Анализ задач параметрической и структурной оптимизации металлоконструкций тяжелых козловых кранов и обоснование методов их решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.873

Л.В. Барановская, Р.А. Кобзев

АНАЛИЗ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ И СТРУКТУРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ ТЯЖЕЛЫХ КОЗЛОВЫХ КРАНОВ И ОБОСНОВАНИЕ

МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ

Рассмотрены задачи параметрической и структурной оптимизации тяжелых козловых кранов. По виду целевых функций и ограничений сделан вывод о том, что рассматриваемые задачи являются нелинейными многомерными задачами условной оптимизации. Рассмотрены аналитические и численные методы их решения. Обоснован выбор метода проекций градиента для решения оптимизационных задач крановых металлоконструкций.

Тяжелые козловые краны, оптимальное проектирование, условная оптимизация, аналитические методы, численные методы, метод проекций градиента

L.V. Baranovskaya, R.A. Kobzev

ANALYSIS OF PROBLEMS OF PARAMETRICAL AND STRUCTURAL OPTIMIZATION OF HEAVY ANGLE CRANES AND SUBSTANTIATION OF METHODS OF THEIR SOLUTION

The problem ofparametric and structural optimization of heavy angle cranes is described in the article. According to the aim functions and restrictions the conclusion was made on the fact that the tasks under consideration are non-linear multi-dimensional tasks of conditional optimization. Analytical and numerical methods of their solution are analyzed. The choice of the method ofprojection of gradient for the solution of optimization tasks crane steel structures is substantiated.

Heavy angle cranes, optimum design, conditional optimization, analytical methods, numerical methods, gradient projection method

Тяжелые козловые краны отличаются большим разнообразием и сложностью, изготавливаются в единичном или мелкосерийном производстве, нет возможности испытаний их опытных образцов. Поэтому создание новых конструктивных схем металлоконструкций тяжелых козловых кранов с

использованием оптимального проектирования является актуальной задачей.

Металлоконструкции тяжелых козловых кранов в основном имеют прямоугольное коробчатое поперечное сечение, как показано на рис. 1, где bi, hi - ширина и высота прямоугольного контура

сечения, 8Ш, 8а - толщина пояса и толщина стенки сечения i-го

стержневого элемента металлоконструкции.

Задача оптимального проектирования металлоконструкций тяжелых козловых кранов состоит из целевой функции, в качестве которой берется функция металлоемкости [2]

m

f I

(-Т) = Е [f-2(b,Sn, + h.Sc )• I, ],

(1)

Рис. 1

i=1

и ограничении на прочность, местную устойчивость, прочность сжатой стенки, статическую и динамическую жесткость

Мгэ < М] , По ^ П , Мсм < М] , и < [и\ t3 <^3], (2)

эквивалентные напряжения и запасы местной

где s

• 1Э ’ ' ;0

устойчивости в элементах металлоконструкции, и - вертикальный прогиб главной балки, Мсм - напряжения смятия под ходовым колесом, tз - время затухания собственных колебаний крана, [м] , [и ], к], П - допустимые значения напряжения, прогиба, времени колебаний, запаса местной устойчивости, ^ - длины элементов металлоконструкций, у - плотность материала.

Оптимальной считается металлоконструкция, которая при выполнении всех ограничений (2), обладает минимальной металлоемкостью (1).

Рассматривают задачи структурной и параметрической оптимизации, которые отличаются составом переменных. Геометрические размеры , 8т, 8а сечений элементов крановых металло-

конструкций являются неизвестными величинами задачи параметрической оптимизации. Неизвест-

ными задачи структурной оптимизации являются геометрические размеры Ъг-, К, 8т, 8С1 и длины / подкосов и консолей.

По виду целевой функции (1) и ограничений (2) можно сделать вывод о том, что рассматриваемые задачи являются нелинейными многомерными задачами условной оптимизации. Для их решения существуют аналитические и приближенные методы решения.

Проанализируем оптимизационную задачу и выберем методы ее решения на примере крановой металлоконструкции (рис. 2), состоящей из следующих элементов:

1 - главная балка, 2 - две одинаковые опоры, 3 - две одинаковые опорные балки, 4 - две одинаковые консоли, 5 - два одинаковых подкоса.

