CC BY
20
УДК 541.124/128
В.В. АНДРЕЕВ
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В ПОРИСТЫХ ГРАНУЛАХ КАТАЛИЗАТОРА С ГАУССОВЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ АКТИВНЫХ ЦЕНТРОВ ПО ГЛУБИНЕ
1. Математическая модель
Целью данного исследования является установление характера влияния различных физико-химических параметров на протекание гетерогенных каталитических процессов в пористых гранулах катализатора различных геометрических форм. Результаты анализа необходимы для целенаправленного управления ходом указанных процессов с целью достижения их максимальной эффективности.
Рассмотрим гетерогенную каталитическую реакцию, осуществляемую в пористых гранулах катализатора сферической, цилиндрической или пластинчатой форм:
Ах——■» продукты. (1)
Она протекает со скоростью гх, являющейся в общем случае произвольной функцией концентрации С, исходного вещества А] и температуры Т. Очевидно, что рассматриваемая реакция (1) сопровождается диффузией исходного вещества А, и продуктов реакции в порах гранулы. Процессы в пористой грануле катализатора будем описывать на основе квазигомогенной модели [1], так как известно, что она дает хорошее согласие с экспериментальными результатами [2]. В рассматриваемом случае реакции вида (1) эта модель в безразмерной форме запишется так:
^- Ф 2§Мп (V1>9)/(£ о^о!) >
^ " I!}+ф !р гМ''1 (у 1 -в)/(8 ° ■ <2)
Здесь х = г/К3 - безразмерное расстояние; г - текущий радиус точки в пористой грануле; радиус гранулы; /, = И\а - безразмерное время; I-текущее время; =л|/д*- характерное время диффузии вещества А, в порах гранулы; Д*- эффективный коэффициент диффузии вещества А, в порах; Т = т^/хА; тА =(/г|ср)/А,*- характерное время теплопереноса в грануле; с - эффективная удельная теплоемкость гранулы, а р - ее эффективная
плотность; X *- эффективный коэффициент теплопроводности пористой гранулы катализатора; их=сх(х^х)/с0х- текущая безразмерная концентрация вещества Ах; С0,- постоянное во времени значение концентрации вещества Ах во внешней реакционной смеси вдали от гранулы; 0 = 7’(л:,г1)/Т0- текущая безразмерная температура; Г0- постоянное во времени значение температуры внешней реакционной смеси вдали от гранулы; иох -Сох(гх)/Сох ; 0О =Г0(/1)/г0; С01 (г,) и ^(?,)- изменяющиеся во времени значения соответственно концентрации вещества Ах и температуры во внешней реакционной смеси на таком расстоянии от пористой гранулы, где еще можно пренебречь влиянием самой гранулы на ее течение; (3 = (-АЯ)С01О*Д^*Г0); -АН- энтальпия реакции (1); ф = |г01Л|Дс01£>*)| - параметр Тиле; г0] -гх(С0х,Т0);
а- параметр, зависящий от геометрической формы пористой гранулы катализатора (а = 0 - пластинчатая, а = 1 - цилиндрическая, а = 2 - сферическая).
В уравнениях (2) функция g(x) представляет собой количество каталитических центров на единицу объёма пористой гранулы. Она удовлетворяет следующему соотношению:
1
[8(х)хас/х = -^-. (3)
о а + 1
Здесь g0- плотность каталитических центров в пористой грануле при их равномерном распределении по её объёму. Формула (3) получается из условия, что для любых функций g{x) должно быть справедливо:
| g(x)dV = g0VG . (4)
(У о)
Здесь Уа - объём пористой гранулы катализатора, и интегрирование производится по всему её объёму. Соотношение (4) выражает то обстоятельство, что для любых распределений активных центров по глубине пористой гранулы их полное количеств одинаково. В противном случае сравнивать между собой эффективности пористой гранулы катализатора при различных распределениях g(x) не имело бы смысла.
