CC BY
19
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 03. С. 78-96.
]Э5М 1994-040В
Б01: 10.7463/0317.0001115
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 536.24
Анализ влияния числа Прандтля на значение коэффициента восстановления температуры
Бурцев С. А.1,2*
08.02.2017 22.02.2017
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
Выполнен анализ методики расчета трубы Леонтьева и показано, что максимальное влияние на эффективность работы данного устройства оказывает значение коэффициента восстановления температуры г. Выполнен анализ известных зависимостей для его определения и сопоставление их с известными экспериментальными и аналитическими данными. Предложена новая зависимость значения коэффициента восстановления температуры г от величины числа Прандтля (для диапазона чисел Рг меньше или равных единице) и выполнена ее верификация по известным данным. Проведенное сравнение показало, что в области чисел Прандтля меньших или равных единице она описывает значение г лучше других известных зависимостей.
Ключевые слова: газодинамическая температурная стратификация; труба Леонтьева; коэффициент восстановления температуры; турбулентный пограничный слой; число Прандтля; число Прандтля турбулентное
Введение
В работах [1, 2] предложен способ газодинамического энергоразделения и устройство для его осуществления, получившее название труба Леонтьева (ТЛ). Представленный в работах [3, 4] анализ факторов, определяющих эффективность энергоразделения в ТЛ, показал, что наибольшее влияние на этот процесс оказывает коэффициент восстановления температуры г [5].
В работе [6] предложена методика расчета ТЛ на базе уравнений одномерной газовой динамики. Ее верификация была проведена по экспериментальным исследованиям на воздухе [7, 8], природном газе [9, 10] и смесях инертных газов [11].
Скорректированная методика [12] показала хорошее совпадение с результатами численных исследований других авторов [13, 14, 15] и возможность дополнительного учета таких факторов как конденсация части рабочего тела [16], влияния слабых скачков [17, 18] и использования интенсификаторов теплообмена [19] или выполнения расчета комбинированного устройства (ТЛ с вихревой трубой) [20].
Однако во всех этих методиках значение коэффициента восстановления температуры г принималось по формулам, аппробированным для воздуха или газов со значением числа Прандтля близким к 0,7 [21]. В работе [22] показано, что максимальная эффективность ТЛ может быть достигнута на газах (смесях газов) имеющих низкое значение числа Прандтля, но механизм расчета там представлен не был.
1. Введение понятия коэффициента восстановления температуры
В 1921 году Польгаузеном [23] было показано, что полная энергия потока сжимаемого газа может изменяться по толщине пограничного слоя. В той же работе для ламинарного потока была представлена связь значения числа Прандтля с величиной коэффициента восстановления температуры, которую в диапазоне чисел Прандтля от 0,6 до 2,0 обычно аппроксимируют в виде зависимости [21 ]
г = л/Рг, (1)
где Рг = /лСр!Л, где ¡1 - коэффициент кинематической вязкости, Ср - изобарная теплоемкость, л - коэффициент теплопроводности.
М. Широковым была предложена формула [24, 25], связывающая коэффициент восстановления температуры с числами Прандтля и Рейнольдса:
г = 1 - 4,55(1 - Рг)Яе-0,2 , (2)
где Яе = {У1р)1л - число Рейнольдса, составленное по длине обтекаемой стенки I и параметрам внешнего потока (V - скорости, р- плотности и ¡л).
Однако широкой известности она не получила и для турбулентного потока обычно используют зависимость, предложенную спустя 6 лет Аккерманом в работе [26] для чисел Прандтля в диапазоне 0,5.. .2,0
г = ^Рг . (3)
Позже Себаном [27] для турбулентного потока была получена зависимость коэффициента восстановления температуры от чисел Прандтля и Рейнольдса:
г = 1 -
г 5Рг+ 7 Рг л
4,71 - 4,11---0,601Рг
5Рг+1 2
Яе-0'2 . (4)
V 5±1т12 J
Туккер и Мазлен в работе [28] для турбулентного режима предложили зависимость коэффициента восстановления температуры от чисел Прандтля, Маха и Рейнольдса:
г = рг(^+1+0,528Мо )1(ш+1+ы02) (5)
где N = 2,6 Яе0'25 М0 = V/азв - число Маха, азв - скорость звука в набегающем потоке.
В работе [29] приводится зависимость для аппроксимации (по материалам исследования Скуаре [30]) значения коэффициента восстановления температуры в турбулентном пограничном слое
г = Рг(и+1)/(и+з) (6)
где п - показатель степени при степенной форме записи уравнения скорости в пограничном слое [21].
2. Исследование значения коэффициента восстановления температуры при течении воздуха
Начиная с середины XX века было выполнено большое количество аналитических, численных и экспериментальных исследований обтекания пластины, цилиндра, конуса, параболоида и комбинированных тел (комбинации конуса и цилиндра, параболоида и цилиндра, см., например, [31, 32, 33]). Целью этих исследований было определение коэффициента восстановления температуры при турбулентном режиме с числами Маха от 1,5 до 6,0. Подробное обобщение результатов этих исследований для ламинарного и турбулентного потоков сделано в работе [34].
В качестве примера таких исследований можно привести работу [35]. На рис. 1 и 2 представлены геометрия исследуемого тела и полученные результаты [35]. Если данные рис. 2 пересчитать на коэффициент восстановления температуры, то получаемые величины находятся в диапазоне 0,85.. .0,90.
