CC BY
17
ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕНИЕ
УДК 697:621.365
БОРОДИН АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ, докт. физ.-мат. наук,
ст. научный сотрудник,
ЦВЕТКОВ НИКОЛАЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, [email protected]
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
АНАЛИЗ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ ГРЕЮЩИХ КАБЕЛЕЙ В СИСТЕМАХ ПОДОГРЕВА ГАЗООБРАЗНЫХ И КАПЕЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ*
Представлены основные области применения греющих кабелей в строительстве. Показано, что моделирование тепловых режимов в системах с греющими кабелями в подавляющем числе случаев сводится к решению задач теплопроводности в составных протяженных телах различной формы, содержащих внутренние источники теплоты. Найдены и проанализированы аналитические решения для расчета температурного режима греющего кабеля в системах подогрева газообразных и капельных жидкостей. Представлены примеры расчета стационарных температурных полей сердечника и оболочки греющего кабеля в системах кондиционирования воздуха, термостатирования и подогрева жидких сред.
Ключевые слова: греющий кабель; тепловой режим; температурное поле; аналитические решения; теплопроводность в составных телах; внутренние источники теплоты.
ALEKSANDR I. BORODIN, DSc, Senior Research Assistant,
NIKOLAI A. TSVETKOV, DSc, Professor,
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
* Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 02.G25.31.0022). © А.И. Бородин, Н.А. Цветков, 2014
THERMAL EFFECT ANALYSIS OF HEATING CABLES IN HEATING SYSTEMS OF GASEOUS AND LIQUID FLUIDS
The paper presents the main fields of application of heating cables in construction. It is shown that modeling of thermal conditions in heating cable systems can be reduced to solving heat conductivity problems in compound extended bodies comprising internal heat sources. Analytical solutions for calculating thermal conditions of a heating cable in heating systems of gaseous and liquid fluids are identified and analyzed in this paper. The paper presents the analysis of steady temperature fields of heating cable core and sheathing in air condition, thermostatic, and heating systems.
Keywords: heating cable; thermal conditions; temperature field; analytical solution; compound body; heat conductivity; internal heat sources.
Введение
Греющие кабели широко применяются в строительстве. Это обогрев бетона при зимнем бетонировании; обогрев для предотвращения замерзания труб и водопроводов, в том числе трубопроводов систем пожаротушения; обогрев воздуховодов, вентиляционных решеток и диффузоров; обогрев газо-и нефтепроводов; обогрев технологических линий промышленных объектов, в том числе во взрывоопасных зонах. Греющие кабели успешно применяются в борьбе с образованием ледяных сосулек на кровлях и льда в конструкциях водостоков, с образованием льда на поверхностях входных ступенек и пандусов. Нагревательные кабели являются самым простым и эффективным инструментом для создания систем тёплого пола. Они значительно проще в установке и более надёжны, чем системы водяных полов, и, главное, нагревательный кабель значительно дешевле. К достоинствам систем на основе греющих кабелей относятся простота монтажа и управления, малые затраты на обслуживание*.
Резистивные греющие кабели характеризуются линейной мощностью тепловыделений длин, Вт/м, с ограничением по максимально допустимой температуре нагрева tmax, °С, при условии сохранения работоспособности при t < tmax. В саморегулирующемся греющем кабеле линейная мощность тепловыделений является функцией его температуры qnHH=f(t). В идеальном случае при t = tmax линейный тепловой поток длин практически стремится к нулю. При допущении равномерного распределения тепловыделения в сердечнике кабеля линейный тепловой поток может быть преобразован в объемный qv путем деления qnHK на площадь тепловыделяющего сечения греющего кабеля.
Моделирование тепловых режимов греющих кабелей и сопряженных с ними систем, состоящих из материалов с известными теплофизическими свойствами, связано, как правило, с решением прямых стационарных и нестационарных пространственных задач теплопроводности с внутренними линейными источниками теплоты [1].
*СПЕЦДИЗАЙН [Официальный сайт компании]. - Условия доступа : http://www.specdesign.ru/stat1.shtml (дата обращения : 14.02.2014).
