Анализ устойчивости широтно-импульсных систем методом преобразования формирующего импульса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Например, как видно из табл. 4, для сигнала № 5 оптимальным вейвлетом по всем уровням разложения является вейвлет с номером 27, но отдельно по каждому уровню разложения он не входит в число лучших (это видно из табл. 2).

Выявлена закономерность, что наиболее значимый вейвлет (табл. 4) чаще всего совпадает с вейвлетом, который является наилучшим на 3-м уровне разложения по критерию минимума энтропии (табл. 2). Вследствие чего можно сделать вывод, что 3-х уровней разложения хватает для достижения наилучших результатов при вейвлет-сжатии сигналов.

Библиографический список

1. Иванов, М.А. Применение вейвлет-преобразований в кодировании изображений [Электронный ресурс] — режим досту-па:www,iis,nsk,su/preprints/articles/pdf/sbor каБ 10 ivanov.pdf (дата обращения : 27.04.10)

2. Консультационный ЦЕНТР МЛТЬЛБ компании БоШте. — иИЬ: http://matlab.exponenta.ru/wavelet/faq/faq.php (дата обращения : 27.04.10)

3. Майстренко, В.А. Выбор вейвлета в задачах вейвлет-фильтрации вибрационных сигналов. / В.А. Майстренко, И.Э. Комаров // Россия молодая: передовые технологии — в промышленность: матер. Всерос. науч.-техн. конф. 12—13 ноября 2008. — Омск: ОмГТУ, 2008. - Кн. 2. - С. 44-49.

4. Дьяконов, В.П. МЛТЬЛБ. Обработка сигналов и изображений / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменко-СПб.: Питер, 2002.-608 с.

КОМАРОВ Игорь Эдуардович, аспирант кафедры «Средства связи и информационная безопасность». Адрес для переписки: e-mail: igor7301 @rambler.ru

Статья поступила в редакцию 26.04.2010 г.

© И. Э. Комаров

УДК 621.373.14 С. С. АБРАМОВ

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Новосибирск

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМИРУЮЩЕГО ИМПУЛЬСА_______________________________________

В статье приводятся результаты исследования широтно-импульсной системы (ШИС), охваченной цепью отрицательной обратной связи (ООС). На основе асимптотического метода снижения порядка линейной системы предложена методика сведения ШИС к эквивалентной нелинейной амплитудно-импульсной системе (АИС), для которой применимы известные методы исследования. Рассмотрена возможность анализа ШИС, для случаев, когда известна или может быть рассчитана реакция линейной части ШИС на импульсное воздействие.

Ключевые слова: широтно-импульсная система, нелинейные искажения, устойчивость.

Усилители мощности класса «Б» с широтноимпульсной модуляцией находят в настоящее время широкое применение при выходной мощности от единиц ватт в интегральном исполнении до сотен кВТ в мощных модуляционных устройствах. На малых уровнях мощности проблемы обеспечения линейности и устойчивости усилителя решаются за счёт высокой тактовой частоты (до 1 МГц) и простейших выходных фильтров. При больших мощностях существенно увеличиваются габариты усилителей и, как следствие, растут паразитные ёмкости схемы, что приводит к необходимости использования минимально возможной тактовой частоты (порядка 50^100 кГц) и, соответственно, сложных демодулирующих фильтров.

Использование ООС для снижения нелинейных искажений в этом случае приводит к необходимости количественной оценки запаса устойчивости усилителя к самовозбуждению. Решение этой проблемы в виде, приемлемом для практического применения, в общем случае для ШИС не существует. Возможность оценки в частных случаях были рассмотрены в [1-4].

Цель настоящей работы заключается в поиске новых методов анализа устойчивости ШИС, применимых в практических приложениях.

Метод искусственного понижения порядка линейной части ШИС с введением эквивалентного запаздывания не всегда дает приемлемые результаты. Это особенно относится к случаю приближения первого порядка, наиболее удобному при анализе устойчивости. Первое приближение может оказаться слишком грубым, если порядок исходной линейной части гораздо больше 1, а также в том случае, когда эквивалентное время задержки оказывается отрицательным (1:з1<0) [5].

