Анализ неопределенности параметров модели разложения органического вещества: байесовский подход Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Самарского научного центраРоссийской академии наук. Т 11, № 1(7), 2009

УДК 004.9:631.4

АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ РАЗЛОЖЕНИЯ ОРГАНИЧЕСКОГО ВЕЩЕСТВА: БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД

© 2009 М.Г. Безрукова1, С.С. Быховец1, П.Я. Грабарник1,

А.А. Ларионова1, М.А. Надпорожская2

'Институт физико-химических и биологических проблем почвоведения РАН, Московская область, г. Пущино, e-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

2Биологический НИИ Санкт-Петербургского государственного университета, г. Петродворец.

Параметры модели разложения органического вещества ROMUL [1, 5] оцениваются по данным экспериментов по потере массы порций различного опада [2]. Такие эксперименты трудоемки, полученные данные характеризуются значительной вариабельностью, и, следовательно, параметризация модели связана со значительной нео-пределенностью. В данной работе использован подход, основанный на байесовских методах, который позволяет количественно описать неопределенность параметров в терминах апостериорных плотностей.

Ключевые слова: априорное и апостериорное распределения, байесовское оценивание, динамика органического вещества почв, оценка параметров модели, скорости разложения опада.

Наличие громадных запасов органического углерода в виде гумуса почв свидетельствует о том, что почву следует рассматривать как мощный сток углерода. Учитывая возраст гумуса почвы, дискуссионным остается вопрос о размерах гумусонакопления в историческом масштабе. Для того чтобы установить, является ли интенсивное накопление углерода результатом прошлых эпох или процесс аккумулирования углерода продолжается в настоящее время, необходимо сочетание экспериментальных наблюдений с моделированием этого процесса на разных от -резках времени, используя динамические модели углеродного цикла в экосистемах

Разложение органического вещества в почве - это сложный многоступенчатый процесс. В то же время почва является важной составной частью лесной экосистемы и необходимо иметь количественные оценки основных потоков (например, эмиссии углекислого газа в атмосферу). Предложено большое количество моделей [1, 7], с той или иной степенью детальности описывающих процессы, происходящие в почве. При этом для каждой конкретной модели возникает задача определения параметров модели по экспериментальным данным.

Традиционный подход при решении такого рода задач состоит в применении метода (взвешенных) наименьших квадратов или максимального правдоподобия (если имеются основания выбрать соответствующую модель данных). Однако применение этих методов накладывает некоторые ограничения на класс моделей, для которых использование этих методов корректно. Кро-

ме того, информация о точности (или надежности) оценок и адекватности модели данным может быть недостаточна, чтобы использовать откалиброванные параметры для целей прогноза поведения модели за пределами условий эксперимента.

В последнее время для решения задач идентификации параметров, калибрации и сравнения моделей используется байесовский подход, привлекательная сторона которого состоит в том, что он дает общий методологический подход, в рамках которого наиболее естественно решает -ся проблема анализа неопределенности, связанной с неполнотой данных, сложностью модели и неустранимой вариабельностью параметров. Хотя байесовские методы были предложены достаточно давно, их применение сдерживалось трудностями вычислительного характера: в отличие от классических статистических процедур, аналитические решения для байесовской модели данных были известны только для небольшого ряда случаев. Однако развитие методов статистического моделирования и, в частности, использование метода Монте-Карло, основанного на применении марковских цепей (MCMC-моделирование), совпавшее с развитием средств вычислительной техники и программного обеспечения, сделало возможным применение этих методов во многих областях, в том числе в экологическом моделировании [8, 9, 10, 11].

В данной работе мы описываем опыт применения байесовских методов для оценивания параметров почвенной модели ROMUL по экспериментальным кривым разложения органическо-

1424

Анализ неопределенности параметров модели разложения органического вещества

го вещества и сравниваем с результатами, полученными ранее методом максимального правдоподобия.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Экспериментальные данные. Общая схема опытов приводится в работе [3], непосредственно используемые нами данные - в работе [2]. Компостирование образцов проводили в контролируемых условиях (в темноте, при 20°С и оптимальной влажности, т.е. 60% от полной влагоемкости (ПВ) для минеральных компостов и около 300 весовых процентов для большинства растительных компостов. Учет потери массы компостов производили непосредственным взвешиванием воздушно-сухих образцов после 0,5; 1; 3; 6; 9 и 12 месяцев компостирования.

