=i k=i
5. Полином
6 ( )
Pn (а) = / Pn (аk )o(k), n - целая степень тензорного полинома, Pn (ak ) -
k=1
полиномы над полем вещественных чисел.
6. Рациональная функция
Pn (а) Л Pn (аk) (k)
— / ч = / — / ’, n,m - целые степени тензорных полиномов.
Qm (а) k=1 Qm (а k) ’ ’ ^
Данная функция не определена для значений аk, являющихся корнями уравнений
Qm (а k )= °.
Нетрудно убедиться, что для введенных элементарных анизотропных тензор-функций выполняются аналогичные обычным элементарным функциям свойства
n ln а = ln а n, ln e а=а,
eаee = eа+в, sin2 а + cos2 а = о .
Аналогично определяется анизотропная тензорная функция тензорного аргумента в пространстве T4,
f(а) = /9k(а1,а2,...,а6)co(k)®Q(k) , 9k(а1,а2,...,а6) = f(а) -Q(k)®Q(k),
k=i
ае T4, f (а)е T4.
Критерии предельности
Воспользуемся предложенным математическим аппаратом для получения феноменологических критериев предельности некоторых анизотропных материалов.
Рассматривая пространство напряжений Z, элементами которого являются тензоры напряжения в данной точке анизотропного тела (оеЕс S), предельную поверхность представим равенством
f(a) -®= 1.
Для ортоторопных материалов, представляя, в частности, функцию f(a) тензорным полиномом второй степени
f (о) = ао2 +Pa
6
(а = ^аk^k), p = ¿pkш(k), °=ї°kш(k), о2 =Z°2ш(k)) k=1 k=1 k=1 k=1
-3
и совмещая векторы базиса пространства E с главными осями анизотропии, имеем
а1а12 +а 2а2 +а 3а2 +а 4а 2 +а 5 а2 +а 6 а2 +
+ в.1а1 +в 2 а 2 +в 3а 3 +в 4а 4 + в5а 5 +в 6 а 6 = 1.
В предположении, что предельное состояние инвариантно к смене заданного направления сдвига на противоположное, имеем
о о о о о о
а1а1 + а 2 а 2 + а 3 а 3 +а 4 а 4 + а 5 а 5 + а 6 а 6 + Р1а1 + в 2 а 2 + в3 а 3 = 1.
Данное феноменологическое уравнение предельной поверхности содержит девять размерных материальных констант и три безразмерных параметра,
определяющих вид базисных тензоров ш(к) (к = 1,2,3) анизотропного тензорного
пространства. При дополнительных гипотезах физического характера число
параметров, подлежащих экспериментальному определению, может быть уменьшено.
Для пространственно-армированного композита кубической симметрии, направления армирования которого совпадают с осями симметрии третьего и
четвертого порядка куба в Е3, с учетом возможного разрушения по разным
физическим механизмам (разрыв армирующих волокон при растяжении и потеря их устойчивости при сжатии) приходим, в простейшем случае, к четырехконстантной поверхности прочности в шестимерном пространстве напряжений
2 2 2 2 2 2 а1а1 +а2а2 +а3а3 +а4а4 +а5а5 +а6а6 +в1а1 = 1, а2 =а3, а4 =а5 =а6,
а1 =а-ш(1) =^= (а11 +а 22 +а 33 ), а 2 =а-Ш(2) =^= (а11 +а 22 - 2а 33 ^
а-ш(з)=—^(ап -а22), а4 = а-ш(4) = л/2а23, а5 = а-ш(5) =-\/2с
л/2
а 6 = а-ш(б) = V4а16.
Физический смысл материальных констант этого уравнения становится ясным, если рассмотреть четыре независимых напряженных состояния:
1) а11 =а22 =а33 = , а23 =а31 = а12 = 0;
2)а11 = а22 = а33 = - , а23 = а31 = а12 = 0;
3) а11 = -а22 = Т1, а33 = а23 = а31 = а12 = 0 ;
4) а 23 = Т 2, а11 = а 22 = а 33 = а 31 = а12 = 0,
где р + и р- - предельные напряжения всестороннего растяжения и сжатия; т1 и т 2 -предельные напряжения простого сдвига в плоскости, проходящей через оси симметрии второго и четвертого порядка, в направлениях осей второго и четвертого порядка соответственно.
Подстановка этих соотношений в уравнение поверхности прочности дает
3а1 р+ + л/эр1 р+ = 1; 3а1 р- - л/3р1 р- = 1; 2а2т2 = 1; 2а4т2 = 1,
откуда
1 п р- - р+ 1 1
а1 = о—; в1 =“7г—; а 2 =тг; а 4 =тг.
3 р+р- V 3 р+р- 2^ 2т2
При независимости предельного состояния от шаровой части тензора
напряжений при условии т1 = т2 = т, переходя к пятимерному пространству чистых
сдвигов [3], получаем простейшую поверхность прочности изотропного материала в
виде уравнения сферы в пятимерном пространстве
а 2 +а2 +а 2 +а2 +а2 = 2т2,
что соответствует широко применяемой энергетической теории прочности или условию текучести Губера-Мизеса-Генки математической теории пластичности.
Библиографический список
1. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. - 1984. - Т. 48. - Вып.3.- С.420 - 435.
2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 384 с.
3. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
Получено 15.06.2004