Поэтому целесообразно рассмотреть ещё один метод понижения порядка линейной части ШИС, обеспечивающий высокую достоверность анализа устойчивости (если только будут выполнены условия его реализации).

Предположим, что структурная схема ШИС соответствует (рис. 1), где ®(1;) — импульсная характеристика; К — мерной линейной части, передаточная функция которой

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

274

№ _

_1_ £$($ М!(І) ■Мі)

Г

Рис. 1. Структурная схема ШИС

Рис. 3. Преобразованная структурная схема ШИС

с(р)

(Р - Рі )(Р - Р 2 У" (Р - Рк )

Щ (р ) = Щ-1 (р )• щ (р),

где

щ1 (р )=-

Рг

р - Рг

(1)

|1 - й(0,5)|< 5. (4)

реходная хара: ной части, отнесенной к формирующему элементу 81( х

Здесь Щ ^ )— переходная характеристика линей-

Пусть также все полюса Шкф) - известны или их можно определить. Кроме того, положим Шк(0) = 1. Представим Шкф) в виде произведения

любым известным методом теории линейных электрических цепей рассчитывается реакция линейной части Ш^ф) на воздействие 8(1) (рис. 2). Обозначим её в^). В результате ШИС можно представить структурной схемой (рис. 3), которая полностью эквивалентна схеме (рис. 1), при условии

Щ Щ+1

15(т)ю(и - т-1,1-т)/т = 181(т]ю1(п - т-1,1-т)с/т (2)

Щ Щ

и для у>0,5 (рис. 1) имеем

Щ Щ

18(т)со(п-т-1Д-т)т = 151(т)о1(и-т-1,1-т1))т . (3)

Щ 42-1

Здесь предполагается, что переходной процесс в линейной системе Шк-1 ф) полностью прекращается на интервале Щ1<х <Щ1 + 1 (рис. 4а), либо на интервале щ2_1<х <Щ2 (рис. 4б).

На этом основании верхний предел интегрирования в правых частях (2) и (3) может быть взят равным ¥.

Отсюда следует, что условием реализации предлагаемого метода является независимость реакции системы Шк-1 ф) на очередной импульс от реакции на предшествующее ему возмущение.

Наиболее жесткие условия реализации предлагаемого метода имеют место при у>0,5, т.к. в этом случае допустимая длительность переходного процесса не должна превышать 0,5.

Теоретически всякий переходной процесс длится бесконечно долго, поэтому условие реализации метода может быть записано в следующем виде (для монотонного переходного процесса)

Рис. 2. Формирующий элемент ШИС

5-остаточное значение реакции, которым можно пренебречь (практически погрешность расчета незначительна уже при 5< = 0,05).

Если порядок линейной части Шк-1 ф), отнесенной к формирующему элементу, выше трех, расчет реакции в1( х ) существенно затрудняется. В таких случаях целесообра_зно использовать метод приближенного расчета в1(х ), предложенный Я.С. Ицхоки [5]. При этом следует учитывать, что уже для приближения третьего порядка необходимо решать уравнение четвертой степени относительно времени задержки 1;з3 Поэтому наиболее простым и удобным вариантом (если выполняются условия его существов ания) является приближение второго порядка для в1(х ) или Wк_1(p).

Рассмотрим частный случай, когда приближение второго порядка Ш2ф) для Ш^ф) содержит два простых полюса p2) равных нулю, а эквивалентная

- * з 2

задержка ?2 = — .

Тогда, используя мето д расчета переходных процессов [5], определим в1( *) в следующем виде:

При 0<у<0.5

( ) = й(",фі).фі < Ї < ф2

51 () = к(,ф1)-к(,ф2)...ф2 < I < ф1 +1

(5)

При 0,5<у<1

51 () = 1 -Ь(,фг -1).ф2 -1 < I < ф1

^1 ()= 1 - А(,ф2 - 1)- ^(,ф2 )к.ф1 < I < ф 21 . (6)

Здесь

Л(, ф)= 1 - Р1 ЄХР[Р2 (І - ф)]- Р2 СХР[Р| ( - ф)]

’ Р1 - Р2 .

