CC BY
96
УДК 004.9(045) ББК 32.973-018.2
О А. БАКАЕВА
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧИСЛА ПИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
Ключевые слова: число Пи, вычисление значения числа Пи, имитационное моделирование, метод Монте-Карло, MS Excel, среда программирования PascalABC, абсолютная и относительная ошибки.
Компьютерное моделирование благодаря огромным вычислительным возможностям, автоматизации обработки информации и наглядному представлению любого процесса активно применяется в различных научных областях. Цель данной статьи - сравнительный анализ процессов компьютерного моделирования вычисления числа Пи методом Монте-Карло с использованием табличного процессор MS Excel и языка программирования Pascal. Задачи ставятся следующим образом: оценить точность, надежность и вычислительную мощность метода статистических испытаний Монте-Карло при решении задачи нахождения числа Пи в каждой среде. Моделирование вычисления числа Пи осуществляется методом статистических испытаний Монте-Карло и сводится к заполнению некоторых областей точками, координаты которых определяются случайным образом с использованием генератора случайных чисел. Находится величина, равная отношению количества точек, которые попали в определенные области. Для моделирования используются два вычислительных инструмента: табличный процессор MS Excel и среда программирования PascalABC. Проведены серии вычислительных экспериментов в табличном процессоре MS Excel и среде PascalABC, в результате которых получены различные аппроксимации значения числа Пи. Серии экспериментов проводились для разного количества точек. При максимальной мощности получено значение числа, близкое к точному, вычислены абсолютная и относительная ошибки отклонения. Для наглядности процесса моделирования приведены несколько диаграмм, соответствующих разным мощностям эксперимента.
Моделирование - важный метод научного познания и активное средство мотивации учащихся. В тех случаях, когда натурный или технический эксперимент в силу каких-то причин невозможно осуществить, моделирование является единственным инструментом решения задач. Но в процессе моделирования могут возникнуть сложности, непосредственно связанные с выбором моделей, объемной вычислительной работой, представлением данных, визуализацией самого процесса моделирования и его результатов. Поэтому в настоящее время все больше применяется компьютерное моделирование.
На современном этапе развития науки компьютер, благодаря своим вычислительным возможностям, автоматизации обработки информации и наглядному представлению любого процесса, является неотъемлемым и эффективным инструментом моделирования. Методы компьютерного моделирования прочно вошли в практику решения широкого круга теоретических проблем и прикладных технических задач в различных сферах деятельности. Компьютерное моделирование активно применяется в образовании [12], техническом конструировании, строительстве и архитектуре, астрономии, физике, химии, в экономике и финансовом деле [7], в медицине, биологических и экологических системах.
Процесс компьютерного моделирования подразумевает использование различных программных средств. К самым популярным из них относятся: табличный процессор MS Excel, языки программирования Pascal, C++, пакеты компьютерной математики Mathcad, MATLAB, системы Model Vision Free (MVS), AnyLogic, Компас, 1С: Математический конструктор и др. [8].
Данные программные среды имеют свои характерные черты и особенности процесса моделирования, которые отражаются при решении задач в различных научных областях. Поэтому важно исследовать возможности различных сред моделирования и эффективно их использовать в том или ином случае.
Цель данной статьи заключается в том, чтобы провести сравнительный анализ процессов компьютерного моделирования вычисления числа Пи методом Монте-Карло с использованием стандартных вычислительных средств. К таким вычислительным средствам относятся табличный процессор MS Excel как самый доступный и широко используемый вычислительный инструмент и PascalABC как наиболее распространенная и востребованная среда программирования. А локальные задачи ставятся следующим образом: оценить точность, надежность и вычислительную мощность метода статистических испытаний Монте-Карло при решении задачи нахождения числа Пи в каждой среде.
Часто для решения широкого круга задач компьютерного моделирования используются методы программирования. Программирование как инструмент достаточно часто применяется для решения имитационных задач и разработки игр. Например, моделирование функционирования различных систем, потоков, очередей, расчет качества и надежности изделий, в теории передачи сообщений и при решении задач вычислительного характера: вычисление площадей фигур, определенных интегралов, вычисление числа Пи и многих других. Последние из перечисленных задач относятся к имитационному стохастическому моделированию и решаются с использованием метода Монте-Карло [3]. Все расчеты осуществляются с использованием современных компьютеров.