Для рассматриваемой крановой металлоконструкции целевая функция при параметрической оптимизации будет иметь вид

т(Х) = т (К1, Ъ1, $01, дП1, К2, Ъ2, дС2 , дП2 , К3, Ъ3, дС3, дП3 , К4, Ъ4,дС4, дП4, К5, Ъ5, дС5 , дП5 ) =

= Я2' (Ъ1$П1 + К1дС1 )' /1 +4' (Ъ2$П2 + К2дС2 )' /2 + 4' (Ъ3дП3 + К3дС3 )' /3 + (3)

+ 4 ' (Ъ4$п4 + К4$С4 )' /4 + 4 ' (Ъ5$п5 + К5дС5 )' /5 ]

Из аналитических методов решения широко применяется метод, при котором определяются точки возможных экстремумов целевой функции внутри области допустимых значений из условия [4]

Ут( X) = 0, (4)

где Ут( X) - градиент функции т (X). Затем определяются точки возможных экстремумов на границе области допустимых значений, из всех точек выбирается экстремальная.

Из условия Ут( X) = 0 для целевой функции (3) получаем следующую систему 20 уравнений для 20 переменных:

дт „ , „

—— = 2у11$с1 : дК1

дт

— = 4у/2дС 2

дЬ-2

дт

дК3

дт

0,

дт

—— = 2у11$п1 = 0,

дЪ1

дт

~Г~ = 4у/2дП 2 = 0,

дЪ

дт

С1

дк4

дт

дИ=

= 4У/3дС 3 = 0, = 4У/4дС 4 = 0,

= 4У/5 дС 5 = 0,

дт

дЪ3

дт

дЪ4

дт

дЪ=

= 4 у 13 $п 3 = 0, = 4У/4дП 4 = 0, = 4 у/5 $П5 = 0,

ддс

дт

ддС 2

дт

ддС 3

дт

ддС 4

дт

0,

0,

дд

= 2у/Д = 4у/2 К

= 4У/3 К3 = 0,

= 4у/4 К4 = 0, = 4у/5 И5 = 0,

дт

д$П1

дт

ддП 2

дт

ддП 3

дт

0,

0,

дд

П4

дт

С5

дд

= 2у/1Ъ1 = 4 у/ 2Ъ2

= 4У/3Ъ3 = 0

= 4у/4Ъ4 = 0, = 4у/5Ъ5 = 0.

(5)

П5

Система имеет единственное нулевое решение: И1 = 0, Ъ1 = 0

$С1 = 0,

$П1 = 0 К2 = 0,

Ъ2 = 0,

$С2 = 0,

$П 2 = 0,

И3

К

0,

0,

Ъ3

Ъ

0,

0,

дС3 = 0, дпт. = 0, ЪА = 0, ЪА = 0,

П3

'С 4

П4

0,

(6)

0.

*5 — и5 —V, ^С5 _ ^ ^П5

Эта точка возможного экстремума не входит в область допустимых значений, так как параметры крановой металлоконструкции не могут быть равны нулю.

Если помимо размеров сечений элементов рассматриваемой металлоконструкций необходимо найти оптимальные длины 4 и 5 элементов, а длины элементов 1, 2, 3 задаются техническим заданием на проектирование, то получаем задачу структурной оптимизации. Ее целевая функция будет иметь вид:

т (/4, /5 , К1, Ъ1, $С1, дП1, К2 , Ъ2 , дС 2 , дП 2 , К3, Ъ3, дС 3 , дП 3 , К4, Ъ4, дС 4, дП 4, К5 , Ъ5,дС 5, дП 5 ) =

= И2 ' (Ъ1дП1 + К1дС1 )' /1 +4 ' (Ъ2дП2 + К2дС2 )' /2 + 4 ' (Ъ3дП3 + К3дС3 )' /3 + (7)

+ 4 ' (Ъ4$п4 + К4$с4 )' /4 + 4 ' (Ъ5$П5 + К5дС5 )' /5 ]

Условие Ут( X) = 0 для целевой функции (7) дает следующую систему 22 уравнений для 22 переменных:

0

дт

дт

ч, = 2у/1дС1 = 0, ч, = 2у/1дП1 = 0,

дк1

дт

д^2

дт

дК3

дт

дк4

дт

дК5

дт

: 4У/2$

С 2

: 4У/4$

С 4

= 4у/5$С 5 = 0,

дЪ1

дт

дЪ2

дт

дЪ3

дт

дЪ4

дт

дЪ=

4у/ 2дП 2

дт

ддС1

дт

дд

■ 4У/3д

С 2

дт

3 П 3

дд

4У/ 4$

4 П 4

= 4 у/5 дп5 = 0,

С3

дт

ддс 4

дт

дд

= 2у/1К1 = 0, = 4у/ 2 К = 0,

= 4У/3 К3 = 0,

= 4 у/ 4 К4 = 0, = 4у/5 К5 = 0,

дт

ддП1

дт

дд

П2

дт

дд

П3

дт

дд

П4

дт

С5

дд

П5

— = 4УЪ4дп 4 + 4УК4дС 4 д/

дт

— = 4 У Ъ5 дП 5 + 4 УК5 дС 5 д/

= 2у/1Ъ1 = 0, = 4у/2Ъ2 = 0, = 4У/3Ъ3 = 0,

= 4у/4Ъ4 = 0, = 4у/5Ъ5 = 0,

0.

