CC BY
34
УДК 62.52
Н. Д. Демиденко, Л. В. Кулагина, И. Н. Мельник
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В СИСТЕМАХ КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Рассматривается решение следующих задач оптимального контроля: для непрерывного процесса взаимодействия двух противоточно движущихся сред в тепломассообменном аппарате с пространственно распределенным воздействием; для процесса нестационарной массопередачи в ректификационной колонне. Представлены постановка задач, необходимые условия оптимальности, методы решения и численные результаты.
Системы контроля и управления в химических технологических процессах часто создаются на основе анализа лишь статических характеристик, что не повышает эффективность их функционирования.
Контролируемые и управляемые параметры химикотехнологических объектов носят явно выраженный пространственно распределенный характер. Специфика распределенности управляемых процессов настолько велика, что формальный перенос хорошо разработанной теории управления объектами с сосредоточенными параметрами на распределенные системы не имеет успеха.
При моделировании и управлении процессов с распределенными параметрами возникает вопрос об использовании распределенного контроля и распределенного управления. При этом практический интерес при создании высококачественных систем управления представляет такой подход, при котором улучшение динамических свойств управления достигается за счет рациональной системы контроля. Неравноценность информации о состоянии управляемого процесса в различных точках объекта и ее большое количество обусловливает поиск оптимальных оценок состояния управляемого процесса.
Рассмотрим непрерывный процесс взаимодействия двух противоточно движущихся сред в тепломассообменном аппарате с пространственно распределенным воздействием. Для этого объекта поставлена и решена задача оптимального распределенного контроля на основе метода вариационного исчисления. Получены необходимые условия оптимальности весовых функций распределенного контроля. Эти условия используются для построения численного алгоритма расчета оптимальных весовых функций.
Исходя из закона сохранения количества тепла или массы, в рамках гипотез, принятых в работе [1], рассмотрим систему уравнений, описывающих этот процесс:
Э01 Э(ю101)
ді ді
Э02 д(о202)
= ^ (I, t)(01 -02)+ /(I, t),
X ] (і) =
В качестве функции распределенного внешнего воздействия возьмем функцию
а (I _1] )Ье(Ч I е[0,1] ] ,
0,1 е [/,, I ] ,
где I - координата точки приложения внешнего воздействия; а = 738,91; Ь = 2; с = 20.
Дополним систему уравнений (1) следующими начальными и граничными условиями:
0,. (1,0) = 0, I = 1,2, (2)
01 (0,*) = 0Ш (), 02 (1, *) = 02,в (), (3)
где 01вх(О, 02вх(О - заданные функции.
Функционал качества имеет вид
I = |[0* (1, і)-01 (1, і)] йі,
(4)
где Т - фиксированное время процесса управления; 01*(1, t) - заданное значение регулируемой величины; 01вх(1, t) - регулируемая величина.
Имеется возможность подачи на объект (т + 1) управляющих воздействий: при у = 0 - за счет изменения граничных условий на входе второй (регулирующей) среды v0(t) = 02вх(О; при у = 1, ..., т - за счет промежуточных внешних воздействий V. ({).
Таким образом, получаем (т + 1) - контурную систему автоматического регулирования. Функции управляющих воздействий V. (і),у = 0, ..., т представим в виде
(1)
дt д1
где 0. = 0. (/, t), i = 1, 2 - функция распределения температуры или концентрации; ю. = ю.(/, t), i = 1, 2 - скорость движения первой и второй сред соответственно; Д/, 0 - функция внешнего воздействия; а. = а. (/, {), i = 1, 2 - коэффициенты, характеризующие свойства взаимодействующих сред.
Здесь внешнее воздействие приложено в т промежуточных точках и может быть представлено в виде
/(1,* ) = £Xу (1) V ().
]=1
V] () = ! и1 (, т) / 01 (I, т )ёу ( )ЛМх, у = 0,..., т, (5)
0 0
где ур) - операторы используемых управляющих устройств (в данном случае интегральные) с заданными ядрами и(1,, т), определенными в треугольнике 0 < т < IТ [5];
1
фу. (т ) = 101 (I, т (I )М - воздействия на входе регуля-
0
торов, характеризующие состояние объекта управления и выражающиеся через весовые функции распределенного контроля gj (х).