(Ь) 40ь ccm-cyitodes. АН dimensions in inches.
Рис. 1. Геометрия исследуемого тела, фрагмент работы [35]
При этом все исследования были выполнены на воздухе и в общем случае подтверждали зависимости (1) для ламинарного потока и (3) - для турбулентного. Влияние градиента давления, чисел Маха и Рейнольдса были незначительны, хотя, например, в [28] настаивается на снижении r с увеличением числа Маха. Примеры результатов экспериментов для ламинарного потока по данным [32] приведены на рис. 3 и 4.
Из анализа данных работы [32] видно, что независимо от угла раскрытия конуса (различные продольные градиенты давления) и числа Маха все экспериментальные данные для ламинарного обтекания конуса хорошо описываются зависимостью (1).
Аналогичная ситуация складывается при анализе влияния числа Рейнольдса и угла раскрытия конуса (см. рис. 4).
Рис. 2. Отношение температуры поверхности тела к температуре торможения в потоке в разные моменты
времени, фрагмент работы [35]
Г = г— Ур7
0 о A ,-w i / ста □ с ■ □
LJ СГ
TOTAL CONE ANGLE О 10° □ 20° 7 40е ¿6 0° О 60° |
.90
.80
.70
I
М
Рис. 3. Влияние числа Маха и угла раскрытия конуса на значение коэффициента восстановления температуры при ламинарном обтекании тела, фрагмент работы [32]
.9 0
,ео
.70
r-Vp7 - Л с ' о 1 р Л in с д L-wA^-J .0 rn
V > Л о
TOTAL CONE LOCAL MACH ANGLE NUMBER О 10° 1.51 TO 4.63 □ 20° 1.42 TO 4.2 2 7 4 0° 1.20 TO 3,20 Д 6 0" 0,08 TO 248 0.90° 1.12 TO 1.76
,60
2X10"
ю
Ю'
Re
Рис. 4. Влияние числа Рейнольдса и угла раскрытия конуса на значение коэффициента восстановления температуры при ламинарном обтекании тела, фрагмент работы [32]
Анализ, выполненный в работе [36] показал, что одним из параметров, определяющих значение коэффициента восстановления температуры, является число Прандтля турбулентное
Ргг =^ГСР1 ¿Г ,
где: /т - турбулентный коэффициент кинематической вязкости газа, Хт - турбулентный коэффициент теплопроводности газа [36].
В работе [37] представлена многопараметрическая зависимость Ротта, позволяющая определить коэффициент восстановления температуры в турбулентном пограничном слое через число Прандтля и число Прандтля турбулентное
С
г = Ргг + б(Рг- Ргг )+ 7(1 - Ргг )
С
/
Л0,5
V 2 ,
(7)
где Ь - некоторая функция отношения Рг / Prт, С/ - местный коэффициент трения [37].
В работе [38] приведено аналитическое выражение для коэффициента восстановления температуры в турбулентном потоке (однако его применение нецелесообразно, т.к. при выводе использовано большое количество допущений)
1+1.
X
С_1_ 2
(1 - РТ)
ж
3
6 + 2(1 - Ргг)
+
г = Рг
+ 25-^ 2
Рг
Рг
-1 + 21п
1+5 6
Рг
V Р^
-1
+ (1п6)1п
1+7
8
Рг
V РТ
-1
_г
- 25—(1п 6) 1п
1+1
4
Рг
V РТ
-1
где х - универсальная постоянная, характеризующая путь перемешивания [21].
В результате проведенных исследований можно сделать вывод о том, что все зависимости, предложенные для турбулентного пограничного слоя (2)...(7) в случае течения воздуха приемлемы. В литературе чаще всего для ламинарного потока используют зависимость (1), а для турбулентного - (3) или (7).
3. Исследование значения коэффициента восстановления температуры при течении гелия
В работе [39] были проведены исследования коэффициента восстановления температуры при турбулентном течении гелия. На рис. 5 представлены полученные авторами [36] результаты (выделены красным цветом) и их сопоставление с экспериментальными данными на воздухе [40].
В турбулентной области при больших числах Рейнольдса и Маха коэффициент восстановления температуры составлял 0,899 ± 0,002 [39] (левая точка относится к переходной области), что значительно выше, чем получаемая по выражению (3) величина 0,883.
2
: —
На рис. 6 представлены данные о влиянии чисел Маха и Рейнольдса на значение коэффициента восстановления температуры при течении гелия и их сопоставление с данными на воздухе [39].
Рис. 5. Влияние числа Рейнольдса на значение коэффициента восстановления температуры при течении гелия [39] и сопоставление с результатами на воздухе [40], по данным [39]
Рис. 6. Влияние числа Маха на значение коэффициента восстановления температуры при течении гелия (закрашенные символы) и сопоставление с результатами на воздухе (незакрашенные символы), фрагмент
работы [39]
Из рис. 6 видно, что в отличие от теории [28] значение г возрастает с увеличением числа Маха одновременно снижаясь с ростом числа Рейнольдса.