Кабель. РФ. - Условия доступа : http://www.ruscable.ru/; http://cable.ru/poleznoe/id-58.php (дата обращения : 19.02.2014).
Простейшие решения обратных задач теплопроводности для тел классической геометрии (пластина, цилиндр, шар) позволяют эффективно определять коэффициенты теплопроводности и температуропроводности за один опыт разработанным на их основе методом линейного источника теплоты постоянной мощности [2].
Более сложные задачи теплопроводности решаются при наличии в системе распределенных неподвижных [3, 4], движущихся [5] и периодически действующих [6] внутренних источников теплоты.
Представление систем отопления как внутренних источников, помещенных в движущие среды [7], позволяет решать задачи формирования требуемых температурных режимов в различных помещениях.
Исследования двумерных и трехмерных задач теплопроводности в ограждающих конструкциях зданий с использованием греющих кабелей и без них (например, [1, 8]) осуществляются преимущественно с применением прикладных программ (например, ANSYS [9]). Возможны погрешности результатов моделирования, связанные с автоматическим выбором расчетных сеток из-за малых размеров греющих кабелей или «мостиков холода» (линейные стоки теплоты) относительно сопряженных с ними строительных конструкций. В этой связи необходимы аналитические решения более простых задач для тестирования компьютерных программ на предмет достоверности получаемых результатов.
Ниже представлены и проанализированы аналитические решения задачи теплопроводности в системе цилиндрических составных тел с внутренним линейным источником теплоты («сердечник греющего кабеля - оболочка») и примеры расчетов тепловых режимов системы для случаев подогрева газообразных и капельных жидкостей.
Общие аналитические решения уравнения теплопроводности
При стационарном тепловом режиме и наличии внутренних источников теплоты с объемной плотностью qv температурное поле в среде с постоянной теплопроводностью X описывается уравнением Пуассона
V2t+= 0. (1)
X
Для одномерного температурного поля, когда температура изменяется только вдоль одного направления r, уравнение (1) может быть представлено в следующем виде:
d^t+ncti+q, = 0, (2)
dr r dr X
где n - постоянное число, равное в декартовой системе координат 0, в цилиндрической - 1, в сферической - 2. Выбор системы координат зависит от геометрии рассматриваемого тела с равномерно распределенными по объему внутренними источниками теплоты: пластина, цилиндр и шар. Задаются граничные условия, в том числе на поверхности тела, например, III рода:
-К—=a(t - te), (3)
dr
где tc - температура внешней среды; а - коэффициент теплообмена с ней.
Общее решение уравнения (2) для тел различной формы известно:
q 2
для бесконечной пластины t = ——r + c1r + c2; (4)
2K q 2
для бесконечного цилиндра t = —- r + c1 In r + c2; (5)
4K
q c
для шара t =—-r2 + — + c2. (6)
6K r
Эти же формулы справедливы и при отсутствии внутренних источников теплоты, достаточно принять в них qv = 0. Тогда уравнение (1) переходит в уравнение Лапласа. Константы интегрирования c1 и c2 определяются с использованием граничных условий конкретной задачи.
Греющий кабель в жидкой или газообразной среде
Рассмотрим процесс переноса теплоты за счет теплопроводности в греющем кабеле, представленном как бесконечный сплошной цилиндр радиусом Rv из материала с постоянным коэффициентом теплопроводности Xv, покрытым оболочкой с внешним радиусом R с теплопроводностью X = const (рис. 1).
Рис. 1. Поперечное сечение греющего кабеля (система двух коаксиальных составных тел)
Тепловыделение происходит за счет равномерно распределенных внутренних источников с объемной мощностью qv = qли^/tcR2 = const. Граничные условия представляются в виде:
- взаимодействие с внешней средой при r = R задано уравнением (3);
- на оси системы (r = 0) выполняется условие симметрии = 0;
dr
- на контактной поверхности r = Rv выполняются условия идеального
t t . dtv . dt
теплового контакта: tv = t и Kv — = к— .
dr dr
Нижний индекс V относится к параметрам области с внутренним источником теплоты (тепловыделяющий сердечник).