Основная идея метода Монте-Карло состоит в использовании выборки случайных чисел для получения решения детерминированных задач, как, например, вычисление числа Пи. Данный метод может быть реализован как в стандартном табличном процессоре MS Excel, так и в любой среде программирования, например, PascalABC.
Метод Монте-Карло имеет множество различных приложений. Он применяется в следующих областях: в промышленности для моделирования изменчивости производственных процессов; в физике, химии и биологии для моделирования разнообразных случайных явлений; в области игр для моделирования искусственного интеллекта; в области финансов для оценки производных финансовых инструментов и опционов и т.д. [13].
Число Пи интересовало ученых и исследователей с древнейших времен. В трудах по истории математики описаны и приводятся методы вычисления числа Пи и значения дробей, которые являются близкими по значению к данному числу. В Древнем Вавилоне соотношение между диаметром окружно-
сти и ее длиной оценивалось как 25/8 ~ 3,125, а в Древнем Египте как 256/81 ~ 3,160 (1850 г. до н.э.). Архимед многократно описывал вокруг окружности и вписывал в нее правильные многоугольники. Периметр вписанного многоугольника он принимал за минимальное значение числа п, а описанного - за максимальное. Его результаты оказались удивительно точными для того времени: п ~ 3,142857142857143 [4, 9].
В Средние века были получены следующие результаты по вычислению числа Пи: 339/108 ~ 3,139 (Индия, IX в. до н. э.); 3,1416 - Лю Хуэй (Китай, 263 г.); 3,1415926 < п < 3,1415927 - Цзу Чунчжи (Китай, ок. 480 г.). В дальнейшем точность вычисления числа Пи определялась уже десятками знаков после запятой.
Во времена классической эры, в эпоху становления математического анализа, интерес к числу п возрастает с новой силой. В ХУШ-Х1Х вв. были произведены расчеты, где получены сотни знаков в дробной части, что отражено в работах Дж. Мэчина, З. Дазе, У. Шенкса и др. [6, 18].
Кроме известной формулы связи длины окружности и диаметра для вычисления числа Пи используются также методы вычисления через ряды: ряд Грегори - Лейбница, ряд Мадхавы, ряд Нилаканта, формула Эйлера, формула Валлиса и др. [1].
Начиная с середины ХХ в. для вычисления числа Пи использовались компьютеры и их вычислительные мощности. Огромный вклад в нахождении максимального количества знаков в дробной части числа Пи внесли Дж. фон Нейман (1949 г.), Ф. Женюи (1959 г.), Дж. Гийу и М. Буйе (1973 г.), Братья Чудновские (1989 г.), Я. Канада (2002 г.), А. Йи и С. Кондо [15].
Одной из перспективных формул недавнего времени стала формула Бэй-ли - Боруэйна - Плаффа, открытая С. Плаффом [16]. Эта формула позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа Пи без вычисления предыдущих.
В настоящее время вычисление числа Пи рассматривается с геометрической точки зрения [11], а также имеется много работ, посвященных вопросу точности вычисления. Этими исследованиями занимаются В.И. Чепасов, М.А. Токарева, О.В. Буреш и др. [14].
С середины XX в. для решения различных прикладных задач использовались случайные величины. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Бюффоном еще в 1777 г. Суть метода была в бросании иглы длиной Ь на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии г друг от друга. Использование случайных величин и стало основой метода статистических испытаний.
Создателями метода статистических испытаний Монте-Карло считают американских математиков Д. Неймана и С. Улама. В 1944 г. в связи с работами по созданию атомной бомбы Д. Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Первая работа, в которой этот вопрос подробно излагался, принадлежит Н. Метрополису и С. Уламу [17]. Одними из первых метод Монте-Карло для расчёта ливней частиц применили советские физики А.А. Варфоломеев и И.А. Светлолобов.
В дальнейшем метод Монте-Карло использовался не только в физике, но и в других научных областях, где проведение эксперимента невозможно или сопряжено с рядом трудностей. Использование метода Монте-Карло на современном этапе чаще всего реализуется с использованием средств программирования.
Материалы и методы. Для моделирования вычисления числа Пи могут быть использованы различные программные средства: табличный процессор MS Excel, языки программирования PascalABC, C++, Mathcad, MatLab и др.
