CC BY
20
№ 3 (39) 2012
В. Я. Вилисов, докт. экон. наук, директор Департамента разработок ООО «Энергия ИТ», г. Королёв
Анализ транспортной модели с аппроксимацией предпочтений ЛПР
Данная статья является продолжением ранее опубликованной автором работы1, посвященной анализу и особенностям применения транспортной модели, адаптирующейся к предпочтениям лица, принимающего решения (ЛПР), в системе моделей управления предприятием.
Введение
В предыдущей статье показано место транспортной задачи (ТЗ) как модели выбора вариантов, в корпоративной информационной системе предприятия. Настроенная (адаптированная к предпочтениям ЛПР) модель может существенно уменьшить нагрузку на менеджера, а в условиях стационарной среды практически полностью заменить его. На несложном примере показана структура данных, необходимых для решения прямой и обратной транспортных задач.
Далее показаны и проанализированы особенности транспортной модели как одного из вариантов задач линейного программирования (ЗЛП), при решении обратной задачи — оценивании параметров платежной матрицы по данным наблюдения за решениями, принятыми ЛПР. В целях сохранения преемственности обозначений и исходных данных нумерация таблиц, формул и рисунков ведется как продолжение соответствующих элементов первой статьи.
Исследование свойств обратной транспортной задачи
Анализ особенностей ЗЛП, построенной по ТЗ
Несмотря на, казалось бы, большое разнообразие вариантов области допустимых
1 Вилисов В. Я. Транспортная модель, аппроксимирующая предпочтения ЛПР // Прикладная информатика. 2010. № 6.
100 у
решений (ОДР), в действительности, в отличие от других типов моделей линейного программирования (например, производственного типа), ЗЛП, порожденные ТЗ, обладают присущей лишь им спецификой. Рассмотрим характерные черты задач такого типа.
Возможные конфигурации ОДР для рассматриваемой задачи
На рисунке 3а - т показаны все возможные типы конфигураций ОДР ЗЛП для ТЗ 2х3. Цифрами отмечены номера ограничений (нумерация по табл. 4). Пять последних ситуаций, требующих принятия решений, (рис. 3о - т) отличаются от остальных тем, что в них присутствует такое сочетание значений транспортной таблицы, что первое ограничение находится вне первого квадранта, т. е. не участвует в образовании ОДР. Нужно отметить, что могут быть и ОДР, вырождающиеся в отрезки, — когда та или иная пара параллельных ограничений совпадает, например, 1-2, 3-5 или 4-6. Однако такие ситуации крайне редки, будем считать их вырожденными и из дальнейшего рассмотрения исключим. Не рассматриваем также и ситуации, в которых крайняя точка образована не двумя, а тремя линиями, так как подобные случаи крайне редки, а если они и имеют место, то всегда можно выбрать пару линий, непосредственно прилегающих к ОДР.
Полигон
Под полигоном здесь имеется в виду [4] ОДР (рис. 4), обладающая рядом важных специфических свойств, позволяющих использовать соответствующую ей (ОДР) си-
№ 3 (39) 2012
4 5 \ 3 2\
а \
ч 6
А 4\
\ }
3
К 6
А \ 4 i к
Ч " 6 зЧ 4
Г\ 3 \ \ 6
М Н
п \ р \ с
Рис. 3. Типы конфигураций области допустимых решений
туацию, требующую принятия решений
Перечислим наиболее важные свойства
(СТПР), в качестве контрольной ситуации для полигона.
проверки качества настройки модели по наблюдениям и для других исследований.
Рис. 4. ОДР-полигон
• Все ограничения полигона входят в число активных, т. е. участвуют в формировании границы ОДР.
• Все альтернативы ОДР максимально информативны, что для двухмерного случая означает максимально тупые углы при крайних точках ОДР.
• Альтернативы равномерно (максимально) контрастны, т. е. в идеальном случае парные расстояния между альтернативами (на границе ОДР) одинаковы. Такой вариант не всегда технически просто реализовать, но к нему надо стремиться. Часто ком-
101
1
в; со
-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
№ 3 (39) 2012 ' -
промиссом выступает полигон, в котором отдельные линии (гиперплоскости) ограничений являются касательными к некоторой окружности (гиперсфере) — этот вариант и представлен на рис. 4.