Итак, задача оптимизации системы управления формируется следующим образом: найти такие весовые функции gj(l), при которых значение функции состояния 01(1, 0 минимизировало бы функционал качества (4).
Лемма 1. Сопряженная система уравнений и необходимые условия оптимальности имеют вид
(/, *) + ^1 (I, *)Ф-1 ( *) _^ (I, *)^1 + ^2 (I, {)^2 -
ді
ді
гг т
ИХ ^2 (£> і1 )Се] ()и] (t1 > 1: )g] (1 )Л1^ + (6)
0 і ]=1
2
+ |о1 ( Ч )Ц2 ( Ч )ио (tl>Мgo (1 ) = 0
і
дЦ2д(;/’ і) - ®2 (1 ’ і) дц2д((/’ і) - ц2 (1, і)«2 + Ц2 ((,1 )Ж1 = °>(7) 2 [0* - 01 (1, і )]- ®1 (1, і)ц1 (1, і ) = 0,
®2 (0, і)ц2 (0, і) = 0, ц (і, Т) = 0, ц2 (і, Т) = 0, (8)
Т і
Ь0 (01, ц2 ) = | ц2 (^’ і)<в2 (1, і)|и0 (і’ т)01 (і, т)йтйі = 0, (9)
0
1 Т
Рис. 1. Изменения температуры в переходном режиме и при оптимальном контроле с весовой функцией g0 (х)
Рассмотрим получение оптимальных весовых функций распределенного контроля, дающих оценку контролируемых параметров управляемого процесса нестационарной массопередачи для промышленной ректификационной колонны К-101 [2].
Исходя из закона сохранения количества тепла и массы, в рамках гипотез, принятых в [1], рассмотрим следующую математическую модель управляемого процесса:
^ = ку (- у* )+Ф,
+ с2 ■д^^ = к (у - у* ) + Ф2, І = 1 ді 2 ді Д Л '} 2 І 15
0 = {(і, і)/0 < і < 1, 0 < і < Т},
, N, (11)
^ (01, ^1 ) = Ц^1 (£> *)а] ()Iм] (?, т)0 (I, т)</тЛ^ = 0,
0 0 0
] = 1,..., т. (10)
Метод решения системы уравнений таков:
1) задают начальные приближения весовых функций g/(/);
2) если gJn(l) известны, то по системе уравнений (1) и граничным условиям (2), (3) находят 01п = 0"(1, 0 и по сопряженной задаче (6).. .(8) определяют ц.п = ц.п(/, t), г' = 1, 2;
3) далее полагают g0OПI = g0n - ^о(01п, ц2п), g/0ПI = gJr^ -- ^(0;, ц2п), т > 0, п = 0, 1, 2, ...;
4) предельные значения весовых функций дают решение задачи.
Для численной реализации задач (1)...(3), (6)...(10) построена явная консервативная конечно-разностная схема, аппроксимирующая исходную систему уравнений (1) с первым порядком на равномерной сетке. При этом справедлива лемма 2.
Лемма 2. Левые части конечно-разностных аналогов уравнений (9), (10) представляют собой градиент аппроксимированного функционала качества (4).
Следовательно, для решения задачи может быть использован градиентный метод [2].
Приведем примеры расчета систем контроля по разработанной программе: кривую разгона и оптимальную переходную характеристику в одноконтурной схеме регулирования с весовой функцией оптимального контроля g0(l) (рис. 1) и кривую 2, соответствующую этой функции (рис. 2), а также кривые оптимального управления (рис. 3) и соответствующие функции распределенного контроля с подачей управляющих воздействий в точки, распределенные по длине аппарата (рис. 4).
0.0,0
где р , р2. - средние плотности компонентов разделяемой смеси; Ф1, Ф2 - функции внешнего воздействия; у.(/, (), у .*(/) - концентрация и равновесная концентрация в паровой фазе; с1, с2 - скорости жидкой и паровой фаз;
к - коэффициент массопередачи.
