CC BY
253
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
УДК 519.65
С. Н. ЧИЖМА Р. И. ГАЗИЗОВ
Омский государственный университет путей сообщения
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МЕТОДА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
В статье определены факторы, определяющие точность предложенного метода, показаны аналитические зависимости точности оценки, проведено моделирование процесса оценки параметров сигнала и сравнение результатов при использовании сглаживающих окон различных типов.
Ключевые слова: частота, гармоники, амплитуда, фаза, моделирование, точность.
Ряд параметров качества электроэнергии может быть определен с использованием спектрального метода анализа электрических сигналов тока и напряжения. При контроле параметров качества электроэнергии модель сигнала (тока или напряжения) известна. Она представляет собой комбинацию синусоиды основной частоты 50 Гц и синусоид высших и интергармонических составляющих, являющихся результатом воздействия нелинейных элементов и процессов в энергосистеме на сигнал.
Получившее наибольшее распространение дискретное преобразование Фурье (ДПФ) неспособно точно определить частоту сигнала, когда максимум ДПФ не совпадает со спектром сигнала, поэтому применяются дополнительные методы для определения параметров сигнала.
Помимо погрешности, вносимой в амплитудный спектр отклонением частоты гармоники от значения, кратного размеру окна наблюдения сигнала, имеют место погрешности, зависящие от фазы оцениваемой гармоники и частоты дискретизации сигнала. Для получения вида этих зависимостей было проведено БПФ над синусоидальными сигналами частотой, не кратной величине 1/Г, различной фазой и частотой выборки значений f на интервале T. Эти зависимости видны на рис. 1 (сплошная — частота дискретизации 400 Гц, пунктир — частота дискретизации 12800 Гц).
Зависимость относительной погрешности определения амплитуды гармоники при различной частоте дискретизации сигнала при прочих равных параметрах сигнала и гармонического анализа представлена на рис. 2.
Из представленных графиков видно, что помимо отклонения частоты основной гармоники от номинальной, существенное влияние на точность определения ее амплитуды при проведении оконного преобразования Фурье оказывают как фаза основной гармоники, так и частота дискретизации. Вышесказанное может быть выражено в виде следующей зависимости:
bAi=f[iwl&b,Vi,fs,sm, (1)
где SA. — относительная погрешность для i-ой компоненты; fw — функция окна; М — отклонение частоты i-ой компоненты; ф. — фаза i-ой компоненты; fS — частота дискретизации сигнала; SNR — уровень шума.
Как видно из рис. 2, при достаточно больших значениях / значение погрешности практически перестает от нее зависеть:
Иш Щ = /(/^Д^.ЯУК). (2)
/5—>СО
Для оценки частоты питающего напряжения был предложен усовершенствованный способ оценки [1], в котором применяется метод оконных сглаживающих функций, суть которого заключается в наложении на сигнал во временной области сглаживающего окна, имеющего более качественные характеристики в частотной области, чем прямоугольное окно (сигнал без сглаживания).
На синусоидальный сигнал х(^ с частотой /0 и спектром Х(/) наложим некоторое окно ш^) со спектром Ш/):
хш Ю = Х(ФИ*) = Ае^Ще12^. (3)
Рассматривая основную гармонику, можно оценить ее положение в спектре по максимуму корреляционной функции смещенного спектра оконной функции и спектра сглаженного сигнала, т.е. рассчитывать автокорреляционную функцию спектра сглаживающего окна, взвешенную амплитудой гармоники:
Щ = ЩХ„ (/) Щ£-Щ = А- %^/). (4)
При сопоставлении спектра сигнала и корреляционной функции положение максимума корреляционной функции (смещение спектра сглаживающего окна) будет соответствовать положению гармоники и ее частоте.
Для дальнейшего повышения эффективности работы алгоритма, определим минимально необходимый набор смещенных спектров сглаживающих окон, с которыми рассчитывается корреляция. Так как положение гармоники определяется максимумом амплитудного спектра ДПФ в диапазоне ±//2 от него, то и расчет корреляции стоит производить для смещений спектра сглаживающего окна в соответствующем диапазоне относительно максимума амплитудного спектра ДПФ. Необходимо определить шаг смещений для обеспечения требований стандартов [2, 3] по точности оценки амплитуды гармоники.