Полигон используется при исследовании процесса настройки параметров модели и играет роль лакмусовой бумажки для проверки того, совпадает ли решение, принятое по настроенной модели с решением, принятым ЛПР (или его имитацией).
ТЗ обладает такой особенностью, что вид полигона зависит не от данных, а лишь от размерности задачи, поэтому для любых значений векторов спроса и предложения полигон будет иметь вид, приведенный на рис. 4.
Спектры задачи (ограничений, значений целевой функции) и наблюдений
На рисунке 5 показан спектр задачи, т. е. совокупность нормальных векторов единичной длины (НВЕД) шести линий ограничений и одной линии уровня целевой функции (ЦФ).
I
1
Й »
0
1
$
а
I
8
0
1 <0 и
1
I
0
¡Е
1
I
! §
Рис. 5. ОДР-полигон
Следует отметить, что НВЕД ЦФ для ТЗ может быть направлен в любую сторону (в отличие от ЗЛП производственного типа, где НВЕД ЦФ может лежать только в первом квадранте).
Возможные типы решений (для произвольных ЦФ). Пары спектральных векторов
Для ОДР, соответствующей возникшей СТПР, ЛПР (или имитирующая его ЦФ) в качестве решения выбирает одну из крайних точек. Паре линий ограничений, образую-
щих выбранную крайнюю точку, соответствует одна из пар НВЕД (рис. 5). Если рассмотреть потенциально возможные варианты пар НВЕД, способных участвовать в образовании крайних точек, это будет число сочетаний из 6 по 2, за исключением трех пар НВЕД, параллельных друг другу (1-2, 3-5 и 4-6). Это множество состоит из 12 вариантов: 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-4, 3-6, 4-5, 5-6. ЛПР выбирает в качестве оптимальной одну из крайних точек ОДР, образованную соответствующей парой НВЕД. Варианты этих пар (жирные стрелки) приведены в табл. 7. Здесь же показаны суммарные векторы (двойные стрелки) для каждой пары НВЕД. Все 12 пар разбиты на три группы, отличающиеся углом между векторами пары и, соответственно, длиной суммарного вектора. Забегая вперед, заметим, что длина суммарного вектора отражает информативность решения, т. е. той крайней точки ОДР, которой соответствует данная пара НВЕД. Длина суммарного вектора используется при решении обратной задачи в качестве весов соответствующих наблюдений. Таким образом, все возможные наблюдения могут принадлежать одной из трех групп: 1 группе — наименее информативные, 3 — наиболее информативные, а 2 — промежуточной информативности.
Наблюдение, кроме СТПР, включает и принятое решение, которому соответствует одна из крайних точек ОДР — суммарный вектор, изображенный двойной стрелкой в табл. 7. В итоге результатом каждого наблюдения является единственный вектор (вектор наблюдения), который и используется в алгоритме решения обратной задачи для оценивания вектора ЦФ ЛПР. В искомом векторе ЦФ ЛПР важно лишь его направление, длина не играет роли. В векторах наблюдений интерес представляют и направление, и длина, так как она отражает информативность данного наблюдения — его вклад в процесс оценивания ЦФ ЛПР. На рисунке 6 приведены все возможные для рассматриваемого примера ТЗ векторы наблюдений как суммы пар векторов. Таким обра-
№ 3 (39) 2012
Таблица 7 §
Пары НВЕД
Группы Варианты пар НВЕД по группам
1 1 -3 1-4 ; .4 2-5 2-6 '
/ Гз' ✓ 1 5 к ' г
2 3-4 , к. 3-6 ' 4-5 ьз А 5-6 '
3 64 Ч 11 5 '6
3 1 -5 ' 5 1 -6 ' 2-3 ' 2-4 А\
1 ' 6 3
зом, в каждом наблюдении СТПР представляется той или иной совокупностью (от трех до шести) векторов активных ограничений, а принятое ЛПР решение проявляется в том, что один из этих векторов помечается, например, точкой — как на рис. 6, где в 25 на-
блюдениях рассматриваемого примера выбирались в качестве оптимальных лишь три: 1-4, 2-5, 4-5. Причем пары 1-4 и 2-5 имеют минимальный вес (длину), а пара 4-5 — средний вес. На рисунке 7 приведены НВЕД наблюдений и имитируемой ЦФ ЛПР.
