Аналоговый метод непосредственного определения присоединенных масс на электромагнитных моделях Текст научной статьи по специальности «Физика»

У Ч Е НЫ Е З А Л И С К И Ц А Г И Т о м IX 197 8

№ 6

УДК 538.4:533.6.011

АНАЛОГОВЫЙ МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ МОДЕЛЯХ

А. О. ДшпмаНу В. Д. Савчук

Излагается новый метод определения коэффициентов присоединенных масс для тел произвольной формы при обтекании их несжимаемым, невязким потоком жидкости на основе установленных авторами соотношений между количеством движения, потокосцеплением и коэффициентом присоединенной массы.

Показано соответствие величин гидродинамической модели величинам предложенной аналоговой электромагнитной модели, и, в частности, соответствие коэффициента присоединенной массы потоко-сцеплению электромагнитного поля для индуктивной системы определенного вида.

Дано описание проверенных экспериментально способов и устройств для измерения коэффициентов присоединенных масс методом электромагнитогидродинамической аналогии (ЭМГА).

1. Рассматривается пространственное движение твердого тела в безграничной несжимаемой и невязкой жидкости. В этом случае исследование динамики движения тела связано с определением тензора присоединенных масс:

р — плотность жидкости; <рг, — потенциалы скорости возмущенного движения жидкости относительно связанной с твердым телом системы координат при его поступательных (1, 2, 3) или вращательных (4, 5, 6) движениях тела с единичными скоростями; о —поверхность тела; п — внешняя нормаль к поверхности тела.

Общеизвестна интерпретация коэффициентов присоединенных масс как составляющих тензора кинетической энергии [1, 2]. Определение составляющих тензора требует при этом знания единичных потенциалов <рг и которые обычно находятся решением шести задач Неймана для трехмерного уравнения Лапласа.

где

Менее распространена интерпретация коэффициентов присоединенных масс как составляющих тензора количества движения <3 [2]. Пусть твердое тело движется в 6-м направлении внутри контрольной поверхности, имеющей цилиндрическую форму, ось X которой совпадает с / — направлением, по которому определяется присоединенная масса тела (фиг. 1). Тогда составляющую количества движения, например, по оси х в объеме т, ограниченном

цилиндрической поверхностью о0 и поверхностью тела О, можно записать следующим образом:

0*=р1 Ухах = — Р |?я,<*о + р $ч>я0,«Ь0.

х а а0

Интеграл по боковой поверхности цилиндра о0 равен нулю вследствие того, что на этой поверхности п0х = 0. Интеграл по торцевым поверхностям цилиндра будет стремиться к нулю при удалении торцевых поверхностей на бесконечность, так как <р -*■ 0 при х ± оо. В более общем виде теорему можно сформулировать следующим образом: при поступательном движении тела коэффициенты присоединенных масс, соответствующие г'-му направлению, равны 1-й составляющей количества движения жидкости внутри бесконечного цилиндра с произвольным поперечным сечением, соосного с г-м направлением и содержащего тело, движущееся с единичной скоростью в 6-м направлении

Ра =—р$ Ук. (1)

Аналогично при вращательном движении твердого тела присоединенный момент инерции будет равен моменту количества движения жидкости, находящейся внутри тороидальной поверхности, охватывающей тело. Эта менее распространенная интерпретация при дальнейшем развитии позволяет разработать метод определения коэффициентов присоединенных масс, основанный на аналогии между гидродинамическим и электромагнитным полем.

Применим прием обращения движения в объеме, охваченном рассмотренной выше цилиндрической контрольной поверхностью (см. фиг. 1). В этом случае по ней должны быть распространены вихри с интенсивностью •(, соответствующей скорости обращенного течения жидкости при движении тела в 6-м направлении [3]. При внесении тела в контрольный объем, на однородное поле скоростей, созданное вихревым соленоидом, расположенным по контрольной поверхности, накладывается поле скоростей возмущения твердого тела: При этом вне контрольного объема существует только это поле. Используя теорему о роторе, представим

количество движения жидкости_в контрольном объеме через векторный потенциал скорости Л (К = го1 Л, сНуЛ = 0)

Проекция на ось .V разности количеств движения жидкости АС?Х в цилиндрическом объеме, включающем твердое тело, ((¿х)г и без тела (С^.)х

где VT — объем Тела, а штрихом отмечены величины, относящиеся к невозмущенному полю. Так как внутри твердого тела гоМ=0, то

