Анализ времени ожидания заявки в очереди для системы массового обслуживания общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИЗ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ОБЩЕГО ВИДА

Карташевский Игорь Вячеславович,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия, [email protected]

Сапрыкин Александр Вячеславович,

ОАО "Концерн "Автоматика", Москва, Россия, [email protected]

Рассматривается общий подход к решению задачи обработки коррелированного трафика в системе G/G/I с использованием обновляющих потоков, которые учитывают корреляционные свойства исходных последовательностей интервалов времени между поступлениями заявок и интервалов времени обслуживания заявок в системе массового обслуживания общего вида G/G/1.

Рассмотрены два подхода формирования обновляющего потока в зависимости от значения индекса дисперсии коррелированной последовательности случайных интервалов времени. Приводится определение обновляющего потока. При значении индекса дисперсии более 0,5 предлагается обновляющий поток с гиперэкспоненциальным распределением мгновенных значений интервалов времени, где корреляционные свойства исходного трафика учитываются специальным выбором параметров гиперэкспоненциального распределения (интенсивности двух пуассоновских потоков и "вес" любого из потоков в смеси). Эти параметры гиперэкспоненциального распределения в свою очередь определяются через параметры обновляющего потока: интенсивность потока, максимальное значение среднего числа событий и декремент "затухания" среднего во времени. Приводятся результаты, позволяющие рассчитать значения этих параметров по наблюдаемой выборке трафика на основе свойства пачечности, которое можно характеризовать функцией, называемой функцией пиковости трафика. При этом задача обработки коррелированного трафика системой G/G/1 сводится к задаче обработки некоррелированного трафика системой H2/H2/1. В случае, когда значение индекса дисперсии менее 0,5 предлагается обновляющий поток с эрланговским распределением временных интервалов, при условии, что интервалы времени в обновляющем процессе, имеют распределение, которое определяется смесью распределения Эрланга порядка k и экспоненциального распределения. Рассматривается пример расчета времени ожидания заявки в очереди посредством решения уравнения Линдли при обработке реального коррелированного IPTV трафика, у которого интервалы времени между заявками имеют распределение Дагума, а распределение интервалов времени обработки заявок представляется в виде смеси распределения Вейбулла и дельта-функции. Коррелированные последовательности используемых интервалов заменены эквивалентными обновляющими процессами, у которых реальные плотности вероятностей аппроксимированы гиперэкспоненциальными распределениями, параметры которых учитывают корреляционные свойства трафика. Показано, что наличие корреляционных связей внутри последовательностей интервалов времени между заявками и интервалов времени обработки заявок увеличивает среднее время ожидания заявки в очереди в несколько раз.

Информация об авторах:

Карташевский Игорь Вячеславович, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, доцент кафедры ПОУТС, к.т.н., г.Самара, Россия

Сапрыкин Александр Вячеславович, ОАО "Концерн "Автоматика", инженер, Москва, Россия Для цитирования:

Карташевский И.В., Сапрыкин А.В. Анализ времени ожидания заявки в очереди для системы массового обслуживания общего вида // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №2. С. 4-10.

For citation:

Kartashevskiy I.V., Saprykin A.V. (2018). Waiting time analysis for the request in general queuing system. T-Comm, vol. 12, no.2, рр. 4-10.

(in Russian)

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10024

Ключевые слова: система массового обслуживания общего вида, обновляющий процесс, коррелированный трафик, индекс дисперсии, уравнение Линдли.

Введение

Система массового обслуживания общего вида с одним обслуживающим прибором в обозначении Кендалла представляется как G/Gl 1, причем первая позиция G характеризует распределение интервалов времени между заявками, поступающими на обслуживание, а вторая позиция С определяет распределение интервалов времени обслуживания заявок. Для систем общего вида оба распределения произвольны, включая распределения с «тяжелыми» хвостами. Единственное ограничение, которое накладывает классическая теория массового обслуживания, заключается в том, что элементы как той, гак и другой последовательности интервалов времени должны быть независимы между собой и «внутри» каждой последовательности.