(8)

Система имеет бесконечное множество решений, которые получаются из общих решений 16-ти видов, которые приводить не будем. Очевидно, что некоторые параметры, например дл, дш, всегда будут равны нулю. Следовательно, внутри области допустимых значений точек экстремума целевой функции (7) нет.

Таким образом, наименьшие значения целевых функций (3), (7) будут иметь место на границе области допустимых значений, где хотя бы одно ограничение-неравенство превращается в равенство, т.е. напряжения, запасы местной устойчивости, прогиб или геометрические размеры параметров металлоконструкции достигают предельных значений.

Ограничения (2) одинаковы как при параметрической, так и при структурной оптимизации. Эквивалентные напряжения, запасы местной устойчивости, вертикальный прогиб могут быть определены в виде функций с помощью метода граничных элементов [1]. Но найти точки возможного экстремума на границе области допустимых значений невозможно из-за сложности функций в ограничениях и из-за большого количества неизвестных. По этим же причинам невозможно использовать и другой аналитический метод - метод неопределенных множителей Лагранжа. С помощью аналитических методов можно определить оптимальные параметры отдельных элементов металлоконструкции, например, главной балки.

На практике для определения оптимальных параметров всей крановой металлоконструкции используются численные (приближенные) методы решения. Они делятся на прямые методы и градиентные методы [4].

Из прямых методов для решения оптимизационной задачи для крановых металлоконструкций применяется модификация метода Хука-Дживса [3]. Недостатком прямых методов оптимизации является невысокая скорость сходимости к оптимальной точке. Поэтому интерес представляют градиентные методы решения, так как обладают высокой скоростью сходимости и точностью получаемых результатов. Для решения указанных задач предлагается применить метод проекций градиента [2], обладающий следующими преимуществами:

1) Метод рассчитан для поиска оптимальных точек на границе области допустимых значений неизвестных.

2) Поиск направления убывания целевой функции с учетом ограничений производится с использованием градиента, что уменьшает число операций для организации одной итерации.

Рассмотренные численные методы имеют локальную сходимость, т.е. может быть найдена точка локального минимума, а не глобального [4].

Глобальный минимум можно найти по следующей схеме:

- провести сканирование области допустимых значений переменных /^, Ъ1, К, дш , до с некоторым шагом,

- рассматривая точки сканирования в качестве начальных точек, найти соответствующие им локальные минимумы методами локальной оптимизации (например, методом проекций градиента),

- выбрать комбинацию значений /■, Ъг-, К, дт , да , при которых металлоемкость минимальна.

Развитие ЭВМ, методов расчета напряженно-деформированного состояния металлоконструкций тяжелых козловых кранов привело к развитию теории оптимального проектирования крановых

221

0

0

0

0

0

0

металлоконструкций. При этом рассматриваются все элементы металлоконструкции в совокупности и используются градиентные методы оптимизации, что дает более точный результат за меньшее количество итераций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Барановская, Л.В. Теоретические основы применения метода граничных элементов к расчету пространственных крановых металлоконструкций // Вестник СГТУ. 2009. №1(37). С. 48-54.

2. Барановская Л.В. Использование метода проекций градиента при оптимальном проектировании металлоконструкций тяжелых козловых кранов // Вестник СГТУ. 2010. №1(44). С. 25-28.

3. Кобзев А.П. Развитие теории оптимального проектирования тяжелых козловых монтажных кранов: дис. ...д-ра техн. наук / А.П.Кобзев. Саратов, 1996. 405 с.

4. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: в 2 кн. Кн. 2: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 18 с.

Барановская Лариса Вакифовна -

кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой «Высшая математика и механика»

Балаковского института техники, технологии и управления (филиала)

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Кобзев Роман Анатольевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Подъемно-транспортные, строительные и дорожные машины»

Балаковского института техники, технологии и управления (филиала)

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 03.04.13, принята к опубликованию 30.04.13

Larisa V.Baranovskaya -

Ph.D., Associate Professor,

Head of the Department of «Higher Mathematics and Mechanics» of Balakovo Institute of Engineering, Technology and Management (affiliated branch) Gagarin Saratov State Technical University

Roman A. Kobzev -

Ph.D., Associate Professor of the Department

of «Pick-and place Construction and Road Machinery»

of Balakovo Institute of Engineering, Technology and Management (affiliated branch) Gagarin Saratov State Technical University