(7)

При 1з2 *0, в структурную схему (рис. 3) должен быть введен элемент задержки.

- Импульсная характеристика с учетом задержки *2 , на основании (1), примет вид:

®1 ()ехР[- рг -12 ]= ехр[р ( -12)] .

Соответствующая ей решетчатая функция может быть записана следующим образом:

ю1 (п - т - к, к - х -12) =

= ехр[- рг(п -т)]ехр[р(х - Т2)]. (8)

Здесь К - всегда может быть взято таким, чтобы

к -х -12 > 0; р = рТ.

Рис. 4. Варианты реакции линейной части ШИС

Используя рис. 1, применительно к структурной схеме (рис. 4), с учетом выражений (5), (6), (8), получим следующее уравнение ШИС

1.При 0<g<0.5, согласно (2)

x(n,0) == f (n,0)-

n-1 Г j2

-BTIh(t, j )exp[p(n-m-t-12)]dt +

m=0 U

j +1

| [h (t, j ) - h (t , j2 )] exp [p (n - m - t - t2 )]dt.

(9)

2. При 0,5<g<1, в соответствии с (3) x(n,0) = f (n,0)-

n-1 Ї у

- BT|[l -h(f,y2 - l)]exp[p(n - m-т -12)]йГ +

m=0 [y2-l

У2

+ | [l - h(f • j( - l) - h(f, j )] exp[p (n - m - т - t2 )]т.

(10)

x(n,0) = f (n,0) - BT^exp[pt (n - m)] • exp[- pit2 ] • Ф^) .(11)

m=0

Здесь в соответствии с (7), (9) и (10)

Ф^) = exp[- piK2 (l - xЖ1 - exp[- p x]) •

0 < x < 0,5

pl • p2

pі (pi - p I)(p2 - p I)•

ф(:г) = exp[- p iK 2(l - x} -[l - exp[- pi(l - x )]]—

1 - exp[- pі]

pi • p2

p( (p( - pі)(p2 - p( ) •

0,5 < x < 1

(12)

Здесь

х = х+1 - х

Выражения в фигурных скобках представляют собой нелинейную функцию Ф(х), определенную на интервале 0<у<0.5 и 0,5<у< 1.

Заметим, что при выборе р4 в (3) из множества полюсов функции Шк(р), следует остановиться на действительном полюсе р \мш е Рк . Именно в этом случае наиболее вероятна реализация в1(х ) и минимальная нелинейность функции Ф(х).

Окончательно, на основании (9), (10) имеем:

При вычислении интегралов в (9) и (10) предполагалось, что условие (4) выполнено.

Выводы

Проведенные исследования показали, что ШИС оказалась сведенной к одновременной нелинейной АИС, задача анализа устойчивости, которой решается относительно просто с помощью известных критериев (смотри, например, условие (2.5).

Библиографический список

1. Ципкин, Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я. З. Ципкин. - М.: Физматгиз, 1963. - 968 с.

2. Ципкин, Я.З. Теория нелинейных импульсных систем / Я. З. Ципкин, Ю.С. Попков. -М.: Изд-во «Наука», 1973.- 416 с.

3. Полов, К.П. Условия устойчивости усилителя в режиме «Б» с обратной связью/К.П. Полов//Радиотехника.- 1971.-№ 6.-С. 11-13.

4. Полов, К.П. К исследованию устойчивости усилителя в режиме «Б» с обратной связью / К.П. Полов. // Радиотехника. -1974. - №1.-С. 5-8.

5. Ицхоки, Я.С. Приближенный метод анализа переходных процессов в сложных линейных цепях / Я.С. Ицхоки.-М.: Советское радио, 1969. - 396 с.

АБРАМОВ Сергей Степанович, кандидат технических наук, доцент кафедры радиопередающих устройств и электропитания.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 18.04.2010 г.

© С. С. Абрамов

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