При этом одна из важнейших характеристик системы, а именно, - среднее время пребывания заявки в очереди, может быть определена из решения уравнения Линдли [1J, которое можно записать в виде

W(x)J]lC(x-y)dW(y)> о

где И''(-) - интегральная функция распределения времени ожидания заявки в очереди, функция, К{Л - ядро уравнения,

00

K{z)~ \B(z + x)ü(x)clx' о

где B() - интегральная функция распределения интервалов

времени обслуживания, aQ - дифференциальная функция

распределения (плотность вероятностей) интервалов времени между поступающими па обслуживание заявок.

В работах [2, 3J описан спектральный метод решения уравнения Линдли [1J, который в качестве первого шага предполагает нахождение преобразований Лапласа b(s) и

«(.v) для дифференциальных функций распределений Ь( ) и

а(-) интервалов времени обслуживания заявок и интервалов

времени между поступлениями заявок, соответственно. Для упрощения нахождения преобразования Лапласа a(s) и b(s)

в работе [4] была обоснована аппроксимация распределений 00 и суммами затухающих экспонент. При отсутствии

явно выраженных корреляционных свойств у рассматриваемых последовательностей интервалов удовлетворительное решение задачи можно было получить с использованием гиперэкспоненциальных распределений, например, как это сделано в работе [5J, что привело к аппроксимации системы G7G71 системой Н-,1Н->!\, где /■/, — символ гиперэкспоненциального распределения.

При наличии явно выраженных корреляционных свойств у рассматриваемых последовательностей интервалов аппроксимация системы G/G!1 системой Н-,1Ил1\ также возможна, один из вариантов такого решения приведен в работе [3]. Ниже рассматривается общий подход к решению задачи обработки коррелированного трафика в системе С/671 через введение так называемых обновляющих потоков [6-11], которые учитывают корреляционные свойства исходных последовательностей интервалов времени системы GIGI].

Потоки с гиперэкспоненциальным распределением. Будем рассматривать поток коррелированных интервалов

времени X ■, i = 1,2,... с интенсивностью ^ и параметра-

ми: конечным средним

т

•V*

конечной дисперсиеи

сг; =Var{X„},

коэффициентом

корреляции

Я ц.j _ тхI"t/т.\ j ^ _q | , коэффициен-

of

том вариации и индексом дисперсии

/х = С~(Х)

1 + 22X0")

j=I

Введем в рассмотрение число событий N в интервале ((),/]> начинающемся с момента наступления произвольного события, но не включающем его. Процесс Д', является нестационарным, т.к. интервал анализа начинается с нулевого момента времени. Связь между последовательностью X,, I = 1$,... и процессом дг задается соотношением [12[

ЩЫ, < /■) = Р{Х, + Х2 +... + Хг > /), г — 1,2,... ,

Используя результаты работы [12], можно записать некоторые соотношения, характеризующие свойства процесса Д^.

Среднее значение величины Д ( :

E(N,)=^rJ\Nt =г) УРЩ >r)-VF,.(t)>

г=1 /"=1

(D

где /?(•)- символ усреднения, Р (() ~ интегральная функция распределения суммы х 1 + X +... + X■ Производная по времени от ,)'■

(2)

dt

r=i dt

где /',.(/) - плотность вероятности, соответствующая распределению Р (/).

Для достаточно больших г (большое значение временного интервала /), очевидно справедливо:

Х^ + Xj +... + Xj.

■Е(Х)-

Поэтому, даже при нестационарном Д ( для большого / справедливо приближенное равенство

Е(Х)

которое для стационарного Д'; перехолит в точное.

Следовательно, для стационарного случая можно записать

Е(Х)

• = т •

Под обновляющим процессом И будем понимать процесс, для которого тн =тх (»ли Хи -Ах) и квадрат коэффициента вариации равен индексу дисперсии исходного потока, т.е. Cfj =1Х.

Полагая Nt = NH(t) (число событий в обновляющем процессе в интервале (0,/]) с учетом (1), (2), можно показать [9], что при t

E(N,)-^ÄHt + AH(t), где AH(t)=o(t), Т.к. предполагается, что Цщ ^ = О и

/-ми t

Ли=\ш l-E{Nx(tj)= — -/->« dt т ц

Тогда AH{t)=Aff, и для EiNs) в работе [9] предложена аппроксимация

тельств, приведенных в [6], приведем лишь результаты, позволяющие рассчитать значения параметров по наблюдаемой выборке трафика.

Как известно [6, 13], свойство пачечиости трафика можно характеризовать функцией, называемой функцией пико-вости графика и обозначаемой гх(В)- Суть этой функции

поясняется следующим образом.