Рис. 2. Начальная и оптимальная g00',
весовая функция распределенного контроля
Рис. 3. Изменения температуры в переходном режиме и при оптимальном контроле с весовыми функциями g , &/(0 0,2 0,4 0,6 0,8 /
80
81 я:
я;
я:
Рис. 4. Начальные g01, g41 и оптимальные g0n, g4" весовые функции распределенного контроля
Известна также связь концентраций с плотностями:
*=#-, Уі=<12>
Ё Р1І Х Р2І
І=1 І=1
Система (11) содержит 2N неизвестных функций и столько же уравнений. Дополним эту систему начальными и граничными условиями:
Ри (і>0)=Ф1І (і ) Р2І (і,0) = Ф2І (і) (13)
где ф1г(0, Ф2І(0 - заданные функции. При І = 0
Р2і (0> і) = сі¥о (і)Уі (0> і),
Н йУі (0, і ) ——=С1
йі
Р1і (0>і)- У, (0>і)ХР1 ] (0>і)
Уі (0,0 ) = ■
Ф2І (0) ,
]=1
(14)
Х^2] (0)
]=1
где V, (і) = С ХР1] (0і)-Р(і)+ в(і) І = 1
которые в силу системы уравнений (11)__(16) минимизи-
руют функционал качества (17).
Переходя к нормальной форме, получим следующую систему дифференциальных уравнений, описывающую управляемый процесс [2]:
Эр1'- = ^(1) + ку ( _у* )+Ф1 - X,., ^,
]=1
Р1, (1> і) = с-'Ьв (і)х, (1, і),
ді дР 2І
ді = -с£? + ку (у, - у,*) + Ф 2 - г,, = С(2)
0 < і < 1,0 < і < Т, при краевых условиях:
Р 2, (0 і )- V (і )у, (0> і )С2-1 = 0
, ч йх, (1, і)
Нхв (і)= с,
йі
,(1,0 ) =
Р 2, (1> і )-і, (1> і )Х Р 2 ] (1> і )
]=1
Ф1І (1)
Х Ф1 ] (1)
]=1
йу,(0, і) = _с_ Н
йі
у> (0,0)= ЛФ2І (0) , 0 < і < Т, і = 0,
ХФ2] (0)
]=1
Р1і (1> і)-Ьв (і)х, (1, і)с1-1 = 0 йх, (1, і) с.
йі
х, (1,0 ) = -
]=1
йНх (і) "
і = С2ХР2] (^ і)-Ьв (і)-в(і), НХв (0)= 01. (15)
Система уравнений (11)___(15) описывает процесс не-
стационарной массопередачи в ректификационной колонне с переменным уровнем в дефлегматоре. Для того чтобы колонна неограниченно не исчерпывалась и не переполнялась, введем следующее условие:
Т
|(Р(і) - В (і) - W(t))dі = 0, (16)
0
где Т - заданное время управления. Корректность этой краевой задачи показана в [2].
Сформулируем задачу оптимального распределенного контроля. В качестве цели оптимизации можно поставить требование достижения наименьшего среднеквадратичного отклонения регулируемой величины х. (1, 0 и
(или)у. (0, І) вверху и внизу колонны (это наилучшее каче- с наДальными ^ловшшл(13). ство целевого продукта):
5 = }{Хк;(1) [х (1, і)- 0* ]2 + Хк® [у, (0, і)- 02„ ] {йі. (17)
0 I]= ]=1 {
Нами также исследованы и другие критерии оптими- ^
« г г где дО - граница области О;
зации: производительность аппарата, критерий разделительной способности и др.
Рассмотрим замкнутую систему регулирования с управлением D(t). Имея ввиду использование распределенного контроля в паровой фазе, на вход регулятора [2], регулирующего D(t), поступит сигнал
Р1, (°> і)-У, (0> і)ХР1 ] (0> і)
]=1
Р 2І (^ і )-хі (^ і )Х Р 2 ] (^ і )
]=1
Ф1і (1)
- Хв,,
ХФ1 ] (1)
йі
= С2 ХФ2] (1, і)- ^ (і)- В (і)- Нв
]=1
Нв (0)= «1, 0 < і < Т, і = 1,
Для получения необходимых условий оптимальности рассмотрим вспомогательный функционал
I = /1 +12 = || ь&м + | ,
:(1)
1+ Л(1) І ^ - у і
ді
- х.
