Анализ системы фазовой автоподстройки при наличии гармонической помехи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

í

УДК 621.396.662

Ю. А. Сидоркина, А. А. Ковальчук, М. А. Рязанова

АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ПРИ НАЛИЧИИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ПОМЕХИ

При использовании метода гармонического баланса получены динамические характеристики системы фазовой автоподстройки при воздействии на нее помимо полезного сигнала узкополосной (гармонической) помехи. Анализ проводится при произвольной расстройке между частотой несущей и частотой управляемого генератора (Y = 0) и при произвольной расстройке между частотой сигнала и частотой помехи d = 0. Случай d =0 практически важен, так как случай d = 0 редко встречается в практике.

Показано, что помехоустойчивость ФАП уменьшается, если спектральные составляющие сигнала и помехи расположены по разные стороны от частоты управляющего генератора.

E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]

Ключевые слова: системы фазовой автопостройки, гармоническая помеха, расстройка частоты.

Система фазовой автоподстройки (ФАП) используется во многих радиотехнических устройствах [1, 2], причем характеристики ФАП существенно влияют на работоспособность указанных устройств, к которым относятся, в частности, демодуляторы частотно- и фазомо-дулированных сигналов, синхронизаторы по тактовой частоте и несущей, устройства управления, навигации и радиолокации.

Эффективность ФАП существенно может быть снижена при воздействии на нее узкополосных (гармонических) помех [2-5] от космических навигационных систем (GPS, ГЛОНАСС) и радиолокационных станций.

Модель системы ФАП при воздействии на вход аддитивной смеси сигнала, гармонической помехи и шума. Допустим, что на вход ФАП поступает аддитивная смесь (рис. 1) полезного сигнала (эталонного колебания) иэ (t), гармонической помехи ип (t) и полосового (белого) гауссового шума n0 (t):

Ux (t) = иэ (t) + Un (t) + По (t) .

Эталонное колебание можно записать как

иэ (t) = V2A sin (í^t + ü0t + 90),

(1)

Рис. 1. Структурная схема фазовой замкнутой системы

где А — среднеквадратическое значение напряжения полезного сигнала; шэ — частота сигнала, совпадающая с начальной частотой управляемого генератора (УГ), и 90 — начальные расстройки по частоте и фазе между эталонным колебанием и сигналом на выходе УГ. Гармоническую помеху примем в виде

Хп (t) = ^Ai sin (шэг + üit + вг), (2)

N

Un

i=1

где N — число спектральных составляющих, попадающих в полосу пропускания линейного тракта, предшествующего ФАП; Ai - среднеквадратическое значение напряжения i-й спектральной составляющей; Qi и 9i — начальные расстройки по частоте и фазе i-й составляющей относительно частоты и фазы сигнала. Полосовой гауссовый шум имеет вид

n0 (t) = V/2nc(t) cosw01 + V2ns (t) sinw0t,

где nc(t) и ns(t) — независимые квадратурные гауссовые случайные процессы. По предположению, двусторонняя спектральная плотность шума равна N0/2, Вт/Гц.

Фазовый детектор, по предположению, перемножает поступающие на его вход колебания. Напряжение на выходе фазового детектора имеет вид

Мд = кдМвх (t) М (t) ,

где кд — коэффициент передачи фазового детектора; мг (t) = = -\/2Д. cos [w3t + (t)], — напряжение на выходе УГ (Аг — среднеквадратическое значение напряжения на выходе генератора; <^0(t) — медленно изменяющаяся фаза колебания УГ в режиме подстройки).

Пренебрегая вторыми гармониками, которые формируются после перемножения колебаний мвх^) и Ur(t), получаем низкочастотную составляющую колебания на выходе фазового детектора

Мд1 =

где

Q = Q (t) = sin [Hot + - ^0 (t)] +

N

+ ^(Ai/A) sin [Hit + ^ - ^o (t)] + (nc (t)/A) cos ^o (t)-

i=1

- (ns (t)/A) sin^o (t).

Фильтр низких частот (ФНЧ) описывается операторным коэффициентом передачи (передаточной функцией) F (p), p = d/dt.

Сигнал на выходе фильтра выражается в символическом виде как

иф (t) = F (p) идх (t) = ^AA^ (p) Q (t).