Модель ROMUL. При построении модели необходимо учитывать как сложность описываемых процессов, так и качество экспериментальных данных, по которым идентифицируются параметры модели. Конечный результат, как пра-

вило, представляет собой разумный компромисс между степенью детализацией модели и имеющимися данными. В качестве примера применения байесовских методов мы используем модель динамики органического вещества в почве ROMUL [1, 5]. Органическое вещество почвы в модели представлено тремя пулами: опад (L), подстилка (F) и органическое вещество минераль-ных горизонтов. Помимо цикла углерода в модели присутствует цикл азота. На каждом шаге, если предусмотрено сценарием, поступает свежий опад (L0). Далее, часть органического вещества в каждом пуле разлагается и переходит в следующий, часть минерализуется и выводится из системы. Количественные характеристики (скорости разложения и перехода) определяются системой дифференциальных уравнений, вид которых и подробное описание можно найти в [1, 5]. Так как имеющиеся данные соответствуют только первой стадии разложения, то мы имеем дело с частью модели, представленной в виде схемы (рис.1).

Рис. 1. Схема разложения органического вещества, соответствующая эксперименту

Дифференциальные уравнения, описывающие эту стадию разложения, зависят от трех параметров - k1, k2, k3, которые оцениваются по экспериментальным данным,

dL

dt

dF

dt

L0 (k1 ^ k3) ' L

k3 ■ L - k2 ■ F

(1)

Байесовское оценивание. В байесовском подходе параметры, которые нужно оценить по

экспериментальным данным, трактуются как случайные величины. Подобное допущение может не соответствовать экспериментальной ситуации, но оказывается весьма удобным приемом. Это позволяет рассматривать неопределенность, связанную с оценкой параметров, в терминах вероятностных распределений. Кроме того, априорное распределение параметров p(k) может быть выбрано на основе литературных данных или проведенных ранее экспериментов, что способно улучшить качество оценивания в условиях недостатка эксперименталь-

1425

Известия Самарского научного центраРоссийской академии наук. Т 11, № 1(7), 2009

ного материала. Критическое отношение к байесовским методам основано прежде всего на том, что выбор априорного распределения зачастую субъективен. Однако, использование неинформативного равномерного распределения снимает остроту проблемы. Опишем коротко этот метод. Обозначим выборочные данные через D. Теорема Байеса связывает априорное распределение p(k) с апостериорным p(k | D) через функцию правдоподобия p (D | k)

P(k | D)

p(D 1 к) • p(k), P( D)

где p(D) - плотность вероятности, не зависящая от параметров, и которая обычно не участвует в вычислениях. Идея метода оценивания заключается в том, чтобы найти наиболее вероятные значения параметров к = (к,, к2, к3) на основе наблюдавшихся в опыте величин D = (dl,d2,...dn). Другими словами, ищутся те значения параметров, при которых условная вероятность p(к | D) достигает максимального значения. К сожалению, вычислить апостериорное распределение в явном виде, как правило, невозможно из-за того, что p(D) - обычно сложно устроенная функция. Поэтому для нахождения апостериорной вероятности используется метод статистического моделирования, позволяющий получать выборки из распределения, известного с точностью до нормирующего множителя. В данной работе мы использовали алгоритм Метропо-лиса-Хастингса со случайным блужданием [6]. Идея этого алгоритма заключается в том, чтобы выбирать точки («блуждать») в наиболее вероятном подпространстве пространства параметров. Процедура оценивания на основе этого алгоритма состоит из следующих шагов. Прежде всего для каждого параметра экспертно определяется априорное распределение, и в отсутствии дополнительной информации предполагается, что параметры независимы. Следовательно, мы можем положить p(к) = p,(^) • p2(к2) • pP^).