На цилиндрической поверхности (см. фиг. 1) введем три единичных вектора ех, ег, ев, так что

ех X ^0 — &п

Учитывая, что ег — п, получим

ЛХп = Ахеь + А1)ёх

и для цилиндрической поверхности (ЛХ«)=4

Тогда с учетом того, что йя0^==Шйх соотношения (3), выражение (2) можно записать в следующем виде:

Так как по теореме Стокса циркуляция векторного потенциала скорости по заданному контуру равна потоку вектора скорости Ф через поверхность, ограниченную этим контуром:

то интеграл, где £ — величина ¿-й координаты, будем называть по-токосцеплением вектора скорости с поверхностью в направлении Понятие потокосцепление заимствовано из теории электромагнетизма, но имеет здесь несколько другой смысл (потокосцепление

Q = Р I rot Л dt = — Р J (Л х Я) da -f Р J (Л х «о) da0.

а

A Qx — (Qx)z (Q^)t —• р J (Л X п)х da j p j (Л'Х я)х dao —

(2)

(3)

a

ехУ^єг —

X “ ^JT>

a

A ex Ax -j- er Ar -j- Л#.

so

OO

AQAr=p j Aadl^dx— p j Atjdl\dx — pV0xVr. (4)

— 00

$Aedl = Ф;

J [j* Abdl\ d%= J®(S)dS-=«I»e*'t

не с витками, а с поверхностью). Тогда выражение (4) для произвольного направления поступательного движения тела можно переписать в виде:

ДС^ = РД<Р(.*, (5)

где ДЧ^— разность потокосцеплений вектора скорости, охваченного цилиндрической поверхностью при наличии внутри нее твердого тела и при его отсутствии.

При абсолютном движении твердого тела количество движения в цилиндрическом контрольном объеме соответствует присоединенной массе (1). Следовательно, в относительном движении для определения величины присоединенной массы необходимо из количества движения жидкости в контрольном объеме вычесть количество движения невозмущенного потока вектора скорости в том же объеме <3'.А:

^Qik~Qik =

Тогда с учетом (4), (5) выражение для присоединенной массы будет иметь вид:

^ = (6)

Таким образом, составляющие присоединенной массы, соответствующие /-му направлению для тел, движущихся поступательно в к-м направлении, равны разности ¿-х составляющих потокосцеплений однородного потока и потока, обтекающего тело в к-м направлении, с контрольной поверхностью, имеющей форму бесконечного цилиндра, соосного с г-м направлением. Этот результат позволяет получить простую аналоговую модель для определения составляющих тензора присоединенной массы.

2. Определение коэффициентов присоединенных масс методом ЭМГА можно выполнить несколькими способами [6, 7]. Здесь мы рассмотрим метод, основанный на применении в качестве модели гидродинамического поля электромагнитного поля ультразвуковой частоты, а в качестве моделей тел — геометрически подобных тел, выполненных из хорошо проводящих неферромагнитных материалов. Показано [7], что в этом случае вектор магнитной индукции В соответствует вектору скорости V, плотность тока в поверхностном слое металла г - интенсивности присоединенных вихрей 7, векторный и скалярный потенциалы вектора магнитной индукции Ав, <г(з — векторному и скалярному потенциалам вектора скорости А, 9, а ток в проводящей среде /—циркуляции вектора скорости по тому же контуру Г. Условие непротекания на поверхности тела выполняется благодаря явлению скин-эффекта. До сих пор упомянутый метод использовался для определения распределенных характеристик аэрогидродинамических нолей (потенциала скорости возмущения вектора скорости), по которым при необходимости могут быть вычислены и интегральные характеристики.

Установление связи между количеством движения, присоединенной массой и введенным понятием потокосцепления вектора скорости позволяет исключить расчеты при определении интегральных характеристик методом ЭМГА, заменив их непосредственным измерением этих характеристик на модели. При этом измерение присоединенных масс может осуществляться несколькими 'способами.

Наиболее очевидным из них является способ, основанный на соответствии потокосцепления вектора скорости с контрольной поверхностью ЧГ и потокосцепления вектора магнитной индукции Фв с витками проводников, уложенных на подобной контрольной поверхности, внутри которой находится модель тела. Витки, расположенные на контрольной поверхности, образуют единую индукционную систему — датчик потокосцепления.

Тогда в соответствии с (6) и с учетом того, что для подобных явлений безразмерные комплексы должны быть равны, безразмерный коэффициент присоединенной массы тела (г = 1, 2, 3;

к — 1, 2, 3) можно записать в виде

„ х» АТ» • А Чв№ .гг.

