Анализ точных и приближенных методов решения обратной задачи эллипсометрии для неоднородных поверхностных слоев Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИЗ ТОЧНЫХ Н ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЛИПСОМЕТРИИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ

ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ A.A. Новиков

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор В.Т. Прокопенко

Проведен анализ методов секционирования и математического моделирования при определении профиля показателя преломления неоднородного поверхностного слоя и многослойных неоднородных отражающих систем. Для экспоненциального оптического профиля поверхностного слоя внутрирезонаторных элементов ионных лазеров, выполненных из кварцевого стекла, дан анализ ошибок расчета поляризаци-онно-оптических параметров поверхностного слоя по уравнению эллипсометрии в приближении Борна и обобщенному уравнению эллипсометрии в приближении Друде-Борна.

Введение

Эллипсометрия - это метод, основанный на анализе изменения состояния поляризации при ее взаимодействии с исследуемым объектом. По существу, метод эллипсометрии имеет дело исключительно с полностью поляризованным светом (линейно, эллиптически, циркулярно поляризованным), а измерение степени поляризации относится к области поляриметрии [1]. Анализ изменения состояния поляризации света при его взаимодействии с поверхностью (границей раздела сред) осуществляется с помощью эллипсометров. Хотя изменение состояния поляризации электромагнитной волны можно наблюдать как в отраженном, так и проходящем свете, в настоящее время в подавляющем числе работ [1-5] изучается поляризация отраженного света.

Во всех многочисленных применениях метода эллипсометрии интерпретация непосредственно измеряемых параметров эллипса поляризации отраженного светового пучка - азимута линейной восстановленной поляризации у и разности фаз А между двумя взаимно ортогональными составляющими (p- и s-компонентами) отраженного светового пучка - сводится к переходу от этих параметров к оптическим характеристикам исследуемой отражающей системы, т.е. к решению обратной задачи эллипсометрии [2-4]. Приэтом необходимо различать математическое и физическое рассмотрение обратной задачи эллипсометрии.

Математическое рассмотрение обратной задачи непосредственно связано с численным решением уравнения эллипсометрии р = tgyexp('A)=R(p) / R(s), где R(s> - коэффициенты отражения для p- и s-компонент поляризованного света для конкретной модели отражающей системы, и установлением функциональной связи между параметрами этой модели, условиями проведения измерений и значениями поляризационных параметров А и Y. Отметим, что математическое описание модели отражающей системы для неоднородного поверхностного слоя (ПС) может быть дано функцией распределения показателя преломления по глубине слоя n(z) [2-4].

Физическое рассмотрение обратной задачи эллипсометрии заключается в определении модели отражающей системы, адекватной объекту исследования. Если при математическом рассмотрении обратной задачи эллипсометрии вполне достаточно получить самосогласованность результатов расчета и эксперимента при различных условиях его проведения, то при физическом рассмотрении необходимо получить также согласование эллипсометрических данных с результатами других физико-химических методов исследования свойств и структуры ПС. И только после того, как адекватность модели отражающей системы объекту исследования установлена, т.е. решена обратная задача эллипсометрии в ее физическом рассмотрении, метод эллипсометрии может быть применен для контроля физико-технических параметров исследуемой отражающей системы при тех или иных внешних воздействиях.

Затронем ряд общих методических вопросов, возникающих при решении обратной задачи эллипсометрии неоднородных отражающих систем, рассмотрение которых позволит в дальнейшем объективно судить о возможности метода эллипсометрии при изучении ПС градиентных оптических элементов.

Метод секционирования неоднородной отражающей системы

Эллипсометрический контроль поверхностных слоев градиентных оптических элементов проводится, как правило, при послойном стравливании неоднородного слоя или синтезе многослойных тонкопленочных структур [2-4]. Поскольку определение оптических характеристик ПС в этих случаях проводится каждый раз после нанесения или удаления порции вещества (секции), то в литературе этот метод получил название «метода секционирования». Данный способ определения оптических характеристик неоднородных отражающих систем обладает рядом существенных отличий от традиционного подхода в эллипсометрии, основанного на использовании упрощенной модели исследуемой неоднородной структуры ПС, представляемой в виде однородной изотропной пленки.

При послойном способе анализа оптических свойств градиентных элементов повышается информативность эллипсометрического метода: снимается проблема неоднозначности в измерении толщины, возникает возможность определить распределение показателя преломления по глубине слоисто-неоднородной структуры. Однако неучет ряда методических особенностей применяемого в настоящее время способа определения оптических характеристик неоднородного слоя по методу секционирования зачастую приводит к существенным ошибкам в расчете толщины и показателя преломления элементарного слоя. Отметим, что под понятием «элементарные слои» понимаются слои конечной толщины d << X, из системы которых составляется модель отражающей системы, эквивалентная по своим поляризационно-оптическим свойствам исследуемому неоднородному слою. В общем случае элементарный слой может быть как однородным, так и неоднородным.

