Анализ математической модели нелинейной цепи с вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.622+519.868

АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

КАБАЛЯНЦ П.С.

Нелинейные математические модели электрических цепей, механики и экономики могут содержать системы дифференциальных уравнений с необратимой или неквадратной матрицей коэффициентов при производных. Доказывается теорема существования решения системы, в которой число переменных не превосходит числа уравнений. Приводится алгоритм численной проверки условий теоремы.

1. Математические модели электрических цепей с дифференциально-алгебраическими уравнениями

Рассмотрим математическую модель нелинейной электрической цепи, изображенной на рис. 1.

Рис. 1

Передающий четырехполюсник имеет три внутренних устройства — емкость и две индуктивности с известными нелинейными характеристиками. Неизвестные токи и напряжения обозначим

Ili , Il2 , Ic, VLl , Vl2 , VC . Пусть из четырех внешних величин входные ток и напряжение I_ (t), V_ (t) являются известными, а выходные ток и напряжение I+ (t), V+ (t) — неизвестными. Запишем уравнения цепи. Уравнения Кирхгофа имеют вид

Г= Il1, Il2 + Ic = Il1, V--Vl2 = Vl1, (1)

I+= Ic, V++ Vc - Vl2 = 0, (2)

а уравнения внутренних элементов dVC dILl

IC = ^dt~ + ^(VC); VLl = L^dt~ ^ ^)l(ILl)’

dIL2 (3)

VL2 “ L^dt_ + 92(IL2)-

Здесь C,Li,L2 — параметры линейных частей емкости и индуктивностей соответственно; фі, ф2, ф — заданные нелинейные функции. Переменные Vc,Ili ,Il2 являются энергетическими для цепи и через них однозначно выражаются остальные переменные: Ic,Vl1,Vl2 — равенствами (3), а V+ ,1+ получаются подстановкой выражений (3) в уравнения Кирхгофа (2). Для нахождения трех энергетических переменных остается три уравнения, являющиеся результатом подстановки выражений (3) в равенства (1):

52

0 = Г - Il1,

C^- = Il1 - Il2 -V(Vc),

dt

dlt

dlt

M, Чіт ,

Li + L2 ^ = V- -Фі (Il1 ) - Ф2 (Il2 ).

dt

dt

(4)

В начальный момент времени t = 0 переменные принимают заданные значения:

VC(0) - Ui0,ILl(0) - u20 , IL2 (0) - u30

Векторная форма системы (4) имеет вид

A**) = f(t,u) , dt

' 0 0 0 ^ f Vc 1

где A = C 0 0 , u(t) = ILl

,0 Li L2 J 4 Il2 у

f(t,u)

f

г - ILl

Il1 - Il2 -+(Vc)

[ V--9i(Il1)-92(Il2) )

(5)

(6)

Уравнение (5) с элементами (6) является полулинейным уравнением с вырожденной квадратной матрицей A перед вектором производных

— (det A = 0). Далее рассмотрим общее векторное

уравнение вида (5), где u есть вектор размерности n, значения f — векторы размерности m, а матрица A имеет размерность m х n. Начальное условие для вектор-функции u(t) имеет вид:

u(0) = u0, u0 = (ui0,u20,-,un0)tr . (7)

Перейдем к математической модели нелинейного передающего четырехполюсника, представленного на рис. 2.

0

А

V

0

і

і+

—0 А

лґ

0

Рис. 2

Предположим, по техническим причинам из четырех внешних величин неизвестным является только выходное напряжение V+ (t), а величины V_, 1_ ,1+ известны. Запишем уравнения цепи:

Г = Ic1, Ic1 = Ic2 + Il, V- - Vl = Vc1,

v+- Vl + Vc2 = 0, I+= Ic2 , dlt dVCl

VL = ^dt~ + ф(ІТ)’ * ICl = Cl dt +yi(VCl)’

dVC2

IC2 = C^d^ + V 2(VC2)-

(8)

(9)

Исключая из первых трех уравнений Кирхгофа (8) переменные Vl,Ici,Ic2 , с помощью выражений

РИ, 2003, № 2

(9) получаем четыре уравнения для трех энергетических переменных II , Vqj , VC2 :

C

dV,

^dCL = 1

C

dV,

Cl

C,

dt

dVc

- C

dV(

2'

C2

dt

= I

L + V2 (VC2 ) _Tl(VCi ) •

dt

■ = I+-V 2(Vc2),

(10)

dl

= V - Vc1 -9(Il)-

Систему (10) также можно записать в векторной

форме (5), где:

f Cl 0 0N

A Cl - C2 0

0 C2 0

V 0 0 L,

f(t,u) =

(v Л vCi

, u(t) = VC2

ч IL ,

T l (Vc ^ X

IL + Т 2(VC2) _^1(VCi) (11)

I+-V 2(Vc2) v -- Vc1 -9(Il) ,

Таким образом, математическая модель цепи (см. рис. 2) характеризуется избытком уравнений и описывается сингулярным векторным дифференциальным уравнением (5) с прямоугольной матрицей A размера m х n, где m > n (m = 4,n = 3 ).