Управляемый генератор преобразует управляющее воздействие иф (t) в изменение фазы генерируемых колебаний <£0(t), так что

p^o (t) = кгиф (t),

где кг — коэффициент передачи УГ (крутизна модуляцонной характеристики), рад/с-В. Таким образом,

p^o (í) = k^AA^ (p) Q (t) = kAF (p) Q (t),

где k = k^Ar — коэффициент усиления разомкнутой цепи регулирования.

Осуществим замену переменной

x (t) = Hot + - ^o (t),

которая называется сигналом рассогласования или сигналом ошибки.

Обозначим низкочастотный шум или шум, пересчитанный на выход фазового детектора, в виде

no (t) = [nc (t) /A] cos <£ot + [n (t) /A] sin^ot = 1/Anш(t).

Низкочастотный шум пш (t) в пределах полосы пропускания ФАП является гауссовым шумом, который моделируется гауссовым белым шумом с двусторонней спектральной плотностью No/2, Вт/Гц.

В результате преобразований получим стохастическое дифференциальное уравнение (ДУ) в символической форме

N

px = y — F (p)

KA

sin X + £ sin (x + AQ¿t + A0¿) + — пш (t)

A

i=1

где 7 = П0/КА — относительная расстройка по частоте эталонного колебания и сигнала с выхода УГ; ^ = А^/А; АП = П — П0; А£г = — £о; ^ =

Вместо параметра А введем £ = А2, тогда стохастическое ДУ в новых обозначениях при наличии одной гармоники в помехе принимает

вид

1 d< K -Sdt =

= Y - F (p)

sin < + \/R sin (< (t) + A^t + A^i) + —= N (t)

V S

где ^ (t) = x (t); N (t) = пш (t); R = J; J = A2; R — отношение помеха/сигнал (ОПС).

Рассмотрим ДУ (3), описывающее работу ФАП при наличии гармонической помехи, и сделаем следующее предположение: во-первых, допустим, что имеются только одна (N = 1) спектральная составляющая помехи, частота которой лежит вне полосы синхронизации системы; во-вторых, на первом этапе анализа положим, что широкополосный шум пренебрежимо мал n^(t) = 0.

Тогда ДУ (3) принимает вид

1 dx

-= — = y - F (p) [sin x + e sin (x + ДШ + Дв)], (4)

где ДШ = ДШ; s\ = e; Дв1 = Дв, причем, по предположению, ДШ > 1.

Динамические характеристики ФАП при воздействии гармонической помехи. Известно, что при наличии узкополосного воздействия в пределах полосы синхронизации установившимся значением переменной x(t) является значение x0 = const, а при наличии узкополосного воздействия за пределами полосы синхронизации сигнал рассогласования во времени становится почти гармоническим с частотой, равной частоте расстройки (рис. 2). Естественно, можно предположить, что при наличии одновременно двух воздействий (внутри и за пределами полосы синхронизации) рассогласование x(t) может быть представлено в виде суммы двух составляющих (детерминированной xo и гармонической с амплитудой x1 и начальной фазой ф):

x (t) = x0 + x1 cos (ДШ + Дв + ф) = x0 + x1 cos (в + ф), (5)

где в = ДШ + Дв. Подставляя выражение (5) в ДУ (4) и считая амплитуду x1 малой, т.е. полагая, что

sin x ~ sin x0 + x1 cos x0 cos (в + ф); cos x ~ cos x0 — x1 sin x0 cos (в + ф) ,

находим

— x1d sin (в + ф) = Y — M(0) sin x0 —

— x1 cos x0M(ДП) cos (в + ф + P(ДП)) —

— £ sin xoM(AH) cos (0 + P(AH)) — — 0, 5£x1 cos x0 cos ^M(0) + 0, 5£x1 sin x0 sin ^M(0) —

— £ cos xoM(AH) sin (0 + P(AH)),

где d = ; M (ш) = |K (гш)|; P (ш) = arg F (гш). KV S

Приравнивая коэффициенты в правой и левой частях полученного равенства при sin 0, cos 0, а также записывая аналогичное равенство для постоянных составляющих, получаем систему из трех уравнений

