Анализ ситуаций практической оценки согласованности экспертной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗДЕЛ IV ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

УДК 65.012.122

Т.В. Алесинская, В.И. Финаев

АНАЛИЗ СИТУАЦИЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ СОГЛАСОВАННОСТИ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Анализ согласованности экспертных оценок является задачей первостепенной важности при создании программных систем, реализующих нечеткие модели принятия решений. Это связано с тем, что корректность нечетких исходных данных, используемых для принятия решений, оказывает влияние на качество формируемых решений, а значит, и на эффективность самих систем.

Данная статья посвящена анализу возможности практического применения подхода к оценке согласованности экспертных суждений, полученных методом парных сравнений, который был предложен в [1].

Согласно этому подходу, экспертные ответы идеально согласованы только в том случае, если максимальное собственное число матрицы парных сравнений l max равно количеству сравниваемых объектов l max = n. Поэтому несогласованность экспертной информации оценивается в [1] с помощью величины (lmax _ n), которая указывает, когда суждения сле-

дует проверить. В [2] для этих же целей предлагается использовать коэффициент

Проанализируем возможные ситуации практического применения рассматриваемого подхода. Пусть руководитель фирмы поставил цель снизить себестоимость двух различных товаров, выпускаемых различными предприятиями фирмы. В результате проведенного исследования было выявлено 4 резерва снижения себестоимости: X] — внедрение новой

технологии, Х2 --- более экономное использование ресурсов, Х3 — ремонт

или Х4 — покупка нового оборудования, т. е. было сформировано базовое множество X = {х1;Х2,Хз,Х4}. Перед экспертом, в качестве которого может выступать как руководитель, так и другие специалисты, стоит задача сравнить эти резервы на предмет доступности их использования на предприятиях в текущей хозяйственной ситуации.

В результате проведенного экспертного опроса (эксперту задавался вопрос о возможности описания доступности резервов понятием "высокая доступность") были получены матрицы парных сравнений М] и М2 для первого и второго товара соответственно.

У =

(1)

n

1 1 5 6 7 1 4 6 7

1 4 6 1 1 3 4

5 1 4

1 1 4 ; м2 = 1 1 1 2

6 4 6 3

1 1 1 1 1 1 1 1

7 6 4 7 4 2

М, =

Максимальные собственные числа данных матриц следующие: \паХ] =4.39, 1таХ2 =4.102. Коэффициенты нетранзитивности экспертных ответов, полученные по формуле (1), следующие:

У]

4.39 - 4 4

=0.0975, у2

4.102 - 4 4

=0.0255 или У] =9.75%, у2 =2.55%.

Согласно [1], на основании анализа полученных значений коэффициентов нетранзитивности следует сделать вывод, что ответы эксперта для первого товара менее согласованы, чем для второго товара и, возможно, нуждаются в проверке. Но такой вывод содержит ряд противоречивых моментов.

Для обоснования этого утверждения рассмотрим факторы, определяющие результаты экспертного оценивания. К таким факторам, в частности, относятся:

— 1) множество оцениваемых объектов;

— 2) оцениваемые свойства объектов;

— 3) предпочтения конкретного эксперта;

— 4) текущая хозяйственная ситуация,

— 5) внутренняя непротиворечивость экспертных ответов.

В обеих матрицах первые три фактора одинаковы, т. к. в данном примере один и тот же эксперт оценивает одно и то же множество резервов снижения себестоимости по свойству их доступности для предприятия. Текущие хозяйственные ситуации, т. е. экономические условия, в которых ведется производство каждого товара на конкретном предприятии, различаются. Кроме того, эксперт мог в двух опросах дать различные по своей согласованности ответы. Но если из содержательной постановки задачи следует, что четвертый фактор различен для двух товаров, то о пятом факторе ничего определенного априорно сказать нельзя. Из этих рассуждений следует, что различия в матрицах М] и М2, а следовательно, и в коэффициентах нетранзитивности, однозначно обусловлены различными хозяйственными ситуациями (объективный фактор) и, возможно, несогласованностью экспертных ответов (субъективный фактор).

Из вышеизложенного следует, что:

— нельзя считать, что коэффициент у отражает внутреннюю противоречивость экспертных ответов, т. к. на его величину оказывает влияние как минимум два фактора;

— поскольку величина коэффициента у в первой матрице могла ухудшиться за счет двух факторов, то неизвестно, каким образом можно оценить или при необходимости улучшить непосредственно согласованность (транзитивность) экспертных ответов;

— для оценки согласованности экспертных суждений необходимо использовать такую величину, которая бы отражала различия во внут-

реннеи согласованности ответов, при этом никак не реагируя на различие в объективных условиях.

В приведенном выше примере рассматривались проблемы, возникающие при построении функции принадлежности резервов нечеткому понятию "высокая доступность", т. е. фактически одному из термов лингвистической переменной 'Степень доступности'. В следующем примере рассмотрим вопросы, возникающие при построении функции принадлежности всем термам данной лингвистической переменной.