2. Постановка и особенности задачи

В моделях цепей рис. 1, 2 уравнение (5) может не иметь решения u(t) при произвольном начальном состоянии Uq (7).

В работах [1, 2] приведены примеры электрических цепей, математические модели которых содержат уравнение вида

Au'(t) + Bu(t) = f(t,u) (12)

с вырожденной, вообще говоря, квадратной матрицей A. Уравнения (5) и (12) относятся к классу дифференциально-алгебраических (DAEs). Этот класс интенсивно изучается последнее время в связи с приложениями в теории управления, физике и других естественных науках. Разрешимость начальной задачи для уравнения (12) с вырожденным оператором A исследовалась в работах [1, 2] и других. В [3] указаны достаточные условия разрешимости задачи Коши для уравнения (5) в случае вырожденной квадратной матрицы A.

Цель данной статьи — получить признак разрешимости задачи Коши для общего векторного уравнения (5) и указать условия допустимости начальных состояний — векторов Uq (7) в случае необратимой квадратной или прямоугольной матрицы A.

3. Признак разрешимости

Выражения (4), (10) в моделях электрических цепей являются частным случаем следующей системы дифференциально-алгебраических уравнений (DAEs):

allul + al2u2 + ••• + alnun - fl(t,ul,...,un) a2lul + a22u2 + ••• + a2nu n = f2(t,ulv,un)

'....................................... (13)

amlu'l + am2u 2 + ••• + amnu n = fm(t,u lv,un)

Здесь постоянные коэффициенты aij — известные вещественные числа, неизвестные числовые функции u;(t) ищутся на некотором интервале 0 < t <т , а нелинейные функции fj (t, u l ••••,un) заданы на множестве [0,г]xQ , где q — область в евклидовом пространстве Rn n -мерных вектор-столбцов с вещественными компонентами.

Приведем условия существования решения u i(t),^^^,un (t) задачи Коши для системы DAEs (13) с начальными условиями

u l (0) = u i 0,U2(0) = U2Q, •••, Un(0) = UnQ , (14)

где uk (t) — функции, удовлетворяющие уравнениям (13) и дифференцируемые на нетривиальном интервале 0 < t <tq,0 <tq <т . Векторная форма задачи Коши (13), (14) имеет вид

aM^ = f(t,u) ; u(0) = UQ (15)

dt

с прямоугольной, вообще говоря, матрицей A размерности m х n . При m = n квадратная матрица-A может быть вырожденной (det A = 0). Значения вектор-функций u(t) и f (t, u) лежат в соответствующих евклидовых пространствах:

u(t) = (u i (t),•••,un(t))tr є Rn, f(t,u) = (fl(t,u),•••,fm(t,u))tr єRm .

Рассмотрим линейный оператор A : Rn ^ Rm, отвечающий матрице a в координатном базисе e i ••••,en пространства Rn и координатном базисе ei ••••,em пространства Rm, а также сопряженный линейный оператор A*: Rm ^ Rn, отвечающий матрице Afr. Обозначим аннулятор оператора A через KerA и аннулятор оператора A* — через KerA * :

KerA = {x єRn : Ax = 0}, KerA* = {y єRm : A*y = 0y

Пространства Rn,Rm допускают следующие разложения в ортогональные суммы подпространств:

Rn = ImA* ©KerA, Rm = ImA © KerA* , (16)

где ImA = A(Rn), ImA* = A*(Rm) — образы операторов A и A* соответственно. Введем ортопроекторы Nq,N i в Rn на подпространства KerA, ImA* и ортопроекторы Mq,Mi в Rm на подпространства KerA*, ImA:

N : Rn ^ ImA*, Nq :Rn ^ KerA,

M l: Rm ^ ImA, Mq : Rm ^ KerA*,

Nq + Ni = En,NQ2 = Nq,Mq + M i = Em,MQ2 = Mq • Здесь En, Em — тождественные операторы в про-

nm

странствах R ,R , отвечающие единичным мат-

РИ, 2003, № 2

53

рицам соответствующих размерностей. Проекционным операторам N0,Nj и M0,Mj в координатных базисах пространств Rn и Rm отвечают симметричные матрицы No,Nj и Mo,Mj размерностей (n х n ) и (m х m) соответственно, для которых мы сохраняем обозначения порождающих операторов. Матрицы No,Mo обладают свойствами

AN0 = 0, N0 = N0tr = N02, A*M0 = 0, M0 = M0tr = M02.