Важнейшими аспектами, определяющими возможность практической реализации преимуществ этого способа определения градиентных характеристик оптических элементов, является алгоритм решения обратной задачи эллипсометрии, метрологические возможности эллипсометрического контроля in situ и аппаратурная реализация метода.

Для расчета амплитудных коэффициентов отражения от системы однородных слоев используются, как правило, рекуррентные соотношения Скендонна-Баллерини или Абеле [6]. Формулы Скендонна-Баллерини имеют вид:

j = [r;+1,; + Rj_j,0 • exp(-/25;)]-[1 + r;+1,; • • exp(-z25;)Г . (1)

Здесь Tj+ij - коэффициенты Френеля для границы раздела верхняя среда - j-й слой; Rj-1,0- обобщенные коэффициенты Френеля от системы слоев, лежащих ниже j'-ой границы раздела сред; 5j - фазовая толщина j-го тонкого слоя, определяется как 5j = koNjdjCOsqj, где k0 = 2л/Х; X - длина волны излучения; Nj, dj ,фу- - показатель преломления, геометрическая толщина и угол преломления для j-ro слоя, соответственно.

Обычно поиск неизвестных параметров системы m однородных слоев ведется от подложки методом последовательных шагов, причем находятся параметры только j-ro слоя. При таком алгоритме решения обратной задачи эллипсометрии параметры каждого j'-oro слоя определяются через все параметры нижележащей структуры. В общем виде эти решения можно записать как

П = ifty,Dj,n_1,dj_1,...n,d) , dj = F2(yj,Dj,nj_1,dj_1,...n1,d1) (2)

Так как значения ^j и Aj на каждом шаге эллипсометрических измерений определяются с экспериментальной погрешностью бД, и 5^j, то суммарные

погрешности оптических параметров у'-ого слоя Snj и Sdj должны неизбежно включать в себя погрешности измерения всех предыдущих слоев. Для оценки величины погрешности измерения т-го слоя обычно используют формулы [2, с.90]:

Л т—1^,-7— л— ^

Snj -

Sdj -

( dn я Л

--oy

dy

( dd _

--oy

dy

0 m

Л

m

+ .OD

У dD ^

+(dd- V

dD )

j-1 m—1(

j-1

dn

dn

dn

m On, + — j dd

dd

dd

m- Odj j 0

Л

dn

m On. + — j dd

m- Odj j0

(3)

(4)

Из соотношений (3), (4) следует, что с ростом числа слоев погрешность определения оптических параметров неоднородных структур будет зависеть от монотонности функции п(г), определяющей необходимую частоту измерений, и возрастает с ростом числа элементарных слоев. Для устранения этого недостатка в [2-4] было предложено несколько способов решения обратной задачи эллипсометрии для многослойной отражающей системы: метод эффективной подложки, метод эффективного слоя, метод пробного слоя (рис. 1).

В методе эффективной подложки поступают следующим образом. По измеренным для предыдущего слоя значениям и Д7.1, используя формулы Френеля для и уравнение эллипсометрии р = 1§уехр(/Д)= вычисляют

эффективные константы п (7.1) и £ (7.1), т.е. нижележащая система тонких слоев заменяется моделью геометрически плоской границы раздела двух полубесконечных сред. Затем по данным измерений поляризационных углов Д/ и щ осуществляется расчет толщины ^ и показателя преломления п/ последующего у'-го однородного слоя, используя в качестве оптических характеристик неоднородной подложки эффективные параметры п ^.^и к (/_1) (рис. 1а).

а)

б)

в)

\<Р

Hj+l

Чо

Rj+i

(Р, S)

VP

dj+i

\

1

[р, S)

П3+1 dj+i

N/ dj*

No \ |

\

}9а\

Rj+i

ip.s)

\Ф \ f /

nj+i dj+i

MM mm

No

Рис. 1. Методы эллипсометрического анализа многослойных отражающих систем: а) метод эффективной подложки; б) метод эффективного слоя; в) метод пробного слоя. Ы0 - показатель преломления однородной подложки

m

m

Отметим, что для однородной подложки между коэффициентами отражения р-и s-компо-нент поляризованного света имеет место следующее соотношение [5]:

R0p} - R0s} (R0s} — cos 2j) . (1 — R0s} . cos 2j)—1. (5)

Для неоднородной подложки, т.е. при наличии на поверхности пленки или шероховатого слоя, в эксперименте наблюдается иная угловая зависимость амплитудных коэффициентов отражения R^p,s). Численный анализ возможных методических ошибок, приведенный в [6] для данного метода, показывает, что значения эффективных постоянных неоднородной подложки пи k определяются не только условиями

проведения эллипсометрических измерений, например изменением угла падения светового пучка, но и способом вычисления этих величин по формулам Френеля.

