CC BY
11DOI 10.24412/2308-6920-2021-6-404-405
АНАЛИЗ СЕМЕЙСТВА ДИССИПАТИВНЫХ СОЛИТОНОВ УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ С УЧЕТОМ НАСЫЩЕНИЯ УСИЛЕНИЯ И МОЩНОСТИ
Штырина О.В.1'2 , Подивилов Е.В.1'3, Скидин А.С.1, Яруткина И.А.1, Лобасенко Р.Б.1'4, Федорук М.П.1'2
'Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск 2Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, г. Новосибирск 3Институт автоматики и электрометрии СО РАН, г. Новосибирск 4ПАО «Ростелеком», г. Санкт-Петербург E-mail: olya. shtyrina@gmail. com
Рассмотрим распространение импульса в лазерном резонаторе с учетом влияния дисперсии, нелинейности, ненасыщенных потерь и насыщенного усиления, насыщающегося поглотителя, а также спектральной фильтрации. Для описания основных характеристик солитона в таких системах нами
предложена распределенная модель на основе уравнения типа Гинзбурга-Ландау:
f \
dA(z, t) в2L д2A
dz
- + г
2 dt2
-iyL\A\ A-4
д2 A ~дё
к
а--
1 + A / P.
A.
(1)
Здесь в2 - коэффициент дисперсии второго порядка, у - коэффициент нелинейности, к - глубина модуляции, PSAM - мощность насыщения, L - длина резонатора, £ - параметр фильтрации. Последний член уравнения описывает действие быстрого насыщающегося поглотителя, выступающего в роли устройства пассивной синхронизации мод. Разница между усилением и потерями:
а = -
g
а
1 + E / Esat 2
где E=\\A\2dt - энергия импульса; Esat - энергия насыщения; g - коэффициент усиления за обход резонатора; а - полные внутрирезонаторные потери, включающие в себя потери внутри пассивного волокна (ар), а также потери на выходе из резонатора (ln R) (а= aPL-ln R). Для предотвращения образования CW-волны необходимо выполнение условия а< к.
В уравнении (1) член, отвечающий за действие насыщающегося поглотителя, был учтен согласно модели следующего вида:
pout _ _ 2к
1 + pin / р
Г 11 SAM in out /j_\
где p (t) иp (t) соответствуют мощности на входе и выходе из насыщающегося поглотителя.
Аналитические решения, разработанные ранее для подобных распределенных моделей и описывающие распространение сильночирпованных импульсов в лазерном резонаторе (см., например, [1,2]), имели сложную форму, а также не обладали единственностью, что достаточно неудобно с прикладной точки зрения из-за многозначности решения. Предложенная в ходе выполнения данной работы новая математическая модель позволяет получить новое устойчивое единственное аналитическое решение. Устойчивость предложенного решения обеспечивается за счет члена, описывающего насыщенное усиление, а его единственность - за счет учета насыщающегося поглощения в общем виде.
Представим амплитуду огибающей импульса в следующем виде:
A(t, z) = JP(t) х exp (iф (t, z)).
Здесь ф(t,z) - фаза. Тогда для данной модели может быть получено аналитическое решение в следующем виде:
2yLP = ф
2а4
PL 2
242
PL
Q2 -yLPS/
PL 2
242
PL
2
Q2 + yLPS/
где фz=дф/дz - линейный набег фазы, а Q=
d (QP)
-pL-Ь-= 2а
dt определяется из дифференциального уравнения P-Ч
P + P
г \ -to,
-P - 24Q2P.
404
№6 2021 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2021» [email protected]
Здесь Р - мощность сигнала, а ^=РВАМ(к/а-1).
Обращаем внимание, что для полученного решения будет выполняться следующее условие, позволяющее определить значение а:
E И) = Ea
-1
(2)
2а + а
где Е(а) - теоретическое значение энергии солитона.
В ходе исследований было получено хорошее соответствие между полученными теоретическими результатами и результатами прямого численного моделирования на основе уравнения (1) при помощи симметричного метода расщепления по физическим процессам. Удалось показать существование устойчивых одноимпульсных режимов генерации. На рис. 1(а) показана динамика установления энергии импульса при прямом численном моделировании. Видно, что приблизительно за 300 обходов происходит установление из импульсных начальных данных с малой энергией. Далее полученное стационарное решение распространяется без изменений.
Нами было показано, что теоретическое решение зависит только от одного параметра q=PSAM/P(0). Рис. 1(б) демонстрирует зависимость параметра q от разности усиления и потерь а для фиксированной длины резонатора 1 км. Для построения кривой менялись параметры Я и g. Можно видеть, что диссипативный солитон, полученный в рамках модели (1) для резонатора длиной 1 км вне зависимости от значений усиления и потерь является сильночирпованным, что говорит о применимости приближенного аналитического решения. Сильночирпованным считался импульс, для которого параметр чирпа, соответствующий произведению ширины импульса и его спектра, много больше единицы (/>>1).
* I
о. ф
X
гп
а)
Q
ю-
Ю го н Б и та 5
10"
10'
10'
101
Giro
О
10L
10"
10"'
О 500 1000
Число обходов резонатора
L
б)
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Рис. 1. а) Динамика установления энергии оптического импульса при прямом математическом моделировании; б) Теоретическая зависимость разности усиления и потерь а от параметра q Сплошная линия соответствует численным результатам на участке, где выполняется условие баланса энергии из формулы (2). На участке, обозначенном точечной линией, приведены теоретические данные, где выполняется условие f>>1. Пунктирная линия продолжается до конца области определения аналитического решения
Таким образом, полученные результаты позволяют аналитически уменьшить число степеней свободы генерации диссипативного солитона, что имеет прикладное значение при оптимизации и анализе условий генерации диссипативного солитонного волоконного лазера с заданными характеристиками, так как позволяет кратно сократить объём вычислений.
Работа О.В. Штыриной (теоретическое исследование) выполнена при поддержке государственного задания на проведение фундаментальных исследований FSUS-2020-0034. Работа А.С. Скидина (анализ результатов) выполнена при поддержке гранта РНФ № 20-11-20040.
Литература
1. Shtyrina O. V. et al, Opt. Express 27, 6711-6718 (2019)
2. Podivilov E, Kalashnikov V.L., JETP. Lett. 82, 467-471 (2005)
№6 2021 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2021» [email protected]
405