Моделирование вычисления числа Пи сводится к двукратному подсчету количества точек, которые попадают в определенные области. Самый простой инструмент моделирования вычисления числа Пи в этом случае - это табличный процессор MS Excel. Он позволяет не только автоматически вычислить количество точек, но и наглядно представить процесс моделирования на диаграмме. Основной недостаток табличного процессора состоит в том, что для увеличения точности расчетов приходится проделать большую механическую работу по заполнению ячеек формулами.
Pascal, напротив, позволит с помощью циклов и корректного подбора типа данных (для точного вычисления целесообразнее использовать тип Int32, Int64 или LongInt) упростить и автоматизировать работу исследователя. К тому же при подключении графического режима также возможно визуальное представление процесса моделирования.
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления характеристик его распределения [5]. Это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Классические численные методы дают приближенную схему решения задачи, связанную, обычно с разбиением пространства на строго определенные клетки и заменой интегрирования суммированием, а дифференцирования - конечными разностями. Аналитические методы дают решение задачи либо в виде формулы, либо в виде разложения в ряды или интегралы по полному набору собственных функций какого-нибудь оператора [10]. Использование стохастического моделирования позволяет обойти эти фундаментальные математические методы и использовать «легкий» метод статистических испытаний.
К преимуществам применения метода Монте-Карло можно отнести достаточность описания вероятностного процесса и необязательность его формулировки в виде интегрального уравнения. Оценка погрешности данного метода проста, а точность слабо зависит от размерности пространства, но тесно связана с количеством испытаний n [2]. Это значит, что n должно быть велико, поэтому метод существенно опирается на возможности ЭВМ и качественно реализуется при моделировании в автоматических вычислительных средах.
Главный недостаток метода Монте-Карло заключается в том, что, являясь в основном численным методом, он не может заменить аналитические методы при расчете существенно новых явлений, где прежде всего нужно раскрытие качественных закономерностей.
Результаты исследования. Алгоритм вычисления числа Пи методом Монте-Карло состоит в следующем: необходимо вписать круг в квадрат так, чтобы диаметр круга (2г) был равен стороне квадрата, а центры совпадали. Далее точки со случайными координатами бросаются в область квадрата, причем некоторые из них попадают в круг.
Рис. 1 Иллюстрация метода Монте-Карло
Если рассмотреть первую четверть указанных фигур, то площадь квадрата со стороной 2r равна Sra = 4r2. А площадь круга S^ = пг2. Отношение площади круга к площади квадрата определяется следующим образом:
SKP _ 2 =Я (1)
S 4r2 4'
кв
Чтобы получить значение числа Пи, необходимо умножить выражение (1) на 4. Площади же вычисляются через количество точек, которые попали внутрь фигур. При большом количестве точек заполнение областей происходит практически вплотную. А отношение количества точек, попавших в круг, к общему количеству точек и будет являться хорошей аппроксимацией отношения площадей и, соответственно, выражения п/4.
Реализация данного метода в MS Excel основана на использовании генератора случайных чисел, который задается функцией СЛЧИС( ). Данная функция возвращает равномерно распределенную случайную величину из диапазона [0; 1). Поэтому радиус окружности лучше принять за единицу. Путем многократного использования этой функции будут получены координаты точек, принадлежащих первой четверти, часть из которых будет находиться внутри окружности, в часть - вне ее. Рассчитаем значение числа Пи для n, равного 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.
Как видно, с увеличением разрядов числа экспериментов точность вычисления возрастает, а абсолютная и относительные ошибки уменьшаются даже с учетом случайности полученных координат. Табличный процессор MS Excel позволяет автоматически заполнить до одного миллиона ячеек в столбце и в дальнейшем производить расчеты с этими данными. Поэтому максимальная экспериментальная мощность ограничена числом точек n = 1000000 = 106. В этом случае при одном из возможных значений координат число п ~ 3,14198, абсолютная ошибка А = 0,00039, а относительная s = 0,012%. В силу стохасти-
ческой природы попадания точки со случайными координатами в область круга, вписанного в квадрат, следует понимать, что данные результаты справедливы для конкретного случая распределения точек, который равновероятен наряду с другими случаями. Но при сохранении мощности эксперимента n = 106 значения числа Пи и указанных погрешностей будут примерно того же порядка, как и в представленном случае.