Дополним математическую модель процесса начальными условиями:
*,=/„: их{.х^ъ) = и°х(х), 0(х,/о) = 0°(х). (5)
Следует отметить, что реакционная смесь прилипает к внешней поверхности гранулы при обтекании последней из-за наличия вязких сил. В результате возникает вокруг пористой гранулы так называемый пограничный слой, где реакционная смесь практически неподвижна. Это затрудняет массо- и теплообмен внутренней области пористой гранулы с внешней сре-
дой в ходе осуществления гетерогенного каталитического процесса. Граничные условия, учитывающие наличие сопротивлений в пограничном слое мас-со- и теплообмену между внешней реакционной смесью и пористой гранулой катализатора, определим уравнениями (6):
„ ди ■, „ 50 „
х = 0: ---- = 0, — = 0;
дх дх
х = \: ^1=в1(с/,(и1)-1/01(/|)), |® = Яу(0(1,г,)-00(/,))- (6)
Здесь 2?, = Л6,р ,/£>,* ; ВТ=К8 ргД*; р, и р т - коэффициенты соответственно массо- и теплообмена между внешней реакционной смесью и пористой гранулой катализатора.
Кроме того, предположим, что каталитическая реакция (1) осуществляется в пористой грануле катализатора в искусственно создаваемом нестационарном режиме. При этом во внешней реакционной смеси концентрация вещества Ах и температура меняются по закону:
0о(?1) = 1+М'1), |ё0(г)с1/ = 0; р)х]^р2х2=х. (7)
о
Здесь р, и р 2 - произвольные положительные целые числа; Т| и г 2 - периоды изменения функций 0 о, (г)) и б 0 (г |), измеряемые также в единицах г (/.
Производительность пористой гранулы катализатора определим по формуле:
БС0]Ох (Л и ] (х,I))
• (8)
Х=]
с1х
Здесь 5 - площадь внешней поверхности пористой гранулы катализатора. При а = 1 она равна площади боковой поверхности цилиндрической гранулы, а в случае гранулы пластинчатой формы (а = 0) - удвоенной площади поверхности, перпендикулярной оси X .
Усредненная за период т производительность определяется так:
2. Анализ модели
Предположим, что каталитические центры распределены по глубине пористой гранулы по нормальному закону:
£(*)/£ о = Яехр(-(х-х,)2/д2). (Ю)
В выражении (10) постоянная В определяется из условия нормировки (3). Тогда, подставив формулу (10) в соотношение (3), получим
в = —-------------!--------------. (П)
(а + 1) “ ехр|-(х-х()2/а 2|с!х
о
Средняя производительность пористой гранулы катализатора определяется в соответствии с формулой (9). Обозначим через У, среднюю производительность пористой гранулы катализатора в случае неоднородного распределения активных центров по её глубине. Аналогичную величину в случае однородного распределения каталитических центров, т.е. при g(x) = gQ, обозначим через . Подобные величины для установившегося процесса в пористой грануле катализатора (ди ]/д/1 = 0, 98/Зг, = 0 ) обозначим через .71Л. в случае неоднородного распределения активных центров и ],Л,„ - при их однородном распределении. Введем также следующие отношения производительностей:
П = У,/У15; (12)
Пх=]х/]Аи- (13)
«2 =-/1А-/^1Я» ■ О4)
Предположим, что скорость реакции в схеме (1) описывается степенным кинетическим уравнением:
Л1(С/,,0) = г](С„Г)/гО] =Ьг]"еу(1”1/0). (15)
Здесь п- порядок реакции; у = £Дяг0); Е- энергия активации; К - универсальная газовая постоянная.
При численном исследовании нестационарной модели (2) со степенной кинетикой (15) предположим, ЧТО функции с701 (^, ) И 0 о (/,) изменяются во времени так:
СО, =271/?,/т; (16)
0О(?1) = 8Г 5т(ю2^|), (й2=2пр2/1 • (17)
Математическая модель протекания реакции (1), сопровождающейся диффузией исходного вещества А1 и продуктов реакции в порах гранулы катализатора, была проанализирована с использованием пакета МАТЬАВ. Моделирование было проведено при следующих значениях параметров:
п = 1, \|/ = 1, р = 0.2 , а = 0, *,=0.1, А = 0.02, Д,=10, ВТ = 10, ф2=0.5, 8, = 0 , Ьт - 0, у — 15 . .
