Analiza uticaja grešaka i šuma merenja na tačnost određivanja koordinata cilja Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Mr Dragoslav Ugarak,

pukovnik, dipl. inž.

Tehnkki opitni ccnur KoV, Beograd Profesor dr Momćiio Mitlnović, dipl. inž. Maiinski čikulte«. Beograd

ANALIZA UTICAJA GREŠAKAIŠUMA MERENJA NA TAČNOST ODREĐIVANJA KOORDINATA CILJA*

UDC: 623.4.023.2 : 519.724

Rezime:

Uradu je opisan matematićki model postupka anaiize uticaja greiaka merenja pozicije cilja i uticaja Suma na taćnost odredivanja koordinata cilja и toku praćenja. Prikazan je po-stupak izračunavanja greiaka merenja poloiaja cilja и prostoru obuhvaćenom merenjima ili za unapred odredene pravce kretanja ciljeva и važduSnom prostoru. Opisani pristup ima Si• roku primenu и povećanju verovatnoće pogodaka и sistemima га upravljanje vatrom (SUV), и poboljiavanju kvaliteta ispitivanja sistema za praćenje ciljeva i и optimizaciji pozicionira• nja sistema za protivvazduinu odbranu.

Ključne reči: merenje koordinata, greike merenja, ocena greiaka.

NOISE AND ERRORS ANALYSIS AND INFLUENCES ON TARGET COORDINATES EVALUATION

Summary:

This paper presents a matematical mode! of analysing the effects which noise and tracking errors have made during measurements of a target position while determining its coordinates. Here is also presented a procedure for computing errors in measuring a target position in the space comprised by measurements as well as for computing errors in predetermined directions of aerial targets movement. This approach has en extensive application in increasing hit probability of fire control systems, in improving the quality of target tracking system testing, and in the optimization of allocating antiaircraft defence systems.

Key words: coordinates measuring, measuring errors, errors estimate.

Uvod

UspeSnost sistema protivvazdušne odbrane zavisi od pravovremenog odredivanja položaja potencijainih citjeva i od tadnnsti procene njihovih parametara kretanja. Za određivanjc položaja cilja u prostoru koriste se radarski ili optoelek-tronski nišanski uredaji koji omogudava-ju automatsko praćenje kretanja cilja i

* Red je saopfcen os struteom skupu TOC KoV .Jspittv*. nje kvtlitea sredsavi NVO“. 18. novembn 2003. и Beogradu.

merenje daljine cilja i uglovnih vrednosti optičke ose nišanskog uređaja (nišanske linije). Praćenje cilja u vazdušnom prostoru je proces koji se sastoji od merenja položaja cilja u prostoru i odredivanja ki-nematskih parametara kretanja cilja sa zahtevanom tačnosti. Kinematski para-metri kretanja cilja su vektor položaja i vektor brzine cilja i viSi izvodi vektora položaja. Odredivanje kinematskih parametara vr§i se obradom merenih veličina pogodnim matematiCkim modelima za

VOJNOTEHNIČKICLASN1K 4-5/2003.

387

ocenjivanje veličina stanja dinamičkih si-stema. Da bi se kinematski parametri kretanja cilja mogli dovoljno dobro oce-niti potrcbno je položaj cilja meriti sa od-govarajućom tačnoSću i poznavati static stičke karakteristike greSaka merenja.

Merenje i odredivanje

koordinata cilja

Za odredivanje koordinata cilja u prostom koriste se zemaljski geodetski koordinatni sistemi [1, 2], vezani za mer-ne uređaje koji se nazivaju lokal-ni, i geodetski koordinatni sistemi, vezani za oruda Rxyz, koji se nazivaju refe-rentni. Rotacijom referentnog koordinat-nog sistema oko vertikalne ose, za vred-nost azimuta pravca gadanja tako da je X-osa usmerena u pravcu gadanja, Y-osa usmerena naviše, a Z-osa u desno, dobija se startni koordinatni sistem RXYZ, slika 1.