Таблица 1
Результаты моделирования вычисления числа Пи в MS Excel
№ Число точек n MS Excel Д 8
1 10 3,60000 0,4584073464 14,592%
2 100 3,24000 0,0984073464 3,132%
3 1 000 3,18800 0,0464073464 1,477%
4 10 000 3,17080 0,0292073464 0,930%
5 100 000 3,14944 0,0078473464 0,250%
6 1 000 000 3,14198 0,0003873464 0,012%
Для наглядности процесса моделирования приведем несколько диаграмм, соответствующих разным мощностям эксперимента (рис. 2, 3).
Маркерами типа ■ показана граница единичной окружности, а маркерами типа ♦ - точки со случайными координатами, попадающие в первую четверть. При количестве точек больше 10000, практически вся окружность заполняется ими. Таким образом, визуально подтверждается метод вычисления площадей фигур с использованием метода Монте-Карло.
В PascalABC проведем аналогичные вычисления. Координаты точек будут генерироваться в цикле с помощью стандартного оператора Random при указании Randomize выше. Данный оператор возвращает случайное вещественное число из отрезка [0; 1], что соответствует координатам точек, расположенных внутри квадрата первой четверти.
Рис. 2. Иллюстрации метода Монте-Карло при n = 10 (а) и n = 100 (б)
Рис. 3. Иллюстрации метода Монте-Карло при n = 1000 и n = 10 000
Листинг кода программы представлен ниже.
Program Metod Monte-Karlo;
uses Crt;
const
r=1;
var
i,kolkr,n : Int64; x,y,p : real; begin ClrScr;
WriteLn('Метод Монте-Карло вычисления числа Пи'); WriteLn(' n | pi ');
WriteLn('-----------|----------');
Randomize; p:=0; n:=10;
While abs(pi-p)>0.00001 do
begin
kolkr:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=Random;
y:=Random;
if (sqr(x)+sqr(y)<r) then INC(kolkr); end;
p:=kolkr/n*4;
Writeln(n:11,' | ',p:12:10);
n:=n*10;
end;
WriteLn('Значение числа Пи=',p:12:10); WriteLn('Абсолютная ошибка: ',abs(pi-p):12:10); ReadLn; end.
Результаты работы программы представлены на рис. 4.
Рис. 4. Результаты вычисления числа Пи методом Монте-Карло в среде Ра8са1АВС
Таблица 2
Результаты моделирования вычисления числа Пи в среде РаэсаЬАВС
№ Метод Монте-Карло PascalABC Д 8
1 10 2,8 0,3415926536 10,873%
2 100 3,16 0,0184073464 0,586%
3 1 000 3,156 0,0144073464 0,459%
4 10 000 3,156 0,0144073464 0,459%
5 100 000 3,13548 0,0061126536 0,195%
6 1 000 000 3,144772 0,0031793464 0,101%
7 10 000 000 3,1418628 0,0002701464 0,009%
8 100 000 000 3,1413192 0,0002734536 0,009%
9 1 000 000 000 3,141641808 0,0000491544 0,002%
10 10 000 000 000 3,1415950728 0,0000024192 0,000%
Как видно из приведенных результатов, число п ~ 3,1415950728. Абсолютная ошибка < 2,5 •lO-6, а относительная - меньше тысячной доли процента, т.е. незначительна.
Таким образом, методы программирования при корректном выборе типа данных позволяют существенно увеличить экспериментальную мощность до n = 1010, что в последующем значительно уменьшает погрешность вычисления и приводит к более точному значению числа Пи. Также значительно уменьшается время на проведения вычислительного эксперимента. В этом и состоят основные преимущества моделирования вычисления числа Пи в среде программирования PascalABC.
Обсуждение. Для проведения сравнительного анализа полученных результатов моделирования вычисления числа Пи в двух вычислительных средах перенесем все данные в итоговую таблицу (табл. 3).
Проведя вычислительный эксперимент по нахождению числа Пи в двух средах, можно сделать следующие выводы. Моделирование вычисления числа Пи в табличном процессоре MS Excel позволяет продемонстрировать изучаемый алгоритм в учебном процессе, так как большая часть времени исследования тратится на механическое заполнение ячеек данными и не требует глубоких знаний. В научных исследованиях более универсальным инструментом является среда PascalABC, так как затраты времени на расчеты значительно меньше в силу использования циклических конструкций.