+£
(2)
/ \ \ /
(2)
/дР2, - И1) 4 ді ^
ді
+лі
/
дР2І - И2) ді ^
V
ф(і ) = ЇХ у. (і, і)Я. (і)йі,
і = Хг ( (і)- 0*і ) + к?> (у (°> і)- 02,)
,=1 1
+В) ( (1> і)-Ів (і )х, (1> і )с1-1)+
йхі (1, і)
йі
- Хл
-хк1-) (р2, (0>і)-^0 (і )у, (0> і )с2-1)
+^к2)
йУ, (0, і)
йі
-
-^3)
йНхв (і)
йі
0 ^=1
где М - количество контролируемых параметров, выбранных из у(1, 0; gs(/) - весовые функции распределенного контроля, дающие оценку контролируемым параметрам в автоматической системе регулирования. Управляющее воздействие D(t) в случае интегрального регулятора будет иметь вид
* I м
Б() = |и (^ т)|£у, (I, т)gs (I )е1Мт,
0 0 ^=1
где u(t, т) - заданная функция, характеризующая регуля- ^0;(2), ^о/3), ^4,<1), ^к,<2) - функции, определенные на ЭО. тор. Пусть g(l) - оптимальные весовые функции, р ,
При контроле за параметрами в жидкой фазе задача р2. - оптимальное решение задачи (11).(16), соответству-
оптимизации рассматриваемой системы управления ющее g(/). Тогда, найдя вариацию 5/ = 5/1 + Ы2 и используя
формулируется аналогично. Она состоит в нахождении аргументацию вариационного исчисления, будем иметь
таких весовых функций распределенного контроля g(/), следующую сопряженную систему дифференциальных
здесь ^.( 1}, ^(2), ці1}, і] ,(2) - функции, определенные на О; ^0.( 1},
х
уравнений относительно |., л., \ (2), 2) (£.(2) и л/2) выра-
зи ]., аналогич:
N
Р,кРкХ Р11 _ Рк
2) если gn0(/) известны, то по системе уравнений жены через ^.( '> и л/[) и обозначены и ]., аналогично (11)...(16) находят р1;(п>, р2.(п>, а по сопряженной задаче исключаются Х0({>, ^к(0):
(18)_(21) определяют Ъ,П, ц», ^гм ^ад, ^з(„);
N
ді
зі
N
РХ Ри
]=1
(4,-- л, )Х(4 к-
]=1
Х р1]
]=1
Эл,- Эл,
э/+С2 ді “2
(Л1 - 4,- ) + Х Рік (к - Лк )
р'Х р1
]=1
-Х ^ (°>і )Ук (°>і)
Х я. (і)
К Х Р2
к =д,.=., ”. 10,. Ф І,
4 (і) = / хВ -Х Лк (0, і)Ук (0, і)
0 [ к=1
(і, і) = 0, л,■ (і, і) = 0,
Х Р2] ]=1
у. (і, і )йі,
“Т" = (0> і)
йі
С1 Х Р1 ] - W (і) ]=1
с1
1х (2} Х Р 2 ]
------й-------2к/2) (у,. (0, і)-0*,),
Нк
х (2) N
4, у0, і )=-Н- -Ху* у0, і)
н. к=1
3) далее полагают gп+1 = gп - ^ ;
4) предельные значения весовых функций дают решение исходной задачи.
Выражение (22) - это градиент вспомогательного функционала /. Можно показать, что это выражение есть градиент оптимизируемого функционала (17). Следовательно, для численной реализации метода используется градиентные методы [2].
Приведем графики оптимальных весовых функций распределенного контроля g (/) (рис. 5) и соответствующие концентрации первого (легколетучего) компонента в дефлегматоре (рис. 6) и в кубе (рис. 7) промышленной , (18) ректификационной колонны К-101. За контролируемый параметр принята концентрация легколетучего компонента в паровой фазе у1(/, ^. Кривые у(1, t) и у1(0, t) соответствуют начальной весовой функции g(l) = 0 при возмущении легколетучего компонента в сырье на + 20 % от исходного значения, кривая 1 - минимальному отклонению концентрации у(1, 0, кривая 2 - минимальному отклонению у1(0, 0, кривая 3 - минимальному отклонению (19) х1(1, 0 иу1(0, 0 одновременно.