Подставляя в эти граничные условия общее решение для каждой из областей (5), получаем систему уравнений для определения постоянных интегрирования:
с
-Х— = а(с11п Я + с2 - гс), Я
IV = 0,
а,
4Х
X
Л2 + С2, = С11п Я, + с 2
' " > С
2Х,
Я
J
= Х^.
я,
В итоге температурные поля представляются следующими аналитическими зависимостями:
^(г) = (Я - г2) + ^пЛ + +г , о < г < яV, (7)
* 4Х, 4 2Х Я„ 2аЯ с 4
г (г) = ^п Я + + г, Я < г < Я . (8)
' 2Х г 2аЛ , У '
Если граничные условия на внешней поверхности заданы как условия Дирихле (в случае помещения кабеля в капельную жидкость с температурой г„), то решение этой задачи будет таким же, как и в формулах (7) - (8), только нужно подставить в эти уравнения а = да, а вместо температуры внешней среды гс - температуру внешней поверхности оболочки кабеля
Анализ полученного решения
Уравнение (7) отражает известный факт, что распределение температуры в цилиндре при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты подчиняется параболическому закону, а в оболочке кабеля температура (8) является логарифмической функцией от координаты.
Важными характеристиками теплового режима греющего кабеля являются максимальная гтах и средняя 4 температуры в тепловыделяющем сердечнике.
Максимальная температура в рассматриваемой системе тел достигается на оси симметрии тепловыделяющего сердечника и равна
г = г (0) = + ^ьА++ г. (9)
тах Л ' 4Х, 2Х Я„ 2аЯ с
Среднюю температуру тепловыделяющего сердечника можно вычислить из выражения
г. =
1 2Г Я _ , , Я.,Я2 Я.,Я2, Я аЯ?
■ Г Г г,(Г)гсГгс1ч= +^ 1пЛ+^ + г, (10)
пЯЦОО'" • 8Х, 2Х Я„ 2аЯ
где ф - угловая координата.
Линейная (в расчете на единицу длины в направлении оси симметрии) мощность тепловыделяющего сердечника qлин (на рис. 1 заштрихованный круг) составляет
qлин = %Я2 ч,. (11)
Учитывая эту связь между объемным тепловыделением ч, и линейной тепловой мощностью Члин, представим уравнения (7), (9), (10) в следующем виде:
Ч ( 1 г2 1 Я 1 ^
х (г) = 4^ -(1--) + _ 1п_ +- + х о < г < Я, (12)
2% 2Х. Я2 X Я,. аЯ , С ^ 7
t =
тах
2%
ч
t, =
( 1 1 Я 1 ^
-+ —1п— +-
2Х, X Я аЯ
( 1 1 Я 1 ^
2%
1п
3Х, X Я, аЯ
+ tc. (13)
+ С. (14)
/
Отсюда видно, что максимальная температура tmax и средняя температура сердечника ts при неизменной мощности линейных тепловыделений будут увеличиваться с уменьшением его размера Я,
Минимальная температура тепловыделяющего сердечника достигается на его границе и равна
К (Я„) =
2%
(1 Я 1 >
—1п— +-
X Я аЯ
+1„
/
Отсюда следует, что минимальная температура на границе тепловыделяющего сердечника зависит от линейной мощности тепловыделений члин, теплопроводности оболочки кабеля X и не зависит от теплопроводности X,.
Ограничением теплового режима греющего кабеля по работоспособности оболочки является максимально допустимая температура ^оп. Поэтому при эксплуатации кабеля должно всегда выполняться условие ^ (Я,) < ^оп. В практических расчетах, как будет показано ниже, tД0IÍ можно принимать равной ^ах.
Перейдем теперь к анализу температурного поля в цилиндрической оболочке кабеля. Перепишем (8), учитывая (11):
t(г) = 1пЯ + +, , Я, < г < Я. (15)
4 ' /Л Л Т-» С ~ , V ^
2%Х г 2%аЯ
Из (15) видно, что температурное поле в цилиндрической оболочке греющего кабеля зависит от мощности тепловыделяющего сердечника и не зависит от его размеров, т. е. радиуса Я,.