Далее произвольно выбирается начальная точка к(0) = (к1(0), к20), к3(0)). Кандидат на следующую точку к * = (к,*, к *, к3) выбирается из распределения, описывающего случайное блуждание. Вычисляется отношение апостериорных вероятностей

„ _ p (к * | D ) _ p (D | к *) • p (к *) p (к | D) p (D | к) • p (к)

Если f3> 1 или , Р >у где у - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1), то точка принимается, т.е. к(1) = к *, в противном случае отвергается. После этого алгоритм возвращается к выбору нового кандидата. Получивша-

яся таким образом последовательность точек (к(0), к(1),..., к(N)) после отбрасывания части первоначальных точек, соответствующей переходной фазе, определяет (выборочные) совместное p(к | D) маргинальные распределенияp(к1 | D), которые могут дать представление о степени неопределенности параметров модели, после того, как был проведен эксперимент.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Результаты оценивания параметров модели мы рассмотрим на примере данных по разложению листьев осины. Условия эксперимента и предварительный анализ позволяют сделать предположение, что данные могут быть описаны гауссовским (нормальным) распределением, где среднее соответствует кривой убывания массы органического вещества т(к), определяемой дифференциальными уравнениями (1), а дисперсия оценивалась по экспериментальным данным [2]. В качестве априорных распределений выбиралось равномерное распределение.

На рис. 2 и рис. 3 представлены совместные двумерные распределения и маргинальные распределения, соответственно, полученные после 5000 «успешных» шагов алгоритма. Выборочные распределения с достаточной полнотой описывают степень неопределенности параметров модели. В частности, на двумерных гистограммах хорошо видно, что апостериорное распределение не симметрично, параметры к, и к3; к2 и к3 существенно скоррелированы. Сведения о высокой корреляции между параметрами полезны, так как могут служить основанием для редуцирования модели. Маргинальные распределения наиболее простой и наглядный способ представления результатов оценивания с помощью байесовского метода, когда параметрический вектор имеет высокую размерность. Форма распределения и сравнение с априорным распределением показывают какой из параметров требует специального внимания и, возможно, изменения модели или получения дополнительной информации.

Заметим, что оценки, полученные двумя способами, методом максимального правдоподобия и байесовским методом, близки. Это естественное следствие гауссовской модели ошибок и равномерного априорного распределения. На рис. 4 представлены кривые, «подогнанные» к данным двумя конкурирующими методами.

В таблице приведены результаты расчетов, сделанные для опытов по потере массы опадов различных типов. Результаты демонстрируют близкое соответствие подходов, максимального правдоподобия и байесовского оценивания.

1426

Анализ неопределенности параметров модели разложения органического вещества

Рис. 2. Выборочные совместные распределения для параметров модели

Рис. 3. Выборочные маргинальные распределения для параметров модели: символ () соответствует оценке максимального правдоподобия; и символ (°) - среднему маргинального распределения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В практическом применении метод максимального правдоподобия (или метод наименьших квадратов) может быть предпочтительнее, если цель состоит в том, чтобы найти оценки параметров и подогнать модель к данным. Это преимущество связано, главным образом, с выигрышем в вычислениях, так как байесовский метод сопряжен с большой вычислительной работой. Метод максимального правдоподобия хорошо работает в случае, когда оценки модельных параметров имеют небольшую неопределен-ность. Однако в случае высокой неопределенности данных (небольшое число или высокая вариабельность) и, как следствие, плохой идентификации параметров преимущество, состоящее в оценивании распределения параметров и использовании априорной информации, делают байесов-

ский подход более привлекательным. Поскольку модели экологических систем часто оказываются многопараметрическими в то время как данные, необходимые для идентификации параметров ограничены, использование байесовских ста -тистических процедур имеет большое значение.

Апостериорное распределение было оценено с помощью генерации выборок, основанной на методе Метрополиса-Хастингса, который разработан, чтобы получать выборки из распределений с неизвестной нормирующей константой. Преимущество байесовского метода состоит в том, что он позволяет описать неопределенность параметров в форме вероятностного распределения и байесовских достоверных областей. Кроме того, маргинальные распределения являются достаточно информативным способом описания свойств параметров модели в многопараметрическом случае.