Таблица 3
Сводная таблица анализа результатов моделирования вычисления числа Пи
Метод Монте-Карло PascalABC Д £ MS Excel Д £
10 2,8 0,3415926536 10,873% 3,6 0,4584073464 14,592%
100 3,16 0,0184073464 0,586% 3,24 0,0984073464 3,132%
1 000 3,156 0,0144073464 0,459% 3,188 0,0464073464 1,477%
10 000 3,156 0,0144073464 0,459% 3,1708 0,0292073464 0,930%
100 000 3,13548 0,0061126536 0,195% 3,14944 0,0078473464 0,250%
1 000 000 3,144772 0,0031793464 0,101% 3,14198 0,0003873464 0,012%
10 000 000 3,1418628 0,0002701464 0,009%
100 000 000 3,1413192 0,0002734536 0,009%
1 000 000 000 3,141641808 0,0000491544 0,002%
10 000 000 000 3,1415950728 0,0000024192 0,000%
Вычисления в среде PascalABC для количества точек n = 109 занимают около 8 мин. А для максимального количества точек, вычисленных в MS Excel (n = 106), PascalABC выдает ответ сразу при загрузке программы. Поэтому среда программирования PascalABC является менее трудозатратной и более эффективной средой решения задач имитационного моделирования.
Вывод. Анализ возможностей визуализации процесса моделирования вычисления числа Пи показал, что визуализация в среде PascalABC, так же как и в MS Excel, возможна и не представляет больших трудностей. В табличном процессоре графическая интерпретация моделирования осуществляется через Мастер диаграмм, а в среде PascalABC необходимо подключить для этого графический модуль Graph.
Таким образом, общий вывод состоит в том, что более эффективной средой реализации процесса компьютерного моделирования вычисления числа Пи является среда программирования PascalABC, так как она имеет ряд значимых преимуществ по сравнению с табличным процессором MS Excel. Это полная автоматичность вычисления без необходимости временных затрат на механическое заполнение данных, большая вычислительная мощность, т.е. количество точек в эксперименте и, как следствие, высокая точность вычисления. Можно отметить, что точность вычислений очень сильно зависит от качества используемого генератора псевдослучайных чисел. Другими словами, точность тем выше, чем более равномерно случайные точки распределяются по единичному квадрату и чем больше количество точек, тем ближе полученное значение к истинному значению числа Пи.
Программирование позволяет практически беззатратно проводить вычислительные эксперименты. Если количество требуемых опытов велико, то полученные результаты с достаточной точностью могут характеризовать исследуемую величину или процесс. В ходе модельных экспериментов с помощью имитационной модели и средств программирования прежде всего воспроизводится влияние случайных факторов; при этом, естественно, для получения статистических данных о свойствах объекта или процесса требуется его многократное воспроизведение в ходе моделирования. Наличие в программировании генератора случайных чисел позволяет автоматически фор-
мировать серию экспериментов, что и необходимо в имитационном моделировании. Также возможность многократного повторения вычислительных операций с помощью циклических конструкций позволяет программированию эффективно моделировать серию экспериментов и получать неизвестные характеристики с высокой долей надежности и устойчивости.
Литература
1. Бакаева О.А. Сравнительный анализ методов вычисления числа Пи стандартными средствами // Программные продукты и системы. 2018. Т. 31, № 2. С. 409-413. DOI: 10.15827/0236-235X.031.2.409-413.
2. Григорьев Ю.Д. Метод Монте-Карло: вопросы точности асимптотических решений и качества генераторов псевдослучайных чисел // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2016. Т. 82. № 7. С. 72-84.
3. Девятков В.В. Некоторые вопросы развития методологии имитационных исследований // Прикладная информатика. 2014. № 4(52). С. 81-88.
4. Жуков А.В. О числе п. М.: МЦНМО, 2013. 32 с.
5. Знакомство с методом Монте-Карло [Электронный ресурс]. URL: http://datareview.info/ article/znakomstvo-s-metodom-monte-karlo/ (дата обращения: 10.06.2018).
6. Как вычислить значение Пи? [Электронный ресурс]. URL: http://ru.wikihow.com/ вы-числить-значение-Пи (дата обращения: 09.06.2018).