Функция пиково ста оценивает влияние потока заявок с интервалами времени между заявками X¡, I = 1,2,... на

систему обслуживания, состоящую из бесконечного числа независимых обслуживающих приборов, каждый из которых имеет одинаковую интенсивность обслуживания и распределение времени обслуживания Д-). В работе 110] показано, что для случая, когда Д-) является показательным распределением с параметром , предельное значение функции г (В) Достигается при —>0 и может быть определено в виде

ФнЮ)*Л„г+Ан( \-е~а>"),

где декремент ан совместно с параметром Ан описывает изменение среднего значения Е\Ыа(Ш во времени.

В работе [7] показано, что для любого обновляющего процесса для квадрата коэффициента вариации С^ справедливо

С1=\ + 2АН.

Если в качестве обновляющего процесса выбирается смесь с вероятностями р и (1-/7) двух пуассоновских процессов с интенсивиостями к и у,, приводящая к гиперэкспоненциальному распределению {Н1) с плотностью

1+С:

(3)

то преобразование Лапласа плотности вероятностей распределения /-/-, будет иметь вид

wH(s) =

РУI , (1 - Р)Уг

н

УI + * У 2 + 5 При этом, как показано в [71, параметры обновляющего процесса определяются как

7\

Гг=К+ан$+Ан) ~П К +ан^н ~Уг

(4)

Р=

+ C;:TR,.(i)-

С другой стороны, в [6] показано, что

■^Н Z.vma\ '"

Приравнивая и можно определить пара-

метр Ан в виде

I /=]

Теперь, численно параметр Ан можно рассчитать, имея

реализацию трафика, по которой всегда можно оценить коэффициент вариации С,, и последовательность коэффициентов корреляции /гт(/),/ = 1,2,... ,

Для определения параметра ан поступим следующим

образом. Если приравнять плотности вероятностей процесса Н-, и двухфазного процесса [ 1 ], состоящего из двух «экспоненциальных» состояний с интенсивиостями ^ и у-, и вероятностью перехода р из одного состояния другое, то согласно [6, приложение В] можно записать:

ан =-

24

2Ан+\

(5)

В выражениях (4) присутствуют параметры Ан и а!Г,

которые определяют свойства обновляющего процесса.

Определение значений этих параметров достаточно сложно. Не вдаваясь в подробности рассуждений и доказа-

П о лученный набор параметров Хх,Ан,(Хи позволяет по формулам (4) однозначно синтезировать плотность распределения Н-, по формуле (3).

Потоки с распределением Эрланга. Для построения обновляющего процесса можно выбрать смесь не только двух пуассоновских процессов, что приводит к использова-

нию гиперэкспоненциального распределения {/7,) с плотностью (3), но и смесь процессов, мгновенные значения которых подчиняются распределению Эрланга [8]. В работе [9] показано, что необходимость такой аппроксимации возникает тогда, когда для коррелированного потока X-,1 = \,2,...

значение индекса дисперсии может оказаться меньше 0,5 (1Х < 0,5) и, соответственно. С)) < 0,5 ■ Распределение Эрланга записывается как

Цд-) =

Я(Лдг) (к 1)!

jc>0'

и параметры распределения имеют значения: тх—к/Я, егх =к/а • Распределение Эрланга характеризует сумму к независимых случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром Л - Заметим, что распределение Эрланга совпадает с гамма-распределением при выборе значения параметра гамма-рае пределен и я в виде целого числа.

Рассмотрим вновь поток коррелированных интервалов времени X/ = 1,2,... с выше обозначенными параметрами.

Здесь будем считать, что интервалы времени в обновляющем процессе Н, имеют распределение, которое определяется смесью распределения Эрланга порядка к и экспоненциального распределения с параметром Я ■ Весовым параметром при реализации смеси является параметр, обозначаемый в . \ [реобразование Лапласа от такой плотности вероятностей имеет вид

+ (1-0)

Л + s

Если приравнять тх к /% и рассчитать пи (второй момент для X), то для фиксированного к можно записать

тн = тх

вк+{\-в) Л

в=

ИЗ которых ВИДНО, ЧТО л ^ Л н — Л ■

Если значение к неизвестно, то его выбор, как показано в [8], может быть осуществлен путем решения задачи минимизации средпеквадрати чес кого отклонения от