8f

Введем матрицу Якоби — размерности m х n :

ou

f af1 af1 ^

ащ . Sun

f . . f . (17)

l9u1 ' ' aun j

Следующая теорема содержит достаточные условия разрешимости задачи Коши (13), (14) в случае, когда число переменных в системе (13) не превышает числа уравнений.

Теорема. Пусть число переменных в системе (13) не превышает числа уравнений (m > n) и для задачи Коши (13), (14) с векторными обозначениями (15) выполнены условия:

1) функции fj(t,ui,...,un), j = 1,...,m непрерывно дифференцируемы для всех t є [0, т] и всех u из шара

in 2

Sr = {u = (ui,...,u„r :||u-u0| = JE|ui -u0i| ^r};

2) условие согласования начального вектора щ и правой части f (t, u) в (15): f (0, u0) є Im A — начальное значение вектор-функции f (t, u) содержится в образе оператора A;

3) в пространстве Rm линейная оболочка Y(A,f) = л.о.{Aei,f(t,u),i = 1,...,n; Vt є [0,т], Vu є Sr}

имеет размерность n;

4) ранг окаймления (срезки) матрицы Якоби (17) проекционными матрицами N0,M0 в точке (0,щ) совпадает с размерностью подпространства, аннулирующего оператор A:

rang

M0 (0,u0)N0

ou

rangN0 = dimKerA.

Тогда существует решение u(t) = (u1,...,un)(t) задачи (13), (14) на некотором нетривиальном интервале [ 0, Т0 ] со значениями в шаре Sr0 .

Доказательство. Введем ортопроекторы M01,M00 в Rm на подпространство Y(A,f) и ортогональное дополнение (Y(A,f))^:

M01: Rm ^ Y(A,f), M00 : Rm ^ (Y(A,f))^, 22

M01 = M01,M00 = M00,M00 + M01 = Em.

Из условия 3 теоремы получаем 54

54

M00f(t,u) = 0, Vt є [0, т], Vu є Sr.

Следовательно, уравнение (15) эквивалентно уравнению M01f (t, u) = 0, а значит, системе двух урав-

нений

о II "Ъ •+ О З О (18)

A1du1(t) = f1(t,u0 + u1), 1 dt (19)

где

A1 = M1AN1, ui(t) = Ni(t),i = 0,1,

f0 (t, u0 + u1) = (M0 - M00 )f (t, u), f1 (t, u0 + u1) = M1f (t, u).

Функция f0(t,u0 + u1) (18) удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции [4]. Действительно, непрерывная дифференцируемость функции f0(t,u0 + u1) следует из условия 1 теоремы. Равенство f0(0,u0 + u0) = 0, где u0 = Niu0, i = 0,1, вытекает

af0

из условия 2 теоремы. Якобиан —0 (как матрица

du°

размерности (n - k) х (n - k)) не равен нулю в точке (0,u0 + u0) согласно условию 4 теоремы. Применяя теорему о неявной функции к уравнению (18), находим функцию u0 = y(t,u1), удовлетворяющую ему. Она определена и имеет непрерывную производную 1 на некотором множестве от

Q = {t є [0, Т1], ||u - щЦ < гД , 0 < r1 < r, 0 < Т1 <т .

Рассмотрим уравнение (19). Интерпретируем оператор A1 как отображение из подпространства ImA* размерности k в подпространство ImA размерности k : A1 : ImA* ^ ImA . Тогда относительно соответствующих базисов в ImA* и ImA мы получим квадратную невырожденную матрицу A1 размерности k х k . Умножим уравнение (19) на матрицу Af1 слева:

^ = 9(t,u0,u1). (20)

dt

Здесь 9(t,u0,u1) = Aj"1f1(t,u0 + u1) . Подставим функцию u0 = y(t,u1) в уравнение (20) и получим

du1 1

— = Ф(t,u1) . (21)

dt

Здесь функция фДщ1) = 9(t, y(t,u1),u1) имеет в области Q непрерывную производную

5ф 5ф

au1 au1 au0 au1

Применяем теорему Пикара [4] к системе (21) с начальным условием u1(0) = N1u0 . Получаем непрерывно дифференцируемое решение u1(t) в

некоторой области

Q1 = {t є [0,^0] , |||u -u^| < Г0 }, 0 < Г0 < Г1,0 < ^0 < Т1.