Однако если проанализировать опубликованные результаты дальнейших исследований течения гелия с большими сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями [41, 42], то можно заметить что в них используются подходы, полученные для воздуха [31, 32, 40], и зависимость (3). Возможно результаты работы [39] можно объяснить тем, что в этом случае формирование теплового и динамического пограничных слоев шло иначе, чем в работах других исследователей, что и привело к получению такого результата (подробнее о влиянии формирования слоев на г см. [43]).
4. Анализ влияния числа Прандтля на г
Влияние числа Прандтля на значение коэффициента восстановления температуры описывается зависимостью (1) только в диапазоне чисел Прандтля 0,5^г<2,0, при том что бинарные смеси легких и тяжелых газов могут давать значение числа Прандтля на уровне 0,2 и ниже [44, 45].
На основе точного автомодельного решения для ламинарного пограничного слоя в [46] получено, что при Pr<0,5 значение коэффициента восстановления температуры стремится к уровню г = 0,871л/Рг. Однако этот результат пока не подтвержден результатами численных или экспериментальных исследований. При этом практически все работы, затрагивающие эту область, используют зависимость (1) [13, 14, 21, 22].
При турбулентном режиме течения наиболее часто встречаются зависимости (3) и (7), однако, как показано в работах [47, 48], для смесей с Pr<0,5 эти зависимости не применимы. В работе [47] для турбулентного режима течения на основе данных [11] была предложена зависимость коэффициента восстановления температуры от Прандтля в виде
г = 0,9 Рг01 (8)
В работе [48] предложена похожая зависимость
г = 0,95 Рг0,11.
Однако в работе [14] (один из авторов - тот же, что и автор [48]) был скорректирован коэффициент перед числом Прандтля и зависимость приобрела вид
г = 0,94 Рг011. (9)
На рис. 7 приведены результаты расчета значения коэффициента восстановления температуры по зависимостям (2), (3), (4), (5) и (7) при параметрах проведения экспериментальных исследований [11] и их сопоставление с известными данными для воздуха и результатами [11]. При расчете по зависимости (7) было использовано значение Pr?=0,85 в соответствии с рекомендациями работы [49]. Дополнительно на этом графике представлены результаты численных расчетов [50] для значения Pr7=0,85.
Из данных, представленных на рис. 7 видно, что ни одна из зависимостей (2)...(5) и (7) в области низких значений чисел Прандтля не совпадает с данными [11]. Результаты расчета по методике [50] при значении Pr?=0,85 относительно хорошо описывают экспериментальные данные [11]. Известные экспериментальные данные для воздуха ^1=0,68.. .0,72) хорошо описываются зависимостями (3), (5) и достаточно хорошо совпадает с (6) и результатами численных расчетов [50].
Учитывая физический смысл числа Прандтля и коэффициента восстановления температуры можно утверждать, что при Pr—1,0 значение г—>1,0 [36, 37]. Из представленных на рис. 7 данных видно, что при Pr=1,0 значение г~1,0 дают зависимости (2), (3), (4) и (5).
На рис. 8 представлено сопоставление результатов расчета по зависимостям (6), (8) и (9) при параметрах проведения экспериментальных исследований [11] и их сопоставление с известными данными для воздуха и результатами для смеси аргон-водород [11].
Рис. 7. Сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными: 1 - расчет по (2); 2 - по (3); 3 - по (4); 4 - по (5); 5 - по (7) при Ргг=0,85 [49]; 6 - результаты расчета [50] при Prr=0,85; 7 - область известных экспериментальных данных для воздуха; 8 - экспериментальные данные для смеси аргон-водород [11]
0£6
0,90
о ее
0.76
. л - ' Т ' "* ' * * 1 Ш ш
* к - Т '
к* # **
а % ■■ - 2 4 5 _
* А - - - 1 Ъ
%
0,70
о.а
о.э
0,4
0.5
0,«
0,7
ол
Рг
Рис. 8. Сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными: 1 - расчет по (8); 2 - по (9); 3 - по (6); 4 - область известных экспериментальных данных для воздуха; 5 - экспериментальные данные для смеси аргон-водород [11]]
Из представленных на рис. 8 данных видно, что при Pr=1,0 значение 1^1,0 дает только зависимость (6), однако при значениях числа Прандтля ниже 0,7 зависимость (6) дает сильно заниженную величину коэффициента восстановления температуры.
При этом зависимости (8) и (9) достаточно хорошо описывают значение коэффициента восстановления температуры в диапазоне чисел Прандтля от 0,37 (зависимость (8) лучше) до 0,7. Однако при Рг^-1,0 значение коэффициента восстановления температуры стремится к 0,9 для зависимости (8) и 0,94 - для зависимости (9), что не соответствует выводам работ [36, 37].
5. Зависимость для учета влияния числа Прандтля
Анализ опубликованных данных и предложенных теоретических зависимостей показывает, что из перечисленных выше зависимостей нет таких, которые достаточно хорошо описывали бы влияние числа Прандтля на значение коэффициента восстановления температуры в диапазоне Pr=0,2... 1,0. При допустимом уровне отклонения до 10% для проведения расчетов можно рекомендовать зависимости (8) и (9).
При этом можно предположить, что в этом диапазоне чисел Прандтля значение коэффициента восстановления температуры хорошо описываются зависимостью
Г = 0,695 е0'36Рг. (10)
На рис. 9 приведены результаты расчета значения коэффициента восстановления температуры по зависимостям (8), (9) и (10) при параметрах проведения экспериментальных исследований [11] и их сопоставление с известными данными для воздуха и результатами при течении смеси аргон-водород [11].