/ н , где I (N )- индекс дисперсии, определенный по

выборке конечного размера N для последовательности X,, i= 1,2,... ■ Решение задачи минимизации осуществляется подбором параметров Л и 0 . после чего из соотношения (6) может быть определено значение к. При N —> оо выбор значения к достаточно произволен, и выбранное значение влияет только на точность аппроксимации истинного распределения мгновенных значений X ¡, i = 1,2,... распределением Эрланга,

Как указывалось выше, использование рассмотренной в данном подразделе аппроксимации наиболее целесообразно при / < о,5 я при декомпозиции коррелированных потоков [111.

Расчет времен» ожидания заявки в очереди при обработке коррелированного трафика в устройстве типа G/C/I. Будем использовать данные о статистике трафика IPTV, заимствованные из работ [3, 14, 15], зарегистрированного на уровне доступа.

Статистические свойства интервалов времени между пакетами характеризуются распределением Дагума:

/(*) =

акх

ак-\

(7)

ъак

Г Г

1 + X 1

-

V

¿+1

где к и а - параметры формы (к=7,4\а=2$5), Р масштабный коэффициент, ¡3 = 0,00144 , область определения функции: 0 < .т < +оо .

Распределение интервалов времени обработки пакетов можно представить в виде смеси распределения Вейбулла с вероятностью /]-0,19 и дельта-функции с вероятностью

А =0,81

!(¥) Н

х-П

4

+р2т-УоУ

(8)

2(j вк(к + \) + 2(1-0)

т2 =тх(1х + 1) = —-—---

X

Теперь можно получить два уравнения с двумя неизвестными для определения Л и в :

Л = Лх{бк + (\ - в)), (6)

Ч.2(/г + +1)+2)+j(2(/t +1)-к(к +1)+2)2 -Щ;-1)(* -2(/,+1)(*-])2

Здесь параметры распределения имеют значения (р = 0,46 , I = 127 ,3 , 37=0,16 10 4-

Корреляинонные свойства интервалов времени между заявками и интервалов времени обработки заявок характеризуются графиками, представленными на рис, 1 и 2.

I'iic. 1. Последовательность коэффициентов корреляции интервалов времени между поступающими заявками

Е(Х)=тх =

рГ{к+\!а)Г{\-\!а) Цк)

(9)

а; -\г(к)Г(к+2/сг)Г(1 -2!а)-Г2(к+1/«)Г2( 1 -1/«)1 ' ГЩ1

X ( ( 1 м

-Г" 1+1

, 1 V) 1 <Р)

дисперсия определяется как _ й-

у\ ?

поэтому лля распределения смеси (8) можно записать а;, = Е(Г2)- (£(К))- = ру {<х1 + (V, )2) + Р2у1 - (Р,У1 + Р2ул)2 =:

• (Ю)

Н)

-К'

(распределение Дагума) гиперэкспоненциальным распределением аи{т) вида (3):

аи(т)= р-г]е~лт +(]-р)-у2е

(И)

Рис. 2. Последовательность коэффициентов корреляции интервалов времени обработки -заявок

Анализируя графики изменения коэффициентов корреляции данных последовательностей можно утверждать, что они обладают самоподобными свойствами [13].

Далее определим параметры полученных распределений (7) и (8). Для распределения Дагума согласно [3] имеем

Параметры распределения (11) определяются по формулам (4), где д — и тх — средне значение распределе-

щ

ния Дагума.

где Е(Х) - среднее, а ~ — дисперсия, Г(.) — символ гамма-функции.

Для распределения Вейбулла = у = £Г| 1 + — +;/'

' " ' ' I <Р)

Итак, анализируемая система типа СЮ11 имеет известные статистические характеристики, определяемые выражениями (9), (10) и графиками изменения коэффициентов корреляции соответствующих последовательностей.

Как было указано выше, для того, чтобы использовать уравнение Линдли для определения среднего времени ожидания заявки в очереди в системе (7/С7/1 с известными корреляционными свойствами трафика, необходимо коррелированные последовательности используемых интервалов «заменить» эквивалентными обновляющими процессами, у которых реальные плотности вероятностей целесообразно аппроксимировать гиперэкспоненциальными распределениями, параметры которых учитывают корреляционные свойства трафика.