Из формулы (4) можно выразить значение амплитуды гармоники как:
Рис. 1. Относительная погрешность определения амплитуды основной гармоники при различных значениях ее фазы
(df)
Rww(df)
(5)
Рис. 2. Относительная погрешность определения амплитуды основной гармоники при различных значениях частоты дискретизации
Используя полученные значения, фазу гармоники можно оценить по выражению:
По мере приближения к истинному положению гармоники значение RXW(df) будет стремиться к максимуму, а значение Rw(df) к «мощности» соответствующего спектра сглаживающего окна.
После того как было определено положение гармоники и оценена ее амплитуда, необходимо произвести оценку фазы гармоники. Для этого оценим амплитуду ее синусной и косинусной составляющих по аналогии с оценкой амплитуды, учитывая, что уже известно смещение сглаживающего окна, при котором корреляционная функция принимает максимальное значение.
Для общего случая представим сигнал x(t) как:
x(f) = Acosfoogf _ф) = Асовфсоэсоо^ +
+ Asii^siiKBgf = Acos coscoq t + Asin sin e>0t. (6)
В формуле сигнал x(t) представлен в виде суммы двух сигналов (косинуса и синуса) с нулевой начальной фазой и некоторыми амплитудами A и A . . Со-
1 1 J ^ cos sin
гласно свойству линейности преобразования Фурье, отсчеты результата ДПФ сигнала x(t) будут равны сумме соответствующих отсчетов результата ДПФ каждого из этих сигналов, взятых по отдельности:
X(f) = FFT{x(t)} = FFT{xC0S (f) + xsin (f)} =
= FFT {xcos {t)}+FFT {xsln (f)},
Re(X(/)) = Re(FFT{xcos (f)}) + Re(FFT{xsm (f)}),
Im(X(/)) = Im(FFr{xC0S (f)}) + lm(FFT{xsta (t)}). (7)
Значения амплитуд косинусной и синусной составляющих сигнала будут определяться как:
Л:ОВ= IdЩX(f))Re\W(f-f0)) + Im(Xmm'(W^f-fQ))t (8)
М-1 1~ 2
М-1
Лип= ^(тп™\щ£-ы)-тх(г))кётг-ы). (9)
М-1 1~ 2
где Re'(W(f-f )) и 1т'(^(/—/0)) — нормированные реальный и мнимый спектры сглаживающего окна.
Ф = arctan
Аш
4A:os,
(10)
Точность разработанного алгоритма (точность оценки положения гармоники, оценки ее амплитуды и фазы) определяется частотой формирования набора сглаживающих окон для сравнения. Однако в реальных условиях помимо самой гармоники в электрическом сигнале тока и напряжения присутствует шум, в том числе искажения, вносимые другими гармониками сигнала. Проанализируем работу алгоритма в условиях шума и эффективность различных сглаживающих окон.
Применяя различные функции сглаживающих окон, мы получаем различные результаты в частотном диапазоне, а именно: форму и ширину основного лепестка, уровень боковых лепестков, скорость их убывания. Именно поэтому для проведения эффективного спектрального анализа с применением вышеописанного алгоритма необходимо проанализировать его работу с использованием различных оконных функций.
Однако следует отметить, что использовать в качестве сглаживающего окна следует функцию, затухание боковых лепестков спектра которого не превышает принятого уровня шума, а ширина основного лепестка не превышает половины интервала между соседними гармониками, чтобы исключить взаимное влияние гармоник друг на друга.
Из экспериментальных данных следует, что в спектрах сигнала тока и напряжения присутствуют гармоники, уровень которых составляет порядка — 60 дБ относительно основной гармоники. Поэтому сделаем допущение для модели этих электрических сигналов, что все компоненты спектра, чей уровень амплитуды ниже —80 дБ, будут приравнены к спектральному шуму, в то время как компоненты, чей уровень выше —80 дБ следует подвергнуть анализу и оценке.
С ростом порядка высших гармонических составляющих их уровень падает. Очевидно, что если в спектре сигнала присутствует шум, уровень которого относительно основной гармоники составляет порядка — 80 дБ, то для высших гармоник эта величина будет увеличиваться вплоть до полного смешения гармоники с шумом.
