Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 53.097

А.С. Розов, В.Б. Байбурин АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ ЗАРЯДОВ В ЗАРЯЖЕННОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПУЧКЕ

Проведён анализ траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке с учётом полей пространственного заряда и неоднородного магнитного поля.

Скрещенные поля, уравнения движения

A.S. Rozov ,V.B. Baiburin

ANALYSIS OF REGULAR AND CHAOTIC CHARGES TRAJECTORIES IN CHARGED CYLINDRICAL BEAM

The analysis of the charges trajectories in charged cylindrical beam with space charge fields and non-uniform magnetic field.

Cross fields, equations of motion

Особенности траекторий зарядов, как правило, определяют характеристики приборов и устройств со скрещенными электрическими и магнитными полями. Анализ этих траекторий всегда остаётся актуальным также с точки зрения понимания механизма процессов и развития теории отмеченных систем.

Одним из основных элементов механизма функционирования подобных систем: усилителей СВЧ-сигналов, магнитных ловушек и др. являются заряженные пучки, той или иной формы, в частности цилиндрической. В простейшей постановке задачи [1] задаются однородные в пространстве магнитные и электрические поля, направленные вдоль оси пучка, без учёта полей пространственного заряда пучка. При этом траектории имеют вид регулярной трёхмерной спирали, растянутой вдоль оси пучка [1, 2].

Представляет интерес провести анализ траекторий зарядов, регулярных и хаотических с учётом полей зарядов пучка и неоднородного магнитного поля с применением критериев нелинейной динамики [3].

Анализ проводился применительно к схеме, изображённой на рис. 1, где ^ — радиус пучка,

Bz — индукция магнитного поля вдоль оси пучка, Ez — электрическое поле вдоль оси пучка, р плотность зарядов в пучке.

Рис. 1. Схема заряженного пучка

Применительно к схеме на рис. 1 уравнения движения заряда в декартовой системе координат имеют вид:

х = ^ЕХ + фгу

у = —^Еу + фгх

(1)

z = ПЕ,

Вг = B0 + ABz 8ш(г)

(2)

где ABz — амплитуда изменения неоднородного вдоль радиуса магнитного поля, Ex, Ey - поля про

странственного заряда пучка с плотностью р ,ц = - отношение заряда частицы к его массе. Со-

т0

гласно теореме Гаусса можно записать

Е,

Рг, x

’г > г

2є г2

Е„

рх

2є

,г < г

РГ У

’ г > г,

2є г2

РУ

2є

(3)

,г < г

= £Хг+7

Система уравнений (1) решалась численно, методом Рунге-Кутта IV порядка точности в безразмерных единицах [4].

Рассмотрим вначале случай отсутствия полей пространственного заряда и поперечно неоднородного магнитного поля в соответствии с условием (2). Соответствующие типичные траектории приведены на рис. 2.

г

ХО = 0,2 УО = 0,2 УОх = 1 УОу = 1 Яо = 0 Вх =0 Ву =0 ВОг =1 = 0,5 Вег = 5

б

Рис. 2. Траектория заряда при р = 0 и неоднородном магнитном поле а - проекция плоскости Ж-У, б - трёхмерная проекция

Видно, что даже при существенной неоднородности магнитного поля траектории сохраняют регулярный характер.

На рис. 3 приведены типичные траектории для случая однородного магнитного поля и р Ф 0 .

ХО = 0,2 УО = 0,2 УОх = 1 УОу = 1 ^ = 1 Вх =0 Ву =0 В02 =1 йеНаВг = 0,5 Исг = 5

*

б

Рис. 3. Траектория заряда при р ф 0 и однородном магнитном поле, а - проекция плоскости Ж-У, б - трёхмерная проекция

Видно, что под действием радиальной составляющей пространственного заряда траектория выходит за пределы пучка и сохраняет регулярный вид.

Рассмотрим случай с неоднородным магнитным полем и р ф 0 . Характер траектории существенно изменяется при одновременном воздействии пространственного заряда пучка и неоднородного магнитного поля, что отражено на рис. 4.

На рис. 4 видно, что траектории имеют хаотический характер проявляющейся в хаотическом изменении как радиуса циклотронной орбиты, так и дрейфа центров орбит.

Хаотический характер траекторий подтверждается также видом спектра мощности, приведённым на рис. 5, и положительными значениями показателей Ляпунова.

Таким образом, проведённые расчёты показывают, что при раздельном воздействии полей пространственного заряда пучка и неоднородным в поперечном сечении магнитном поле траектории зарядов носят регулярный характер. Одновременное воздействие указанных полей приводят к хаотическим режимам, при этом увеличение постоянной составляющей магнитного поля уменьшает степень хаотичности.

а б

Рис. 4. Траектория заряда при р Ф 0 и неоднородном магнитном поле а - проекция плоскости Ж-У, б - трёхмерная проекция

Рис. 5. Спектр мощности при р Ф 0 и неоднородном магнитном поле

ЛИТЕРАТУРА

1. Арцимович Л.А. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях / Л.А. Арцимович, С.Ю. Лукъянов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.

2. Р. Фейман. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейман. М.: Электродинамика, 1977. Т. 6.

3. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В.С. Анищенко,

В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, Л. Шиманский-Гайер. Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.

4. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. М.: Физматлит, 2003.

Розов Александр Станиславович -

аспирант кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Alexander S. Rozov -

Postgraduate

Department of Information Security

of Automated Systems

Gagarin Saratov State Technical University

Байбурин Вил Бариевич - Vil B. Baiburin -

доктор физико-математических наук, Dr. Sc., Professor

профессор, заведующий кафедрой Head of the Department Information Security

«Информационная безопасность of Automated Systems

автоматизированных систем» Саратовского Gagarin Saratov State Technical University

государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 27.05.12, принята к опубликованию 06.11.13