0,70 --------
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,3 0,9 Рг
Рис. 9. Сопоставление результатов теоретического расчета с экспериментальными данными: 1 - расчет по (8); 2 - по (9); 3 - по (10); 4 - область известных экспериментальных данных для воздуха; 5 - экспериментальные данные для смеси аргон-водород [11]
Из данных, представленных на рис. 9, видно, что зависимость (10) хорошо согласуется с экспериментальными данными в диапазоне чисел Прандтля от 0,37 до 0,7. При этом при Pr^-1,0 значение коэффициента восстановления температуры стремится к 0,996, что согласуется с [36, 37].
Анализ данных, представленных на рис. 9 показал, что максимальное отклонение значения коэффициента восстановления температуры при использовании данной зависимости не превышает 1,5%.
Заключение
Их анализа методики расчета трубы Леонтьева следует, что эффективность работы данного устройства в первую очередь определяется значением коэффициента восстановления температуры r. Он в свою очередь зависит от большого количества параметров (числа Маха и Рейнольдса, вида течения, продольного градиента давления, рельефа/шероховатости поверхности и т.д.), определяющим из которых является число Прандтля.
Для области чисел Прандтля меньших или равных единице (соответствует практически всем газам и их смесям) выполнен анализ известных зависимостей для расчета значения коэффициента восстановления температуры и сопоставление их с имеющимися аналитическими выводами и экспериментальными данными (для ламинарного и турбулентного течения воздуха, турбулентного течения гелия и смеси аргон-водород).
Показано хорошее совпадение с экспериментальными и аналитическими данными известной зависимости для ламинарного течения (1) и плохое согласование с опубликованными ранее зависимостями для турбулентного режима течения. В области чисел Пран-дтля меньших или равных единице максимальное отклонение значения коэффициента восстановления температуры достигает 10% при использовании (8) и (9) и превышает эту величину для остальных зависимостей.
Для области чисел Прандтля меньших или равных единице предложена новая зависимость значения коэффициента восстановления температуры от величины числа Прандт-ля (10) и выполнена ее верификация по известным данным.
Проведенное сравнение показало, что в области чисел Прандтля меньше или равных единице зависимость (10) описывает значение коэффициента восстановления температуры лучше других известных зависимостей (максимальное отклонение значения коэффициента восстановления температуры не превышает 1,5%).
Список литературы
1. Леонтьев А.И. Газодинамический метод энергоразделения газовых потоков // ТВТ.
1997. Т. 35, № 1. С. 157-159.
2. Патент на изобретение РФ № 2106581. МПК 6: F25B 9/02. Способ температурной стратификации газа и устройство для его осуществления (Труба Леонтьева) // Леонтьев А.И. Заявка № 96110458/06 от 23.05.1998. Опубл. 10.03.1998.
3. Бурцев С.А., Леонтьев А.И. Температурная стратификация в сверхзвуковом потоке газа // Известия АН. Энергетика. 2000. № 5. С. 101-113.
4. Бурцев С.А. Исследование температурного разделения в потоках сжимаемого газа: дис. ... канд. техн. наук. М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2001. 124 с.
5. Бурцев С.А. Анализ влияния различных факторов на значение коэффициента восстановления температуры на поверхности тел при обтекании потоком воздуха. Обзор // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2004. № 11. 28 с. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/551021.html (дата обращения 20.01.2016).
6. Бурцев С.А. Исследование температурной стратификации газа // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1998. № 2. С. 65-72.
7. Леонтьев А.И., Щеголев Н.Л., Носатов В.В., Стерелюхин С.А. Новый газодинамический метод температурной стратификации газа // Газотурбинные и комбинированные установки. Сб. докладов 10-й Всероссийской межвузовской конференции. Москва. 1996. С. 76-77.
8. Здитовец А.Г., Титов А.А. Экспериментальное исследование газодинамического метода безмашинного энергоразделения воздушных потоков // Тепловые процессы в технике. 2013. № 9. С. 391-397.
9. Леонтьев А.И., Бурцев С.А., Визель Я.М., Чижиков Ю.В. Экспериментальное исследование газодинамической температурной стратификации природного газа // Газовая промышленность. 2002. № 11. С. 72-75.
10. Бурцев С.А. Исследование устройства температурной стратификации при работе на природном газе // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2004. № 9. 21 с. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/516097.html (дата обращения 20.01.2016).
11. Виноградов Ю.А., Ермолаев И.К., Здитовец А.Г., Леонтьев А.И. Измерение равновесной температуры стенки сверхзвукового сопла при течении смеси газов с низким значением числа Прандтля // Известия РАН. Энергетика. 2005. № 4. С. 128-133.
12. Бурцев С.А. Исследование путей повышения эффективности газодинамического энергоразделения // ТВТ. 2014. Т. 52. № 1. С. 14-21.
13. Накоряков В. Е., Макаров М.С., Петухов Ю.И., Витовский О.В., Елистратов С.Л. Тепловые процессы в потоках газовых смесей с малым числом Прандтля // Новосибирск: Академиздат, 2015. 283 с.
