Анализ работы и расчет пьезокерамического стержня с накладкой при использовании конечно-элементного моделирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.2493 7/2542-2324-2019-2-S-I-263-268 УДК 681.883.67.001.24

Э.В. Ермолаев1, В.И. Мохов2

¡AO «Концерн «Океанприбор», Санкт-Петербург, Россия

2Санкт-Петербургскнй государственный морской технический университет, Санкт-Петербург, Россия

АНАЛИЗ РАБОТЫ И РАСЧЕТ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ С НАКЛАДКОЙ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Стержневые электроакустические преобразователи широко применяются в гидроакустических системах различного назначения благодаря высокому КПД, односторонней направленности излучения (приема) и возможности рациональной компоновки в антенне. Для расчета стержневых механических колебательных систем используются инженерные формулы, которые получены в основном для одномерного приближения, учитывающего характерный размер стержня, т.е. его длину. Применение тонкой металлической накладки, жестко скрепляемой с торцом пьезокерамического стержня, увеличивает эффективность излучения (приема) звуковой волны, но возникает возможность изгиба накладки, что снижает эффективность. В работе с использованием трехмерного конечно-элементного моделирования (МКЭ) анализируются колебания пьезокерамического стержня с накладкой. Моделирование МКЭ двухсекционного стержня позволяет более полно представить сложный характер колебаний, сочетающий продольную и радиальную форму колебаний стержня, изгиб накладки. Это возможно благодаря визуализации амплитуд смещений участков колебательной системы. В результате моделирования показано, что на появление изгиба накладки влияет главным образом увеличение отношения диаметра накладки к диаметру пьезокерамической части. Изгиб накладки появляется при большем диаметре поверхности накладки, если ее тыльная часть выполнена в виде конуса.

Ключевые слова: гидроакустический преобразователь, пьезокерамический стержень, изгиб накладки, конечно-элементное моделирование, амплитуда колебаний, частотная характеристика. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

DOI: 10.2493 7/2542-2324-2019-2-S-I-263-268 UDC 681.883.67.001.24

Е. Yermolaev1, V. Makhov2

¡JSC Concern Oceanpribor, St. Petersburg, Russia

2St. Petersburg State Marine Technical University, St. Petersburg, Russia

FEM-BASED CALCULATION AND OPERATION ANALYSIS OF PADDED PIEZOCERAMIC ROD

Rod-shaped electroacoustic transducers are widely used in various hydroacoustic systems thanks to their high efficiency, one-way propagation of emitted/received signal and possibility of optimal array configuration. Vibrations of these rods are calculated by means of the expressions mostly obtained for uni-dimensional approximation that takes into account characteristics size (i.e. length) of the rod. A thin metal pad rigidly fixed to the end of piezoceramic rod increases the efficiency of sound emission/reception, but this pad may bend, which would deteriorate its operational efficiency. This study is a FE vibration analysis of padded piezoceramic rod. FE simulation of compound rod gives a better representation of its complex vibrations taking into account both longitudinal and radial vibration of the rod itself and bending of its pad. It became possible thanks to visualization of displacement amplitudes for oscillatory system parts. The simulation has shown that pad bending probability grows along with diameter ratio of the pad and the rod. If rear part of the pad is conical, pad bending occurs at higher diameters of pad surface.

Для цитирования: Ермолаев Э.В., Махов В.И. Анализ работы и расчет пьезокерамического стержня с накладкой при использовании конечно-элементного моделирования. Труды Крыловского государственного научного центра. 2019; Специальный выпуск 2: 263-268.

For citations: Ermolaev B.V., Machov V.I. FEM-based calculation and operation analysis of padded piezoceramic rod. Transactions of the Krylov State Research Center. 2019; Special Edition 2: 263-268 {in Russian).

Э.В. Ермолаев, В. И. Махов.

Анализ работы и расчет пьезокерамического стержня с накладкой при использовании конечно-элементного моделирования

Keywords: hydroacoustic transducer, piezoceramic rod, pad bending, FE simulation, vibration amplitude, frequency characteristic.

Authors declare lack of the possible conflicts of interests.

Введение

Introduction

На практике для расчета механических колебательных систем гидроакустических преобразователей широко применяются различные инженерные формулы [1, 2]. Как правило, они основаны на предположении, что характерный размер колебательной системы, используемый для создания звуковой волны в среде, значительно превышает другие ее размеры.