Odredivanje putanje leta cilja [1] sa-stoji se u merenju njegovih sfemih koordinata (daljine, azimuta i elevaeije) u to-ku praćenja niSanskim radarom ili optoe-lektronskim niSanskim uredajem sa laser-skim daljinomerom i njihovom transfor-maeijom u koordinatni sistem vezan za orude. Drugi način odredivanja putanje cilja sastoji se u merenju uglova azimuta i elevaeije sa dva ili više nišanskih ureda-ja, zatim izračunavanju koordinata putanje metodom presecanja pravaca vizira-nja. Koordinate pozieije cilja mogu se odrediti i na osnovu istovremenog merenja daljina sa tri ili viSe instrumenata.

Ovde će se razmatrati slučaj merenja sfemih koordinata. Na osnovu izme-renih sfemih koordinata tražene tačke M(d,a,P), lako se odreduju njene pravou-gle koordinate u geodetskom koordinat-nom sistemu Т^лС:

£ = dcos/?cosa

r) = di\np (1)

£ = dcos>9sinar

Koordinate merene tačke u refe-rentnom geodetskom koordinatnom sistemu odredene su relacijom:

X V 'f

У = У, + Brt

z i.

gde su x,, yt, z, koordinate memog instruments u referentnom koordinatnom sistemu Rxyz, a Bit je matrica rotaeije lokal-nog u referentni geodetski koordinatni sistem [2].

Položaj stajnih tačaka ni$anskih ure-daja i oruda definite se geografskim ko-

388

VOiNOTEHKlCKI GLASNIK 4-5/2003.

ordinatama T (Ht, tpt, Xt) i R (Hr, <pr, Xr), tako da članovi matrice Brt glase:

bll - cos(Xr-Xt) sintpr sin(pt + cos(pr costpt

Ы2 = -co$(Xr-Xt) sintpr cos<pt + cos(pr sincpt

ЫЗ --sin(Xr-Xt) sincp

Ь21 = -co$(Xr-Xt) cos(pr sincpt + sintpr

costpt

b22 * cos(Xr-Xt) costpr costpt + sintpr sintpt

b23 - sin(Xr-Xt) costpr

ЬЗ1 = sin(Xr-Xt) sintpt

b32 “ -sin(Xr-Xt) costpt

b33 = cos(Xr-Xt) (3)

Položaj startnog koordinatnog siste-ma RXYZ u odnosu na referentni koor-dinatni sistem Rxyz, koji pripadaju tački R, odreden je azimutom X-ose: a*. Veza izmedu koordinata tačke M (X, V, Z) u startnom koordinatnom sistemu i koordinata iste tačke M (x, y, z) u geodetskora referentnom koordinatnom sistemu Rxyz, data je relacijom:

X

Y

Z

x

= C

z

(4)

gde je C matrica rotacije geodetskog koordinatnog sistema Rxyz u startni sistem RXYZ:

COS Kg 0 sinffx

c- 0 1 0

-sintzx 0 cosor^

NiSanski uređaji za praćenje letećib ciljeva izrađeni su u vidu nosaCa senzora obrtnih oko vertikalne i horizontalne ose. Davači ugradeni na obrtne ose mere

uglove azimuta (at) i elevacije () op-

tičke ose senzora (televizijske iti termo-vizijske kamere), a daljina cilja (d) men se pomoću ugradenog laserskog daljino-mera ili antene radara. Signali koje šalje niSanski radar proporcionalni su uglovi-ma cilja i daijini cilja, tako da njih treba pravilno obraditi da bi se dobili mereni uglovi i daljina. Isto važi i za signal za datjinu koji daje laserski daljinomer. Video signali sa TV ili IC kamere digitali-zuju se u matricu video taCaka (piksela), čijom obradom se odreduju koordinate centra siluete cilja (h, v) u odnosu na osu kamere C, (slika 2).

Uglovi azimuta i elevacije optičke ose OC i linije viziranja cilja OH u vid-nom polju kadra prikazani su na slici 3. Optifika osa OC normalna je na ravan kadra Chv, koja je za OC = d udaljena od kamere za merenje odstupanja b i v, pri Сети se koristi faktor razmere к = 1/d. Za odredivanje uglova linije viziranja cilja koriste se trouglovi AOAF AOCD, AOHF i AOAF sa slike 3, iz kojih se dobija:

tgAa =— OA

kh

cos fls-kvsin fis

a = as+Aa

tgAfi = ^- = b (6)

a

0 HF AD .

tgp =---------cosAcr =

OF OA

= tgiPs + Ap)cos A a

PoSto je vrednost vidnog ugla optike dovoljno mala može se usvojiti daje:

tgAa = Aa, cosAa = l, tgAfi-Afi (7)

Za odredivanje lokalnih uglova linije viziranja cilja dobijaju se sledede jed-naCine:

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4-5/2003.