Ркт ктк* <**) — УиВк

где Ут — объем тела; Уи— объем модели; Вк— магнитная индукция однородного магнитного поля в А-м направлении.

Потокосцепление магнитного поля с индукционной системой равно сумме потокосцеплений отдельных витков. В переменном электромагнитном поле с круговой частотой » потокосцепление с витком определяется в соответствии с законом электромагнитной индукции как

<и

Тогда

йФв

= — Фв ад сов (шt -{- а) .

ДЧГп — ___цг' = Уф 8л: — V Ф ’ 8л:

а в1к — в1к в,ь 0Аш Лл тол

АЩк

*т ”лт

т=1 т—1

где N—число интервалов, на которые разбивается контрольная поверхность, число витков индукционной системы, 8^ — интервал, шаг витков, л —число витков на единицу длины соленоида, Ди/4 — изменение индуцированного напряжения на датчике потокосцепления за счет внесения в него модели тела. Величина Вк определяется величиной напряжения иТ, индуцируемого однородным переменным магнитным полем в плоской петле проводника,

где 5,. —площадь, охватываемая контуром витка. Если в качестве датчика магнитной индукции используется соленоид, то

/? - ^ к — шЯ,. ЛГ

Тогда выражение для определения коэффициента присоединенной массы будет иметь вид:

Ди/ь 5* ——

к-.—

если В определяется петлей, или

Iг ,~*с ^ ,тг. (7\

Ум п итк —{Щ,

если В определяется соленоидом, где 5С — площадь поперечного сечения соленоида. Присоединенная масса в этом случае определяется соответственно

, Дн,-Л с

где С1 — масштаб модели; тТ — масса жидкости, вытесненная телом, или

■, >~.з г N Аиik ——

\k = PCiSe — —------mrUk).

Описанный аналоговый способ определения присоединенной массы тела может быть интерпретирован и другим образом.

Так как напряжение на индукционной системе

u = L-§=JL»I,

где /. — индуктивность системы, /—ток, а величина магнитной индукции в соленоиде

Вк = {10 nl,

где 1*о — магнитная постоянная среды, то

К) Л ’

а

Д¥ = М1к вк

(АцИ2

Тогда

<8>

где ALlk — изменение индуктивности индукционной системы за счет внесения в нее тела.

Полученные соотношения между присоединенной массой и индуктивностью, очевидно, можно обосновать и из более общих соображений путем сопоставления выражений для кинетической энергии жидкости Т при поступательном движении тела и энергии магнитного поля W:

I £

* к

Действительно, в гидродинамической модели тензор присоединенных масс так же характеризует инерционные свойства тел, движущихся в жидкости, как в электромагнитной модели тензор коэффициентов взаимоиндукции характеризует инерционные свойства магнитного поля.

Из этого соответствия Следует ряд аналогичных свойств обоих явлений. К примеру свойство симметрии тензора присоединенных масс соответствует устанавливаемому известной в теории электромагнетизма теоремой взаимности свойству симметрии коэффициентов взаимоиндукции.

6—Ученые записки № б

81

3. Устройство для определения присоединенных масс описанным методом должно состоять из генератора однородного переменного магнитного поля, локализованного в заданном объеме, и аппаратуры для измерения напряжений ультразвуковой частоты или мостов переменного тока, работающих в том же диапазоне частот, для измерения индуктивности.

В качестве генератора однородного магнитного поля можно применять соленоиды достаточно большой длины по сравнению

ЛЬ2 АЬ]

Ъ] &2 ^3

Фиг. 2

с характерным размером тела; замкнутые соленоиды с произвольным поперечным сечением и обмотками, уложенными по поверхности каркаса специальным образом, определяемым путем решения краевой задачи для обеспечения требуемой однородности внутри объема соленоида [6]. Однако оптимальным и наиболее простым является предложенный нами способ намотки замкнутых соленоидов, состоящих из параллелепипеидальных секций с прямоугольным поперечным сечением. При этом обмотка на каждой секции выкладывается прямолинейными отрезками проводников с постоянным для данной секции шагом. Шаг обмотки на основной секции выбирается из условия допустимого влияния дискретного расположения проводников на однородность поля в объеме, занимаемом моделью тела. Шаг обмоток остальных секций выбирается пропорциональным отношению поперечного сечения рассматриваемой секции к основной (фиг. 2). Отметим, что такое расположение витков обеспечивает получение магнитного поля с высокой степенью однородности. Питание замкнутого соленоида осуществляется генератором звуковой частоты (к примеру, ГЗ-ЗЗ). Как отмечалось выше, датчиком потокосцепления является бесконечно длинный соленоид.