7. Карягина Т.В., Тусова А.Е. Анализ и прогноз результатов финансово-хозяйственной деятельности предприятий: возможности современных компьютерных программ // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы XII Междунар. науч.-практ. конф. / Воронежский Центральный научно-технический институт - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго России. Воронеж, 2016. С. 350-354.
8. Кормилицына Т.В. Исследование имитационных моделей в специализированных математических системах // Учебный эксперимент в образовании. 2010. № 3. С. 32a-36.
9. Кымпан Ф. История числа Пи. М.: Наука, 1971. 217 с.
10. Орлов А.И. Предельные теоремы и метод Монте-Карло // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2016. Т. 82. № 7. С. 67-72.
11. Сальников М.М. О точности исчисления числа Пи // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. № 7. С. 148-156.
12. Сафонов В.И. Использование компьютерного моделирования в школьном образовании // Информатика: проблемы, методология, технологии: материалы XVI Междунар. науч.-метод. конф. Воронеж: Научно-исследовательские публикации, 2016. С. 573-575.
13. Целищева М.С., Мутагирова А.И. Имитационное моделирование - метод Монте-Карло // Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям. СПб.: Санкт-Петербургский гос. электротехнический ун-т «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина), 2016. Т. 1. С. 425-428.
14. Чепасов В.И., Токарева М.А., Буреш О.В. Вычисление числа Пи методом касательных в длинной арифметике. Оренбург: Оренбургский гос. ун-т., 2011. 119 с.
15. Arndt J., Haenel C. Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, 2000, 264 p.
16. Bailey D., Borwein J.M. Pi: The Next Generation A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation. Springer, 2016, 507 p.
17. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo Method. Journal of the American Statistical Association, 1949, vol. 44, no. 247, pp. 335-341.
18. Shanks D., Wrench J.W. Calculation of pi to 100,000 Decimals. Mathematics of Computation, 1962, vol. 16(77), pp. 76-99. doi:10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9.
БАКАЕВА ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники, Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева, Россия, Саранск ([email protected]).
O. BAKAEVA
ANALYSIS OF PROCESSES OF COMPUTER MODELING OF NUMBER PI CALCULATION BY MONTE CARLO METHOD
Key words: number Pi, calculation of number Pi value, imitating modeling, Monte-Carlo method, MS Excel, PascalABC programming environment, absolute and relative errors of calculation.
Computer modeling, due to huge computing opportunities, automation of information processing and visual representation of any process, is actively used in various scientific areas. The purpose of this article is the comparative analysis of processes of computer modeling of number Pi calculation by Monte-Carlo method, using the Excel MS tabular processor and the Pascal programming language. Tasks are set as follows: to estimate the accuracy, reliability and computing power of Monte-Carlo statistical tests method, when solving the problem of finding number Pi in each environment. Modeling of calculation of number Pi is carried out by Monte-Carlo statistical tests method and is reduced to filling some areas with points, the coordinates of which are randomly determined with the use of a random number generator. There is a value equal to the ratio of the number of points that fall into certain areas. For modeling, two computing tools are used: the Excel MS tabular processor and the PascalABC programming environment. We conducted series of computing experiments in the Excel MS tabular processor and the PascalABC environment, as a result of which various approximations of number Pi value are received. The series of experiments were carried out for a different number of points. At maximum power, the value of the number is close to accurate, absolute and relative deviation errors are calculated. To illustrate the modeling process, several diagrams, corresponding to different experimental powers, are presented.
References
1. Bakaeva O.A. Sravnitelniy analiz metodov vychisleniya chisla Pi standartnymi sredstvami [A comparative analysis of methods of calculation the number Pi by standard means]. Mezhdunarodnyy nauchno-prakticheskiy zhurnal "Programmnye produkty i sistemy" [«Software & Systems»], 2018, Vol. 31, № 2, pp. 409-413. DOI: 10.15827/0236-235X.031.2.409-413.
2. Grigorev Yu.D. Metod Monte-Karlo: voprosy tochnosti asimptoticheskikh resheniy i kachestva generatorov psevdosluchaynykh chisel [Monte-Carlo method: questions of accuracy of asymptotic decisions and quality of generators of pseudorandom numbers]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materialov [Factory laboratory. Diagnostics of materials], 2016, Vol. 82, № 7, pp. 72-84.