РИ, 2003, № 2

Оно определяет непрерывно дифференцируемую функцию

u(t) = 9(t,u1(t)) + u1(t), 0 < t <т0. (22)

Вектор-функция (22) удовлетворяет задаче Коши (15) и, соответственно, компоненты Uk (t) являются решением задачи (13), (14). Теорема доказана.

Заметим, что в случае линейного уравнения из (15), когда правая часть f не зависит от u, задача (15) разрешима тогда и только тогда, когда при всех t є [0, х] значения функции f(t) лежат в образе оператора A:

f(t) єImA,t є[0,x] . (23)

Это условие, вообще говоря, является более сильным, чем соответствующее условие 3 теоремы. Из условий теоремы следует, что правая часть уравне -ния в (15) лежит в образе оператора A только при t = 0 . При t > 0 значения функции f (t,u) могут не принадлежать Im A.

4. Применение к электрическим цепям

В математической модели электрической цепи ( см. рис.1)

tr tr

u = (Vc,il1,il2) = (ui,u2,u3) ,m = n,

_ +r

f(t,u) = (I -u2,u2 -u3-y(u1),^-фД^)-92^3)) . Подпространство ImA является линейной оболочкой векторов (010)tr, (001)tr, подпространство KerA* — оболочкой вектора (100)tr, подпространство ImA* — оболочкой векторов

(100) ^,(0 L L2 )tr Vl2 + L22 VL1 + L22 ,

а подпространство KerA — оболочкой вектора

L2 L1 ОТ tt

Э . Далее,

(0,

л/l? + L22 ’ VLT^ L22

M0 =

(10 0 ) 0 0 0 v0 0 0y

N0=

0 0

L22 L1L2

L2 + L22 + Г4 1—1 1

L1L2 l2

+ Г4 1—1 1 L2 + L22

f, 4

Вычислим матрицу Якоби — (t,u)

ОТ

f

af

ОТ

(t,u) =

0

0 ^ -1

-1

-T'(u1) 1

v 0 -ФІ (u2) -9,2(u3),

Окаймление (срезка) матрицы Якоби проекционными матрицами M0,N0 имеет вид

( L22 L1L2 ^

M0 -^f(t,u)N0 = ш

l2 + l22 l2 + l22

00

0

0

и оказывается не зависящим от переменных t,u .

Следовательно, условия теоремы выполнены при следующих предположениях:

1. Функции I_ ,V_ 9 , фі и ф2 непрерывно дифференцируемы по t, Vc , Ili , Il2 при всех t є [0,х] и всех u из некоторой окрестности u0 ;

2. Il2(0) = I - (0) ;

3. L2 ^ 0 .

Заметим, что из условия L2 ^ 0 следует выполнение как условия 4, так и условия 3 теоремы.

В математической модели электрической цепи (см. рис.2)

tr tr

u = (VC,IL1,IL2) = (ui,u2,u3) ,m = n

,

_ tr

f(t,u) = (I -u2,u2 -u3-9(ui),^-q>i(u2)-92(u3)) .

Подпространство ImA является линейной оболочкой векторов

<0001),r-^r\• "°д"р°-

, J_1___L 0)ir

странство KerA* — вектора (^j> ^3, ^3,0) ,

аннулятор A тривиален — KerA = {0}, а подпространство образа A * совпадает со всем пространством

3

— ImA* = R . Соответственно,

f 1

3

M0 =

11

_ 1 3 1 3 1

л

33

N0 =

' 0 0 0 0N

0 0 0 0

,0 0 0 0,

df

Вычислим матрицу Якоби — (t,u):

от

ОТ

Срезка матрицы Якоби не зависит от переменных

cf

t,u и равна нулю: M0 — (t,u)N0 = 0 .

Следовательно, условие 4 теоремы выполнено. Остальные условия теоремы выполнены, если:

-9І 0 0 N

-9І 92 1

0 -92 0

-1 0 -ф',

3

1) функции I ,V 9 , фі и Ф2 непрерывно дифференцируемы по t, Vc , ILl и IL2 , соответственно, при всех t Є [0, Х] и и из некоторой окрестности u0 ;

2) _9l(VCi) _ IL _92(VC2) + Tl(VCi) + + 92(Vc2) = I+ (t) - I“ (t).