ДЙ, рад 1,4-

0 5 10 15 20 25 30 35 f, с

1,0'-'-'-'-1-'-'-'-

0 2 4 6 8 10 12 14 I, с

б

Рис. 2. Зависимость расстройки x(t) от начальной расстройки по частоте ДП (a) и ОПС R (б)

с тремя неизвестными x0, x1 и ф1:

Y = M(0) sin x0 + 0, 5ex1 cos (x0 — ф) M(0);

eM(ДП) cos (x0 + P(ДП)) =

= [cos x0M(ДП) sin(P(ДП)) + d]x1 cos ф+

+ [cos x0M(ДП) cos(P(ДП))^1 sin ф; (6)

eM(ДП) sin (x0 + P(ДП)) =

= [cos x0M(ДП) sin(P(ДП)) + d]x1 sin ф—

— [cos x0M(ДП) cos(P(ДП))^1 cos ф;

Два последних уравнения этой системы могут быть решены отдельно от первого:

x1 cos ф = еД-^ (ДП)[d cos(x0 + P (ДП)) —

—0,5M(ДП) sin 2x0];

x1 sin ф = eД-1M (ДП)^ sin(x0 + P (ДП)) +

+0, 5M(ДП)(1 + cos 2x0)], откуда имеем

x2 = e2Д-1M2(ДП) =

e2

2 /n ✓ л г^ч г_____

cos2 (P (AH)) + d S M2 (AH) +

cos x0 sin (P (AH)) d + M (AH)

где

A =

M (AH) cosxo + sin(P (AH)) + cos2 (P (AH)U d2. (9) d

В уравнении (9) в случае ФАП первого порядка полагаем

cos P(AH) = 1; sin P(AH) = 0; M (AH) = 1; cos x0 = у71 - Y2 = 1, Y = 0,

тогда

2 e2 R R R

X i —

1 d2 (1 + 1 + d2 fAH^2 1 + 0,0625A2'

где e2 — R; d —

4Bl AH A

(7)

(8)

4Bl 4

Таким образом,

X =

\/R

у/1 + 0,0625А2'

При Л = 0,2; 0,5; 1; 1,5 и 7 = 0 получаем зависимость ж^А) и ее асимптотические значения (штриховые кривые, представленные на рис. 3, а); полагая в уравнении (9) 7 = 0,5, получаем

cos Xo = Vх 1 - 0, 52 = 0,866,

X i -

R

R

R

0,866\ 0,866+d2 /АП

d2 I 1+—^ | 0,866+

d2

4BL

0,866+0,0625А2

Зависимость х1(А) при 7 = 0,5 изображена на рис. 3, б при Л = 0,2; 0,5; 1; 1,5. Далее, подставляя (8) в первое уравнение системы (7),

Рис. 3. Зависимость х1(Х) при 7 = 0 (а) и 0,5 (б): Л = 0,2 (7), 0,5 (2), 1,0 (3) и 1,5

(4)

2

£

2

с учетом выражений (9) и (10), получаем

dx 1

sin х0 =

Y

M (0) 2M (AH)

cos(P (AH)).

(10)

При d ^ 1 A « d2 при любых x0 в силу ограниченности функции cos x0. Вместе с тем из уравнения (9) следует, что x1 имеет порядок d-2, в то время как во второе слагаемое из выражения (10) x1 входит с коэффициентом d и им можно пренебречь по сравнению с первым. Окончательно при |d| ^ 1 получим

Х! = - M (AH); d

sin x0 =

Y

M (0)

Тогда для ФАП первого порядка

(11) (12)

Xi =

Л

Эта зависимость Х1(А) показана на рис.3 штриховыми кривыми.

Соотношение (11) подтверждает первоначальное предположение о малости х1, соотношение (12) задает установившуюся фазовую ошибку в невозмущенной ФАП, когда гармоническая помеха отсутствует; тем самым подтверждается первоначальное предположение (6) о наличии реакций ФАП на узкополосные воздействия, частоты которых находятся соответственно внутри и вне полосы синхронизации.

Отметим также, что при ^ 2 из системы уравнений (7) получаем

^ = Хо + Р (АН). (13)

Для ФАП первого порядка по уравнению (10) находим

sin x0 = y

х i d

тогда при y = 0,5

при y = 0

х0 = arcsm ( y 2 ''

х i d

х0 = arcsin ■

х i d

Зависимости х0(А) при 7 = 0 и 7 = 0,5 при Я =1 изображены на рис. 4 (кривая 1 и 2 соответственно).