14. Лущик В.Г., Макарова М.С. Численное исследование влияния числа Прандтля на коэффициенты восстановления температуры и аналогии Рейнольдса в пограничном слое на пластине // ТВТ. 2016. Т. 54. № 3. С. 401-407.
15. Ковальногов Н.Н., Федоров Р.В. Численный анализ коэффициентов восстановления и теплоотдачи в высокоскоростном потоке // Известия вузов. Авиационная техника. 2007. № 3. С. 54-58.
16. Бурцев С.А., Карпенко А.П., Леонтьев А.И. Метод распределенного получения сжиженного природного газа на газораспределительных станциях // ТВТ. 2016. Т. 54. № 4. С. 605-608.
17. Popovich S.S., Vinogradov U.A., Egorov K.S. Experimental research of adiabatic wall temperature influenced by separated supersonic flow // Proceedings of 15th International Heat Transfer Conference. IHTC-15-8962, 2014. 11 p.
18. Попович С.С. Экспериментальное исследование влияния ударных волн на эффект безмашинного энергоразделения газовых потоков // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 3. С. 64-80.
19. Леонтьев А.И., Бурцев С.А. Интенсификация теплообмена в устройстве газодинамического энергоразделения // Доклады Академии наук. 2016. Т. 471. № 3. С. 286-288.
20. Леонтьев А.И., Бурцев С.А. Устройство вихревого газодинамического энергоразделения // Доклады Академии наук. 2015. Т. 464, № 6. С. 679 - 681.
21. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое // М.: Энергоатомиздат. 1985. 320 с.
22. Бурцев С.А., Леонтьев А.И. Исследование влияния диссипативных эффектов на температурную стратификацию в потоках газа (обзор) // ТВТ. 2014. Т. 52, № 2.
С. 310-322.
23. Pohlhausen E. Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner Reibung und kleiner Wärmeleitung // ZAMM. 1921. Bd. 1, Nr. 2. S. 115-121.
24. Shirokow M. The influence of the laminar boundary upon heat transfer at hight velocities // Technical Physics of the USSR. 1936. V.3, №12. P.1020-1027.
25. Rubesin M. W. A modified Reynolds analogy for the compressible turbulent boundary layer on a flat plate // NACA TN 2917. 1953. 21 p.
26. Ackerman G. Plate thermometre in hight velocity flow with turbulent boundary layer // Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1942. Bd. 13, S. 226-235.
27. Seban R.A. Analysis for the heat transfer to turbulent boundary layers in high velocity flow // Ph.D. Thesis, Berkley: Univ. Calif., 1948. 234 p.
28. Tuker M., Maslen S.H. Turbulent Boundary-Layer Temperature Recovery Factor in Two-Dimensional Supersonic Flow II NACA TN 2296. 1951. 21 p.
29. Stalder J.R., Rubesin M.W., Tendeland T.A determination of the laminar-, transitional-, and turbulent-boundary-layer temperature-recovery factors on a flat plate in supersonic flow II NACA TN 2077. 1950. 20 p.
30. Squire H. B., Trouncer J. Round jets in a general stream. // Aeronautical Research Council. London, 1944. №. ARC-R/M-1974. 23 p.
31. Wimbrow W.R. Experimental investigations of temperature recovery factors on bodies of revolution at supersonic speeds // NACA TN 1975, 1949. 20 p.
32. Eber G.R. Recent Investigation of Temperature Recovery and Heat Transmission on Cones and Cylinders in Axial Flow in the N.O.L. Aeroballistics Wind Tunnel // Journal of the Aeronautical Sciences. 1952. V. 19, No. 1. P. 1-6.
33. des Clers B. On Boundary-Layer Temperature Recovery Factors // Journal of the Aeronautical Sciences. 1952. V. 19, No. 9. P. 645-646.
34. Kaye J. Survey of Friction Coefficients, Recovery Factors, and Heat-Transfer Coefficients for Supersonic Flow // Journal of the Aeronautical Sciences. 1954. V. 21, No. 2, P. 117-129.
35. Stine H.A., Scherrer R. Experimental Investigation of the Turbulent-Boundary-Layer Temperature Recovery Factor on Bodies of Revolution at Mach Numbers from 2.0 to 3.8 // NACA TN 2664. 1952. 20 p.
36. Романенко П.Н. Тепломассообмен и трение при градиентном течении жидкостей // М.: Энергия, 1971. 568 с.
37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя // М: Наука. 1974. 711 с.
38. Seban R.A. Analysis for the heat transfer to turbulent boundary layers in high velocity flow: Ph.D. Thesis // Berkeley, Univ. of Calif., 1948. 234 p.
39. Rudy D.H., Weinstein L.M. Investigation of turbulent recovery factor in hypersonic helium flow // AIAA Journal. 1970. V. 8. No. 12. P. 2286-2287.
40. Mack L.M. An experimental investigation of the temperature recovery factor // Jet Propulsion Lab. Report. 1954. P. 20-80.
41. Fischer M.C. Influence of Moderate Wall Cooling on Cone Transition at Me= 13.7 in Helium // Journal of Spacecraft and Rockets. 1973. V. 10. №. 4. P. 282-283.
42. Fischer M.C. Turbulent bursts and rings on a cone in helium at Me= 7.6 // AIAA Journal. -1972. - Т. 10. - №. 10. - С. 1387-1389.