2 -1,5 -1
Рис. 6. Варианты векторов наблюдений
Рис. 7. НВЕД наблюдений и ЦФ
103
№ 3 (39) 2012
Сравнительные характеристики вариантов наблюдений
Различные конфигурации ОДР, приведенные на рис. 3а - т, отличаются друг от друга значениями некоторых свойств (количество альтернатив, их информативность, и т. п.).
В таблице 8 приведены их сводные характеристики. Ранг альтернативы — целое число (г = 1,2,3), которое может принимать одно из трех значений: г = 1 при м = 0,076; г = 2 при м = 0,293; г = 3 при м = 0,617, где м — вес наблюдения. Общий ранг — это сумма рангов всех альтернатив данного наблюдения. Средний ранг — ранг, усредненный по множеству альтернатив описываемого наблюдения. Средний вес — усредненная величина веса по множеству наблюдений.
Средний ранг или средний вес характеризуют информативность наблюдения, т. е. вклад в прирост информации об оцениваемой ЦФ ЛПР, который может сделать данное наблюдение. Видно, что ОДР, аналогичная по конфигурации полигону (рис. 4), обладает наибольшей информативностью (рис. 3д).
В таблице приведены и группы однотипных ОДР, внутри которых ситуация отличается, возможно, поворотом области. Эти группы пронумерованы по возрастанию их среднего веса (или среднего ранга).
Следует обратить внимание на пятое наблюдение. В нем все характеристики «выдающиеся» — максимальные (в сравнении с другими вариантами наблюдений) средний вес и средний ранг, а также максимально количество активных ограничений, т. е. огра-
Таблица 8
Свойства вариантов наблюдений
Активные ограничения Показатели информативности Группы
№ Вид ОДР Кол-во Номера Ранги альтернатив Общий ранг Средний ранг Средний вес однотипных ОДР
1 Рис . 3а 4 1,2,5,6 1 1 3 3 8 2 0,347 5
2 Рис . 3б 5 1,2,4,5,6 1 2 3 3 3 12 2,4 0,444 7
3 Рис . 3в 4 1,2,4,6 1 1 3 3 8 2 0,347 4
4 Рис . 3г 5 1,2,3,5,6 1 2 3 3 3 12 2,4 0,444 7
5 Рис. 3д 6 1,2,3,4,5,6 2 2 3 3 3 3 16 2,667 0,509 9
6 Рис . 3е 5 1,3,4,5,6 2 2 2 3 3 12 2,4 0,423 8
7 Рис . 3ж 4 1,3,4,6 1 2 2 3 8 2 0,320 3
8 Рис . 3з 5 1,2,3,4,6 1 2 3 3 3 12 2,4 0,444 6
9 Рис . 3и 4 1,2,3,5 1 1 3 3 6 2 0,347 4
10 Рис . 3к 4 1,3,4,5 1 2 2 3 8 2 0,320 3
11 Рис . 3л 5 1,2,3,4,5 1 2 3 3 3 12 2,4 0,444 6
12 Рис.3м 3 1,3,4 1 1 2 4 1,333 0,148 1
13 Рис . 3н 4 1,2,3,4 1 1 3 3 8 2 0,347 5
14 Рис . 3о 3 2,5,6 1 1 2 4 1,333 0,148 1
15 Рис . 3п 4 2,4,5,6 1 2 2 3 8 2 0,320 3
16 Рис . 3р 5 2,3,4,5,6 2 2 2 3 3 12 2,4 0,423 8
17 Рис . 3с 4 2,3,5,6 1 2 2 3 8 2 0,320 3
18 Рис . 3т 4 3,4,5,6 2 2 2 2 8 2 0,293 2
I
1
Й »
0
1
$
I
8
0
1 <0 со
1
I
0
¡Е
1
I
1 §
104
№ 3 (39) 2012
ничений, образующих ОДР, таким образом, участвуют все имеющиеся ограничения. Вид такого ограничения имеет и полигон.