3. Devyatkov V.V. Nekotoryye voprosy razvitiya metodologii imitatsionnykh issledovaniy [Some questions of development of methodology of imitating researches]. Prikladnaya informatika [Applied informatics], 2014, № 4 (52), pp. 81-88.
4. Zhukov A.V. O chisle n [About number n]. Moscow, MCNMO Publ., 2013, 32 p.
5. Znakomstvo s metodom Monte-Karlo [Acquaintance to the Monte-Carlo method]. Available at: http://datareview.info/article/znakomstvo-s-metodom-monte-karlo/ (Accessed 10 June 2018).
6. Kak vychislit' znachenie Pi? [How to Calculate Pi?]. Available at: https://www.wi-kihow.com/Calculate-Pi (Accessed 9 June 2018).
7. Karyagina T.V., Tusova A.E. Analiz i prognoz rezultatov finansovo-khozyaystvennoy deyatelnosti predpriyatiy: vozmozhnosti sovremennykh kompyuternykh programm [Analysis and forecast of results of financial and economic activity of the enterprises: possibilities of modern computer programs]. Materialy XII mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Ekonomicheskoe prognozirovanie: modeli i metody» [Proc. of XII Int. Sci. and Pract. Conf. «Economic forecasting: models and methods»]. Voronezh, 2016, pp. 350-354.
8. Kormilitsyna T.V. Issledovaniye imitatsionnykh modeley v spetsializirovannykh matematicheskikh sistemakh [Research of imitating models in specialized mathematical systems]. Uchebniy eksperiment v obrazovanii [The Educational experiment in education], 2010, no. 3, pp. 32a-36.
9. Kympan F. Istoriya chisla Pi [History of number of Pi]. Moscow, Science Publ., 1971, 217 p.
10. Orlov A. I. Predelnyye teoremy i metod Monte-Karlo [Limit theorems and Monte-Carlo method]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materialov [Factory laboratory. Diagnostics of materials], 2016, vol. 82, no. 7, pp. 67-72.
11. Salnikov M.M. O tochnosti ischisleniya chisla Pi [About the accuracy of calculation of number of Pi]. VestnikPermskogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika [Bulletin of the Perm university. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics], 2009, no. 7, pp. 148-156.
12. Safonov V.I. Ispolzovaniye kompyuternogo modelirovaniya v shkolnom obrazovanii [Use of computer modeling in school education/. Materialy XVI Mezhdunarodnoy nauchno-metodicheskoy konferentsii «Informatika: problemy, metodologiya, tekhnologii» [Proc. of XVI Int. Sci. Conf. «Informatics: problems, methodology, technologies»]. Voronezh, 2016, pp. 573-575.
13. Tselishcheva M.S., Mutagirova A.I. Imitacionnoe modelirovanie - metod Monte-Karlo. [Imitating modeling - the Monte Carlo method]. Mezhdunarodnaya konferentsiya po myagkim vychisleniyam i izmereniyam [Proc. of Int. Conf. on Soft Calculations and Measurements]. St. Petersburg, 2016, vol. 1, pp. 425-428.
14. Chepasov V.I., Tokareva M.A., Buresh O.V. Vychisleniye chisla Pi metodom kasatelnykh v dlinnoy arifmetike [Calculation of number of Pi by method of tangents in long arithmetics]. Orenburg, Orenburg State University Publ., 2011, 119 p.
15. Arndt J., Haenel C. Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, 2000, 265 p.
16. Bailey David, Jonathan M. Borwein. Pi: The Next Generation A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation, Springer, 2016, 507 p.
17. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo Method. Journal of the American Statistical Association, 1949, vol. 44, no. 247 (Sep., 1949), pp. 335-341.
18. Shanks D., Wrench J. W. Calculation of pi to 100,000 Decimals. Mathematics of Computation, 1962, vol. 16(77), pp. 76-99. doi: 10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9.
BAKAEVA OLGA - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Department of Informatics and Computer Engineering, Mordovian State Pedagogical Institute named after M.E. Evsevyev, Russia, Saransk ([email protected]).
Формат цитирования: Бакаева О.А. Анализ процессов компьютерного моделирования вычисления числа Пи методом Монте-Карло // Вестник Чувашского университета. - 2018. -№ 3. - С. 151-162.
