Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещиноватом деформируемом пласте Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 517.927

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА, МОДЕЛИРУЮЩЕГО ОСОБЕННОСТИ ПРИТОКА НЕФТИ

К СКВАЖИНЕ В ТРЕЩИНОВАТОМ ДЕФОРМИРУЕМОМ ПЛАСТЕ

© А.М. Гачаев, А.А. Сагитов

Ключевые слова: оператор дробного интегродифференцирования; скважина; деформируемый пласт; трещина.

Проведен анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещиноватом деформируемом пласте.

Определенные способности притока жидкости в проницаемых средах изучаются по данным гидродинамических исследований скважин [1].

При разработке нефтяных залежей используются различные зависимости дебита от перепада давления [2]. Безусловно, в общем случае эти зависимости не являются линейными. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется причинами, основными из которых являются деформация коллектора, инерционные силы сопротивления, изменение свойств пласта и жидкости, а также действующей толщины пласта.

В призобойной зоне нарушается линейный закон [1].

Существует функциональная зависимость, учитывающая инерциональные составляющие сопротивления движению жидкости:

-V = ^/сад.

Здесь V? - градиент давления, у - динамическая вязкость жидкости, Р - скорость фильтрации, к - проницаемость среды, в - скалярная величина, зависящая от модуля вектора скоростей, /(в, Р) - безразмерная функция, полученная согласно п -теореме анализа равномерности [1]. Если предположить, что функция /(в, Р) разлагается в ряд Тейлора, и ограничиться двумя первыми членами разложения, получим

V? = -^Р - ^иР. (1)

кк

Справедливость полученной двучленной зависимости допускается при описании процесса фильтрации жидкости в трещинном коллекторе [1, 2], с ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора. Это может быть связано с изменением действующей толщины пласта, которая для каждого конкретного коллектора при различных градиентах давления IV?! (до критического значения |^кр| ) различна. При достижении | ^кр| действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления (см. рис. 1) [2].

Последующее измерение IV?! может привести к изменению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта. Подобные явления часто отмечаются на практике, в частности на нефтяных залежах Белоруссии и Ставрополья [2, 3].

1657

Рис. 1. Зависимость действующей толщины пласта Н от градиента давления

При величине |Ур| ниже критического для ассиметрической фильтрации уравнение неразрывности в полярных координатах имеет вид [3]:

Интегрируя (2), получим

г|Ур|(^1 + 4вВДУр| - 1) = С і.

(2)

(3)

Постоянную интегрирования С1 находим из условия |V?! < ^?кр| и, зная, что дебит скважины радиусом гс , вскрывшей пласт толщиной Н, есть

Q = 2п(rHv)|r=r

(4)

При градиенте давления меньше критического толщина пласта не будет оставаться постоянной. В промысловой практике зависимость действующей толщины пласта от градиента давления аппроксимируется степенной зависимостью вида

н = .Ши“ , 0 < а < 1,

\|^кр|У ’ ’

(5)

где Н - толщина пласта при ^?кр|, а - эмпирический коэффициент, характеризующий зависимость действующей толщины пласта от градиента давления (см. рис. 1).

Подставляя в (4) значение скорости фильтрации из уравнения

V =

л/ГТ4Д]Ур|"к^ - 1 2в

с учетом зависимости (5) получим:

|Ур1 ІУРкр I

Q = —чд,„ | 7 Сі. в ^р|

Отсюда

Сі =

Qв|Vp]

кр |

пгЛ,^р|с

(6)

с

а

1658

После преобразований из (6) следует

dp 2а+1 dp

dr = а dr

“ И?Ркр l°Q

+b ГДе ° = 2nhkr '

b =

1 V ркр 1

2nhr

(7)

Уравнение (7) применяется в промысловой практике [2]. В этой работе находится частное решение, определяющее индикаторную линию при постоянном давлении на контуре питания ?к кругового пласта радиусом гк, и при постоянном забойном давлении ?заб на скважине радиусом гс, вскрывшей этот пласт. Это решение имеет вид

P(rc)= Рзаб> Р(гк) = Рк-

(8)

Подставляя в уравнение (7) различные значения а, интегрируя при граничных условиях (8), в [2] получают индикаторные линии, в разной степени учитывающие зависимость действующей толщины пласта от градиента давления.