На основе соотношения (5) в [3] предложены критерии применимости метода эффективной подложки к неоднородному ПС и шероховатой поверхности. Но для его вычисления требуется знать амплитудные коэффициенты отражения, которые могут быть определены только при проведении иммерсионных эллипсометрических измерений в двух средах и при двух углах падения светового пучка, связанных между собой законом Снеллиуса. При указанных выше условиях эллипсометрических измерений можно аналитическим способом решить обратную задачу эллипсометрии для всех оптических параметров отражающей системы «однородная поглощающая пленка - поглощающая подложка» [3, 6].

Желание освободится от недостатка метода эффективной подложки привело к разработке способа определения оптических параметров многослойной системы по методу эффективного слоя. Сущность этого метода состоит в замене многослойной структуры, лежащей ниже у-го слоя, на слой с некоторыми эффективными параметрами п и с( (рис. 16). Расчет такой двухслойной системы проводится либо методом последовательных приближений с применением матрицы рассеяния, либо с привлечением наряду с поляризационными параметрами информации о значениях энергетических коэффициентов отражения (поляризационно-энергетический метод

[3]).

Задача расчета неоднородных и многослойных структур по данным полученным методом нуль-эллипсометрии может быть решена при помощи двухслойной модели, если исследуемая структура ПС находится на специально приготовленном подслое. Толщина и оптические параметры этого подслоя выбираются так, чтобы при послойном стравливании или синтезе исследуемой структуры ПС погрешность в определении ее оптических характеристик была минимальна. Главное преимущество этого способа исследования неоднородных структур ПС, названного в [3] методом пробного слоя (рис.1 в), заключается в том, что его применимость оправдана при послойном стравливании или синтезе ПС, когда глубокие слои (кроме специального) подвергаются изменениям. Такие изменения могут происходить, например, при ионном и химическом травлении ПС или электронно-лучевой модификации структуры ПС оптического элемента.

Метод математического моделирования оптического профиля

Несмотря на всю привлекательность метода эллипсометрического анализа, проводимого при послойном стравливании ПС с последующей реконструкцией профиля показателя преломления, этот способ определения оптических характеристик неоднородных отражающих систем обладает рядом существенных недостатков. Во-первых, он является разрушающим, что не всегда приемлемо в условиях технологического контроля качества обработки поверхности детали или при создании модифицированной структуры ПС оптического элемента с заданными физико-химическими свойствами. Во-вторых, он мало пригоден для изделий выполненных из химически нестойких и многокомпонентных материалов - из-за сложности подбора химического травителя, обеспечивающего отсутствие селективности при травлении ПС. В-третьих, некоторые прямые и косвенные данные, полученные современными методами исследования шероховатой поверхности оптических элементов, позволяют утверждать, что при послойном травлении нарушается геометрический рельеф границы раздела каждого элементарного слоя. В результате этого исследуемая отражающая система может стать неадекватной исходной [2-4].

От недостатков способа секционирования должен быть свободен неразрушаю-щий метод анализа многослойных и неоднородных систем, основанный на методе математического моделирования. Для успешного применения неразрушающего способа эллипсометрического контроля оптических характеристик градиентных элементов необходимо обеспечить рациональный метод расчета неизвестных параметров отражающей системы. На таких моделях, как однородный слой, трехслойная система однородных слоев, система линейный слой - однородный слой, были опробованы методы Дэвидона и Флейчера-Ривса, основанные на применении частных производных целевой функции по независимым переменным, а также метод Розенброка, известный в литературе как метод вращения осей координат, поскольку поиск параметров исследуемой системы в окрестности выбранной начальной точки ведется именно таким образом.

Анализ возможных математических решений обратной задачи эллипсометрии показал, что методы Дэвидона и Флетчера-Ривса дают неудовлетворительные результаты при поиске параметров неоднородных отражающих систем. В то же время многократное применение метода Розенброка может в ряде случаев привести к точному решению обратной задачи эллипсометрии для сложных отражающих систем. Но, к сожалению, даже самый тщательный выбор начальных точек поиска неизвестных параметров отражающей системы не гарантирует нахождение глобального экстремума целевой функции.