43. Кочуров Д.С., Щеголев Н.Л. Анализ влияния состава смесей на основе гелия на коэффициент восстановления температуры и число Прандтля // Аэрокосмический научный журнал. 2016. № 6. С. 26-48. DOI: 10.7463/aersp.0616.0851777
44. Бурцев С.А., Кочуров Д.С., Щеголев Н.Л. Исследование влияния доли гелия на значение критерия Прандтля газовых смесей // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 5. С. 314-329. DOI: 10.7463/0514.0710811
45. Бурцев С.А., Кочуров Д.С., Щеголев Н.Л. Исследование влияния состава бинарных смесей инертных газов на их теплофизические свойства // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 11. С. 217-237.
46. Вигдорович И.И., Леонтьев А.И. К теории энергоразделения потока сжимаемого газа // Известия РАН. МЖГ. 2010. № 3. С. 103-109.
47. Макаров М.С. Газодинамическая температурная стратификация в сверхзвуковых потоках: дис. ...канд. физ.-мат. наук // Новосибирск. 2007. 154 с.
48. Макарова М.С. Численное исследование тепловых и динамических процессов в элементах устройств энергоразделения газов: дис. ... канд. техн. Наук // Москва. 2014. 121 с.
49. Weigand B., Ferguson J. R., Crawford M.E. An extended Kays and Crawford turbulent Prandtl number model // Int. J. Heat Mass Transf. 1997. V. 40. Iss. 17. P. 4191-4196.
50. Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Сверхзвуковой пограничный слой на пластине. Сравнение расчета с экспериментом // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 6. С. 64-78.
Science ¿Education
of the Baurnan MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 03, pp. 78-96.
DOI: 10.7463/0317.0001115
Received: 08.02.2017
Revised: 22.02.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Analysis of the Prandtl Number Impact on the Temperature Recovery Factor Value
S.A. BlirtSeV1'2' burtsevigbmstuji]
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Institute of Mechanics of the Lomonosov Moscow State
University, Moscow, Russia
Keywords: gas-dynamic temperature stratification; Leontiev tube; temperature recovery factor;
turbulent boundary layers; Prandtl number; turbulent Prandtl number
The article analyses a design procedure for the gas-dynamic energy separation device and shows that its performance efficiency is mainly dependent on the temperature recovery factor values r.
As a result of the performed analysis it was found, that the r values depend on a wide range of parameters, namely Mach and Reynolds number values, gas flow type, axial pressure gradient presence and its magnitude, surface relief, etc. At the same time Prandtl number is the parameter, which has the greatest effect on the r value.
A review of correlations available in publications to calculate r values is conducted for Prandtl number values equal to or less than 1 (which is consistent almost with all pure gases and their mixtures) and the obtained calculation results are compared with analytical expressions and available experimental data (for laminar and turbulent air flows, turbulent helium and hydrogen-argon mixture flow).
It is shown that for laminar boundary layer the correlation of square root of Prandtl number is in good agreement with the experimental and analytical data.
For turbulent flows the most widely known correlations were studied, and it was found, that for Prandtl number values equal to or less than 1 all of them lead to errors of at least 10 % and more.
A new correlation for r calculation with respect to Prandtl number is proposed with maximum error of 1,5 % for Prandtl number values equal to or less than 1.
References
1. Leont'ev A.I. Gas-dynamic method of energy separation of gas flows. High Temperature, 1997, vol. 35, iss. 1, pp. 155-157.
2. Leont'ev A.I. Patent RU 2106581 Int.Cl. F25B9/02Sposob temperaturnoi stratifikatsii gaza i ustroistvo dlia ego osushchestvleniia (Truba Leont'eva) [Method and device for thermal stratification of gas]. Appl. no. 96110458/06, 023.05.1998. Publ. 10.03.1998. [In Russian]
3. Burtsev S.A., Leont'ev A.I. Thermal stratification in supersonic gas flow. Izvestiia RAN. Energetika = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering, 2000, no. 5, pp. 101-113. [In Russian]
4. Burtsev S.A. Issledovanie temperaturnogo razdeleniia v potokakh szhimaemogo gaza. Diss. kand. tekhn. nauk [Investigation of temperature separation in the flows of compressible gas. Dissertation of the candidate of technical science.]. Bauman Press, Moscow, 2001. 124 p. [In Russian]
5. Burtsev S.A. Analysis of influence of different factors on the value of the temperature recovery factor at object surfaces in case of an airflow (Review). Nauka i obrazovanie = Science and education. Electronic scientific and technical publication, 2004, no. 11, pp. 1-28. DOI: 10.7463/1104.0551021 [In Russian]
6. Burtsev S.A. Issledovanie temperaturnoi stratifikatsii gaza [Investigation of the temperature stratification of gas]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering]. 1998, no. 2, pp. 65-72.
