Анализ возможностей непрерывных представлений задачи дистанционного управления техническим объектом с учетом фактора канальной среды Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Литература

1. Ловягин Ю.Н. Исчисление бесконечно малых Г.В. Лейбница в современном изложении, или Введение в нестандартный анализ А.Робинсона. - Сыктывкар: СЛИ, 2001. - 161с.

2. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980. - 236 с.

3. Успенский В. А Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука, 1987. - 128 с.

4. Nelson E. Internal set theory. A new approach to non standard analysis // Bull. amer. Math. Soc. - 1977. - V. 83. - № 6. - P. 1165 -1198.

5. Марков А. А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

6. Драгалин А.Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 544 с.

7. Праздникова Е.В. Моделирование вещественного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел // Вестник сыктывкарского университета. - 2008. -Сер.1.

8. Ловягин Ю.Н. Гиперрациональные числа как основа математического анализа // Вестник сыктывкарского университета. - 2008. - Сер.1.

9. Сегаль И.Ф. Доказательство равномерной непрерывности функций на гиперрациональных числах в аксиоматике арифметики // Косовский Н.К., Тишков А.В. Логики конечнозначных предикатов на основе неравенств: Учебное пособие. -СПб: Издательство С.-Петерб. университета, 2000. - 268 с. - С. 232 - 241.

Праздникова Елена Владимировна

Ловягин Юрий Никитич

— Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет, кандидат физ.-мат.. наук, доцент, [email protected]

УДК 62.50

АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИСТАНЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ С УЧЕТОМ ФАКТОРА КАНАЛЬНОЙ СРЕДЫ Н.Ю. Боженкова, О.С. Осипцева, А.В. Ушаков

Обсуждается задача анализа возможностей непрерывных модельных представлений задачи дистанционного управления непрерывным техническим объектом с учетом фактора канальной среды. Предлагается процедура синтеза управления с учетом фактора канальной среды, которая опирается на такие системные параметры, как характеристическая частота и запас устойчивости по фазе.

Ключевые слова: фактор канальной среды, дистанционное управление, непрерывное представление

Введение. Постановка задачи

Предлагается следующая логика решения проблемы: формирование управления непрерывным техническим объектом в предположении, что канальная среда в случае ее непрерывного описания представляет собой «черный ящик», вносящий в цепь передачи сигнала управления в прямом канале и в сигнале измерения в обратном канале «чистую временную задержку». На первом этапе синтеза устройства формирования сигнала управления (УФСУ) используется предположение, что в аппаратной среде системы «канальная задержка» отсутствует. Тем не менее, в алгоритмической среде фактор за-

держки учитывается в форме оценки влияния задержки на запас устойчивости по фазе выбранной полиномиальной модели как функции характеристической частоты этой модели [1]. Таким образом, в алгоритмической среде формируется банк модернизированных полиномиальных моделей, параметризованных характеристической частотой.

Такой подход позволит осуществлять синтез системы управления непрерывным объектом на основе непрерывных модельных представлений с помощью канонических полиномиальных динамических модальных моделей (ПДММ) методом модального управления, системная модернизация которых осуществляется в системной среде фактором наличия задержки в прямом и обратном каналах [2]. Очевидным недостатком подхода является то, что разработчик оказывается несвободным в выборе характеристической частотой Шд, пределы вариации которой задает банк модернизированных ПДММ.

Следует заметить, что если у разработчика есть возможность свободного выбора канальной среды с большей пропускной способностью, то проблема ограничения на характеристическую частоту ПДММ может быть снята.

Погружение полиномиальной динамической модальной модели с передаточной функцией Ф(в, Шд) вход-выход в канальную среду, модельно представляемую

чистым запаздыванием

Поставим задачу структурной реализации передаточной функции Ф(в, Шд) вход-выход ПДММ [1] в виде системы с отрицательной единичной обратной связью, что требует представления Ф(в, Шд) в форме

Ф(*, Ш0) = 0 (1)

1 + Ж (в, ш0)

где передаточная функция Ж (в, Шд) прямой цепи системы определяется соотношением

Ж (в, Ш0) = Ф(в, Ш0) . (2)

0 1 -Ф(в, Ш0)

Погрузим структурный компонент с передаточной функции Ж (в, Шд) в канальную среду, характеризующуюся чистым запаздыванием в прямом и обратном каналах связи, тогда получим динамическую систему, представленную на рис. 1.

