Анализ корректности численного решения потенциально-потоковых уравнений в сосредоточенных параметрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.622.2

1Старостин И.Е., 1Халютина О.С.

гООО Экспериментальная мастерская «НаукаСофт», Москва, Россия

АНАЛИЗ КОРРЕКТНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫХ УРАВНЕНИЙ В СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ПАРАМЕТРАХ

Введение

В настоящее время для описания динамики протекания неравновесных процессов существуют два подхода [1]: макроскопический и микроскопический. Микроскопический подход основан на статистической физике и кинетической теории и базируется на кинетических уравнениях, например, кинетическом уравнении Паули, кинетическом уравнении Больцмана [1, 2]. Использование этого подхода подразумевает знание моделей молекул, на основе которых составляются эти уравнения [1 - 3]. В рамках макроскопического подхода [1, 2, 4, 5] состояние системы характеризуется макроскопическими переменными, связанными между собой уравнениями баланса, а причиной протекания неравновесных процессов являются термодинамические силы [2, 4, 5]. Для составления математической модели динамики протекания неравновесных процессов необходимо знать связь термодинамических сил со скоростями протекания неравновесных процессов (скоростями изменения независимых переменных состояния) [4]. В работе [б] на основе анализа кинетического уравнения Паули [2], было показано, что особенности протекания неравновесных процессов помимо термодинамических сил определяются еще и кинетическими свойствами системы, определяемыми вероятностями перехода [2], входящими в уравнение Паули. Т.к. макроскопические параметры системы, в том числе и энтропия, а значит и термодинамические силы [2, 4, 5] , определяются вероятностями состояния системы, то эти параметры не зависят от вероятностей перехода [2, б]. Таким образом, связь термодинамических сил со скоростями определяется кинетическими свойствами системы [б].

Для связи термодинамических сил со скоростями в работе [7] была введена матрица восприимчиво -стей (или кинетическая матрица [б]), характеризуемая кинетическими свойствами системы [б]. На основе этой матрицы был в [7] разработан в общем случае математического моделирования неравновесных процессов потенциально-потоковый метод, уравнения которого имеют вид [7]:

dx (t) dt

Ф (t)

dt

г}\^> I

A(x (t ),y (t ),U (t))X (x (t ),y (t),U (t)) + ~d^~ ,X (y,U) = “V rF (x,y (x, 11) ,U )| p= p( dy (x, P) dy (x, P)

9xj

3x„

dt

( dx(t) d(e) R ^

=m

p=p(x (t), y(t))

dt

dt

d(e) y dt

(1)

где x , y - координаты состояния системы, причем x - независимые координаты состояния, т. е не связанные уравнениями баланса, а y выражаются через x посредством уравнения баланса:

У = y ( x,P ) ; (2)

P - параметры баланса системы;

I; d{e)x(t) , d(e)У(t) -

dt dt

внешние составляющие скоростей изменения ко-

ординат состояния системы x и y соответственно; U - внешние условия, в которых находится рассматриваемая система; F(x,y,U) - свободная энергия системы; X (x,y,U) - термодинамические силы,

движущие неравновесные процессы внутри системы

a( x, y,U)

положительно определенная матрица

восприимчивостей системы к термодинамическим силам. В работах [8 - 10] на основе кинетической матрицы делается качественный анализ динамики протекания неравновесных процессов.

Но в систему уравнений (1) входят только параметры состояния системы, однако на практике удобно пользоваться величинами, не являющимися параметрами состояния системы, например, количеством

теплоты. С этой целью в [7] рассматривается замена термодинамических координат x величинами приращений Dx , не являющихся параметрами состояния системы. Это дает возможность записать потенциально-потоковые уравнения (1) в более практичном виде [7].

В работе [7] рассматривается декомпозиция системы на простые подсистемы, несопряженные между собой (системы отдельных протекающих процессов, несопряженных между собой). В этой работе показано, каким образом, зная из эксперимента матрицы восприимчивостей простых подсистем (имея известную из эксперимента базу данных матриц восприимчивостей простых подсистем (отдельных процессов), входящие в различные сложные системы), можно определить матрицу восприимчивостей сложной системы, а значит, записать потенциально-потоковые уравнения (1).