Например, для колебательной системы в виде пьезокерамического стержня, где характерным размером является его длина пренебрегают смещениями частиц в поперечных к оси стержня направлениям. В реальном стержне под действием сил, направленных вдоль его оси, частицы стержня смещаются как вдоль этой оси, так и в поперечном направлении: вытянутый в длину стержень сократится в поперечнике. Однако если стержень длинный, а его поперечные размеры малы, то движением частиц в перпендикулярном к оси стержня направлении пренебрегают.

На рис. 1 приведены полученные при этих допущениях так называемые «четвертьволновый» и «полу волновый» стержни. При l,\ » d по длине закрепленного на торце стержня укладывается '/i волны смещения и (рис. 1а), а при /,; » d по длине свободного на торцах стержня - 1А волны смещения и (рис. 16). Практически считается, что длина стержня должна быть больше поперечного размера по крайней мере в два раза.

Основную частоту механического резонанса для четвертьволнового стержня можно найти по формуле fM = CK/4Zj, для полу волнового -fM = CJ2L2, где

Рис. 1. Распределение смещений частиц в четвертьволновом (а) и полуволновом (б) стержнях Fig. 1. Distribution of particle displacements in quarter-wave a) and half-wave b) rods

( ',, - скорость продольной звуковой волны в пьезоке-рамике. Аналогично поступают при расчете колебательной системы в виде составного стержня из пье-зокерамической средней части с одной или двумя металлическими накладками на торцах. В этом случае частота механического резонанса находится из резонансного уравнения, учитывающего параметры материалов частей стержня и их размеры.

Однако если длина стержня незначительно превышает размеры поперечного сечения, то результаты расчета по формулам для одномерного приближения будут иметь погрешности. Кроме того, реальная колебательная система гидроакустического преобразователя часто значительно отличается от упрощенной модели. Она может иметь накладки сложной геометрической формы, армирующую металлическую стяжку, акустический экран, закрывающий тыльные участки приемоизлучающей накладки. Эти отличия трудно учесть при аналитическом расчете резонансной частоты и других параметров преобразователя, но можно выяснить их влияние при конечно-элементном моделировании.

В работе сопоставлены результаты расчетов колебательной системы в виде используемого в гидролокационных системах двухсекционного стержня с применением известных математических формул (для одномерного приближения) и компьютерного конечно-элементного моделирования (трехмерного) с применением программы учитывающей

взаимосвязь электрических и механических величин пьезоматериалов.

Для увеличения приемо-излучающей поверхности стержневого преобразователя его торец жестко скрепляют с относительно тонкой металлической накладкой, имеющей площадь поперечного сечения больше площади поперечного сечения пьезокерамической части (образуется двухсекционная колебательная система). При этом чрезмерно большое отношение этих площадей может привести к появлению нежелательных из-гибных колебаний накладки. Известные рекомендации по выбору толщины накладки, обеспечивающей отсутствие ее изгиба, приведенные, например, в работах [3, 4], являются приближенными. Конечно-элементное моделирование дает возможность при визуализации амплитуд колебаний участков колебательной системы более точно определить наличие и степень изгиба накладки

для конкретно задаваемых размеров обеих секций и их материалов.

Описание модели колебательной системы и метода конечных элементов

Description of the oscillatory system model and the finite element method

В качестве модели колебательной системы взят пьезокерамический стержень круглого поперечного сечения, один торец которого свободен, а другой жестко скреплен с круглой титановой пластинкой.

При расчете частоты продольного резонанса колебательной системы использовалось резонансное уравнение:

{9cS)2tgk2l2+(pcS\tgkxtx=^

где индекс 1 относится к пьезокерамике, 2 - к титановой пластине.

Задаваемые параметры материалов: pi = = 7000 кг/м3, р2 = 4500 кг/м3 - плотность; q = 3000 м/с, с2 = 5250 м/с - скорость звука; Si и S2 - площади поперечного сечения; кхяк2- волновые числа.

Диаметр пьезостержня d = 50 мм, диаметр накладки D принимался равным 60 и 70 мм, толщина накладки i2 = 14,20,26 мм. При расчетах и моделировании изменялась длина пьезокерамической части от 50 до 90 мм. Таким образом, продольный и радиальный размеры колебательной системы существенно не различались.