1427

Известия Самарского научного центраРоссийской академии наук. Т 11, № 1(7), 2009

• Эксперимент

- ■ Максимальное

правдоподбие

— Байесовское

оценивание

t, дни

Рис. 4. Данные эксперимента по потере массы органического вещества и сглаженные кривые, рассчитанные методом максимального правдоподобия и байесовским методом

Таблица 1. Оценки параметров модели (1) методом максимального правдоподобия (МП) и байесовским методом, полученные поданным экспериментов с опадом разного типа

Опад МП ki Маргинал ьное среднее ki Байес k\ МП k2 Маргина льное среднее k2 Байес k 2 МП k3 Маргина льное среднее k3 Байес k3

Папоротник Страусник (Matteuccia struthiopteris) 0.02370 (0.00472) 0.03848 (0.016647) 0.02396 0.00121 (0.00017) 0.00122 (0.0002) 0.00117 0.0567 (0.0163) 0.10033 (0.05043) 0.05377

Папоротник Голокучник Линнея (Gimnocarpium dryopteris) 0.02210 (0.00322) 0.23117 (0.094631) 0.02073 0.00093 (0.00014) 0.00114 (0.00014) 0.00086 0.0487 (0.0105) 0.64245 (0.25935) 0.04417

Ольха серая (Alnus incana) (листья) 0.01100 (0.00166) 0.008686 (0.000839) 0.00993 0.00112 (0.00027) 0.00066 (0.00032) 0.00071 0.0214 (0.00689) 0.01216 (0.00313) 0.01525

Рябина (Sorbus aucuparia) (листья) 0.02180 (0.00147) 0.018342 (0.00109) 0.01766 0.00172 (0.00023) 0.00131 (0.00027) 0.00146 0.0213 (0.0032) 0.01461 (0.00226) 0.01501

Осина (Populus tremula) (листья) 0.01340 (0.00137) 0.012914 (0.001933) 0.01201 0.00124 (0.00032) 0.00103 (0.00037) 0.00107 0.0164 (0.00414) 0.01465 (0.0049) 0.01353

Сосна (Pinus sylvestris) (хвоя) 0.00815 (0.00045) 0.008544 (0.000645) 0.00815 0.00021 (0.0007) 0.00067 (0.0004) 0.00021 0.0042 (0.00141) 0.00556 (0.00139) 0.00416

Крапива (Urtica dioica) (листья) 0.07360 (0.00748) 0.59593 (0.230423) 0.07363 0.0013 (0.00011) 0.00139 (0.00013) 0.00130 0.0746 (0.00954) 0.65121 (0.25071) 0.07456

Крапива (Urtica dioica) (стебли) 0.04540 (0.00339) 0.047649 (0.005646) 0.04356 0.0021 (0.00019) 0.00218 (0.00016) 0.00210 0.0416 (0.00511) 0.04497 (0.00746) 0.03925

Липа (Tilia cordata) (листья) 0.03050 (0.00422) 0.031271 (0.007526) 0.02578 0.00169 (0.00017) 0.00156 (0.00021) 0.00164 0.0542 (0.0111) 0.05324 (0.01817) 0.04324

Мать-и-мачеха (Tussilago farfara) 0.03840 (0.00405) 0.0404 (0.007278) 0.03866 0.00124 (0.00016) 0.00121 (0.00019) 0.00118 0.0489 (0.00764) 0.05144 (0.01274) 0.04776

Хвощ полевой (Equisetum arvense) 0.06620 (0.00708) 0.067103 (0.009657) 0.06036 0.00104 (0.00018) 0.00099 (0.00018) 0.00096 0.0518 (0.0078) 0.0516 (0.00964) 0.04466

Зверобой (Hypericum perforatum) 0.01490 (0.00192) 0.013658 (0.00138) 0.01391 0.0011 (0.00053) 0.00067 (0.00033) 0.00109 0.0138 (0.00475) 0.0104 (0.00246) 0.01210

