CC BY
317
1) Объяснение должно быть грамотно с точки зрения математики и отвечать причинно-следственной последовательности - последовательности доказательства.
2) Объяснение должно отвечать тому или иному методу поисковой деятельности.
3) Объяснение должно быть построено как демонстрация мыслительного процесса.
4) Объяснение следует вести до того момента, когда дальнейшее рассуждения хорошо понятны ученикам и не нуждаются в поиске.
Вторая группа принципов:
1) Раскрыть основную идею доказательства во введении в объяснение доказательства.
2) Представить объяснение в виде последовательности умозаключений.
3) При линейной структуре доказательства следует пользоваться схемой, подобной общей схеме рассуждений при восходящем анализе.
4) При развернутой структуре пользоваться планом.
5) В заключении целесообразно сформулировать вывод, в котором рассуждения увязывались бы с формулировкой теоремы.
Третья группа принципов:
1.Использование повторений точных и видоизмененных.
2.Использование слов-связок: «конец» одного предложения сочетается с «началом» другого. З.Переходы целесообразно использовать на всех этапах объяснения: во введении; при развитии доказательства и в заключении.
Общая структура объяснения:
- чтение формулировки теоремы;
- оформление краткой записи: дано, доказать, чертеж;
- идея доказательства;
- план доказательства как способ реализации идеи доказательства;
- реализация каждого пункта;
- выводы, другие способы доказательства.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Геометрия: учеб. для 7-9кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 5-е изд. - М. Просвещение, 1995, - 335с.
2. Зимняя, И.А. Педагогическая психология: учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 480 с.
3. Ожегов, С.И. Словарь русского языка изд. 7-е, стереотип.. М.: Сов. энциклопедия, 1968. - 693 с.
4. Программы средней общеобразовательной школы. Математика.
5. Сопер, П. Основы искусства речи. - М.: Пресс; Прогресс- Академия,1992.- 391 с.
6. Сохор, А.М. Объяснения в процессе обучения: Элементы - дидактической концепции. - М.: Педагогика, 1988. - 128 с.
7. Столяр, А.А. Как мы рассуждаем? - Минск: Нар. асвета, 1968. - 86 с.
О.Ф. Бушнева, А.Д. Эзиева
АНАЛИЗ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ ИЗ ОТКРЫТОГО БАНКА ЗАДАНИЙ ЕГЭ 2017 ГОДА
Аннотация. Представлена классификация задач экономического содержания из открытого банка заданий ЕГЭ 2017 года и способы их решения.
Ключевые слова: задача, ЕГЭ, банк, кредит, сумма долга, процент, платеж.
O.F.Bushneva, A.D. Ezieva
TASK ANALYSIS OF THE ECONOMIC CONTENT OF THE OPEN BANK JOBS, EXAM 2017
Abstract. The classification task of the economic content of the open Bank jobs, exam 2017 and their solutions.
Key words: task, EGE, Bank, credit, debt, interest, payment.
В системе школьного обучения, важной составляющей является подготовка ученика к сдаче единого государственного экзамена. Структура экзамена не остается постоянной. Каждый год она претерпевает определенные изменения. Так в 2015 году, наряду с разделением экзамена по математике на базовый и профильный уровни, впервые была дана задача с экономическим содержанием. Задача эта была включена во вторую часть профильного уровня, в демоверсии 2015 года под номером 19, в демоверсиях 2016 и 2017 годов под номером 17.
Несмотря на рост выполнения заданий повышенного уровня сложности, немногие учащиеся берутся на экзамене за решение этой задачи. Подтверждением этому является информация, раз-
мещенная на сайте ФИПИ в разделе «Аналитические и методические материалы», подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике. Там приведены следующие данные: «В 2016 году произошел заметный рост выполнения заданий повышенного уровня сложности с развернутым ответом (ненулевой балл получили свыше половины участников): алгебраического задания 13 - решение тригонометрического уравнения с отбором корней (2015 г. - 27,4%, 2016 г. - 38,9%) и практико-ориентированного задания 17 - решение текстовой задачи с экономическим содержанием (2015 г. - 2,3%, 2016 г. - 13%). Эти изменения свидетельствуют о качественном обучении математике в старшей школе и более четкой подготовке обучающихся к обучению в вузе.»