2

2

Рис.4. Зависимости х0(А)

В заключение запишем соотношения (8) в виде системы уравнений относительно x = cos P(ДП) и y = sinP(ДП):

ax — by = A; bx + ay = B.

(14)

Х1Д , 1M . n

где a = cos x0; b = sin x0; A = cosw +----sm2x0; B =

eMd 2 d

x 1Д . , 1M n .

= eMasin w - 2 T (1+cos2xo)-

В результате находим

x = Aa + Bb,

после преобразований получаем соотношение

xid cos P(ДП) = eM(ДП) cos (xo - W) • (15)

Из первого уравнения системы (16) аналогично запишем

by = ax - A,

после преобразований получаем равенство

x1d sin P(ДП) = -M(ДП)[е sin(x0 - W) + x1 cos(x0)]. (16)

Положим sin x0 в соотношении (11) равным +1 или -1 согласно знаку ДП. Тогда получим критическое значение коэффициента x1 первой гармоники

2M (ДП)

xifc =

Y

+ sgn (ДП)

M (0) & v ')d cos P (ДП)' Далее, если в уравнении (9) положить cos x0 = 0 (7 = 1), то

xlk = eM (ДП) /d =\[RkM (ДП) /d, (17)

тогда

R = 1 ^ + sgn (ДП))^ДП> (18)

M (0)

d cos P (ДП)'

Зависимость критического значения Rk от нормированной расстройки приведена на рис. 5.

Заключение. Из рис. 5 следует, что подверженность ФАП помехе усиливается, если спектральные положения помехи и сигнала находятся на противоположных сторонах от частоты покоя управляемого генератора.

Таким образом, в результате применения метода гармонического баланса получены динамические характеристики системы ФАП.

Найдено значение первой гармоники предполагаемого решения ДУ ФАП и ее критическое значение.

Кроме того, получено критическое значение отношения помеха/сигнал, в результате следует вывод, что уязвимость ФАП к воздействию помехи увеличивается, если частоты сигнала и помехи находятся по разные стороны от частоты покоя управляемого генератора.

Найдены приближенные (асимптотические) значения первой гармоники (11) предполагаемого решения ДУ ФАП. Эти значения могут быть использованы для анализа характеристик ФАП, когда на вход ФАП подается комбинированное воздействие (сигнал + помеха + шум) и ДУ ФАП принимает вид стохастического ДУ (3), (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. - М.: Сов. радио, 1977. - 598 с.

2. ШахтаринБ. И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. - 488 с.

3. Blanchard A. Interférence in phase-locked loops // IEEE Trans. 1974. Vol. AES-10, No. 5. - P. 686-697.

4. Kantak A., Davarian F. Performance of PLL in the presence of a CW interferer // Proc. of IEEE Global Telecommunications conference Atlanta, GA. USA 26-29 November 1984. - P. 230-236.

5. L e v i 11 B. K. Carrier tracking loop performance in the presence of a strong CW interference// IEEE Trans. - 1981. - Vol. COM-29, No. 6. - P. 911-916.

Статья поступила в редакцию 24.11.2010

Я* 80

100 —50 0 50 AQ/B.

Рис. 5. Зависимость критического значения Rk

Ю.А. Сидоркина родилась в 1969 г., окончила МАИ им. С. Орджоникидзе в 1991г. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области новых методов в устройствах синхронизации систем связи.

Yu.A. Sidorkina (b. 1969) graduated from the Moscow Aviation Institute n.a. S. Ordzhonikidze in 1991. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 publications in the field of new methods in synchronization devices of communication systems.

А.А. Ковальчук родилась в 1986 г., окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2010 г. Аспирантка кафедры "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области статистических характеристик систем синхронизации.

A.A. Koval'chuk (b. 1986) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2010. Post-graduate of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of statistical characteristics of synchronization systems.

М.А.Рязанова родилась в 1984г., окончила Калужский филиал МГТУ им.Н.Э.Бау-мана в 2008 г. Аспирантка кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области синхронизации в системах связи и радионавигации.

M.A. Ryazanova (b. 1984) graduated from Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University in 2008. Post-graduate of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of synchronization in systems of communication and radionavigation.