Окно Кайзера, взятое в качестве примера сглаживающей функции, не является единственным, ис-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Окно Блэкмана-Харриса
Окно
Наталла
Рис. 3. Амплитудные спектры некоторых оконных функций
X
_|_
IL
и_
'10 20 30 40 SNR,flE 60
а) окна Блэкмана-Харриса, Наталла, Кайзера, Чебышева
10
020
30 40
б) ок Гаусса
SNR,^
060
MSE,
10-3
2
2,5
1
0,5
0
■ Окно Блэкмана-Харриса
■ Окно Наталла Окно Кайзера
• Окно Чебышева
Л
ч
_і_
_|_
_L
10 20 30 40 SNR, дБ 60
в)Сравнениехарактеристик ееек пркМ=5
Рис. 4. Погрешности оценки частоты гармоники
а) окна Блэкмана-Харриса, Наталла, Кайзера, Чебышева
— Окно Блэкмана-Харриса
Окно Кайзера Окно Чебышева
б) сравнение характеристик окон
Рис. 5. Относительные погрешности оценки амплитуды гармоники
1,6
ф>
град
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
\
■ М=1
■ М=3 М=5
■ М=7
X
_1_
_і_
----------------1
- Окно Блэкмана-Харриса
- Окно Кайзера
- Окно Чебышева
10 20 30 40 $N1? дК 60 іи 20 30 40 БИЯ,дБ
а) окна Блэкмана-Харриса, Наталла, Кайзера, Чебышева б) сравнение характеристик окон
Рис. 6. Абсолютные погрешности оценки фазы гармоники
Таблица 1
Используемые оконные функции и их параметры
Наименование окна ^0 Р0,5 К У, дБ в, дБ
Окно Блэкмана-Харриса 8 1,97 4 -92 -8,9
Окно Наталла 8 1,98 4 -93 -9
Окно Кайзера (параметр 10) 8 1,96 4 -90 -9
Окно Чебышева (параметр 90) 8 1,98 4 -90 -8,8
Окно Гаусса (параметр 4,1) 8 1,82 4 -85 -8,52
пользуемым в инженерной практике для спектрального анализа. Для сравнительного анализа используем еще три оконных функции [4], обладающими наилучшими соотношениями ширина основного лепестка/отношение амплитуды основного к боковым лепесткам. Добавим к списку анализируемых оконных функций окно Гаусса, имеющие средние показатели. Так, в табл. 1 приведен перечень используемых оконных функций, которые попадают под обозначенные выше критерии (F0 — нормированная ширина главного лепестка, F05 — нормированная ширина главного лепестка по уровню 0,5 ( — 3 дБ), у — максимальный уровень боковых лепестков, в — коэффициент ослабления, К — отношение F0 окна к значению F0 для прямоугольного окна). Вид амплитудного спектра оконных функций в области главного лепестка представлены на рис. 3.
Для оценки эффективности применения того или иного окна в условиях шума для одночастотного сигнала было проведено моделирование работы алгоритма. Параметры моделирования приближены к реальным значениям:
— окно наблюдения Тж = 0,2 с;
— частота дискретизации / = 10,0 кГц;
— размер набора спектров сглаживающего окна К=50;
— количество точек для расчета корреляции М=1, 3, 5, 7;
— изменение частоты гармоники в диапазоне от 47 до 53 Гц;
— изменение фазы гармоники в диапазоне от 0 до 180 эл. гр.;
— спектральный уровень шума относительно амплитуды гармоники от 10 до 60 дБ;
— количество имитаций для каждого набора параметров N=1000.
Результаты моделирования представлены на рис. 4 — 6.
Рис. 4а, б отображают зависимость погрешности оценки частоты гармоники для каждого типа сглаживающего окна от уровня спектрального шума. Моделирование показывает, что использовать окно Гаусса в предложенном алгоритме нецелесообразно, так как уже на этапе оценки частоты гармоники оно показывает наихудшие результаты, среди сравниваемых.
Кроме того, для первых четырех сглаживающих функций увеличение числа отсчетов вокруг максимума амплитудного спектра, выбранных для алгоритма, увеличивает точность оценки частоты гармоники, а на значениях М=5 и М=7 результаты становятся практически одинаковыми, что говорит о целесообразности использования пяти отсчетов для экономии памяти и вычислительных ресурсов. На рис. 4в представлено сопоставление результатов оценки частоты гармоники по М=5 отчетам для первых четырех сглаживающих функций (кривые для окон Блэкмана-Харриса и Кайзера сливаются). При этом окно Чебышева показывает наилучший результат во всем диапазоне шума.
Рис. 5а отображает зависимость погрешности оценки амплитуды гармоники для каждого типа сглаживающего окна от уровня спектрального шума.
На рис. 5б представлено сопоставление результатов оценки амплитуды гармоники по М=5 отчетам для первых четырех сглаживающих функций.
Рис. 6а отображает зависимость погрешности оценки фазы гармоники для каждого типа сглаживающего окна от уровня спектрального шума.
