Анализ решений интегро-дифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2003. №2. С. 13-15. © Омский государственный университет

УДК 517.929

АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ДИНАМИКЕ

ПОПУЛЯЦИЙ

И.А. Тарасов, Н.В. Перцев

Омский государственный университет, кафедра динамических систем 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 20 февраля 2003 г.

The paper is concerned with a two-stage model of population with a limited lifetime of its individuals. The delay integro-differential equations is used for the construction of this model [1-3]. Some properties of the solutions of the model equations are established.

1. Уравнения модели

Рассмотрим популяцию, в которой имеются индивидуумы двух стадий развития — незрелые и зрелые. Зрелые могут порождать потомство. Продолжительность времени созревания - Т\, по достижении которого незрелые становятся зрелыми. Зрелые индивидуумы имеют предельное время жизни т-2, по достижении которого они погибают либо переходят в третью стадию жизни, которая в этой модели не рассматривается.

Обозначим х = — численность незре-

лых, у = г/(£) — численность зрелых индивидуумов, t > 0 — время. Предполагаем, что скорость рождения индивидуумов нулевого возраста пропорциональна численности зрелых индивидуумов г/(£) с коэффициентом пропорциональности 7 > 0, интенсивность гибели незрелых индивидуумов равна р> 0. Процесс самолимитирования описывается функцией А (у) > 0, монотонно возрастающей и равной нулю при у = 0. Считая процессы рождения и гибели индивидуумов на интервале времени (£, t + <М) аддитивными, можно показать (см. [1-3]), что и г/(£) удовлетворяют уравнениям

x{t) = 7y(t) - px{t) - (px){t),

(1)

(px)(t) =

e >jtip1

е-НТ1 7

Xn-t).

-y(t -

(py)(t) — скорость гибели зрелых индивидуумов вследствие процесса старения:

(py)(t)

-JX(y(s))ds е 0 f-2{T-2-t), 0 <t<T2,

- / M.y{s))d.s

е (px){t-T-2), t>T2.

Общее число индивидуумов в момент времени t = 0 задается плотностями (£), 0 < £ < 7~;, г = 1,2 следующим образом:

Т1 ТО

ж(0) = J <£>1(в) (¿5, 2/(0) = J <£>2(в) ¿в.

Считаем </?;(£) неотрицательными, непрерывными функциями.

Для изучения некоторых основных свойств системы (1),(2) можно перейти к интегральным уравнениям, связывающим и г/(£) при t >0:

x(t) =

m = (px)(t) - X(y(t)) y(t) - (py)(t). (2) y(t)

Всюду под производной понимаем правостороннюю производную. Функция (px)(t) описывает скорость перехода незрелых индивидуумов в зрелые:

<t,T i>

f 7 y(t — a) da +

о

Т1

+ е"'lt f <^i(a-i)da, (3)

<i,Ti>

-JX(y(a))da го

e 0 J ip-2{a — t) aa+

<t,T2>

t

<t,T2> - f \(y(s))ds

+ J e <la (px)(t — a)da, (4)

о

ti)

где < t, Ti >= min(i, Ti), i = 1,2. 0 < t < Ti, В предположении, что функция А (у) удовле-

t > т\. творяет условию Липшица при 0 < у < оо,

14

И.А. Тарасов, Н.В. Перцев.

можно доказать, что уравнение (4) имеет единственное непрерывное, неотрицательное решение y(t), определенное на [0, оо). Как следует из (3), функция x(t) обладает теми же свойствами.

Для уравнений (3),(4) имеет место непрерывная зависимость решения от начальных данных и параметров модели на конечных промежутках времени.

2. Устойчивость стационарных решений

Модель (1),(2) при </?;(.§) = О, sG[0,T;], ¿ = 1,2 имеет тривиальное стационарное решение x(t) = О, y(t) = 0, причем это единственное стационарное решение, если 7 то < 1. Используя уравне-

ния (3),(4), можно показать, что при выполнении условия

7 то < 1 (5)

существуют положительные константы С1, Со, а такие, что

x{t) < С\е-а\ y{t) < C2e-at, t > 0.