Рис. 1. Структура динамической системы

Здесь g (^) - внешнее задающее воздействие, которое должно воспроизводиться с минимальной ошибкой техническим объектом в форме его функционального выхода у{1), у (^) - информационный выход, по которому замыкается система в случае ее погружения в канальную среду, ) = g (^) - у(^) - ошибка воспроизведения системой за-

дающего воздействия, s (t) = g(t) - у (t) - невязка задающего воздействия и информационного выхода; тпкс, токс - задержки в прямом и обратном каналах связи соответственно, порождающие в канальной среде совокупную задержку ткс = тпкс + токс. Если учесть физический механизм появления задержки в прямом и обратной каналах связи, состоящей в четырехфазном кодовом преобразовании типа «параллельный - последовательный» и наоборот, то численно эта задержка может быть оценена выражением ткс = 4np At, где At - длительность одного бита кода, а np - число разрядов аналого-

цифрового и цифро-аналогового преобразования [3].

Для дальнейших исследований запишем передаточную функцию Ф( s, Шо) ПДММ

в развернутом и параметризованном характеристической частотой Шо виде:

Ф^,Шо) = -п-^-in-п . (3)

sn + Уш sn-1 +... + Vn-хшП-1 + Кшп Тогда в силу соотношения (2) для W (s, Шо) получим:

W(S, Шо) =-:-^-р- . (4)

(sn-1 + ^шо sn - 2 +... + Vn-1шП-1)s

Погружение в канальную среду преобразует за счет наличия в ней задержек передаточную функцию разомкнутой системы W (s, Шо) в передаточную функцию

W (s, Шо), определяемую соотношением

W~(s,шо) = W(s,шо)е"тксs . (5)

Оценим влияние фактора канальной среды путем контроля изменения запаса устойчивости по фазе системы при переходе от передаточной функции W (s, Шо) к передаточной функции W (s, Шо) [1]. Запас устойчивости по фазе Ау системы с передаточной функцией W (s, ш о ) определяется выражением

Ау = п + у(шс ^ (6) где у(шс) = argW (уш, Шо) - значение фазовой характеристики частотной передаточной функции W(уШ,Шо) на частоте ш , равной частоте среза шс , которое вычисляется в силу (4) и (5) с помощью выражений

Ф(шс) = Ф(шс) - ТксШс (шс = Ушо );

( ) ) W

Ф(шс ) = arg п

■ argJ п

(sn-1 + V^-2 +... + Vn-Ш

Vn

= (7)

s=УШс

(Д)" + л Г1 +... + У^у

В выражениях (7) учтено то обстоятельство, что при фиксированной локализации собственных значений матрицы состояния ПДММ, параметризованных характеристической частотой шд, между шо и частотой среза шс существует линейная связь с коэффициентом у, который принимает свое значение для каждого порядка п ПДММ и каждой локализации собственных значений [4]. В силу этой связи значение фазы ф(шс) на частоте среза шс не зависит от характеристической частоты шд .

Дальнейшие исследования проблемы проведем на примере локализации собственных значений Баттерворта третьего порядка, для которого передаточная функция Жш о ) принимает вид

3

Ж(«,Шо) = -1-Ш-(8)

(5 + 2ш0 5 + 2ш0)5

Проведенные исследования полинома Баттерворта третьего порядка позволяют охарактеризовать его:

• значением фазы ф(шс) на частоте среза шс, равным ф(шс) = -119,51°;

• значением запаса устойчивости по фазе Аф = п + ф(шс) = 60,49°;

• значением частоты среза шс = 0,4963шо .

Результаты исследования динамических свойств системы, построенной по схеме рис. 1 с передаточной функцией вида (8) и значениями задержки ткс, порождающими

на частоте среза шс = 0,4963шо фазовый сдвиг ААф = §АфАф, где §Аф - относительное

приращение фазового сдвига, в модельной среде 81шиНпк оболочки МайаЬ сведены в табл. 1. В таблице представлены следующие динамические показатели системы: а, % -перерегулирование кривой переходного процесса по функциональному выходу, 1пу Ш0 -

длительность переходного процесса по функциональному выходу, tr¡~Ш0 - длительность переходного процесса по информационному выходу.

На основе полученных результатов для расширения банка моделей ПДММ были проведены аналогичные исследования для случая модифицированного распределения мод Баттерворта, который характеризуется частотой Ш0 и углом раскрыва сектора, симметрированного относительно вещественной оси в левой полуплоскости, равным 2у = 60°, порождающего колебательность системы д=1§30°=0,5774, что доставляет такой ПДММ в случае отсутствия запаздывания переходные процессы без перерегулирования.