Известно, что число задач отражения света от неоднородного слоя, допускающих точное решение волнового уравнения, весьма ограничено. Для наклонного падения светового пучка решение задачи отражения для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания обычно описывается либо через комбинации сложных функций Бесселя, Неймона, либо через степенные ряды (например, для экспоненциальной зависимости 8(2) [7], либо с помощью гамма-функций (например, для профиля Эпштейна [8]). Хотя эти решения имеют весьма большое теоретическое значение и раскрывают ряд важных закономерностей в изменении состояния поляризации отраженного светового пучка от неоднородных отражающих систем, однако они не снимают существующих проблем при решении целого ряда прикладных задач методом эллипсометрии. Поэтому целесообразно использовать приближенные решения обратной задачи эллипсометрии, в частности, основанные на обобщенном уравнении эллипсометрии в приближении Друде-Борна [9].

Проведем анализ ошибок, возникающих при расчете оптических параметров неоднородных поверхностных слоев по уравнениям эллипсометрии в приближении Бор-на и по обобщенному уравнению Друде-Борна. Поскольку разработанные методы эллипсометрии в дальнейшем используются при контроле качества изготовления оптических внутрирезонаторных элементов ионных лазеров, выполненных из кварцевого стекла, то анализ ошибок проводится для среды, показатель преломления которой при Х=0,6328 мкм равен п0=1,4570. Для оптического профиля, заданного экспоненциальной функцией следующего вида:

где п0, п1 - показатели преломления в объеме стекла и на поверхности (при г = 0), известно точное решение задачи отражения для поляризованного света [7].

На рис. 2 показано изменение величины ошибки в расчете поляризационных углов А и у по уравнению Борна в зависимости от характеристических параметров п1 и ё оптического профиля ПС (6) (прямая задача эллипсометрии). Для каждой кривой, приведенной на рис. 2а,б,, указана величина отклонения показателя преломления ПС от объемного значения, равная 5п = (п1 - п0). На рис. 3 показаны ошибки в расчете показателя преломления и толщины ПС по уравнению Борна.

(6)

Рис. 2. Ошибки расчета поляризационных парамеров Д (а) иф (б) для экспоненциального поверхностного слоя кварцевого стекла по уравнению эллипсометрии в приближении Борна

Sj, HM

100

10

а)

0,15

О, 08

. .V 05

0,02

0,01

S„

б)

2 3 Б 8 10 20 30 50 80 1ОТ

d-10"2, нм

+ if

V

5n

Рис. 3. Ошибки расчета толщины (а) и показателя преломления (б) по уравнению эллипсометрии в приближении Борна для экспоненциальной функции профиля показателя преломления поверхностного слоя

Необходимо отметить, что если максимальная ошибка в расчете толщины ПС и величины отклонения показателя преломления ПС от объемного значения для экспоненциальной зависимости (6) по уравнению Борна не превышает 8-10%, то применение обобщенного уравнения эллипсометрии Друде-Борна уменьшает эту ошибку до 2-3%.

Таким образом, при анализе поляризационно-оптических свойств неоднородных поверхностных слоев, имеющих сложный вид оптического профиля ПС, образующийся, в частности, при модификации структуры поверхности оптического элемента ионными или электронными пучками, допустимо использовать обобщенное уравнение эллипсометрии в приближении Друде-Борна, позволяющее в рамках экспериментальной погрешности измерений дать оценку качества поверхности детали при различных режимах ее технологической обработки.

Литература

1. Azzam R.M.A. A perspective on ellipsometry. // Surface Sci. 1976. V.56. P. 6-17.

2. Эллипсометрия - метод исследования поверхности. / Под ред. A.B. Ржанова, Новосибирск: Наука, 1983. 180 с.

3. Эллипсометрия: теория, методы, приложение. / Под ред. A.B. Ржанова и Л.А. Ильина, Новосибирск: Наука, 1987. 192 с.

4. Эллипсометрия: теория, методы, приложение. / Под ред. К.К. Свиташева. Новосибирск: Наука, 1991. 200 с.

5. Azzam R.M.A. Direct relation between Fresnels interface reflection coefficients for the paralled and perpendicular polarizations. // J.Opt.Soc.Am. 1979. V.69. №7. P.438-445.

6. Пшеницын В.И., Абаев М.И., Лызлов Н.Ю. Эллипсометрия в физико-химических исследованиях. Л., 1986. 152 с.

7. Пшеницын В.И., Антонов В.А., Абаев М.И. Применение точных и приближенных решений уравнений Максвелла в эллипсометрии неоднородных слоев. // Опт. и спектр. 1988. Т.65. В. 3. С. 621-627.

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: изд. АН СССР, 1957.

9. Антонов В.А., Пшеницын В.И., Храмцовский И.А. Уравнение эллипсометрии для неоднородных и анизотропных поверхностных слоев в приближении Друде-Борна // Опт. испектр. 1987. Т. 62. В.4. С. 828-831.