7. Leont'ev A.I., Shchegolev N.L., Nosatov V.V., Stereliukhin S.A. New gasdynamyc method of gas thermal stratification. Sb. tez. dokl. 10-i Vseros. mezhvuz. n.-t. konf. "Gazoturbinnye i kombinirovannye ustanovki i dvigateli" [Proc. 10th All-Russian Int. sci.- tech. conf "New gas-turbine and combined units and engines"]. GPNTB Publ., Moscow, 1996, pp. 76-77. [In Russian]
8. Zditovets A.G., Titov A.A. Eksperimental'noe issledovanie gazodinamicheskogo metoda bezmashinnogo energorazdeleniia vozdushnykh potokov [Experimental Study of a Gas-Dynamic Method for an Air Stream Energy Separation]. Teplovye protsessy v tekhnike [Thermal Processes in Engineering]. 2013, no. 9, pp. 391-397. [In Russian]
9. Leont'ev A.I., Burtsev S.A., Vizel' Ia.M., Chizhikov Iu.V. Eksperimental'noe issledovanie gazodinamicheskoi temperaturnoi stratifikatsii prirodnogo gaza [Experimental study of gas-dynamic temperature stratification of natural gas]. Gazovaia promyshlennost' [GAS Industry of Russia], 2002, is. 11, pp. 72-76.
10. Burtsev S.A. Investigation of the operation of temperature lamination device working on the natural gas. Nauka i obrazovanie = Science and education. Electronic scientific and technical publication, 2004, no. 9. pp. 1-21. DOI: 10.7463/0904.0516097 [In Russian]
11. Vinogradov Iu.A., Ermolaev I.K., Zditovets A.G., Leont'ev A.I. Izmerenie ravnovesnoi temperatury stenki sverkhzvukovogo sopla pri techenii smesi gazov s nizkim znacheniem chisla Prandtlia [Measurment of an equilibrium temperature of a supersonic nozzle wall at current of a gases mixture with low Prandtl number]. Izvestiia RAN. Energetika = Proceed-
ings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering, 2005, no. 4, pp. 128-133. [In Russian]
12. Burtsev S.A. Exploring ways to improve efficiency of gas dynamic energy separation. High Temperature, 2014, vol. 52, no. 1, pp. 12-18. DOI: 10.1134/S0018151X14010064
13. Nakoryakov V.E., Makarov M.S., Petukhov Yu.I., Vitovskiy O.V., Elistratov S.L. Teplovye processy v potokah gazovyh smesej s malym chislom Prandtlya [Thermal processes in flows of the low Prandtl number gas mixtures]. Academic Publ., Novosibirsk, 2015. 283 p.
14. Lushchik V.G., Makarova M.S. Numerical investigation of the effect of the Prandtl number on the temperature recovery and the Reynolds analogy factors in the boundary layer on a plate. High Temperature, 2016, vol. 54, no. 3, pp 377-382.
DOI: 10.1134/S0018151X16030111
15. Koval'nogov N.N., Fedorov R.V. Numerical analysis of the coefficients of temperature restitution and heat transfer in high-speed flows. Russian Aeronautics, 2007, vol. 50, no. 3, pp. 309-316.
16. Burtsev S.A., Karpenko A.P., Leontiev A.I. A method for distributed production of liquefied natural gas at gas-distribution station. High Temperature, 2016, vol. 54, no. 4, pp. 573-576. DOI: 10.1134/S0018151X6030044
17. Popovich S.S., Vinogradov U.A., Egorov K.S. Experimental research of adiabatic wall temperature influenced by separated supersonic flow. Proceedings of 15th International Heat Transfer Conference, IHTC-15-8962, 2014, 11 p.
18. Popovich S.S. Experimental research of machineless energy separation effect influenced by shock waves. Nauka i obrazovanie = Science and education. Electronic scientific and technical publication, 2016, no. 3, pp. 64-80. DOI: 10.7463/0316.0835444 [In Russian]
19. Leontiev A.I., Burtsev S.A. Intensification of Heat Exchange in a Device for Gas-Dynamic Energy Separation. Doklady Physics, 2016, vol. 61, no. 11, pp. 543-545.
DOI: 10.1134/S1028335816110100
20. Leontiev A.I., Burtsev S.A. Device for Separation of Vortex Gas-Dynamic Energy. Doklady Physics, 2015. V. 60, No. 10. pp. 476 - 478. DOI: 10.1134/S1028335815100092
21. Kutateladze S.S., Leontiev A.I. Teplomassoobmen i trenie v turbulentnom pogranichnom sloe [Teplomassoobmen and friction in a turbulent boundary layer]. 2nd ed. Energoatomizdat, Moscow, 1985, 320 p. [In Russian]
22. Burtsev S.A., Leontiev A.I. Study of the influence of dissipative effects on the temperature stratification in gas flows (Review). High Temperature, 2014, vol. 52, iss. 2, p. 297-307. DOI: 10.1134/S0018151X13060060
23. Pohlhausen E. Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner Reibung und kleiner Wärmeleitung. ZAMM, 1921, Bd. 1, Nr. 2. S. 115-121.
24. Shirokow M. The influence of the laminar boundary upon heat transfer at hight velocities. Technical Physics of the USSR, 1936, vol. 3, no. 12, p. 1020-1027.
25. Rubesin M.W. A modified Reynolds analogy for the compressible turbulent boundary layer on a flat plate. NACA, TN 2917, Washington, DC, 1953. 21 p.
26. Ackerman G. Plate thermometre in hight velocity flow with turbulent boundary layer. Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1942, Bd. 13, S. 226-235.
27. Seban R.A. Analysis for the heat transfer to turbulent boundary layers in high velocity flow. Ph.D. Thesis, Berkley: Univ. Calif., 1948, 234 p.