Пусть эксперт оценивает 10 резервов снижения себестоимости по

степени их доступности (базовое множество Х= {х;- /I = 1,10}, используя

три градации доступности: "низкая", "средняя", "высокая" (терм-множество Т={Т1, Т2, Т3}). Требуется по результатам опроса построить функцию принадлежности объектов из базового множества Х каждому терму лингвистической переменной 'Степень доступности'. Пусть носители термов определены как Х1={х1, Х2, Хз, Х4}, , Х2={х1, Х2, Хз, Х4, Х5, Хб, Х7, Х3} и

Хз={х7, Хз, Хд, Хю}, и матрицы парных сравнений имеют вид:

Mj =

12 8 4

-14 2 2

1 1 1 1 8 4 2

--21

42

М2 =

1

1111

2 2 1

4 4 11

1

2 12

22 4 2 112 4

4 2 112 4 11

21 1

22 1111

2442

12 1

M3 =

1 2 1 1

2 4

1 1 1 1

2 4 8 1 2

2 4 1

4 8 2 1

Результаты их обработки следующие:

Д. =4 Д. =б Д. =4’

таах! таах2 ’ таахз

71 = Г2 = 7з =0’

С(Т) = {(1 / X!), (0.5 / х2), (0.125 / хз), (0.25 / х4)},

С(Т2) = {(0.25 / хз),(0.5 / х^,(1 / х^,(1 / х6),(0.5 / х^^0.25 / х8)},

С(Тз) = {0.25 / х7), (0.125 / х^^0.5 / х^, (1 / хш)} .

Проанализировав полученные результаты, делаем вывод, что функции принадлежности термов лингвистической переменной 'Степень доступности' некорректны, т. к. при любом упорядочении объектов из Х функция принадлежности хотя бы одного из термов не будет удовлетворять требованию монотонности (рис. 1.).

Данный пример иллюстрирует, что возможны ситуации, когда согласованность экспертных ответов по каждому из термов идеальная (в смысле у = 0), но в то же время имеет место противоречие между термами. Отсюда следует, что при построении функций принадлежности термов лингвистической переменной необходимо анализировать не только согласованность оценок внутри отдельных термов, но и согласованность между термами.

Проблема согласованности между термами особенно остро проявляется при задании лингвистических переменных с нечисловой базовой шкалой, т. к. в этом случае отсутствует естественное упорядочение эле-

Рис. 1.

ментов базового множества. Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий нарушения порядковой и метризованной транзитивности.

Пусть два различных эксперта оценивают четыре численных зна-

изд.

чения производительности рабочих Х={100, 120, 140, 160}

ед.вр.

на

предмет возможности их описания лингвистическим понятием высокая (при условии, что этот терм является крайним).

В результате экспертного опроса были получены следующие матрицы парных сравнений:

160 140 120 10С

160 1 2 4 8

1 1

140 1 1

2 2

1

120 4 1 1 2

1 1

100 2 1

8 2

160 140 120 100

160 1 4 8 9

1

140 4 1 4 9

1 1

120 1 8

8 4

1 1 1

100 1

9 9 8

Дтах1 =4,448, Лтах2 =4,518’

71. =11.20%, 72 =12.95%.

Первый эксперт, случайно допустив ошибку, нарушил порядковую транзитивность. Эта ошибка имеет ясно выраженный содержательный смысл: противоречие в определении факта предпочтения. То есть согласно матрице М1 производительность в 140 единиц примерно также описывается понятием "высокая", как и производительность в 120 единиц (140 ~ 120), в свою очередь производительность в 120 лучше описывается этим понятием, чем производительность в 100 единиц (120 >■ 100), и в то же время эксперт по ошибке отвечает, что 100 больше соответствует понятию высокая чем 140 (100 >■ 140). Наличие ошибки доказывается, во-первых, нарушением требования монотонности функции, которая имеет

вид m~ = {(0.23 / 100), (0.28 / 120), (0.26 / 140), (1 / 160)} , а во-вторых, здравым смыслом, который здесь легко применим. Это связано с тем, что речь идет о числовом базовом множестве, для которого сразу видно, что упорядочение чисел {100, 140, 120, 160} по их возрастанию является ошибочным.

В то же время, допустим, что сравнивались некоторые нечисловые объекты из X1={x1, Х2, Хз, Х4}, и была допущена та же ошибка (случайное нарушение порядковой транзитивности). Тогда ее невозможно выявить, анализируя только данный терм. Функция принадлежности выглядела бы

следующим образом: m~ = {(0.23 / Х1), (0.28 / Х2), (0.26 / Х3), (1 / Х4)} , и

против упорядочения {x1, Х2, Х3, Х4} формально нельзя было бы возразить. Решением данной проблемы является сопоставление соседних термов и выявление случаев немонотонности функций принадлежности.

Рассмотрим матрицу ответов второго эксперта. Порядковая транзитивность в этом случае соблюдена, монотонность не нарушена:

m~ = {(0.05 / 100), (0.18 / 120), (0.41 / 140), (1 / 160)}. Что касается метризованной транзитивности, то факт ее нарушения можно установить только после задания требуемого условия транзитивности. Существует множество более или менее сильных условий транзитивности, но в отличие от условия порядковой транзитивности, имеющей ясную смысловую интерпретацию, необходимо доказывать целесообразность применения конкретного условия в каждом случае. Из результатов сравнения коэффициентов нетранзитивности, полученных в обоих примерах, следует вывод, что в первом случае несогласованность ответов эксперта меньше, чем во втором, т. к. g 1 <g 2. Это противоречит содержательному смыслу примера, т. к. для функции принадлежности первой матрицы, у которой нарушено условие монотонности, согласованность получилась лучшей, чем у матрицы с монотонной функцией принадлежности.

Авторами статьи проведено математическое доказательство некорректности использования величины (l max - n) для оценки согласованно-

V max /

сти экспертной информации в методе парных сравнений. Таким образом, была математически обоснована причина возникновения тех противоречий, которые на содержательном уровне были проиллюстрированы в данной статье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саати Т.Л. Взаимодействия в иерархических системах. Техническая кибернетика, № 1. 1979.

2. Борисов А.Н., Крумберг O.A. и др. Принятие решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зинатне, 1990.