Решение обратной задачи (восстановление параметров ЦФ по наблюдениям)
Основная расчетная формула точечного пошагового алгоритма оценивания параметров модели по наблюдениям имеет вид [4]:
1
(Хр е )2+
(21)
1=1
(Хр е
2\2 1=1
1=1
где i = 1, 2 — номер координаты; Ь — весовой коэффициент 1-го наблюдения.
В этом алгоритме дисконтирование как таковое отсутствует, однако косвенно его роль играет нормировка координат вектора оценок (приведение к единичной длине), где в числителе используется накопленная координата. Поскольку в накопленных координатах сумма от шага к шагу только возрастает, по мере накопления относительный вклад каждого нового измерения будет уменьшаться.
Если ввести скользящий интервал суммирования (например, длиной К), то в суммах формулы (21) пределы суммирования к
примут такой вид: Х ... для к > К.
Результаты оценивания
В продолжение приведенных выше данных наблюдений (табл. 5 и 6) изложим результаты расчетов согласно точечному пошаговому алгоритму (табл. 9).
Алгоритм оценивания (21) представляет собой фактически процедуру усреднения спектральных векторов наблюдений, взятых с соответствующими весами, по множеству шагов наблюдений. Из частот трех спек-
тральных векторов, наблюдаемых за 25 ша- | гов, видно, что их среднее значение должно § формироваться в окрестности спектраль- о, ного вектора 4-5. Расчеты, приведенные в табл. 9, это подтвердили. Отметим, что такая оценка приближается и к вектору наблюдения на полигоне (см. строку «Полигон» в табл. 9).
Интерпретация полученных результатов
Алгоритм (21) построен на основе усреднения взвешенных векторов наблюдений, значит, если данные формировались случайным образом, то появления любого вектора наблюдений (рис. 6) равновероятны. Как видно из рис. 6 и 7, не все направления обладают равной информативностью, поэтому редкая сетка векторов спектра наблюдений приводит к тому, что итоговый вектор настройки оказывается смещенным относительно фактического (моделируемого) вектора ЦФ ЛПР. Однако редкая сетка спектра наблюдений играет и положительную роль — если представительная спектральная линия «схвачена», то она в дальнейшем обеспечивает хорошее качество решений. Графически сходимость по оценкам приведена на рис. 8.
Из рисунка 8 видно, что оценки коэффициентов ЦФ (ее НВЕД) сходятся не к «фактическим» (моделируемым) значениям, а к значениям решения (его НВЕД) на полигоне. Однако, как показало моделирование, в любых вновь возникающих СТПР (рис. 3а - т) решения, полученные по настроенной (оцененной) ЦФ, не приводят к ошибкам (совпадают с решениями, полученными по моделируемой ЦФ). Все решения, принятые в любой СТПР по модели, будут совпадать с решениями, принятыми ЛПР (имитирующей его ЦФ). Таким образом, аппроксимация ЦФ, не эффективная по оценкам, оказалась эффективной по решениям.
Графики невязки вектора оценок аппроксимирующей ЦФ относительно фактического НВЕД ЦФ (верхняя) и относительно ближайшего спектрального вектора полигона, приведены на рис. 9.