(20)
\ (2) Л
Н^ - Лк (0, і)
Нхк
—}(2)
—^ = 4, (1, і) і—— (і)-йі
]=1
Нха у)
х В (т )=0,
N
І =1
л (2) Х*к (1> *)*Б£
Л (1 *) = _"“______1=1__________+ л(3)
’1 (1,'' ма«) м,о (*) + ^
р21 0. *)_хI (!■1 )Хр2](1,1) /*1 (г)■
л Б = 0, 0 < * < Т, I = 1, (22)
где = Лкт2 + Вкт + Ск - парциальное давление для к-го , ЭР
компонента; Рк =——; т - температура в колонне; Лк, ЭР 2 у
Вк, Ск - коэффициенты, определяемые по экспериментальным данным методом наименьших квадратов [2]; Р - общее давление в колонне; 5 - множество индексов контролируемых параметров.
Метод решения системы уравнений заключается в следующем:
Х*2) = 0, 0 < і < Т, і = 0,
С2АВ? Х Р2] (1, і)
--2к,(1) (у (1, і)-0*і ), (21)
2 3 4 5 /
Рис. 6. Изменения концентраций в дефлегматоре
х/о
1 0,
Рис. 5. Зависимости оптимальных весовых функций g(l)
, 0,
Рис. 7. Изменения концентраций в кубе
Для первой схемы регулируемая величина у(1, 0 близ-1) задают начальные приближения весовых функций ка к требуемому значению 0 *, функционал качества 0(/); ^0П1 = 4 • 10-4. Содержание этого же компонента в кубе
к=1
колонны у1(0, 0 имеет наибольшее отклонение от заданного значения 0 *.
При оптимизации качества нижнего продукта в колонне отклонение регулируемой величины у1(0, 0 от заданного значения 021* уменьшается по сравнению с первой схемой регулирования, однако вверху колонны значение х1(1, 0 увеличивается. При этом ^0П1 = 0,114.
Для критерия оптимизации отклонений одновременно верхнего и нижнего продуктов кривая переходного процесса х1(1, 0 совпадает с аналогичной кривой во второй схеме регулирования, а кривая у1(0, 0 также незначительно отличается от соответствующей кривой во второй схеме и ^0П1 = 0,729.
В случае распределенного контроля за содержанием первого компонента в жидкой фазе при минимизации отклонения х1(1, 0 от заданного 0 * ^0П1 = 4 • 10-2. При оптимизации отклонения у1(0, 0 от 021* ^0П1 = 9 • 10-5. При одновременной минимизации отклонения у1(0, 0 и х1(1, t) от 021* и 011* ^0П1 = 0,325.
В заключение можно сделать следующие выводы: сформулирована задача оптимального контроля за системами с распределенными параметрами, получены необходимые условия оптимальности весовых функций распределенного контроля, проведено численное исследование оптимальных систем контроля для промышленной ректификационной колонны, показана эффективность распределенного контроля.
Библиографический список
1. Демиденко, Н. Д. Моделирование и оптимизация тепломассообменных процессов в химической технологии / Н. Д. Демиденко. М. : Наука, 1991.
2. Демиденко, Н. Д. Управляемые распределенные системы / Н. Д. Демиденко. Новосибирск : Наука. Изд-во Сибирского отделения РАН, 1999.
N. D. Demidenko, L. V. Kulagina, I. N. Melnik
THE ANALYSIS OF NON-STATIONARY MODES IN SYSTEMS OF DISTRIBUTED PROCESSES CONTROL AND MANAGEMENT
In the article the decision of optimum control tasks is considered: for continuous process of interaction of two moving countercurren environments in heat-exchange apparatus with spatially distributed influence; for process of non-stationary mass transfer in rectifying column. The statement or problems, necessary conditions of optimality, problem-solving procedure and numerical results are presented.