Для ПДММ с каноническим распределением мод Баттерворта 3-го порядка

ААф, град 0 -3,03 -6,05 -9,07 -12,1 -15,12 -16,15 -21,17 -24,2 -27,22 -30,25

5аф ,% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tпy ^ с 5,97 6,43 6,79 7,09 10,41 11,12 11,71 15,66 16,67 21,13 22,48

п ^с 5,97 6,38 6,68 6,94 10,20 10,95 11,34 15,3 16,25 20,64 21,95

а, % 8,15 11,65 15,45 19,51 23,84 28,31 32,96 37,74 42,63 47,6 52,65

Таблица 1. Результаты исследования динамических свойств системы с передаточной

функцией (8)

Для модифицированного распределения мод Баттерворта передаточная функция Ж(5,Ш0) принимает вид

W(s,Qo) = -^-(9)

(s + (2cos y + 1)шо s + (2cos y + 1)rao) s

Проведенные исследования модифицированного полинома Баттерворта третьего порядка при у=30° позволяют охарактеризовать его:

• значением фазы ф(шс) на частоте среза шс, равным ф(шс) = -110,77°,

• значением запаса устойчивости по фазе Лф = п+ф(шс) = -69,33°,

• значением частоты среза шс = 0,3595шо.

Для ПДММ с модифицированным распределением мод Баттерворта 3-го порядка

ЛЛф, град 0 -3,47 -6,93 -10,34 -13,87 -17,33 -20,8 -24,27 -27,73 -31,2 -34,67

8лф ,% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t пу С 5,42 5,04 4,83 8,36 9,1 9,63 13,45 15,15 16,19 21,82 23,47

t пу ^ с 5,42 4,95 4,66 8,1 8,76 9,21 12,94 14,55 15,51 21,05 22,63

а, % 0 1,55 4,41 8,16 12,56 17,44 22,67 28,16 33,83 39,66 45,59

Таблица 2. Результаты исследования динамических свойств системы с передаточной функцией(9)

Результаты исследования динамических свойств системы, построенной по схеме рис. 1, с передаточной функцией вида (9) и значениями задержки ткс, порождающими

на частоте среза шс = 0,3595шо фазовый сдвиг ДДф = 5дфЛф, где 5дф - относительное

приращение фазового сдвига, в модельной среде 81шиНпк оболочки МайаЬ сведены в табл. 2. В таблице представлены следующие динамические показатели системы: а, % -перерегулирование кривой переходного процесса, 1пу Шо - длительность переходного

процесса по функциональному выходу, tп~ Шо - длительность переходного процесса по

информационному выходу.

Для большей наглядности результатов кривые зависимостей перерегулирования а и времени переходного процесса tпy Шо от относительной величины уменьшения запаса устойчивости 5дф для полинома Баттерворта (кривая 1) и модифицированного

полинома Баттерворта (кривая 2) представлены соответственно на рис. 2 и 3.

Исследования показали, что уменьшение запаса устойчивости на десять процентов ( ДДф = 0,12 рад = 6,933 °) за счет звена чистого запаздывания для ПДММ с каноническим распределением мод Баттерворта практически не меняет времени переходного процесса, но сильно увеличивает перерегулирование; для ПДММ с модифицированным распределением мод Баттерворта практически не меняет времени переходного процесса и перерегулирования. Таким образом, это значение ДДф = 0,12 рад для модифицированного распределения мод Баттерворта можно принять как допустимое при учете фактора канальной среды при синтезе системы дистанционного управления.

>£7,90

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.1 0.15 0.5

Рис. 2. Зависимости перерегулирования а от относительной величины уменьшения запаса устойчивости 5Дф: 1 - для полинома Баттерворта, 2 - для модифицированного полинома Баттерворта

¿¿у. 100 %

Рис. 3. Зависимости времени переходного процесса ¿„у®о от относительной величины уменьшения запаса устойчивости 5дф: 1 - для полинома Баттерворта, 2 - для модифицированного полинома Баттерворта

Если величину ЛЛф связать с длительностью бита At, числом разрядов кода пр, характеристической частотой Шо используемого при синтезе распределения мод, а также коэффициентом у связи частоты среза шс и Шо ПДММ, то получим

ЛЛф = 4пр Л/ш0 у = 0,12. (10)

Если при фиксированном значении параметра Лt предоставленной канальной среды разрешить выражение (10) относительно характеристической частоты Шо, то полученное значение Ш0 =ЛЛф(4ПрЛ/у)-1 следует использовать при формировании непрерывной модальной модели.

Если при заданном значении характеристической частоты Ш0 разрешить выражение (10) относительно параметра Л/ канальной среды, то полученное значение Л/ = ЛЛф(4Пр Ш0 у) 1 следует учитывать при выборе канальной среды для организации дистанционного управления.

Проведенные исследования позволяют построить алгоритм синтеза системы дистанционного непрерывного модального управления непрерывным техническим объектом на основе формирования требований к характеристической частоте Шо и параметрам канальной среды.