Аппроксимируем исходное одномерное распределение мгновенных значений интервалов времени между заявками

С~ — 1 т 00

При определении параметра д =—£__ + (/)

2 ' ы

предположим дня простоты вычислений, что последовательность 1^.(7),у = 1,2,... (рис. 1) аппроксимируется арифметической прогрессией с шагом 0,05 начиная с /?л.(1) = 0,75- Тогда в сумме у ^ | 11 можно оставить 15 членов, и исполь-

]

зуя таблицы [16] для вычисления значений гамма-функции, найдем

Это следует из того, что у ^ ( /) — 6 и для рас предел е]

ния Дагума при заданных значениях параметров распреде-

2

ления С2 14,7 и 4^1923-

тх

Декремент изменения дисперсии обновляющего процесса Определяем по формуле (5):

ан = —— = 2,01-2АН+]

Найденные значения Ап и ан позволяют по формулам

(4) определить параметры распределения обновляющего процесса:

У] =1,01; ^2-38435; р=0,99.

При значении р = 0,99 исходное распределение

Дат ума коррелированной последовательности интервалов времени между заявками моделируется фактически одной экспонентой.

Так как последовательность интервалов времени обработки заявок также обладают выраженными корреляционными свойствами, то её можно аналогичным образом «заменить» обновляющим процессом с гиперэкспоненциальным распределением //,, параметры которого будут учитывать

корреляцию аппроксимируемой последовательности.

Теперь гиперэкспоненциальное распределение запишем в виде

Последовательность коэффициентов корреляции, соответствующую рис. 2, также представим арифметической прогрессией, начиная с первого отсчета /?(,(1) = 0,45 с тем

же шагом 0,05, так, что в сумме ^^ уу будет 9 слагаемых.

2

Коэффициент вариации г^ — » соответствующий

^У 2

т у

распределению смеси (8), определим согласно соотношению (10) и в результате получим с2 =3,02- Далее, поступая

аналогично предыдущему, можно получить: я = 0,97 , =53336, = 1442-

Итак, вместо системы С/С/1 с коррелированными последовательностями интервалов времени, где обоим символам С соответствовали распределения не экспоненциального вида, получена система //.,///,/1 с гиперэкспоненциальными распределениями для некоррелированных последовательностей интервалов времени. Теперь расчет среднего времени ожидания заявки в очереди для полученной системы Н2/Н2/1 может быть легко произведен посредством

решения интегрального уравнения Линдли методом, описанным в работе [2], где показано, что среднее время ожидания заявки в очереди может быть рассчитано в виде

Г=-

"1 /¿2__

(12)

№2

где Zi , Z? ~ это вещественные отрицательные нули функ-

ции Я(5) =

2 а• 2 h

I—— j=is — ïi j=\Mj +s

, а коэффициенты at

и t> находятся по формулам

Cl\ —--1

-p)q u2{\-p)(\-cj)

Ci'j — I

/I + P\ ï\ + Pl /2+ P\ M +P2 . = Y\P4 j2b ^У\р(У-д), Ы'-pXi-«?).

1 Я+М Ï2+P\ ~ У1 + М2 /2+Р2

Нули функции И (s) определяются из решения алгебраического уравнения третьей степени относительно неременной х. Для рассчитанных выше значений параметров УьУ2>Р\>№2* Р " 4 среднее время ожидания в очереди составляет Т — 0,046 условных единиц времени.

Если обе последовательности А" и Y не коррелированы, то для того чтобы воспользоваться формулой (12), необходимо просто аппроксимировать систему G/Gl1 системой HJHJ!■ Для реализации такой аппроксимации можно

воспользоваться выше приведенной методикой, рассчитав сначала параметры Р и

Прн этом для С: =14,7 получим

Y\ =37464; ^=178$3; р=0,63

и для С, =3,02 соответственно

ц =48664; //2=П882; 4=0,786

Расчеты по формуле (12) дают значение времени ожидания заявки в очереди, равное Г = 0,0062

Сравнение двух значений Т показывает, что наличие корреляционных связей внутри последовательностей интервалов времени между заявками и интервалов времени обработки заявок в данном конкретном примере увеличивает среднее время ожидания в 7,2 раз.

Литература

1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Пер. с англ. под ред. В.И. Неймана. М.: Машиностроение, 1979.432 с.

