Анализ многомерных динамических систем с использованием функций Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование и информатика

УДК 681.3.06.

Е.А. Реш

АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ХААРА

Рассмотренный метод анализа многомерных динамических систем с использованием функций Хаара имеет инженерную направленность и ориентирован на применение ЭВМ. Функция Хаара хорошо реализуется на современных ЭВМ. Предложенный метод, по существу, является численным методом обращения интеграла Лапласа по системе функций Хаара.

На практике имеют место следующие многомерные динамические системы:

1) следящая система копировально-фрезерного станка;

2) автоматическое управление роботом;

3) управление летательным аппаратом;

4) ориентация и стабилизация космического аппарата;

5) автоматическое управление в атомной, химической промышленности и др.

В общем случае процессы в линейных многомерных системах описываются системой дифференциальных уравнений следующего вида:

£>1171 +... + В1П2П = N11 у +... + М1тут + £11/1 +... + Qlqfq,

£2171 + ... + £2„гп = N21 у + ... + N2тУт + £21/1 + - + >

Ип1 +... + Отгп - Ип1 у +... + Мптут + ^ /] +... + впд/д, (1)

где Д., N. Qij - линейные дифференциальные операторы.

Преобразуя по Лаплассу обе части системы уравнений (1), запишем её в матричной форме:

V (Р) 2 (Р)- ^ (р) У (Р)+ Q (Р) Р (Р), (2)

где Б(Р)-||ду|| , N(Р)-||ж.|| ; Q(Р)-|Ш\ , г(Р)-[гі,г2...^] - матрица регулируемых

II ■'И пхп II ■) 11 пхт II ‘'И пхд

величин; у ( р)- [уі ,у 2 ,...,ут ] - матрица управляющих воздействий; Р (р)-[/1 ,/2 —Л ] - матрица внешних возмущений.

Рассмотрим анализ многомерной динамической системы и определим матрицу некоторой регулируемой величины в виде спектральной характеристики по функциям Хаара:

_ I _ _

2 -£ СС , (3)

і-0

где Сі -[с1і,с2і,...,екі] - матрица ортогональных спектральных характеристик;

С - [Со(), ),...,Ск ()] - матрица системы функций Хаара.

Предположим, что элементы матрицы регулируемых величин удовлетворяют условию

J zil2 d(t )dt■

< ¥ ,

0

где 8 (/) - неотрицательная функция веса ортонормированной системы функций Хаара.

Для определения ортогональной спектральной характеристики представим функцию еР в виде ряда Фурье-Хаара:

e-pt = £ Фг (p)cr (t), Фг (p) = Je-pt S(t)zr (t)dt. (4)

r=0 0

Уравнения (4) справедливы для любого p, удовлетворяющего условию Rep > 0.

¥

Тогда, учитывая зависимости (1) и (5), получим

¥ г

Zq (Р) = | 6 "Р‘ Zq (Щ^ = Е Фг (P), (5)

0 7=°

где г(р) - изображение по Лаплассу элемента матрицы регулируемой величины г(().

Используя систему дифференциальных уравнений в области интегрального преобразования Лапласса (2) и правило Крамера, определим матрицу искомой регулируемой величины многомерной системы в комплексной области

- I I Ь„У„

Z =[^2,...^,..,^ ], Z q =,

где Уа- изображение по Лаплассу управляющего воздействия.

Элементы матрицы моментов регулируемой величины т определяются по элементам матрицы

= Z q (Р) р=0,1,2,..., , т/ = [^1/^2/’...’^ /’-’У = 1,2,...,п. (6)

Подставив (6) в (5), для каждого элемента матрицы и получим матрицу с ортогональной системной характеристикой Сг, по которой, использовав равенство (3), окончательно получим матрицу искомой регулируемой величины.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Реш Е.А. Применение функции Хаара для исследования динамических систем // Сб. науч. тр. научноисследовательского института приборостроения. Самара: СГАУ, 1999. Вып. 5. 13-15 с.

2. ДиткинВ.А., Прудников А.П. Операционные исчисления: М.: Высш. школа, 1966.

УДК 519.7 О.И.Гревцев

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ПРИ НЕЧЕТНОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассматривается метод классификации объектов, характеризующихся нечетко заданными признаками. Введение понятий нечетных множеств снимает проблему качественных описаний признаков объектов и эталонов представленных классов. Решение задачи классификации объектов сводится к нахождению наибольшего значения степени принадлежности объекта определенному классу.

В теории распознавания [1,2] отнесение объекта к определенному классу производится на основании оценок результатов сравнения количественных значений признаков, описывающих объекты и эталоны соответствующих классов. В случае качественного описания признаков проведение подобного сравнения представляет проблему по причине отсутствия количественных оценок признаков и может привести к неверным результатам. Предложенный в работе подход позволяет решить задачу классификации объектов при субъективном качественном оценивании признаков.

Пусть дано универсальное множество X объектов {х}. Каждый объект ху ,/=1, т описывается набором признаков { }, 1=1, п. Этот набор признаков один и тот же для всех объектов,

рассматриваемых в данной задаче.

В соответствии с накладываемыми ограничениями на объект х в множестве X определено подмножество допустимых решений Б с X. Множество Б разбито на конечное число подмножеств классов Lq, Б= и Lq, д=1, к.