РИ, 2003, № 2

V

55

5. Алгоритм проверки разрешимости задачи (13), (14)

1) Вводим заданные значения матрицы коэффициентов системы A, нелинейной функции f (t,u) и начального вектора uq .

2) Решаем системы линейных уравнений

Ax = 0 и A'у = 0 . (24)

Векторы решений уравнений (24) образуют подпространства KerA и KerA* , соответственно. Если обе системы имеют лишь тривиальные решения x(t) = 0, y(t) = 0, то делаем вывод: начальная задача для данной системы уравнений имеет единственное решение. Иначе переходим к следующему шагу алгоритма.

3) Используем процедуру ортогонализации для нахождения ортонормированных базисов +j,...,cn в подпространстве KerA и dk+i,...,dm в подпространстве KerA *.

4) Проверяем условия гладкости 1 теоремы для функций, заданных аналитически, с помощью стандартных функций пакета символьных вычислений Maple 7.

5) Записываем проекторы Mq и Nq в виде:

Mq = (Q...Qdk+i...dm)tr, N0 = (Q...Qck+1-cn) .

6) Находим

fj(t,ui,...,Un) = (f(t,u),dj), j = k + 1,...m.

Проверяем условие 2 теоремы. Если (f(0,u0),dj) = 0, j = k + 1,...m, то переходим к 7. Иначе: достаточные условия теоремы не выполнены.

7) Решаем функциональное уравнение a1fk +1(t, u) +... + a m _ kfm(t,u) = 0 относительно чисел {ai}-lll'k c Rm при всех t є [0,т], u є Sr. Если это уравнение имеет m - n линейно независимых решений {a,r}m=Tk,j = 1,...,m - n, то переходим к 8. Иначе делаем вывод: достаточные условия существования решения не выполнены.

Sfj(t,Ub...,Un)

8) Вычисляем частные производные------—--------

в точке t = 0, U;(0) = u° = (u0,c;), i = 1,...,n и находим

Ж+і(0,~і°,-,~°)

3~k+i

rang

5fm(0,U1°,...,un) c~k+1

f+1(0,u° ,...,1^) "

C~n

(0,31]°, С~п

~un0)

7

Если этот ранг максимален (равен m - n), то делаем вывод: начальная задача для данной системы уравнений имеет решение. Иначе делаем вывод: достаточные условия существования решения не выполнены.

Программная реализация алгоритма проверки разрешимости выполнена в виде расширения библиотеки пакета Maple 7.

6. Заключение

Получены достаточные условия существования решения задачи (15) в случае, когда число уравнений может превосходить число переменных. В математических моделях электрических цепей из [ 1, 2] сингулярное вырождение также присутствует, однако число переменных совпадает с числом уравнений. Проанализированы математические модели двух нелинейных электрических цепей. В одной из этих моделей число уравнений совпадает с числом неизвестных, в другой — превосходит его.

При разработке численных методов решения дифференциально -алгебраических уравнений обычно a priori предполагается, что условия разрешимости задачи Коши выполнены (например, [5, 6]). В данной работе предложен алгоритм численной проверки условий существования решения, полученных в теореме.

Литература: 1. CampbellS.L. Singular systems of differential equations. San Francisco, London, Melbourne: Pitman Advanced Publishing program, 1980. V.II. 176p. 2. Favini A. and Rutkas A. Existence and uniqueness of solution of someabstract degenerate nonlinear equation // Differentional and Integral equations.1999. 12(3). P.373394. 3. Зубов H.B. Теорема существования и единственности для одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не приводимой к нормальному виду // Математическая теория управления техническими объектами. 1982. Вып. 12. C. 19—26. 4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир. 1970. 720с. 5. CampbellS.L., HollenbeckR Automatic differentiation and implicit differential equations // SIAM Comp. Differentiation:Techniques, Applications, and Tools, Philadelphia, 1996. P.215-227. 6. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф и др.. Численные методы решения сингулярных систем. Новосиб.: АН СССР, Сиб.Отд., Иркут. В.Ц., 1989. 223с.

Поступила в редколлегию 29.04.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.

Кабалянц Петр Степанович, старший преподаватель кафедры математического моделирования и обеспечения ЭВМ Харьковского национального университета им.В.Н.Каразина. Научные интересы: вырожденные дифференциальные уравнения, математическое моделирование и вычислительные методы. Увлечения: музыка, пение и сочинительство. Адрес: Украина, 61004, Харьков, ул. Окт. рев., 18, кв. 2-а, тел. 12-63-88.

56

РИ, 2003, № 2