Примеры тепловых режимов греющего кабеля в системах подогрева газообразных жидкостей
Современные кондиционеры оснащаются системами подогрева наружного воздуха на основе тонких греющих кабелей. Коридорные и шах-
матные пучки из различных греющих кабелей используются в современных системах осушки природного газа и в других технологических системах поддержания заданных температурных параметров взрывоопасных газообразных сред.
Для иллюстрации возможных тепловых режимов греющих кабелей приведем графики их температурных полей (рис. 2) при различных радиусах тепловыделяющего сердечника (Яу = 0,001; 0,003; 0,005 м). Внешний радиус цилиндрической оболочки кабеля принят равным Я = 0,008 м. Остальные параметры задачи: X = 0,25 и Ху = 50 Вт/(мК), ^ = 10 °С, длин = 100 Вт/м.
Значения коэффициентов конвективного теплообмена между поверхностью оболочки кабеля и окружающей средой а определяются по известным уравнениям подобия для конкретных случаев обтекания цилиндрических тел.
В случае использования греющих кабелей в виде коридорных или шахматных пучков с тремя и более рядами расчет значений а выполняется для первого, второго и третьего ряда отдельно [10, 11]. Поскольку минимальные значения этого коэффициента будут для третьего ряда, то проверка условия и (Яу) = ^пах < tдоTl выполняется для этого ряда.
В данном расчете принято а = 20 Вт/(м2К).
^ °С
250 1
200
150
100
Г • 103, м
Рис. 2. Графики температурных полей:
сплошная линия - в оболочке кабеля; пунктирные линии - в тепловыделяющем сердечнике (1 - Я„ = 0,001 м; 2 - Я„ = 0,003 м, 3 - Я„ = 0,005 м)
На рис. 3 показана зависимость максимальной температуры (на оси симметрии) в системе «тепловыделяющий сердечник - оболочка» кабеля от размера тепловыделяющего сердечника Яу и его теплопроводности Ху.
Из рис. 3 видно, что максимальная температура в греющем кабеле, помещенном в газообразную среду, практически не зависит от теплопроводности греющего сердечника, а определяется его радиусом при постоянном размере оболочки Я.
t, °C
20(1
15(1
100
50
N
1-1
28 —(—
42
—I—
„ К- Вт/(м-К)
Rv ■ 103, м
Рис. 3. Изменение температуры на оси тепловыделяющего сердечника греющего кабеля от его теплопроводности (сплошная линия, Я, = 0,003 м) и его радиуса (пунктирная линия)
Примеры тепловых режимов греющего кабеля в системах подогрева капельных жидкостей
В этом случае более чем на порядок увеличивается коэффициент конвективного теплообмена между наружной поверхностью и жидкостью. В случае использования греющих кабелей в виде коридорных или шахматных пучков с количеством рядов более трех методика расчета значений а для каждого ряда и ^ах остается прежней. В случае использования пучков с двумя рядами расчет ^ах выполняется для греющих кабелей второго ряда. Для расчетов тепловых режимов кабелей в капельных жидкостях примем а = 200 Вт/(м2К). Остальные условия расчета - прежние.
На рис. 4 представлены графики температурных полей греющего кабеля постоянной мощности, помещенного в капельную жидкость.
г. °с
150
50
r ■ 103, м
Рис. 4. Графики температурных полей при а = 200 Вт/(м-К):
сплошная линия - в оболочке кабеля; пунктирные линии - в тепловыделяющем сердечнике (Rv = 0,001; 003; 005 м - линии 1, 2, 3 соответственно)
Из рис. 1-4 видно, что в греющем сердечнике любого радиуса достигается максимальная в системе «греющий сердечник - оболочка» температура
1
2
tmax, которая практически не зависит от координаты 0 < r < Rv. Поэтому в практических расчетах tmax должна быть меньше или равна допустимой температуре tmn по условиям работоспособности оболочки кабеля.