Естественно, что в реальных опытах могут использоваться только соленоиды конечной длины. Переход от бесконечного ци-

линдра к цилиндру конечной длины дает погрешность в определении коэффициента присоединенной массы, которую можно оценить несколькими способами, к примеру — по оценке убывания приращения потокосцепления за счет внесения тела в соленоид в зависимости от отношения длины соленоида к его диаметру или по контрольным опытам с телами, для которых известны коэффициенты присоединенных масс, полученные аналитическим путем.

'Раза чу ветви тель ный вольтметр

Фиг. 3

Фиг. 4

Погрешность определения коэффициентов присоединенных масс может быть получена также на основе экспериментальной проверки выполнения известного условия симметрии тензора присоединенных масс или аналогичного ему в теории электромагнетизма условия (теоремы) взаимности.

Однако для точного определения необходимо пользоваться замкнутыми соленоидами конечных размеров, эквивалентных бесконечно длинным. Применение замкнутых соленоидов вместо бесконечно длинных основано на равенстве их потокосцепления. Необходимо' отметить, что в случае определения присоединенных масс (/ = 1, 2, 3) одна и та же обмотка замкнутого соленоида может служить одновременно как обмоткой генератора однородного магнитного поля, так и обмоткой датчика потокосцепления. В этом случае в соответствии с (15) на клеммах генератора измеряется изменение напряжения за счет внесения тела (фиг. 3). В случае использования второго способа измеряется изменение за счет внесения тела частоты собственных колебаний колебательного контура, состоящего из обмотки генератора с параллельно или последовательно подключенной емкостью (фиг. 4).

По изменению частоты подсчитывается изменение индуктивности.

При измерении перекрестных коэффициентов присоединенных масс ХгА (/ = 1, 2, 3; к=\, 2, 3; I ф Ы) установка должна содержать две индукционные системы, расположенные взаимоперпендику-лярно друг другу.

При измерении присоединенных моментов инерции Х,А (г = 1 -г-6; к=-4-^6) конструкция установки существенно усложняется тем, что в обращенном движении необходимо создавать в области, занимаемой моделью тела, вихревое магнитное поле с постоянным значением ротора скорости. Это может быть реализовано равномерным распределением токовводов по площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную оси вращения.

Применение принципа суперпозиции позволяет максимально упростить установку, заменив соленоиды единичными витками,

последовательно переносимыми в ряд положений вдоль контрольной поверхности. Конечный результат получается простым суммированием отдельных измерений.

Приведем описание простейшей установки для измерения 11к(1= 1, 2, 3; 6=1, 2, 3), основанной на принципе суперпозиции.

Металлизированная модель тела помещается' в однородное переменное магнитное поле ультразвуковой частоты. Датчик выполняется в виде жесткого плоского витка произвольной формы с размерами, большими габаритных размеров модели тела. Датчик-виток укрепляется на координатнике и подключается к фазочувствительному измерителю напряжения. При этом г-е направление движения тела совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля, а перемещение витка координатником осуществляется в к-и направлении. Измеренные значения интегрируются вдоль пути перемещения датчика.

Экспериментальная проверка метода проведена путем сравнения коэффициента Ха2 для крыльев различной формы в плане, полученных всеми описанными методами, с результатами работы [4]. Результаты численного и аналогового расчетов совпадают с точностью до 3%.

В заключение отметим, что метод не накладывает никаких ограничений на форму тела и позволяет легко перейти к определению присоединенных масс при наличии других тел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лам б Г. Гидродинамика. М.—Л., ОГИЗ, 1947.

2. Биркгоф Г. Гидродинамика. М., Изд. иностр. лит-ры, 1963.

3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., „Мир“,

1973.

4. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., „Наука", 1965.

5. Риман И. С., К р е п с Р. Л. Присоединение массы тел различной формы. Труды ЦАГИ, вып. 635, 1947.

6. Рязанов Г. А. Электрическое моделирование с применением вихревых полей. М., .Наука“, 1969.

7. Г н а т е н к о А. Г., Д и т м а н А. О. и др. Электромагнитное моделирование обтекания тел несжимаемым потоком жидкости. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 3, 1974.

Рукопись поступила б/Х 1977 г.