389

Model i vrste grešaka merenja daljine i uglova viziranja cilja

SI. 2 - Izgled snimko cilja

a = as+ba

/? = & + W

Pri tome uglovi odstupanja linije viziranja cilja od optičke ose instrumenta odredcni su izrazom:

kh

A a =-------------—

cosp5 -kvsin ps (9)

A fi = kv

Analiza grcSaka merenja od velikog je znaCaja za praćenje ciljeva, zato Sto većina metoda praćenja zahteva informa-cije о greškama merenja. GreŠke merenja su slučajne veličine, takozvani Sumovi merenja za koje se uvode odredene pret-postavke, saglasno prirodi procesa čije se izlazne veličine mere.

Izlazni signal procesa je aditivno su-perponiran sa Sumom pri merenju:

rra = r + v (10)

Ova jednačina je poznata u literaturi [3, 4] kao „opservacioni model11 i deflni-бе način prikupljanja mcrenih podataka. Ovde je rm merena vrednost izlaznog sig-nala, r je iztazna veličina procesa dostup-na merenju, a v je signal šumova prisut-nih pri merenju izlazne veličine. Prime-njena na merenje polamih koordinata cilja, jednačina (10) u nekom trenutku merenja, glasi:

'«„(0 'a{t) 4< 0*

A.W m + V,(0

d„( 0 d{t) ?A0

KoriŠćenjem jednačine (8) dobija se, da za greške merenja uglova viziranja cilja, važi:

Va=vm+VA*

V**V*+V

(12)

Prva i najvažnija pretpostavka u ve-zi sa greSkama merenja je da su sistemat-ske greške isključene, tj. da su svi memi senzori (merači uglova i daljine) izbažda-reni i rektifikovani tako da srednje vred-nosti greSaka merenja budu jednake nuli:

390

VOJNOTEHNIĆKJ GLASNIK 4-5/2003.

E[vj«0, E[Ves] = 0, E[vte]-0,

E[vaa] = 0, E[vap] = 0 (13)

To znači da su matematička očeki-vanja svih merenih velifiina jednaka nji-hovim tačnim vrednostima:

E[re]«r

(14)

Slučajne greSke (Sumovi) u memirn uredajima mogu se smatrati sumom veli-kog broja mikroskopskih Sumova čija re-zultujuća raspodela je normalna (Gauso-va) raspodela. Procesi merenja uglova i daljine su nezavisni, pa se pretpostavlja da su Sumovi merenja v^, vp,, v&a, удј i vd medusobno nckorelisani. Vremenske konstante memih senzora su nekoliko stotina puta manje od vremenskih kon-stanti praćenih ciljeva. Stoga može se pretpostaviti da greške merenja nisu ko-relisane u vremenu. Znači da vrednosti greSaka merenja u posmatranom trenutku ne zavise od vrednosti greSaka u prethod-nim trenucima merenja. S obzirom na uvedene pretpostavke, varijanse greSaka merenja va, vp iznose:

o\=a\t +

(15)

GreSke merenja sa navedenim oso-binama prcdstavljaju bele Gausove Su-move nultih matematičkih očekivanja. PoSto su greSke merenja medusobno ne-korelisane i vremenski nekorelisane, važi sledeće:

%('>/'2)] = 0, £[ve(/,)v,(/2)] = 0

4V/'l)V^r2)] = 0' £К(».К(«2)]=0 4V»l)VA>] = (*

(16)

Svi Sumovi merenja su Gausovi, od-nosno imaju normalnu raspodelu vero-vatnoće sa nultim matematičkim očeki-vanjem v€N(0,Vv). Ovde je Vv varijan-sna matrica vektora Suma v, Ciji dijago-nalni elementi su varijanse (disperzije) elemenata vektora v, a nedijagonalni elementi ukazuju na korelaciju (stepen po-vezanosti) elemenata vektora v:

0 0

0 0

0 0

GreSke odredivanja uglovnih odstu-panja Ла i Д0 mogu se, razvojem jedna-čina (9) u Tejlorov red, dobiti u Hneamoj zavisnosti od greSaka merenja veličina 7) i Ps:

.,. ч ЭД a., ЭД a A ЭДа. л Д(Да) = ДЛ+—- Ду+—- 60s

oh ov ops

Д(Д0) = ^ДА+^Ду+|^ДЉ on ov ops

(18)

Varijanse uglovnih odstupanja Да i Д0 dobijaju se u obliku:

Jednačine (19) daju funkcionalnu zavisnost srednje kvadratne greSke uglovnih odstupanja od ugla elevacije optičke ose instrumental

°tn = /(A). =/СА)=to, (20)

Srednje kvadratne greSke merenja uglova optiCke ose i daljine kod savre-menih nišanskih uredaja na osnovu poda-taka proizvođača, iznose:

VOJNOTEHNICKIGLASNIK 4-5/2003.

391

- za niSanski radar

о*П

<тш = <7д, = 0,25 mrad = 50" i <7d = 5 m

- za optoelektronski sistem: (21)

= Од, = 0,25 mrad =5" i ad - 2 m

Ako se usvoji uobičajena rezolucija snimka od 50 linija/mm, tada srednje kvadratne greške obrade snimka iznose:

^ = 0,02 mm (22)

Za faktor razmere к uzima se red-pročna vrednost žižine daljine objektiva f = 1500 mm ili f = 3000 mm.

Zavisnosti (20) odredene su za fie (0,80°) i prikazane su na dijagrami-ma na slid 4 i slid 5.

GreSka odredivanja ugla ДР zavisi, u osnovnom, od greške obrade snimka, a greSka odredivanja ugla Да, pored gre-Ske obrade snimka, zavisi i od veličine ugla elevacije ps optičkc ose teodolita. Priroda te zavisnosti je takva da se gre-5ka <тД(Г neograničeno uvećava kada ele-

vacija Д raste ka vrcdnosti od 90°. Me-

dutim, za vrednosti elevacije do 60-70° može se smatrati da greška odredivanja ugla Да ne zavisi od ugla elevacije Д i

tada važe pretpostavke о medusobno ne-korelisanim greškama merenja.

Odredlvanje grešaka merenja pravouglih koordinata cilja

GreSke merenja koordinata putanje cilja mogu se oceniti vrednostima njiho-vih disperzija, odnosno srednje kvadrat-nih odstupanja ox, oy, az. Merenje pravouglih koordinata putanje cilja (X, Y, Z) vrSi se posredno, transformacijom me-

Sl. 4 - Srednje kvadratno odstupanje ugla azimuta &a

ОдвП

25

2

1 5

.k*t/15Q0 k=1/3000 —

__1

10 20 30 40 SO 60 70 60 Osft

SI. S - Srednje kvadraino odstupanje ugla elevacije

4/?

renja polamih koordinata (a, p, d). Radi toga greške merenja pravouglih koordinata medusobno su korelativne.

Greške merenja polamih koordinata u lokalnom sistemu memog instruments date su matricom varijansi merenih veli-čina (17). Pravougle koordinate putanje projektila u lokalnom geodetskom koor-dinatnom sistemu date su jednačinama (1). GreSke odredivanja koordinata x, y, z mogu se, razvojem tih jednačina u Tej-torov red, dobiti u vidu lineame zavisnosti od grešaka merenja polamih koordinata a, fi,d. Za odredivanje matrice ko-varijansi grešaka merenja u pravouglim koordinatama može se tada upotrebiti re-lacija:

V( = FVaFT (23)

392

VOJNOTEHNIĆKIGLASN1K 4-5/2003.

gde su:

<

v<- < (24)

<

4 ч Ч

Ъа ър ъа

W.q.C) Ът) Ът) Ъг}

d(a,p,d) Ъа ър ъа

э <Г Ч ч

Ъа Эр ъа

(25)

ReSavanjem matrične jednačine (23) dobija se:

d (26)

<4=-^+|М

«4=-»й+в^T^°ž+5°ž

<4=-^+^Й

Matrica kovarijansi grešaka merenja u startnom koordinatnom sistemu RXYZ, dobija se uvodenjem matrice rotacije lo-kalnog geodetskog koordinatnog sistema u rcfcrentni geodetski koordinatni sistem Đ„ i matrice C, za rotaciju referentnog geodetskog koordinatnog sistema Rxyz u startni sistem RXYZ:

Vx=CB„VfBTnCT (27)

Осепа grešaka merenja

mernog sistema

Analiza mogućnosti praćenja leta odredenih ciljeva pomoću postojećeg memog sistema, Ш pri formiranju novog memog sistema, zahteva ocenjivanje gre-бака merenja memog sistema. Phmenom jeđnačina za odredivanje matrica varijan-si za svako pojedinačno merenje položaja ciija moguće je odrediti srednju kvadrat-nu greSku odredivanja koordinata i dru-gih parametara leta u funkciji vremena. Tako se za svaku kinematsku veličinu kretanja ciija može odrediti srednja kva-dratna greška njenog odredivanja u bilo kom trenutku.

Jednačine za odredivanje matrica varijansi omogudavaju da se za unapred pretpostavljenu putanju ili ravan kretanja ciija, ocene greške merenja u funkciji po-tožaja ciija u prostoru. Srednje kvadratne greSke odredivanja koordinata su funkci-je koordinata tačke u prostoru obuhvaće-nom merenjima:

<b.rW(*XZ) (28)

Ako se let ciija na delu putanje od-vija u horizontalnoj ravni, na odredenoj visini Y = H, tada se variranjem vredno-sti za X i Z mogu dobiti vrednosti srednje kvadratnih grešaka odredivanja parametara leta ciija u toj ravni. Na osnovu izračunatih vrednosti srednje kvadratnih greSaka, u izabranoj ravni, mogu se na-crtati takozvani kontumi dijagrami, od-nosno krive u kojima su vrednosti srednje kvadratnih grešaka konstantne. Ova-kvi dijagrami predstavljaju ocene greša-ka merenja za konkretno izabranu konfi-guraciju memog sistema i služe za anali-zu tačnosti merenja pri izboru meme

VOJNOTEHNIĆKl GUSN1K 4-5/2003.

393

opreme, izboru rasporeda meme opreme, ili izboru mogućib putanja leta cilja, u to-ku planiranja PA odbrane.

Simulacija grešaka odredivanja koordinata cilja u horizontalnoj ravni

Primenom jednačina za odredivanje matrica varijansi izvrSena je numerička simulacija odredivanja grešaka merenja u funkciji koordinata trenutnog položaja cilja u pros torn.

Pri praćenju cilja kojt sc kreće u horizontalnoj ravni XZ u oblasti: Xe [0,20000 m] i Ze[-5000 m, 5000 ml na visini od Y ® 1000 m vrednosti sred-nje kvadratne greSke koordinata odrede-ne su u funkciji položaja cilja i nacrtani su kontumi dijagrami rasporeda greSaka, pri čemu su usvojene sledeće vrednosti koordinata memog instrumenta:

SI. 6 - Poloiaj memog instrumenta T i oblasti merenja koordinata и ravni H: Y * 1000 m

X(km) OxeO.4.5.2)

X(km) ог€(1.4.6.5)

SI. 7 - Srednje kvadratne greSke odredivanja koordinata и horizontalnoj ravni XZ za Y* 1000 m, pri merenju pozicije pomoču radara

X*-5700m, Y= 1000m, Z«-4200m

Srednje kvadratne greške odredivanja koordinata položaja cilja u referent-nom koordinatnom sistemu odredene su za sledede uslove:

- putanja cilja meri se pomoću radara, pri čemu je poznato da srednje kvadratne greSke merenja uglova i daljine iz-nose:

394

VOJNOTEHNICKIGLASN1K 4-5/2003.

X[km) oX6(l.3.2.0)

Z(km]

SI. 8 - Srednje kvadratne greike odredivanja koordinata и horizontalnoj ravni XZza Y= 1000 m. pri merenju pozicije pomoču OENUsa laserskim daljinomerom

°a~a0~ 50" ' ad = 5 m

Putanja cilja men se pomoću optič-ko-elektronskog niSanskog uredaja sa la-serskim daljinomerom (OENUL), pri Сети srednje kvadratne greške merenja Uglova azimuta, elevacije i daljine polo-žaja cilja и prostom iznose:

=Vs7+27 = V29 (•')

00 = + °lfi = >/52 + 22 = &9 (")

a a = 2m

Za <r&a i a^ usvojeno je da iznose

2”, saglasno dijagramima na slikama 4 i 5, a ostale vrednosti su poznate karakteri-stike sistema.