Суть метода конечных элементов следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциального уравнения, разбивается на конечное количество подобластей (элементов), т.е. выполняется дискретизация исследуемой области. Конечные элементы имеют общие узловые точки, в которых они связаны между собой. В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется

решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ.

На рис. 2 приведена дискретная модель колебательной системы, состоящая из 9259 конечных элементов и имеющая 33 918 узлов сетки.

Основные результаты

Main results

На рис. 3 приведен график зависимости рассчитанной резонансной частоты стержня от длины пьезокерамической части для случая D = 60 мм, 12 = 14 мм (сплошная линия) и = 20 мм (пунктирная линия).

Крестиками приведены результаты, полученные при моделировании (для i2 = 14 мм, = 50, 60, 70, 80). При 1Х = 50 мм отличие результата аналитического расчета частоты от полученного путем моделирования составляет 660 Гц (менее 3 %), в остальных случаях результаты расчета и моделирования практически совпадают.

Частотная характеристика электрической проводимости пьезостержня при = 50 мм, 12 = 14 мм, D = 60 мм приведена на рис. 4.

Рис. 2. Дискретная модель колебательной системы

Fig. 2. Discrete model of vibratory system

24 22 20 18

16 14 12 10

-Ц

1

к

-61, мм

Рис. 3. Зависимость резонансной частоты f0 колебательной системы от длины пьезокерамической части ti

Fig. 3. Resonant frequency f0 of the vibrating system versus piezoceramic part length

Э.В. Ермолаев, Б.И. Махов.

Анализ работы и расчет пьезокерамического стержня с накладкой при использовании конечно-элементного моделирования

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 /кГц Рис. 4. Частотная характеристика электрической проводимости пьезостержня при ?i = 50 мм, 12 = 14 мм, D = 60 мм

Fig. 4. Frequency characteristic for electric conductance of the piezorod at ?i = 50 mm, f2 =14 mm, D = 60 mm

RBN

64

55,4 46,2 Z^L- 27,5 9,5

_'<D

н S> О

-37

73,7

0,31 27,5 46,2 55,4

a)

6)

Рис. 5. а) Распределение амплитуд продольных смещений на частоте резонанса колебательной системы (толщина накладки - 14 мм, диаметр накладки - 60 мм); б) толщина накладки увеличена до 26 мм, частота резонанса понизилась до 22 700 Гц

Fig. 5. a) Distribution of longitudinal displacement amplitudes at the resonant frequency of vibrating system (pad thickness 14 mm, pad diameter 60 mm); b) pad thickness increased to 26 mm, resonant frequency reduced to 22,700 Hz

/l 22,5

5 /2 30 /кГц

Рис. 6. Частотная характеристика проводимости колебательной системы при толщине накладки 14 мм и диаметре накладки 70 мм. Частоты резонанса fx = 22 200 Гц и f2 = 29 500 Гц

Fig. 6. Frequency characteristic for electric conductance of vibrating system at pad length 14 mm and pad diameter 70 mm. Resonant frequencies fx = 22,200 Hz and f2 = 29,500 Hz

В области частот 20-40 кГц имеется один резонанс на частоте /о = 24 200 Гц, соответствующий продольным колебаниям стержня.

Распределение амплитуд колебаний участков стержня на частоте резонанса приведено на рис. 5, где различные оттенки участков стержня соответствуют амплитудам их смещения в осевом направлении. При возбуждающем напряжении пьезокера-мической секции 1В максимальная амплитуда участков стежня мала и не превышает 1 мк (1000 нм). Значения амплитуд смещений приведены на рисунках в нанометрах.

Минимальная амплитуда создается в области узлового сечения, причем эта область занимает около 10% от всей пьезокерамической части. Наибольшые амплитуды смещений создаются на торцах стержня. Эти результаты моделирования соответствуют теории продольных колебаний стержней.

Из рис. 5 видно, что полосы равной амплитуды смещений не параллельны, т.е. фронт волны, распространяющейся вдоль оси стержня, отличается от плоского. Это особенно заметно в области торца пьезокерамической части и связано, по-видимому, с наличием не только продольных, но и радиальных колебаний.