К сожалению, в данном источнике более детальный анализ успешности выполнения 17 задания не представлен. В аналитических записках отдельных регионов указывается, что правильно решили эту задачу менее 1% экзаменуемых. Невольно напрашивается вывод: если в аналитических данных ФИПИ при описании успехов выпускников в решении геометрических заданий повышенной сложности аналитики указывают, что максимальный балл за верно выполненное задание получили около 1% участников экзамена, а по задаче экономического содержания цифры приводятся только по получившим ненулевые баллы, то правильно решили данное задание в целом по стране, как и в отдельных регионах, менее 1% экзаменуемых.
Таким образом, существует проблема подготовки выпускника, связанная с решением экономических задач повышенного уровня сложности.
Сказать с полной определенностью, почему у подавляющего большинства выпускников не получается решать задачу экономического содержания, невозможно. Для этого нужно было бы проводить социологический опрос и затем делать какие-то выводы. В данной работе такой задачи не ставится. Возможно, это происходит по следующим причинам:
1) В школьной программе не уделяется достаточного внимания решению подобных задач.
2) При подготовке к экзамену школьник, бороздя "бескрайние просторы" интернета, попадает на сайты, на которых объем предлагаемых задач настолько огромен, что при значительных затратах времени, именно нужный навык, который бы помог получить высокий балл, не формируется.
3) Отсутствие общей математической культуры.
4) Неэффективные потери времени во время экзамена, которые в итоге приводят к его нехватке.
Цель данной статьи заключается в изучении подхода к подаче учебного материала данной тематики таким образом, чтобы при минимальных затратах времени выпускник овладел бы методами успешного решения задач ЕГЭ профильного уровня.
Работа была проведена по следующему плану:
1) Из открытого банка заданий ФИПИ были выбраны все прототипы задач, которые имеют данную тематику.
2) Проведена их классификация с целью выявления особенностей и нумерации (для удобства в дальнейшей работе).
3) Приведены методы решения представителей каждого вида задач.
Классификация прототипов задач №17, представленных в открытом банке ФИПИ
№ груп- Условное обозна- Отличительные особенности №
пы задач чение S г Вопрос задачи задачи
"в июле планируется взять кредит..." неизвестна, но является целым числом известен Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше определенной суммы. 1.1.1
Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше определенной суммы 1.1.2
1 Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше определенной суммы. 1.1.3
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше определенной суммы. 1.1.4
известна Чему будет равна общая сумма 1.2.1
выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит определенную сумму?
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит определенную сумму? 1.2.2
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит определенную сумму? 1.2.3
неизвестен Найдите г, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более, а наименьший — не менее определенной суммы. 1.2.4
"15-го января планируется взять кредит..." неизвестна известен Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась определенной сумме? 2.1.1
неизвестен Найдите г. 2.1.2
2 известна неизвестен, но является целым числом Найдите наименьшее значение г, при котором общая сумма выплат будет больше определенной суммы. 2.2.1
Найдите наименьшее значение г, при котором общая сумма выплат будет больше определенной суммы. 2.2.2
3 "вклад планируется открыть..." неизвестна, но является целым числом известен Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше определенной суммы. 3
Методы решения задач. Задача № 1.1.1
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год июл.16 июл.17 июл. 18 июл.19
Долг (в млн. руб.) 8 0,78 0,48 0
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Решение: 1. Необходимо преобразовать таблицу, данную в условии, таким образом, чтобы там были отображены все временные диапазоны, о которых упоминается в условии.
Месяц и год 07.16 01.17 02.06.1 7 07.17 01.18 02.-06.18 07.18 01.19 02.06.19 07.19
Долг (в млн.руб) 8 0,78 0,48 0
Долг (в млн.руб) 1,25 8 0,78*1,25= 0,875 8 0,48*1,25 =0,5 8
1,25
Выплаты 80,78 =0,5 5 8 0,875 8 -0,4 0,5 8-0=0,5 8
(в млн.руб) 8=0,475 8
Пояснение:
По условию каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года. Наконец 2016года долг был S млн. руб. Увеличить эту сумму на 25% это все равно, что умножить на коэффициент 1,25. В январе 2017 года сумма долга станет равной 1,25 S. Чтоб узнать чему будет равна сумма долга в январе 2018 года необходимо 0,7 S умножить на коэффициент 1,25, получим 0,875 S. Таким же образом рассчитаем величину долга на 01.19 года.