2. Карташевский И.В. Модель трафика для программно-конфигурируемых сетей Н Радиотехника, №6, 2016. С. 124-129.

3. Карташевский И.В., Сапрыкин А.В. Обработка коррелированною трафика в узле сети типа G/G/1 // Радиотехника, 2017, № 10. С. 119-125.

4. Wolff R.W. Stochastic Modeling and ilie Theory of Queues / Prentice-Halt, Englewood Cliffs, NJ. 1989. 116 p.

5. Бпатое И.А.. Карташевский В.Г.. Киреева II.В.. Чупахина Л.Р. Метод аппроксимации произвольной плотности распределения суммами экспонент // Вестннк В ГУ. 2013. № 2. С. 53-57.

6. Jagerman D.L., Balcioglu В., Alliok Т„ Meiamed В. Mean Waiting Time Approximations in the G/G/1 Queue // Queueing Systems, 2004, 46. pp. 481-506.

7. Balcioglu В.. Jagerman D.L.. Altiok T. Approximate mean waiting time in a Gl/D/1 queue with autocorrelated times to failures // HE Transactions, 2007, vol. 39, pp. 985-9%.

8. Araghi M, Balcioglu B. A new renewal approximation for certain autocorrelated processes // Operations Research Letters, 36, 2008, pp. 133-139.

9. Balcioglu В.. Jagerman D.L., Alliok T. Merging and Splitting Autocorrelated Arrival Processes and Impact on Queueing Performance // Performance Evaluation, 2008, vol. 65, pp. 653-669.

10. Jagerman D.L., MeiamedB, On Markovian traffic with applications to TES processes // J. Appl. Math. Stochastic Anal., 1994, 7(3), pp. 373-396.

I!. Araghi №. Balcioglu B. Incorporating Autocorrelated Service Times in the Analysis of Delay Systems // www.researchgate.net/ publication/228806763 (дата обращения 12.10.2017).

12. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий / Пер. с англ. под ред. Н.П. Бусленко, М.: Мир, 1969.312 с.

13. Шелухин О.И., Тенякшев A.M.. Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / Под ред. О. И.Шелухи на, М.: Радиотехника, 2003. 480 с.

14. Бузов А.Л.. Букашкин С.А. и др. Специальная радиосвязь. Развитие и модернизация оборудования и объектов. М.: Радиотехника. 2017. 448 с.

15. Букашкин С.А.. Буранова М.А., Сапрыкин А,В. Исследование статистических свойств мультимедийного трафика при обработке в сети MPLS// Радиотехнические и телекоммуникационные системы, 2016. №4(24). С. 34-42.

16. Янке Е.. Эмде Ф.. Лёш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы) / Пер. с немецкого / Под ред. Л.И. Седова. М.: Наука. 1968. 344 с.

COMMUNICATIONS

WAITING TIME ANALYSIS FOR THE REQUEST IN GENERAL QUEUING SYSTEM

Igor V. Kartashevskiy, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia, [email protected] Alexander V. Saprykin, JSC "Concern "Avtomatika", Moscow, Russia, [email protected]

Abstract

The paper is about the general approach to processing correlated traffic in the G/G/1 system using renewal processes that take into account the correlation properties of the initial sequences of time intervals between the arriving requests and the time intervals for service requests in the G/G/1 system. We consider two approaches to the formation of the renewal process depending on the value of the index of dispersion of the correlated sequence of random time intervals. If the index of dispersion is more than 0.5, we propose a renewal process with a hyper-exponential distribution of the time intervals, where the correlation properties of the source traffic considered by a special choice of the parameters of the hyper-exponential distribution (the intensities of two Poisson flows and the weight of any of the flows in the mixture). Renewal process definition is given. These parameters of the hyperexponential distribution determined through the parameters of the renewal flow such as the intensity of the flow, the maximum value of the average number of events and the decay decrement of the mean time. We present the results that allow to calculate the values of these parameters from the observed sample of traffic. We use the property of burstness characterizing by a function called the peak traffic function. In this case, the task of processing correlated traffic by the G/G/1 system is reduced to the task of processing non-correlated traffic by the system H2/H2/I. If the index of dispersion is less than 0.5, we propose a renewal process with an Erlang time interval distribution, provided that the time intervals in the renewal process have a distribution that is determined by the mixture of the k-order Erlang distribution and the exponential distribution. For example, we calculate the waiting time of the request in a queue by solving the Lindley equation for queuing system describing the processing of real correlated IPTV traffic. The inter-arrival times have the Dagum distribution and the distribution of the service time intervals is represented as a mixture of the Weibull distribution and the delta-function. We replace the correlated intervals with the equivalent renewal processes where the real probability density function is approximated by hyperexponential distributions whose parameters regulates the correlation properties of the traffic. We show that the presence of correlation within the sequences of time intervals between requests and the service time of requests significantly reduces the average waiting time of the requests in the queue.