Распределение амплитуд колебаний практически сохраняется при толщинах накладки 20 и 26 мм. Изгиба накладки нет, однако при толщине накладки 14 мм амплитуда колебаний центральной части накладки вблизи торца на 15 % больше, чем в остальном объеме.

Известно, что изгиб накладки, т.е. ее колебания, отличающиеся от колебаний поршня, приводит к уменьшению активной составляющей сопротивления излучения и, соответственно, уменьшению эффективности излучения. Критерием появления изгиба накладки может быть соотношение (//а) ,," (б/2//^2) < К, где / - толщина накладки, X -длина волны в материале накладки, К - некоторая константа. В данной модели изгибная форма колебаний накладки появляется при увеличении ее диаметра до 70 мм. Частотная характеристика проводимости в этом случае имеет два максимума (рис. 6).

Распределение амплитуд колебаний участков стержня на частотах /¡и/г приведено на рис. 7. Из рисунка видно, что колебания стержня имеют сложный характер: накладка изогнута, причем на частоте резонанса накладки ^ ее края колеблются в проти-вофазе с центральной частью, на поверхности накладки имеется узловая окружность. На ча-

35 4670 93 -Ш

Узловая окружность

Рис. 7. Распределение амплитуд продольных смещений: а) на частоте основного резонанса fi = 22 200 Гц; б) на частоте резонанса накладки f2 = 29 500 Гц. Толщина накладки - 14 мм, диаметр накладки - 70 мм

Fig. 7. Amplitude distribution for longitudinal displacements: a) at fundamental resonant frequency f\ = 22,200 Hz; b) at pad resonant frequency f2 = 29,500 Hz. Pad thickness 14 mm, pad diameter 70 mm

58-

23,4 -11 - 0,14 -11 -23,4 Г 35 Ы 46

a)

2 о

PQ

О «

н о

3°

v§ О

64

^37 й-37

73,7

55.4 46,2

27.5 0,31 27,5 46,2 55,4

¿0

!

^0,233672

-i!i4 184—V9

.9,1 ,.0,23

18 • 24-

Ь 9,1

6)

6)

Рис. 8. Распределение амплитуд колебаний по длине стержня: а) с плоской накладкой толщиной 14 мм и диаметром 60 мм; б) с накладкой, имеющей выпуклую поверхность

Fig. 8. Distribution of vibration amplitudes along the rod: a) with flat pad (thickness 14 mm, diameter 60 mm); b) with convex pad

Рис. 9. Распределение амплитуд колебаний по длине стержня: а) с плоской накладкой толщиной 14 мм и диаметром 70 мм; б) с накладкой, имеющей выпуклую поверхность

Fig. 9. Distribution of vibration amplitudes along the rod: a) with flat pad (thickness 14 mm, diameter 70 mm); b) with convex pad

1 .....V

щг

— 0,14

Па зз

70 Ш

а) б)

v

I

a)

6)

Рис. 10. Распределение амплитуд колебаний по длине стержня с накладкой в виде конуса: а) с углом при вершине конуса 60°; б) с углом при вершине конуса 90°

Fig. 10. Distribution of vibration amplitudes along the rod with conical pad: a) apex angle 60°; b) apex angle 90°

стоте /1 основного резонанса стержня область узлового сечения (с амплитудой колебаний 0,14 мкм) находится примерно в середине стержня, а на частоте^ резонанса накладки эта область (с амплитудой 0,23 мкм) несколько расширяется и смещается к свободному торцу пьезокерамической части стержня.

Кроме колебаний стержня с плоской круглой накладкой моделировались колебания с другой формой накладки: с круглой накладкой, имеющей выпуклую приемо-излучающую поверхность, при этом масса накладки не изменялась по сравнению с плоской накладкой. Изменение формы накладки может повлиять на величину сопротивления излучения как самого стержневого преобразователя, так и взаимного сопротивления излучения преобразователей в составе антенны.