Алгоритм

1 По техническим требованиям к системе дистанционного управления непрерывным техническим объектом с учетом фактора канала связи предоставленного телемеханического протокола:

1.1 задать длительность Дt элементарного сигнала (бита) используемых в канальной среде двоичных кодов на основе пропускной способности предоставляемого

телемеханического протокола (ТМП) в силу соотношения: Дt = (с)-1, где с - пропускная способность канала ТМП;

1.2 охарактеризовать аппаратные средства кодовых преобразований при формировании сигнала управления, передаваемого по прямому каналу связи, и сигнала измерения выхода объекта, передаваемого по обратному каналу связи, величиной пр - числом разрядов ЦАП, АЦП параллельного и последовательного кодов.

2 Сформировать требования к показателям качества в форме величин перерегулирования а и времени переходного процесса tп системы дистанционного управления непрерывным техническим объектом в переходном и установившемся режимах ее функционирования.

3 Сформировать (А, В, С)-представление дистанционно управляемого технического объекта.

4 Выбрать полиномиальную динамическую модель желаемого поведения «вход-выход» проектируемой системы.

5 Просинтезировать систему без учета фактора задержки в канальной среде.

6 Оценить значения частоты среза шср и запаса устойчивости по фазе Дф про-

синтезированной системы.

7 Ввести допустимое значение ДДф уменьшения запаса устойчивости по фазе на основе допустимого уровня изменения динамических показателей системы в виде величин перерегулирования а и времени переходного процесса tпy, обратив основное

внимание на величину перерегулирования.

8 Осуществить переоценку:

8.1 значений характеристической частоты Шо при допустимом изменении запаса

устойчивости при фиксированных значениях канальной среды ( Лt);

8.2 параметров канальной среды при фиксированных параметрах модальной модели в форме значения характеристической частоты Шо на основании допустимого изменения запаса устойчивости.

9 По результатам пункта 8 просинтезировать систему по схеме пункта 5.

10 Провести комплексное исследование системы в программной оболочке МайаЬ 6.5 (81шиНпк).

Заключение

В статье использован подход, опирающийся на концепцию «черного ящика», вносящего чистое запаздывание и, как следствие, уменьшение запаса устойчивости по фазе ДДф при непрерывном модельном представлении канальной среды. Подход позволил предложить алгоритм синтеза системы дистанционного управления непрерывным объектом на основе непрерывных модельных представлений с помощью канонических и

модифицированных полиномиальных динамических модальных моделей (ПДММ) методом модального управления на основе формирования требований к характеристической частоте Ш0 путем оценки величины ЛЛф, не приводящей к нежелательному изменению динамических показателей системы. Одновременно подход позволяет сформулировать требования к параметрам канальной среды в форме величины Л/ - длительности бита при выборе канала связи.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -СПб: Изд-во «Профессия», 2003.

2. Ирвин Дж., Харль Д. Передача данных в сетях: инженерный подход. - Пер. с англ. -СПб: БХВ - Петербург, 2003.

3. Боженкова Н.Ю., Осипцева О.С., Ушаков А.В. Фактор канальной среды в задаче синтеза цифрового дистанционного управления непрерывным объектом // Изв.вузов. Приборостроение. - 2008. - Т.51. - №3.

4. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.

Боженкова Надежда Юрьевна

Осипцева Ольга Святославовна Ушаков Анатолий Владимирович

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]

— Компания 81ешепее, ведущий специалист, Ье[email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]

УДК 62.50

КОНТРОЛЬ ВЫРОЖДЕНИЯ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СОЗИДАТЕЛЬНОГО ТИПА

С АНТРОПОКОМПОНЕНТАМИ Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков

Рассматривается проблема контроля вырождения сложных динамических систем созидательного типа с антропокомпонентами. Для количественной оценки вырождения используются функционалы вырождения, конструируемые на спектре сингулярных чисел критериальной матрицы системы. Примером такой системы может быть любой функциональный или творческий коллектив: экипаж космического аппарата, персонал исследовательской лаборатории и т.д.

Ключевые слова: вырождение, контроль, сложная система, антропокомпонент, состязательный тип

Введение

Динамическая система с антропокомпонентами созидательного типа представляет собой контингент из п членов, каждый из которых несет конкретную функциональную нагрузку, вычлененную из общей задачи. Каждый из представителей коллектива функционирует с персональными параметрами передаточной функции (полосой пропускания, моторного запаздывания и т. д.) при определенным образом распределенной нагрузке. В случае неравномерно распределенной среди антропокомпонентов нагрузки может про-