Теперь о том, как получили нижнюю строку "Выплаты". По условию с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга, да и по данным таблицы видим, что в июле каждого года сумма долга уменьшается по сравнению с январем. Нетрудно догадаться, что уменьшается она как раз на величину выплаты, то есть на сумму частичного погашения долга. Найти сумму выплаты сможет даже пятиклассник. Сумма выплаты в 2017 году равна 1,25 S-0,7 S=0,55 S. Таким же образом рассчитываем выплаты 2018 и 2019 годов.
Для решения задачи необходимо найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. рублей. То есть необходимо решить три неравенства.
0,55S > 5 0,475S > 5 0^ > 5
S > — S > —S > —
0,55 0,475 0,5
Естественно, что максимальное значение S примет в том случае, где знаменатель меньше (это мы тоже знаем из пятого класса).
S>10,5
По условию мы знаем, что S — целое число, следовательно, S=11млн. руб.
Для большей уверенности сделаем проверку:
0,55*11 = 6,05млн. руб. 0,475*11 = 5,225млн. руб. 0,5*11 = 5,5млн. руб.
Задача №1.2.1
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн. рублей?
Решение:
Пусть кредит планируется взять на п лет. Долг перед банком (в млн. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
28. 28(п -1) .28 • 2 ,28,0 п п п
По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн. рублей) в январе такова:
35(п -1) .35 • 2 .35
п п п
Следовательно, выплаты (в млн. рублей) должны быть следующими:
7+ 28 . 7(п -1) + 28 . 7 • 2 + 28 .7 + 28 п п п п
28
Получаем: 7+— = 9 откуда п=14. Значит, всего следует выплатить п
28+7(1+13 ... — )=28+7* —=80,5(млн. рублей).
14 14 2
Ответ: 80,5.
Задача № 2.1.1
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца.
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн. рублей? Решение:
2
Пусть начальная сумма кредита равна £, тогда переплата за первый месяц равна . По
условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из
„ £
двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной —, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
— £ .А .А £ ,± .А £
100 24 100 24 100 24 100 Общая сумма переплаты по кредиту равна:
2 23 2 2 2 1 2
— £ + — • — £ +.... — • — £ + — • — £ 100 24 100 24 100 24 100
Вынесем за скобки общий множитель и воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии:
1+
— £ (1 + 23 + .Л + -1) = -*- £ • ——24. 24 = 1 £ 100 24 24 24 100 2 4
По условию общая сумма выплат равна 1млн. руб., тогда:
1 £ + £ = 1 ^ £ = 0,8млн. руб 4
Ответ: 0,8 Задача № 2.2.1
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на г процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где г — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата 15.янв 15.фев 15.мар 15.апр 15.май 15.июн 15.июл
Долг (в млн. руб.) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0
Найдите наименьшее значение г, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн. рублей Решение:
1) Преобразуем табличку, данную в условии, поменяв для удобства оси, то есть столбцы поменяем местами со строками.
Даты Долг (в млн. руб.) на 15 число месяца Долг (в млн. руб.) на 1 число месяца Выплата (в млн. руб.)
15.01. 1
01.02 г 1*(1+—) 100
02-14.02 г 1*(1+—-— )-0,9 100
15.02 0,9
01.03 г 0,9*(1+ —) 100
02-14.03 г 0,9*(1+ — )-0,8 100
15.03 0,8
01.04 г 0,8*(1+ —) 100
02-14.04 г 0,8*(1+ — )-0,7 100
15.04 0,7
01.05 г 0,7*(1+ —) 100
02-14.05 г 0,7*(1+ — )-0,6 100
15.05 0,6
01.06 г 0,6*(1+ —) 100
02-14.06 г 0,6*(1+ — )-0,5 100
15.06 0,5
01.07 г 0,5*(1+—-—) 100
02-14.07 г 0,5*(1+ — )-0 100
15.07 0
2) По условию сумма всех выплат должна быть больше 1,2 млн. руб. Необходимо составить и решить неравенство.