Результаты исследования представлены на рис. 1-7. Из рис. 1 видно, что
существует оптимальное значение величины х, в пористой грануле катализатора. Так, при заданных параметрах на зависимости £2,(х,) достигается максимум, если катализатор сосредоточить в пористой грануле в виде нормальной функции распределения с центром х, «0.5. При сравнении средних производительностей соответственно в переходном и стационарном режимах (зависимость С2(х,) на рис.1) первый существенно более эффективен при сосредоточении каталитических центров вблизи наружной области гранулы. Из зависимости 0(5,), представленной на рис. 2, видно, что при больших интенсивностях массообмена (5, >15) между внешней реакционной смесью и пористой гранулой катализатора с неоднородным распределением активных центров по глубине переходный режим становится существенно менее эффективен по сравнению со стационарным. Также следует отметить наличие нескольких максимумов и минимумов на зависимости 0,(Р) на рис. 4. Из анализа зависимости £}, (Р) можно заключить, что пористая гранула катализатора с неоднородным профилем активности становится менее эффективной для реакции с достаточно большим тепловыделением (р > 0.2 ). Из анализа зависимости О(р) на рис. 4 также можно заключить, что переходный режим осуществления реакции при малых параметрах р более эффективен в случае неоднородного нормального распределения активных центров по глубине пористой гранулы по сравнению со стационарным режимом. Зависимость 0(\)/) на рис.6 показывает, что увеличение характерного времени диффузии относительно характерного времени теплопроводности в пористой грануле катализатора с неоднородным профилем активности ведет к повышению эффективности протекания реакции вида (1) в переходном режиме по сравнению со стационарным. Что же касается зависимости О,(у), то она характеризуется наличием максимума на кривой (рис. 6).
0.95:
0.9.......... ...............—---------------------
0 20 40 60 Вт
0.92.• ■
I
0.9.................................-........-............
О 5 10 15 В 20
1
Рис. 2
Рис. 3
0.4------------------------- -.......................- -............. ■
О 0.1 0.2 0.3 р 0.4
‘ 0.8 10 0
Рис. 5
10
1.15
Рис. 7 Литература
1. Aris R. The Mathematical Theory of Diffusion and Reaction in Permeable Catalysts. Oxford: Clarendon Press, 1975. V.l. 443 p.
2. Satterfield C.N., Sherwood Т.К. The Role of Diffusion in Catalysts. London: Addison-Westley, 1963.
АНДРЕЕВ ВСЕВОЛОД ВЛАДИМИРОВИЧ родился в 1964 г. Окончил Чувашский государственный университет. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры управления и информатики в технических системах Чувашского университета. Автор более 140 работ, включая учебные пособия и монографию, в области математического моделирования физико-химических процессов и оптимального управления ими._____________________________________
УДК 53:630.11
В.В. АНДРЕЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В социальной и экономической сфере большое значение имеет построение математических моделей, с помощью которых можно адекватно описать многообразие процессов, протекающих в них. Важность таких моделей заключается в возможности прогнозирования на их основе конечных результатов эволюции тех или иных социально-экономических событий. Следует отметить, что прогнозирование является ключевым элементом при принятии тех или иных решений. Эффективность любого принятого решения зависит от той последовательности событий, являющейся следствием данного решения. Возможность предсказать нежелательные и неуправляемые аспекты этих событий до принятия решения позволяет сделать наиболее оптимальный выбор.
Эволюция процессов в обществе и экономике есть результат взаимодействия между так называемыми «хищниками» и «жертвами». Например, более мощные фирмы поглощают те, которые слабее; чем влиятельнее политическое объединение, тем сильнее оно влияет на жизнь общества. Поэтому модели типа «хищник-жертва» [1] актуальны при описании социально-экономических процессов и явлений. В данной работе построены модель гонки вооружений и шестиэлементная модель «хищник-жертва», а также исследованы их основные свойства.
1. Модель гонки вооружений
Рассмотрим возникновение и развитие конфликтной ситуации между двумя системами. В этой роли могут выступать, например, две страны. Обозначим через *,(/) и х2(/) уровень расходов в момент времени г на вооружение в каждой из этих стран соответственно. Пусть уровни экономического развития этих стран в момент времени I соответственно равны х3(1) и х4(0. Уровни общенациональной цели (или объединяющей идеи) в этих странах в момент времени / пусть составляют х5(0 и х6(/) соответственно. Здесь все величины, относящиеся к первой из рассматриваемых стран, например, назовем ее А , имеют нечетные индексы. Другие же вели-