Ромашка аптечная (Matricaria recutita) 0.06030 (0.00648) 0.053392 (0.005432) 0.05969 0.00237 (0.00033) 0.00195 (0.0002) 0.00198 0.0409 (0.00726) 0.03127 (0.00504) 0.03712

Тимофеевка (Phleum pratense) 0.04250 (0.00276) 0.039458 (0.003191) 0.04180 0.00236 (0.0003) 0.00205 (0.00021) 0.00226 0.0261 (0.00354) 0.02169 (0.00304) 0.02492

1428

Анализ неопределенности параметров модели разложения органического вещества

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моделирование динамики органического вещества в лесных экосистемах / (отв.ред. В.Н. Ку-деяров). М.: Наука. 2007. 380 с.

2. Надпорожская М.А., Чертов О.Г. Экспериментальная база для построения модели РО-МУЛ: лабораторные эксперименты по определению скорости разложения растительных опа-дов, торфа и гумуса // Моделирование динамики органического вещества в лесных экосистемах. М.: Наука, 2007. С. 70-82.

3. Чертов О.Г., Чуков С.Н., Надпорожская М.Н., О методике изучения функциональнодинамических характеристик трансформации органического вещества почв // Вестник СПб. ун-та. 1994. сер. 3, вып. 3 (№ 17). С. 106-110.

4. Bykhovets, S., Larionova, A., Nadporozhskaya, M., Chertov O. Evaluation of decomposition rates ofplant debris for soil dynamic models using special laboratory experiments // The 5th European Conference on Ecological Modelling - ECEM 2005. Proce. Pushchino, Russia, 2005. P. 33-34.

5. Chertov O.G., Komarov A.S., Nadporozhskaya

M.A., Bykhovets S.S., Zudin S.L. ROMUL - a model of forest soil organic matter dynamics as a

substantial tool for forest ecosystem modeling // Ecological Modelling. 2001. 138. P. 289-308.

6. Gilks, W.R., Richardson, S., Spiegelhlter, D.J. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman and Hall, London: 1996.

7. Smith, P., Smith, J. U., Powlson, D.S. et al. A comparison of the performance of nine soil organic matter models using datasets from seven long-term experiments // Geoderma. 1997. V 81. P. 153-225.

8. Svensson, M.; Jans son, P.E.; Gustafsson, D. et al. Bayesian calibration of a model describing carbon, water and heat fluxes for a Swedish boreal forest stand // Ecological Modelling. 2008. V. 213. P. 331-344.

9. Tang S., Heron E.A. Bayesian inference for a stochastic logistic model with switching points // Ecological Modelling. 2008. V 219. P. 153-169.

10. Van Oijen M, Rougier J, Smith R. Bayesian calibration ofprocess-based forest models: bridging the gap between models and data // Tree Physiol. -2005. V 25. P. 915-927.

11. Xenakis G., Ray D., Mencuccini M. Sensitivity and uncertainty analysis from a coupled 3-PG and soil organic matter decomposition model // Ecological Modelling 2008. V. 219. P. 1-16.

ANALYSIS OF UNCERTAINTY OF PARAMETERS OF A DECOMPOSITION ORGANIC MATTER MODEL: BAYESIAN APPROACH

© 2009 M.G. Bezrukova1, S.S. Bykhovets1, P.Y. Grabarnik1,

A.A. Larionova1, M.A. Nadporozhskaya2

1Institute of Physicochemical and Biological Problems in Soil Science of RAS, Moscow Region, Pushchini, e-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] 2Biological Institute of St. Petersburg University, St. Petersburg.

Parameters of model of soil organic matter decomposition ROMUL is estimated by means of experiments on a loss of litters of various types. Such experiments are labor-consuming and data obtained are characterized as high variable, and, therefore, model parameterization is concerned with great uncertainty. In the paper we use an approach based on Bayesian estimation which allows to quantify the uncertainty of the parameters in terms of a posterior distribution.

Key words: Aprioristic and апостериорное distributions, bayesian inference, dynamics of organic substance of soils, estimation ofparameters of model, speeds of decomposition organic matter.

1429