28. Tuker M., Maslen S.H. Turbulent Boundary-Layer Temperature Recovery Factor in Two-Dimensional Supersonic Flow, NACA, TN 2296, 1951, 21 p.
29. Stalder J.R., Rubesin M.W., Tendeland T. A determination of the laminar-, transitional-, and turbulent-boundary-layer temperature-recovery factors on a flat plate in supersonic flow. NACA, TN 2077, 1950, 20 p.
30. Squire H.B., Trouncer J. Round jets in a general stream. Aeronautical Research Council, London, 1944. no. ARC-R/M-1974, 23 p.
31. Wimbrow W.R. Experimental investigations of temperature recovery factors on bodies of revolution at supersonic speeds. NACA, TN 1975, 1949, 20 p.
32. Eber G.R. Recent Investigation of Temperature Recovery and Heat Transmission on Cones and Cylinders in Axial Flow in the N.O.L. Aeroballistics Wind Tunnel. Journal of the Aeronautical Sciences, 1952, vol. 19, no. 1, p. 1-6.
33. des Clers B. On Boundary-Layer Temperature Recovery Factors. Journal of the Aeronautical Sciences, 1952, vol. 19, no. 9, p. 645-646.
34. Kaye J. Survey of Friction Coefficients, Recovery Factors, and Heat-Transfer Coefficients for Supersonic Flow. Journal of the Aeronautical Sciences, 1954, vol. 21, no. 2, p. 117-129.
35. Stine H.A., Scherrer R. Experimental Investigation of the Turbulent-Boundary-Layer Temperature Recovery Factor on Bodies of Revolution at Mach Numbers from 2.0 to 3.8. NACA, TN 2664, 1952, 20 p.
36. Romanenko P.N. Teplomassoobmen i trenie pri gradientnom techenii zhidkostei [Heat and mass transfer and friction in gradient flow of liquid]. Energiia = Energy, Moscow, 1971. 568 p.
37. Schlichting H. Boundary-layer theory. 7th ed. McGraw-Hill, N.Y., 1979, 817 p.
38. Seban R.A. Analysis for the heat transfer to turbulent boundary layers in high velocity flow: Ph.D. Thesis. University of California, Berkeley, 1948, 234 p.
39. Rudy D.H., Weinstein L.M. Investigation of turbulent recovery factor in hypersonic helium flow. AIAA Journal, 1970, vol. 8, no. 12, p. 2286-2287.
40. Mack L.M. An experimental investigation of the temperature recovery factor. Jet Propulsion Lab. Report, 1954, p. 20-80.
41. Fischer M.C. Influence of Moderate Wall Cooling on Cone Transition at Me= 13.7 in Helium. Journal of Spacecraft and Rockets, 1973, vol. 10, no. 4, p. 282-283.
42. Fischer M.C. Turbulent bursts and rings on a cone in helium at Me= 7.6. AIAA Journal, 1972, vol. 10, no. 10, p. 1387-1389.
43. Kochurov D.S., Schegolev N.L. Investigating the Influence of Helium Based Mixtures Composition on the Temperature Recovery Factor and Prandtl Number Values. Aerospace Scientific Journal, 2016, 2(6):26-48. DOI: 10.7463/aersp.0616.0851777 [In Russian]
44. Burtsev S.A., Kochurov D.S., Schegolev N.L. Investigation of the helium proportion influence on the Prandtl number value of gas mixtures. Nauka i obrazovanie = Science and education. Electronic scientific and technical publication, 2014, no. 5, pp. 314-329. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/710811.html, accessed 07.11.2016.
DOI: 10.7463/0514.0710811 [In Russian]
45. Burtsev S.A., Kochurov D.S., Schegolev N.L. Investigating the effect of the binary mixtures composition of noble gases on their thermodynamic and transport properties. Nauka i obrazovanie = Science and education. Electronic scientific and technical publication, 2015, no. 11, pp. 217-237. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/822897.html, accessed 07.11.2016. DOI: 10.7463/1115.0822897 [In Russian]
46. Vigdorovich I.I., Leont'ev A.I. Theory of the energy separation of a compressible gas flow. Fluid Dynamics, 2010, vol. 45, no. 3, pp. 434-440. DOI: 10.1134/S0015462810030105
47. Makarov M.S. Gazodinamicheskaia temperaturnaia stratifikatsiia v sverkhzvukovykh potokakh. Kand. diss. [Gasdynamic temperature stratification in a supersonic flow. Dissertation of the candidate of science.]. Novosibirsk, 2007, 154 p.
48. Makarova M.S. Chislennoe issledovanie teplovyh i dinamicheskih processov v ehlementah ustrojstv ehnergorazdeleniya gazov. Kand. diss. [Numerical investigation of thermal and dynamic processes in elements of energy separation devices. Dissertation of the candidate of science.]. Moscow, 2014, 121 p.
49. Weigand B., Ferguson J.R., Crawford M.E. An extended Kays and Crawford turbulent Prandtl number model. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1997, vol. 40, iss. 17, p. 4191-4196.
50. Lushchik V.G., Iakubenko A.E. Supersonic boundary layer on a plate. Comparison of calculation and experiment. Fluid Dynamics, 1998, vol. 33, no. 6, pp. 864-875.
DOI: 10.1007/BF02698655