На рис. 6б представлено сопоставление результатов оценки фазы гармоники по М=5 отчетам для четырех сглаживающих функций.
Представленные результаты показывают, что предложенный метод оценки спектральных характеристик сигнала дает удовлетворительные результаты, точность оценки частоты, амплитуды и фазы гармоник удовлетворяет требованиям стандартов. Тип используемой оконной функции из четырех отобранных незначительно влияет на точность определения параметров сигналов. Отсюда следует вывод, что тип оконной функции должен выбирать из других критериев, например, вычислительная сложность.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
*
Библиографический список
1. Пат. 88157 Российская Федерация, МПК7 С01И 17/02. Информационно-измерительная система для контроля качества электрической энергии / Грицутенко С. С., Чижма С. Н., Альтман Е. А., Газизов Р. И., Циркин В. С. ; заявитель и патентообладатель Омский гос. ун-т путей сообщения. — 2009125776/22 ; заявлено 06.07.2009 ; опубл. 27.10.2009, Бюл. № 30. — 4 с.
2. ГОСТ 13109-97. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. — Введ. 1999 — 01—01. — М. : Изд-во стандартов, 1998. — 33 с.
3. ГОСТ Р 51317.4.7-2008. Общее руководство по средствам измерений и измерениям гармоник и интергармоник для си-
стем электроснабжения и подключаемых к ним технических средств. — Введ. 2008— 12 — 25. — М. : Национальный стандарт Российской Федерации: Стандартинформ, 2009. — 33 с.
4. Марпл-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. / С. Л. Марпл-мл. — М. : Мир, 1990. — 584 с.
ЧИЖМА Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматика и системы управления».
ГАЗИЗОВ Равиль Ильшатович, инженер кафедры «Автоматика и системы управления».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 02.07.2012 г.
© С. Н. Чижма, Р. И. Газизов
УДК 621318 М. В. СЕМЕНЯК
Омский государственный технический университет
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТКЛОНЕНИЙ И КОЛЕБАНИЙ НАПРЯЖЕНИЯ
В данной статье рассмотрена диффузионная модель отклонений напряжения. Здесь получили уравнение диффузии вероятности при свободной эволюции системы электроснабжения осветительных установок. Кроме того, в статье описана энтропийная модель отклонений и колебаний напряжения.
Ключевые слова: плотность вероятности, эволюция, модель отклонений, случайный процесс, отклонение напряжения.
Важным этапом в оперативном управлении качеством электроэнергии по отклонению напряжения является создание математической вероятностной модели для текущих значений отклонений напряжения Аи^). Построение вероятностной модели отклонений напряжения Аи^) возможно лишь при выявлении текущей плотности вероятности и типа случайного процесса Аи^) учётом его эргодических свойств. На практике оценка закона распределения вероятностей р(Аид) осуществляется путём построения эмпирических гистограмм с последующей аппроксимацией их некоторой аналитической функцией. Однако отыскание текущей плотности вероятности р(Аид) эмпирическим путём в принципе неосуществимо и возможно лишь с помощью теоретического решения.
Колебания напряжения 8(АЩ^ возникают при действии ударных АО нагрузок, при этом предполагается, что нарастание реактивной мощности происходит с постоянной скоростью. Такое предположение позволяет считать, что формирование ЬЩЦ происходит таким же образом, что и формирование АЩ^ [1].
Диффузионная модель отклонений напряжения. В качестве исходной будет принята математическая модель СЭОУ [2].
Согласно этой модели система линеаризированных уравнений для переменных состояния имеет вид:
(1)
df
где х=(х1,...,х,,...,хп)т — вектор переменных состояния, в качестве которых приняты токи в ветвях сети,
F=(U1,...,Ui...,UJт — вектор внешних воздействий, в качестве которых приняты напряжения внешней сети.
А — квадратная матрица, А = |а,у|,
В — прямоугольная матрица, т = ^к,
] = 1,л
Выбор в качестве переменных состояния токов в ветвях сети имеет преимущество в том отношении, что напряжение и токи связаны линейными отношениями.
Увеличение или уменьшение нагрузки электрического приёмника (в предельном случае подключение или отключение приёмника) считается элементарным случайным событием. Последовательность таких событий образует поток, который предполагается ординарным, без последствия и стационарным.
Предлагаемая вероятностная модель СЭОУ позволяет считать переменные состояния непрерывными марковскими процессами, для которых текущая плотность вероятности Р(х,1] в пространстве состояний подчиняется уравнению диффузии вероятности. Представление х(АЦ) марковской моделью