Keywords: queuing system with general input, renewal process, correlated traffic, index of dispersion, Lindley equation. References

1. Kleinrock, L. (1979). Teoriya massovogo obsluzhivaniya [Queuing theory] Translated by V.I. Neiman. Moscow: Mashinostroeinie Publ. (in Russian)

2. Kartashevskiy, I.V. (2016). Traffic model for software-defined radio. Journal Radioengineering, no 6, pp. 124-129.

3. Kartashevskiy, I.V., Saprykin, A.V. (2017). Processing correlated traffic in a network node type G/G/1. Journal Radioengineering, no 10. pp. 119-125.

4. Wolff, R.W. (1989). Stochastic Modeling and the Theory of Queues. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

5. Blatov, I.A., Kartashevskiy, V.G., Kireeva, N.V., Chupakhina, L.R. (2013). Approximation of arbitrary density of distribution of sums of exponentials. Proceedings of Voronezh State University. Series: Systems analysis and information technologies, no 2, pp. 53-57.

6. Jagerman, D.L., Balcioglu, B., Altiok, T. and Melamed, B. (2004). Mean Waiting Time Approximations in the G/G/1 Queue. Queueing Systems, vol. 46, pp. 481-506.

7. Balcioglu, B., Jagerman, D.L. and Altiok T. (2007). Approximate mean waiting time in a GI/D/I queue with autocorrelated times to failures. IIE Transactions, vol. 39, pp. 985-996.

8. Araghi, M. and Balcioglu, B. (2008). A new renewal approximation for certain autocorrelated processes. Operations Research Letters, vol. 36, pp. 133-139.

9. Balcioglu, B., Jagerman, D.L. and Altiok, T. (2008). Merging and Splitting Autocorrelated Arrival Processes and Impact on Queueing Performance. Performance Evaluation, vol. 65, pp. 653-669.

10. Jagerman, D.L. and Melamed, B. (1994). On Markovian traffic with applications to TES processes. J. Appl. Math. Stochastic Anal., vol. 7(3), pp. 373-396.

11. Araghi, M and Balcioglu, B. (2017). Incorporating Autocorrelated Service Times in the Analysis of Delay Systems, [Online], available at: (www.research-gate.net/publication/228806763) (Accessed 12 Oct. 2017).

12. Cox, D.R. and Lewis P.A. (1969). Statisticheskij analiz posledovatel'nostej sobytij [The statistical analysis of series of events]/ Translated by N.P. Buslenko, Mir, Moscow, Russia. (in Russian)

I 3. Shelukhin, O.I., Teniakshev, A.M. and Osin, A.V. (2003). Fraktal'nye processy v telekommunikacijah [Fractal processes in telecommunications] in Shelukhin, O.I. (ed.), Radiotekhnika, Moscow, Russia (in Russian)

14. Buzov, A.L. and Bukashkin, S.A. (ed.) (20I7). Special'naja radiosvjaz'. Razvitie i modernizacija oborudovanija i ob#ektov [Special radio communication. Development and modernization of equipment and facilities] Radiotekhnika, Moscow, Russia (in Russian)

15. Bukashkin, S.A., Buranova, M.A. and Saprykin, A.V. (20I6). Statistical properties research of multimedia traffic in MPLS network processing. RTS Journal, no 4, vol. 24, pp. 34-42. (in Russian)

16. E. Yanke, F. Emde, F. Loesh (I968). Special'nye funkcii (formuly, grafiki, tablicy) [Special functions (formulas, graphs, tables)] Translated by L.I. Sedov. Moscow: Nauka. (in Russian)

Information about authors:

Igor V. Kartashevskiy, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Assistant professor, Samara, Russia Alexander V. Saprykin, JSC "Concern "Avtomatika", Engineer, Moscow, Russia