г г г г г
1*(1+—— )-0,9+0,9*(1+—— )-0,8+0,8*(1+—— )-0,7+0,7*(1+—— )-0,6+0,6*(1+——)-100 100 100 100 100
г
0,5+0,5*(1+ — )-0>1,2<=> 100
Г
(1+ —)(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5)-(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5) >1,2<=> 100
г г г 47
(1+ — )(4,5)-3,5>1,2 <=> (1+ —)(4,5) >4,7 <=> 1+ — > — <=> 100 100 100 45
г 47 г 2
1+- >— <=>->— <=> г >200:45 <=> г >4,4=> г=5% так как по условию
100 45 100 45
г — целое число. Ответ: 5.
Задача №3
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн. рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн. рублей. Решение:
Пусть первоначальный вклад составляет S млн. руб., тогда:
В конце первого года на вкладе будет 1,1 S млн. руб.,
В конце второго года на вкладе будет 1,1 S*1,1=1,21 S млн .руб.,
В конце третьего года на вкладе будет (1,21 S+3)*1,1=1,331 S+3,3 млн. руб.,
В конце четвертого года на вкладе будет (1,331 S+3,3+3)*1,1=1,4641S+6,93 млн. руб.,
Далее необходимо решить неравенство:
1,464^+6,93 > 20
1,464^ > 20-6,93
1,464^ > 13,07
S > 13,07:1,4641 S > 8,93
S = 9 млн.руб. так как по условию S — целое число. Сделаем проверку:
В конце первого года на вкладе будет 1,1*9 = 9,9млн. руб., В конце второго года на вкладе будет 9,9*1,1 = 10,89 млн. руб., В конце третьего года на вкладе будет (10,89+3)*1,1 = 15,279 млн. руб., В конце четвертого года на вкладе будет (15,279+3)*1,1 = 20,1069 млн. руб. Подводя итог можно сделать вывод, что для успешного решения 17 номера ЕГЭ необходимо знать:
1.Из курса экономики:
понятие кредита, а именно, что кредит - это экономические отношения между банком и клиентом возникающие при передаче денег на условиях срочности, возвратности, платности;
понятие вклада, а именно, что банковский вклад — сумма денег, переданная лицом кредитному учреждению с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.
2.Из курса математики:
понятие процента и сложного процента;
понимать, что увеличить сумму долга или вклада S, например на 20% это все равно, что умножить сумму долга или вклада на коэффициент 1,20. Если же процент неизвестен, то S нужно
г
умножить на несколько громоздкую конструкцию (1+^^); принципы решения неравенств;
понятие арифметической прогрессии и формулу суммы арифметической прогрессии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аналитические и методические материалы. Открытый банк заданий ЕГЭ. Математика профильный уровень.; Демовер-сии, спецификации, кодификаторы. htpp://www.fipi.ru/ (дата обращения 18.01.2017г.)
2. Юсупов, И.Ю., Ярдухин, А.К., Дмитриева, О.В. "Анализ результатов единого государственного экзамена и основного государственного экзамена по математике и физике в чувашской республике в 2015 году: дидактический и статистический аспекты" Министерство образования и молодежной политики Чувашской республики http://ege21.ru/ege/metod/matem_i_fizlka_gla-2015.pdf (дата обращения 21.01.2017г.)
3.Гущин, Д.Д. Образовательный портал для подготовки к экзаменам "Решу ЕГЭ" htpps://ege.sdamgla.ru(дата обращения 09.01.2017г.)
4.Короткова, И.В. Презентация на тему: "Банки и кредиты" http://modem-econ.ru/makro/dengl-kredlt/kredlt.html (дата обращения 15.01.2017г.)
Т.А. Васильева, М.Г. Макарченко
ПРИЕМЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Аннотация. Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы с помощью развертывания условия задач, представлены примеры развертывания задач с помощью монолога и диалога.
Ключевые слова: задача, моделирование, восходящий анализ, приемы поиска решения задач.
T.A. Vasilyeva, M.G. Macarchenko
RECEPTIONS OF SEARCH OF DECISION OF TEXT TASKS IN THE COURSE MATHEMATICS OF INITIAL SCHOOL
Abstract. The solutlon to word problems mathematics is the elementary school through deployment in terms of objectives, examples of deployment tasks uslng monologue and dialogue.
Keywords: task modeling, thermal analysis, techniques of finding solutions to the problems.
ФГОС начального общего образования к предметным результатам освоения предметной области «Математика и информатика» относит: «использование начальных математических знаний; овладение основами логического и арифметического мышления; приобретение начального опыта применения математических знаний для «решения учебно-познавательных и учебно-практических задач»; умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и