Максимальная температура в системе «греющий сердечник - оболочка» значительно выше, как и следовало ожидать в случаях, когда кабель помещен в газообразную среду, по сравнению со случаями, когда кабель помещен в капельную жидкость при одинаковой линейной мощности тепловыделений.
Заключение
Применительно к коаксиальному греющему кабелю постоянной линейной мощности получено аналитическое решение задачи теплопроводности при граничных условиях третьего рода. Проведен анализ полученного решения. Выявленные свойства этих решений (они выделены в тексте курсивом) позволяют решать практические задачи по установлению в системе «греющий сердечник - оболочка» требуемого теплового режима, удовлетворяющего необходимым ограничениям по максимально допустимой температуре в оболочке за счет подбора линейной мощности тепловыделений.
Библиографический список
1. Козлобродов, А.Н. Повышение качества микроклимата помещений энергоэффективных керамзитобетонных зданий за счет линейных источников и стоков теплоты во внешних углах / А.Н. Козлобродов, Е.А. Иванова // Инновационные технологии в науке и образовании - III: сб. тр. Междунар. научно-практ. конф. 15-18 июля 2013 г. - БГУ. - Улан-Удэ : Изд-во БГУ, 2013. - С. 83-87.
2. Подледнева, Н.А. Определение коэффициентов теплопроводности и температуропроводности за один опыт методом линейного источника теплоты постоянной мощности / Н.А. Подледнева, В.А. Краснов, Р.С. Магомадов // Вестник Астраханского ГТУ. -2013. - № 2 (56). - С. 50-55.
3. Прохоров, А.В. Моделирование неподвижных распределенных источников тепла /
A.В. Прохоров // Инновации в науке. - 2013. - № 19. - С. 20-24.
4. Аверин, Б.В. О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок при нагреве внутренними источниками, зависящими от температуры / Б.В. Аверин // Вестник Самарского ГТУ. - 2009. - № 2 (19). - С. 177-185.
5. Чирков, А.Е. Численное решение задачи теплопроводности в твердых телах от движущегося нормально распределенного источника тепла / А.Е. Чирков, А.Г. Салов // Тепловые процессы в технике. - 2013. - № 10. - С. 463-466.
6. Касьянов, В.А. Повторно-кратковременный режим обмотки трансформатора бетатрона с произвольным числом циклов «нагрузка-пауза» / В.А. Касьянов, В.С. Логинов,
B.Е. Юхнов // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 313. -№ 4. - С. 15-17.
7. Sharma, A.K. Turbulent natural convection of sodium in a cylindrical enclosure with sources: a conjugate heat transfer stady / A.K. Sharma, K. Velusamy, C. Balaji // Intenational Journal of Heat and Mass Transfer. - 2009. - V. 52. - № 11-12. - Р. 2858-2870.
8. Blomberg, T. Heat conduction in two and three dimensions. Computer Modelling of Building Physics Applications // Report TVBH-1008, ISRN LUTVDG/TVBH-96/1008-SE/(1-188), -Department of Building Physics Lund University, Sweden. - 1996. - 188 р.
9. Козлобродов, А.Н. Пространственный теплоперенос в стене малоэтажного здания из профилированного утепленного бруса с коннекторами / А.Н. Козлобродов, Д.Н. Цветков // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2013. - № 3. - С. 298-307.
10. Каплун, А.Б. ANS YS в руках инженера: практическое руководство / А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева. - М. : Едиториал УРСС, 2003. - 272 с.
11. Пронин, В.А. Компоновки трубных пучков и синтез конвективных поверхностей теплообмена с повышенной энергоэффективностью : автореф. дис. ... докт. техн. наук. - М. : МЭИ, 2008. - Условия доступа : Диссертации по физике, математике и химии: http://fizmathim.com (дата обращения : 13.03.2014).
12. Ходяков, А.А. Основы теории теплообмена. - Условия доступа : http://web-1oca1.rudn.ru/web-1oca1/prep/rj/index.php?id=1007&p=11567 (дата обращения : 13.03.2014).
