CC BY
32
Механика деформируемого твердого тела 1736 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1736-1737
УДК 539.3
АНАЛИЗ ТЕРМОУПРУГОЙ ДИНАМИКИ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
© 2011 г. Я.Ю. Ратаушко
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассматривается трехмерная линейная математическая теория термоупругости Для анализа соответствующих начально-краевых задач выписаны граничные интегральные уравнения и гранично-элементная схема их решения. Приведены численные примеры.
Ключевые слова: трехмерная постановка анизотропная упругость, термоупругость, численное моделирование.
Рассмотрим область Q с R3 с границей dQ как однородную изотропную термоупругую среду типа Био, которая характеризуется константами Ламе X, плотностью р, коэффициентом тепловой диффузии X и константами сопряжения у и П-
Модель начально-краевых задач имеет вид [1, 2]:
pAu + (X + p)V(V • u) - yV0 = р u,
А0--0-nV-u = 0, x eQ,
X (1)
u = g, x e (dQ)u, t = q, x e (dQ)CT,
tn = T( V, n( x))u - yn( x)0 = P(V, n( x))u = Pnu, где x = (xp x2, x3) e R3, u = (up u2, u3) - вектор смещений, 0 - температура среды, точка над функцией обозначает дифференцирование по времени, T(V, n(x)) — оператор напряжений классической теории упругости; n(x) — нормаль к площадке, содержащей точку x; a-b — скалярное произведение векторов a и b.
Применение интегрального преобразования Лапласа, формулы Грина дает интегральное представление решения прямой формулировки [1, 2]:
u(x) = ± 4- J [и(y)R * (V, n)U(x, y) —
эа
- и(х, у)ВД п)и(у)^^(у),
х ёП (х е Я3/П ), где * — сопряженный оператор, и — матрица фундаментальных решений системы (1), и = (ир и2, и3, 0), Я(У, п) — граничный оператор термоупругих напряжений:
R(V, n ) =
T(V, n) -yn
0
V-n
На основе интегрального представления строятся [1, 3] граничные интегральные уравнения. Базовый процесс гранично-элементной дискретизации состоит в разбиении границы на ЫЕ граничных элементов Ее (1 < е < ЫЕ) совокупностью четырехугольных и треугольных восьмиузловых биквадратичных элементов [3] (рис. 1).
Рис. 1
При этом треугольные элементы рассматриваются как вырожденные четырехугольные элементы (см. рис. 1), каждый из которых отображается на контрольный элемент А е (каждый А е — это либо квадрат £ = е [-1,1]2, либо треу-
гольник 0 < ^ + ^2 < 1, ^ 0, ^2 ^ 0). Элемент Ее отображается на элемент Ае с помощью уравнения:
y,. (£) = Х Nl (£) yf
P(k,/)
i = 1, 2, 3, e A e
1=1
где в(к, I) — глобальный номер узла, имеющего в к-м элементе локальный номер /; — функ-
ции формы, в качестве которой выбраны квадра-
Анализ термоупругой динамики трехмерных тел методом граничных элементов
1737
тичные полиномы интерполяции. Строятся необходимые характеристики элемента.
Неизвестные граничные поля интерполируются через узловые значения. Для аппроксимации обобщенных граничных перемещений применим билинейные элементы, а для аппроксимации обобщенных поверхностных сил — постоянные элементы. Для расчетного значения параметра преобразования Лапласа р строятся дискретные аналоги ГИУ на основе метода коллокации. В качестве узлов коллокации выбираются узлы аппроксимации исходных граничных функций. Специфику вычислительного процесса определяют особенности в коэффициентах дискретного аналога. Рассматриваются два случая. Первый — интеграл по элементу регулярный и интегрирование по элементу сведено к повторному интегрированию по локальным координатам. По каждой из координат используются квадратурные формулы Гаусса. Второй случай — интеграл сингулярный, предварительно используются дополнительные преобразования, а затем уже формулы Гаусса. Для повышения точности получения ко -эффициентов дискретных аналогов использованы адаптивный алгоритм численного интегрирования и учет симметрии задачи. Суть адаптивного алгоритма численного интегрирования заключена в том, что процесс интегрирования по граничному элементу завершен только тогда, когда достигается заданная точность. Оценка точности осуществляется по величине нормы остаточного члена. До достижения заданной точности происхо-
дит подразбиение граничного элемента интегрирование в пределах элемента идет на более мелкой гранично-элементной сетке (рис. 2).
Рис. 2
В качестве демонстрации работоспособности гранично-элементной схемы рассмотрены модельные задачи.
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК №2222), при поддержке РФФИ (проект № 10-08-01017-а) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.
Список литературы
1. Купрадзе В.Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. 2-е изд. М.: Наука, 1976. 664 с.
2. Cakoni F. // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. No 23. P. 441-466.
3. Баженов В.Г, Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.
BOUNDARY-ELEMENT ANALYSIS OF THERMOELASTIC DYNAMICS OF 3D BODIES
Ya. Yu. Rataushko
The three-dimensional linear mathematical theory of thermoelasticity is examined. To analyze the related initial boundary-value problems, boundary integral equations and a boundary-element scheme for analyzing them are written down. The numerical examples are given.
Keywords: 3D formulation, anisotropic elasticity, thermo-elasticity, numerical modeling.