Proračun srednje kvadratnih grešaka odredivanja koordinata uraden je na bazi jednačina izvedenih и prethodnom pogla-vlju, simulacijom na računam, a dobijeni dijagrami dati su na slikama 7 i 8.

Analizom datih dijagrama može se zaključiti da se veća tačnost postiže pri merenju teodolitom sa laserskim daljinomerom (ax = 1,95 m, ay = 0,7 m, a2= = 0,7 m). Kod merenja radarom, na 20 km daljine srednje kvadratne greške odredivanja koordinata znatno su veće (iznose ox« 5,2 m, <jy = 6,5 m, a2 * 6,5 m), zato 5to su greške odredivanja uglova

1 daljine kod radara veće nego kod OENU sa laserom.

Zaključak

Kvalitet merenja položaja cilja, и to-ku postupka njegovog praćenja, bitno utiče na uspeSnost ocenjivanja kinemat-skih parametara kretanja cilja, a time i na efikasnost sistema za upravljanje vatrom.

U radu je predložena metodologija analize uticaja grešaka merenja na tačnost odredivanja koordinata cilja koji se prati и realnom vremenu. Predloženi algoritam može se, uz pomoć savremcne tehnologi-je, iskoristiti и brojnim primenama za po-vedanje verovatnoće pogadanja и sistemi-ma za upravljanje vatrom, и povećanju kvaliteta ispitivanja sistema za praćenje

VOJNOTEHNIĆKJ GLASNIK 4-5/2003.

395

ciljeva i u optimizaciji lociranja sistema za protiwazduSnu odbranu sa ciljem po-većanja njene efikasnosti.

Uz pomoć prigodnog matematiCkog aparata izvrSena je analiza uticaja greša-ka merenja pozicije cilja i uticaja šuma na tačnost odredivanja koordinata cilja u toku praćenja. U analizi je pretpostavlje-no da su greške merenja uglova azimuta i elevacije i daljine cilja fiksne, zatim, da slučajne greSke imaju Gausovu raspodelu i da medusobno nisu korelisane, dok su sistemske meme greSke isključene. Na-vedene pretpostavke olakSale su analizu, a nisu značajnije uticale na njen kvalitet.

Na osnovu izvrSene analize i datih dijagraraa raspodele grešaka merenja u praćenju cilja, mogu se izvesti opSti za-ključci da tačnost merenja pozicije cilja zavisi ne samo od greSaka merenja azimuta, elevacije i daljinc cilja, nego i od trajektorije leta cilja, kao i od razmeStaja uredaja za merenje pozicije cilja.

Đudući rad na opisanom pristupu može se razvijati u dva pravca. Jedan podrazumeva analizu uticaja grešaka merenja na tačnost odredivanja koordinata praćenog cilja u modelima koji su bliži realnim uslovima, a drugi aplikaciju pri-kazanog. Od širokog spektra mogućib primena posebnu pažnju zaslužuje pri-mena ovog pristupa u razvoju sistema za upravljanjc vatrom sa ciljem povećanja verovatnoće pogodaka.

Liltratura:

(I ] Ugarak, D.: Odredivanje pozicije cilja mcrooro opranom sa Zemlje. Strućni skup, Isphivanje kvaliteta sredstava NVO, TehntCki opitni centar Beograd. 2003.

|2) Ugarak, D.: Problemi merenja perforniansi raketnih sistema u toku ispitivanja opremom sa xemlje, Magistarski rad. Maimjki fakuhet, Beograd, 2000.

(3) DebdjkoviO, D.: StohastiCki lineami sistemi automatskog upnvljanja, NauCna knjiga, Beograd, 198$.

14) Mitioovk, M„ DodiC N.: Modeitranje sistema upnvljanja vatrom t pradenja vazdutnih ciljevm, Maiinski fakultet, Beograd, 2002.

[5| CONTRAVES: SKYTRACK Cmctheodolite Concept, Zurich. 1989.

(6) RCA: NIDIR Digital Instrumentation Radar, Radar set AN/TPQ, 1987.

396

VOJNOTEHNlCKl GLASN1K 4-5/2003.