В [4] соотношение (5) заменено на соотношение

H = hD

h

(9)

где ДО- — дробная производная Римана-Лиувилля порядка а € [0,1]. Тогда уравнение (7) заменится на уравнение

«1 (Д> ?)2^ = а2 + азгДГ ?, (10)

где

аі =

Так, при а = 1 из (10) получим

а2 =

Qeiv-кр l

2nhr

аз =

Qe lV-кр l

2nhr

dp 3 Q^ |Vpkp I dp QVe |Vpkp I2

dr 2nhkr dr 4n2kh2r

(11)

Это уравнение, полученное в [2], при простейшей аппроксимации зависимости Н = Н (^?|) линейной функцией

^ ^ |^| < |^р|.

H=h

JVPkp 1У

При а = 0 из (10) получаем уравнение

^Q

dp

dr

^Q2

2nhkr 4n2kh2r2 ’

Интегрируя (12), с учетом краевых условий (8) получим

^eQ2 /1

(12)

™=2Щ ІП

Гк

rc

+

4n2kh2 \ г,

1

Гк

(13)

известную [1] и широко используемую в промысловой практике двучленную зависимость.

В уравнении (13) вследствие допущенного «упрощения» не учитывается деформация коллектора, действующая толщина не зависит от градиента давления H = h = const. В общем случае решение уравнения (10) можно искать в виде степенного ряда.

а

а

а

1659

Здесь мы отметим некоторые нетривиальные следствия нахождения решения уравнения (10) при а = у2. Итак, пусть а = у2. Тогда (10) можно записать в виде

«і (Д>/2р) Vp = а2 + азгД^р. (14)

Решение уравнения (14) будем искать в виде

ГО

Р(Г) = £ а„г/2. (15)

Тогда

Л!ПЬ

n=0

Dl/2p(r) = гат2}аоГ 1/2 + то?аіі0 + гЩ)112(1/2 + - - (16)

Vp = 2аіі_1/2 + a2t0 + 3a3t1/2 + ..., (17)

2 / г(1', 1 ,2 , , 0

»“«Г =(ш/Ь +ig?--+ГИгn2,l/i+• • •) +

(ли')’ +2ДИ5 '-}'-|"H(!rar) ’+2^ - Г®■}'+••

Vp(Dl/2p(r))2 = ^a,i-l/2 + a2t0 + 2a3il/2 + • • .^ x

(S .)'".=SS-|--"2 * ((1? )'+2г®(щ-■} '+•••.

= г‘’(m/V0)'-3'''+-■ (18)

Подставляя (16) - (18) в уравнение (15), приходим к выводу, что а2 имеет достаточно малое значение.

Итак, решение (10) можно эффективно искать в виде ряда (15), когда а близко к единице или нулю.

И наконец, отметим, что решение уравнения (10) при различных значениях а не является каким-либо уточнением. Величина а является конкретным значением для исследуемой скважины и определяется путем обработки зависимости действующей толщины пласта от градиента давления, полученной в результате промысловых исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Наука, 1972. 287 с.

2. Шаймуратов Р.В. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. М.: Недра, 1980. 223 с.

3. Алероев Т.С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений дробного порядка // Доклады РАН. 1995. Т. 341. № 1. С. 9-11.

4. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

Поступила в редакцию 15 августа 2010 г.

Gachaev A.M., Sagitov A.A. The analysis of solution to the fractional order differential equation

modeling the peculiarities of oil influx to a well in a cracked nonrigid stratum.

The analysis of solution to the fractional order differential equation modeling the peculiarities of oil

influx to a well in a cracked nonrigid stratum was led.

Key words: operator of fraction integrodifferentiation; well; nonrigid system; crack.

1660