References
1. Kozlobrodov A.N. Ivanova E.A. Povyshenie kachestva mikroklimata pomeshchenii ener-goeffektivnykh keramzitobetonnykh zdanii za schet lineinykh istochnikov i stokov teploty vo vneshnikh uglakh [Improving the quality of room microclimate in expanded clay aggregate and concrete buildings due to linear heat sources and sinks in outer corners] . Coll. Papers Int. Sci. Tech. Conf. 'Innovative Technologies in Science and Education - III'. Ulan-Ude : Buryat State University Publ., 2013. Pp. 83-87. (rus)
2. Podledneva N.A., Krasnov V.A., Magomadov R.S. Opredelenie koeffitsientov teploprovodnosti i temperaturoprovodnosti za odin opyt metodom lineinogo istochnika teploty postoyannoi moshchnosti [Determination of thermal conductivity and thermal diffusivity using a method of constant power linear heat source]. Vestnik of Astrakhan State Technical University. 2013. No. 2 (56). Pp. 50-55. (rus)
3. Prokhorov A.V. Modelirovanie nepodvizhnykh raspredelennykh istochnikov tepla [Modeling of stationary distributed heat sources]. Innovatsii v nauke. 2013. No. 19. Pp. 20-24. (rus)
4. Averin B. V. O teplovoi ustoichivosti mnogosloinykh ploskikh stenok pri nagreve vnutrennimi istochnikami, zavisyashchimi ot temperatury [Thermal stability of multilayer plane walls at heating by internal sources depending on temperature]. Vestnik of Samara State Technical University 2009. No. 2 (19). Pp. 177-185. (rus)
5. Chirkov A.E., Salov A.G. Chislennoe reshenie zadachi teploprovodnosti v tverdykh telakh ot dvizhushchegosya normal'no raspredelennogo istochnika tepla [Numerical solution of heat conductivity problem in solids from normally distributed moving heat source]. Thermal Processes in Engineering. 2013. No. 10. Pp. 463-466. (rus)
6. Kas'yanov V.A., Loginov V.S., Yukhnov V.E. Povtorno-kratkovremennyi rezhim obmotki trans-formatora betatrona s proizvol'nym chislom tsiklov «nagruzka-pauza» [Intermittent duty of betatron transformer winding with arbitrary number of cycles "load-break"]. Bulletin of Tomsk Polytechnic University. 2008. V. 313. No. 4. Pp. 15-17. (rus)
7. Sharma, A.K., Velusamy K., Balaji C. Turbulent natural convection of sodium in a cylindrical enclosure with sources: a conjugate heat transfer stady . Int. J. of Heat Mass Transfer. 2009. V. 52. No. 11-12. Pp. 2858-2870.
8. Blomberg T. Heat conduction in two and three dimensions. Computer Modelling of Building Physics Applications. Report TVBH-1008, ISRN LUTVDG/TVBH-96/1008-SE/(1-188), Department of Building Physics Lund University, Sweden. 1996. 188 p.
9. Kozlobrodov, A.N. Prostranstvennyj teploperenos v stene maloetashhnogo zdaniya iz profiliro-vannogo uteplennogo brusa s konnektorami [Spatial heat transfer in a low rise building wall made of heat-insulating shaped timber with connectors]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2013. No. 3. Pp. 298-307. (rus)
10. Kaplun A.B., Morozov E.M., Olfer'eva M.A. ANSYS v rukakh inzhenera: prakticheskoe rukovodstvo [ANSYS in engineer's hands: practical guide]. Moscow : Editorial URSS, 2003. 272 p. (rus)
11. Pronin V.A. Komponovki trubnykh puchkov i sintez konvektivnykh poverkhnostei teploo-bmena s povyshennoi energoeffektivnost'yu [Matrix assembly and synthesis of heat exchange convective surfaces with enhanced energy efficiency. Dr. Thesis]. Moscow 2008. Available at : http://fizmathim.com (last visited : 13 March 2014). (rus)
12. Khodyakov A.A. Osnovy teorii teploobmena [Basics of heat transfer theory] Available at : http://web-local.rudn.ru/web-local/prep/ij/index.php?id=1007&p= 11567 (last visited : 13 March 2014). (rus)