105
ск =
№ 3 (39) 2012
Таблица 9
Решения, принятые ЛПР по выборке наблюдений
Шаг наблюдения Пара ограничений НВЕД 1 НВЕД 2 НВЕД наблюдения Вес наблюдения ХРЛ 1=1 с 1 к
i = 1 i = 2 i = 1 i = 2 i = 1 i = 2 i = 1 i = 2 i = 1 i = 2
1 1-4 -0,707 - 0,707 0 - 0,924 0,383 0,076 - 0,070 0,029 - 0,924 0,383
2 1-4 -0,707 - 0,707 0 - 0,924 0,383 0,076 - 0,140 0,058 - 0,924 0,383
3 1-4 -0,707 - 0,707 0 - 0,924 0,383 0,076 - 0,211 0,087 - 0,924 0,383
4 1-4 -0,707 - 0,707 0 - 0,924 0,383 0,076 - 0,281 0,117 - 0,924 0,383
5 1-4 -0,707 - 0,707 0 - 0,924 0,383 0,076 - 0,352 0,146 - 0,924 0,383
6 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 0,559 0,353 - 0,846 0,534
7 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 0,588 0,423 - 0,812 0,584
8 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 0,617 0,493 - 0,781 0,625
9 1-4 -0,707 - 0,707 0 1 - 0,924 0,383 0,076 - 0,687 0,523 - 0,796 0,605
10 1-4 - 0,707 - 0,707 0 1 - 0,924 0,383 0,076 - 0,758 0,552 - 0,808 0,589
11 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 0,787 0,622 - 0,784 0,620
12 1-4 - 0,707 - 0,707 0 1 - 0,924 0,383 0,076 - 0,857 0,651 - 0,796 0,605
13 1-4 - 0,707 - 0,707 0 1 - 0,924 0,383 0,076 - 0,927 0,680 - 0,806 0,591
14 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 1,135 0,887 - 0,788 0,616
15 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 1,164 0,958 - 0,772 0,636
16 1-4 - 0,707 - 0,707 0 1 - 0,924 0,383 0,076 - 1,234 0,987 - 0,781 0,625
17 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 1,263 1,057 - 0,767 0,642
18 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 1,470 1,264 - 0,758 0,652
19 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 1,677 1,471 - 0,752 0,659
20 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 1,884 1,678 - 0,747 0,665
21 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 1,914 1,749 - 0,738 0,675
22 1-4 - 0,707 - 0,707 0 1 - 0,924 0,383 0,076 - 1,984 1,778 - 0,745 0,667
23 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 2,191 1,985 - 0,741 0,671
24 2-5 0,707 0,707 - 1 0 - 0,383 0,924 0,076 - 2,220 2,055 - 0,734 0,679
25 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 0,293 - 2,427 2,262 - 0,732 0,682
Полигон 4-5 0 1 - 1 0 - 0,707 0,707 - - - - 0,707 0,707
106
№ 3 (39) 2012
1,5
0,5
-0,5
-1
-1,5
<1— |— (тО |— ( -> |— |— '— (- |— » |— С""") |—1 |— |—1 — I- С- ) I—I -) $ -> I— го ( -> - -Х- - С2 -■- Оценка С2 -Ж- С1_ПОЛИГОН - -+- - С1
5
-. - - ч ! - - ! • -н 1 - ч > > 1 Э 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 Э 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2
)5— {—а г— г— 5— г— г— г—э !—| Ы м М м
<м >—< М >—< г-4 -•- С2_полигон
оо
0
1
в; со
Рис. 8. Сходимость оценок ЦФ ЛПР с учетом весов информативности решений
Невязка НВЕД ЦФ
Невязка НВЕД по полигону
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 1617 18 192021 22232425
Рис. 9. Сходимость невязки
Сходимость по решениям здесь не приводится, так как после первого же шага настройки оценки модели оказались достаточно точными для того, чтобы решения, принятые по всем остальным возникающим СТПР, полностью совпадали между собой — по ЦФ ЛПР и по настраиваемой модели (его аппроксимации).