На рис. 8 приведено распределение амплитуд колебаний по длине стержня с накладками диаметром 60 мм плоской и выпуклой формы поверхности, на рис. 9 - с накладками диаметром 70 мм. Изменение формы поверхности накладки диаметром 60 мм не привело к изменению распределения амплитуд колебаний по длине стержня, изгиба накладки нет, однако имеется неравномерность аплитуд по объему накладки около 25 %. С увеличением диаметра накладки до 70 мм появляется изгиб для обеих форм поверхности накладки, амплитуда колебаний на краях накладки значительно (в 2-3 раза) превышает амплитуду колебаний в ее центре (рис. 9).

Если тыльная сторона накладки имеет форму конуса, то ее изгиб появляется при большем диаметре приемоизлучающей поверхности, чем у накладки с формой, приведенной на рис. 9. На

Э.В, Ермолаев, В.И, Махов.

Анализ работы и расчет пьезокерамического стержня с накладкой при использовании конечно-элементного моделирования

рис. 10 приведено распределение амплитуд колебаний по длине стержня с конической накладкой при диаметре поверхности 70 мм. Для случая, когда угол при вершине конуса составляет 60° (рис. 10а), неравномерность по амплитуде колебаний по объему накладки составляет 18 %, а когда этот угол составляет 90° (рис. 106), неравномерность увеличивается до 60 %. В обоих случаях с большей амплитудой колеблются края накладки.

Заключение

Conclusion

Таким образом, конечно-элементное моделирование колебательной системы в виде пьезокерамического стержня с накладкой позволяет более полно представить сложный характер колебаний, сочетающий продольную и радиальную моды колебаний стержня, появление изгиба накладки, чем возможно с помощью инженерных формул для одномерного приближения. Это достигается при визуализации амплитуд смещений участков колебательной системы. На появление изгиба накладки влияет главным образом увеличение отношения диаметра накладки к диаметру пьезокера-мической части. Изгиб накладки появляется при большем диаметре поверхности накладки, если ее тыльная часть выполнена в виде конуса.

Библиографический список

1. Свердлин ГЛ1. Гидроакустические преобразователи и антенны. Д: Судостроение, 1988. 200 с.

2. Подводные электроакустические преобразователи. Справочник / Под ред. Богородского В.В. JL: Судостроение,1983. 248 С.

3. Орлов Л.В., Шабров А,А. Гидроакустическая аппаратура рыбопромыслового флота. JI.: Судостроение, 1987. 223 С.

4. Орлов Л.В., Шабров А А. Расчет и проектирование гидроакустических рыбопоисковых станций. М.: Пищевая промышленность, 1974. 276 С.

References

1. G. Sverdliii. Hydroacoustic transducers and arrays. Pen-ingrad, Sudostroyeniye, 1988, 200 pp. {in Russian).

2. Underwater electroacoustic transducers. Reference book. Under editorship of V. Bogorodsky. Peningrad, Sudostroyeniye, 1983, 248 pp. (in Russian).

3. L. Orlov, A. Shabrov. Hydroacoustic equipment of fishing fleet, reningrad. Sudostroyeniye, 1987, 223 pp. {in Russian).

4. L. Orlov, A. Shabrov. Design and calculation of fish search sonars. Moscow, Pishevaya Promyshlennost', 1974, 276 pp. (in Russian).

Сведения об авторах

Эдуард Витапьевич Ермолаев, инженер 2 категории АО «Концерн «Океанприбор». Адрес: 197376, Санкт-Петербург, Россия, пр. Чкаловский, 46. Тел.: +7 921 655-42-18. E-mail: erehdik(a!mail.com.

Владимир Иванович Махов, к.т.н., доцент кафедры Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190121, Санкт-Петербург, Россия, уд, Лоцманская, 3. Тел.: +7 951 648-53-83. E-mail: vi-mahov(a!mail.ru.

About the author

Yermolaev, Eduard V., 2nd category Engineer, JSC Concern Oceanpribor, address: 46, Chkalovsky prospect, St. Petersburg, Russia, tel.: +7 921 655-42-18. E-mail: ere-hdik@mail.com.

Makhov, Vladimir /., Cand. Sei. (Eng), Associate Prof., St. Petersburg State Marine Technical University, address: 3, Eotsmanskaya si, St. Petersburg, Russia, post code 190008, tel. +7 951 648-53-83. E-mail: vimahov(S>mail.ru.

Поступила / Received: 14.06.19 Принята в печать / Accepted: 30.08.19 © Ермолаев Э.В., Махов В.И. 2019