Следовательно, если параметры модели удовлетворяют неравенству (5), то тривиальное стационарное решение экспоненциально устойчиво. Соотношение (5) поддается простой интерпретации. Если интенсивность гибели незрелых индивидуумов fj. и продолжительность созревания т\ достаточно велики, то величина 7 7о e~l~lT1 будет меньше единицы, что означает вырождение популяции. Или, если интенсивность рождения индивидуумов нулевого возраста 7 и предельное время жизни зрелых индивидуумов 7о малы, то популяция также обречена на вырождение.

Можно показать, что в случае 7 7о = 1

тривиальное стационарное решение является устойчивым.

Если 7 7ое~рТ1 > 1, то система (1),(2) имеет единственное ненулевое стационарное решение x(t) = х* > 0, y(t) = у* > 0, которое находится из системы уравнений

= 21^1(1 -е^Т1), (6)

I1

Х(у*) = 7е^Т1(1 - е-Л(у*)т2). (7)

При этом функции Lfi (s) должны иметь следующий вид:

(£>i(s) = 72/*e~i's, 0 < s < Ti, <P2(s) = j y*e~MT1e~'K<-y*)s, 0 <S<T2.

Из соотношения (3) видно, что вопрос об устойчивости решения системы (1),(2) сводится к вопросу об устойчивости решения уравнения (2). При £ > 71 + 7о уравнение (2) имеет вид

- / А(У(3))(г3

- 7у(г - 71 - т2) е

Делая замену «(£) = у— у* в последнем равенстве и предполагая, что А (у) имеет непрерывную производную в окрестности у = у* , получим уравнение первого приближения

«(£) = —о-и(£) + ви(1 — т\) — ¡Зи(£ — 71 — то) + о

+ <5/ + (8)

-ТО

где

£>' = Чу*) + Х(у*) у*,

в = 7е^Т1,

Р = 7е-^1е-г2А(у*)1

6 = 7е-^Т1е-Т2Л<-у*)А'(2/*) у*.

При помощи принципа аргумента [4] можно показать, что при условии 9 + /3 + 6 7о < а характеристическое уравнение для (8) не имеет корней в полуплоскости Не х > 0. Таким образом, неравенство

Ч{у*)у*{1-1Т2е-^Т1е-Му*)т'2) > 27е^т1е-л(у*)т2

есть достаточное условие устойчивости ненулевого стационарного решения системы (1),(2).

3. Численные эксперименты с моделью

На рис. 1, 2 представлены результаты численного решения для различных параметров модели.

Выполнение неравенства 7 7о > 1 есть

необходимое и достаточное условие существования положительного решения уравнения (7).

Рис. 1. Поведение решения вблизи ненулевого стационарного решения

Анализ решений интегро-дифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций 15

Рис. 2. Поведение решения вблизи нулевого стационарного решения

Для численного решения уравнение (2) было преобразовано заменой

г

г$)=1\(у(з))<1з, 0 <*<т2; о

г

= I МуН) т-2 < г <т

4—Г2

к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Система решалась явным методом Рунге-Кутты второго порядка. Переменная находилась из равенства (3). Численная схема была протестирована на ряде задач с заранее известным поведением решения.

По результатам численного анализа можно выдвинуть гипотезу о том, что если существует ненулевое стационарное решение системы (1),(2), то оно является асимптотически устойчивым в целом.

[1] Cooke К., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci. 1973. V.16. P.75-101.

[2] Полужтов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980. 288 с.

[3] Перцев Н.В. Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений в моделях динамики популяций // Математические структуры и моделирование: Сб. научн. тр. / Под ред. А.К. Гуца. Омск: Омск. гос. ун-т, 1998. Вып. 1. С. 72-85.

[4] Эльсгольц Н.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 С.