О логике адекватности восстановленной модели
Факт быстрой сходимости по решениям и плохой сходимости по оценкам объясняется тем, что ЦФ ЛПР проявляется только через СТПР (ОДР). А из всех возможных СТПР лишь СТПР-полигон является наибо-
лее весомым и информативным (табл. 8) представителем среды, в которой действует ЛПР. Внешний наблюдатель видит целевые предпочтения (в форме ЦФ) ЛПР через СТПР, а значит, и ЦФ ЛПР должна иметь вид одного из элементов СТПР. Такими элементами СТПР являются векторы спектра задачи или спектра полигона. В процессе восстановления (оценивания) ЦФ ЛПР отыскивается НВЕД ЦФ (как образ ЦФ), аппроксимируя его одним из векторов спектра полигона. То есть можно говорить об аппроксимации ЦФ ЛПР одним из векторов наблюдений полигона (на рис. 7 векторы 2-4, 2-3, 3-6, 1-6, 1-5, 4-5). Таким образом, ЦФ ЛПР, представимая непрерывным НВЕД (рис. 7), будучи спроецированной
\ 107
№ 3 (39) 2012
на СТПР, дискретизируется спектром задачи, информационно полным представителем которого является спектр полигона. Поэтому искать оценку ЦФ ЛПР, аппроксимирующую его предпочтения, можно только на дискретном спектре задачи (полигона), что объясняет факт сходимости оценок (НВЕД ЦФ) к одному из векторов спектра полигона, а не к непрерывному реальному НВЕД ЦФ ЛПР.
Отметим также, что качество аппроксимации зависит от того, насколько множество СТПР на фазе оценивания, является представительным, т. е. полно отражающим все разнообразие вероятных ситуаций. Если множество СТПР представительно (адекватно среде), можно говорить об аппроксимации, адекватной любым потенциально возможным СТПР. Если множество СТПР отражает лишь часть возможных ситуаций, то имеет место локальная аппроксимация, при которой в процедурах настройки и в последующем решении прямой ТЗ используется лишь часть спектра задачи или спектра полигона (т. е. используется локальный спектр). В данном случае решения, принятые по настроенной модели, будут надежными лишь для новых СТПР, возникающих в той же локальной области спектра, Ц т. е. это будет поиском решений «под фона-й рем» — в той части спектра задачи, которая § уже «освещена» предыдущими шагами на-<| стройки. Если возникает СТПР, выходящая ^ за пределы локальной, необходимо вновь протестировать ЛПР в этой новой области | и скорректировать оценки ЦФ.
о
| Заключение
со
§ Моделирование процесса аппроксима-
§ ции предпочтений ЛПР в транспортной сис-
>| теме обобщенной транспортной таблицей
Е показывает высокую скорость сходимости
ЕЭ по решениям, что дает основания для при-
Л менения подобных аппроксимаций в систе-
£ мах планирования транспортных перевозок
| и в других приложениях, описываемых схе-
^ мой транспортной задачи.
Исследования алгоритма аппроксимации и свойств построенной модели транспортной задачи показали, что решения, получаемые с помощью настроенной модели, могут обладать локальной эффективностью, т. е. решения прямой транспортной задачи, полученные по настроенной модели, могут быть не хуже решений, полученных ЛПР в аналогичных ситуациях.
Правила остановки процесса настройки модели могут основываться на статистических характеристиках вариации вектора оценки ЦФ ЛПР, таких как среднее значение и среднее квадратическое отклонение.
Список литературы
1. Акофф Р. Планирование в больших экономических системах. М.: Сов. радио, 1972.
2. Багриновский К. А. О методах адаптивного управления в переходной экономике // Экономическая наука современной России. 1999. № 2.
3. Бир С. Мозг фирмы. М.: Едиториал УРСС, 2005.
4. Вилисов В. Я. Методы выбора экономических решений. Адаптивные модели. М.: Финансы и статистика, 2006.
5. Глушков В. М. Введение в АСУ. Киев: Техника, 1974.
6. Емельянов А. А., Власова Е. А., Дума Р. В. Имитационное моделирование экономических процессов / Под ред. А. А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2009.
7. Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.
8. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход. М.: Мир, 1971.
9. Оно Т. Производственная система Тойоты. Уходя от массового производства. М.: Институт комплексных стратегических исследований, 2006.
10. Питеркин С. В. Точно вовремя для России. Практика применения ERP-систем / С. В. Питеркин, И. А. Оладов, Д. В. Исаев. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.
11. Саймон Г. А. Теория принятия решений в экономической теории и науке о поведении // Теория фирмы / сост. и общ. ред. В. М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 1995.