В работе [11] рассматривается пример идентификации из экспериментальных данных параметров потенциально-потоковой математической модели никель-кадмиевого аккумулятора. Система уравнений (1) может быть записана как для системы с сосредоточенными параметрами, так и для системы с распределенными параметрами [7] . В последнем случае сплошная среда представляется в виде совокупности элементов среды, для каждого из которых записывается система уравнений (1), а затем полученная система сводится к системе дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных [7].

Но следует отметить, что в любой реальной неравновесной системе особенности протекания неравновесных процессов определяют также и флуктуации [2, 5, 12] . В работе [5] отмечается, что вдали от равновесия возможны неустойчивые состояния, в которых любое отклонение от движения системы, вызванное внешними воздействиями, усиливается. Поэтому, в таких неустойчивых состояниях флуктуации определяют динамику системы, в то время как в устойчивых состояниях системы флуктуации «гасятся» устойчивостью динамики [5] . Таким образом, выполняя моделирование системы в нелинейной области, необходимо учитывать флуктуации [12]. Для учета флуктуаций в уравнение (1) надо добавить

случайные силы X^ (t,w) , где СО - элементарное событие, с которым связывается случайная сила

Xсл (t,W) ,

а также случайные составляющие

d(e)x d(e) У

Лсл x Лсл у

dt

внешних потоков

[12] :

^ = A(x(t),y(t),UM)(X(x(t),y(t),u(t)) + Хсл (t,w)). dt X ( ^ y,U ) = -V ( У y ( x P ) ,U )| p_ p( Ry) ,

dt

d(e) x dH x

d(e) x dt

d(e) у dt

соответственно

+

dt

(3)

Ф (t) .

dt

Эу (x, P) Эу (x, P)

3xj

3x„

(

dx (t) d(e) x d^x

'(e) V ^

dt

dt

dt

i(e) V Je) V

+ OXz + А у

J

dt

dt

*=rn

' p=P(r(0>y(0)

Уравнение (3), являясь обобщением уравнения (1), моделирует неравновесные процессы с учетом флуктуаций [12].

Выполняя моделирование системы с учетом флуктуаций, необходимо случайным образом задать функ-

d(e) x d(e) У

Лсл x Лсл y

ции времени

(e) ~ сл •

dt

(e) ■’‘'сл .

dt

, Xсл (t,w) , носящие во времени колебательный характер (т.к. флуктуации

носят характер случайных колебаний [2]), сведя систему уравнений (3) к системе (1) . Затем выполняется численное интегрирование системы (1) известными методами, описанными, например, в [13, 14] , которое, как известно, с уменьшением шага приближается к точному [13] . Но важным моментом остается анализ корректности приближенного решения [14] . Для этого необходимо учитывать специфику системы, описываемой интегрируемой системой уравнений [14], т.е. вышеописанную специфику неравновесных систем, которые в общем случае и описывают потенциально-потоковые уравнения (1) и (3).

Задачей, рассматриваемой в настоящей работе, является разработка методики анализа корректности приближенного численного решения системы потенциально-потоковых уравнений (1) и (3) . В настоящей работе мы рассматриваем только системы с сосредоточенными параметрами.

Анализ корректности численного решения

Выполняя анализ корректности приближенного решения системы потенциально-потоковых уравнений, необходимо, как уже отмечалось выше и во введении, учитывать специфику интегрируемой системы. В соответствие с этой спецификой неравновесные процессы движут термодинамические силы, как внутренние, так и внешние, вводимые в соответствие с [8 - 10]:

d (e)x

X(e)(x,y,U) = A-1 (x,y,U), (4)

а также случайные силы Хсл (t,w) , а восприимчивость этой системы, определяемая кинетическими свойствами этой системы, определяется коэффициентами матрицы восприимчивостей. Отсюда, отклонение приближенного решения x°(t) , у°(t) (численные методы дают лишь значения решений лишь в конечном числе моментов времени [13, 14], поэтому необходимо это приближенное решение интерполировать, например, в соответствие с методами, описанными в [15]) от точного x(t) , у(t) формально объясня-

ется формальной внешней силой Xф(t) ,

аналогичной

Х сл (t,W) , а также формальными составляющими

d\^x d$y _ ™сл

—ф__. ф у внешних скоростей

d(e) x d(e) У

(Лсл x (Лсл у

dt

dt

dt

dt

^ = A(V(t),у (t),U(t))(X(x (t),у (t),U(t)) + X4>(t)) + ^

соответственно. Отсюда, аналогично (3) имеем:

(e) v XXx

X (у y,U)=-V pp (x, y (у p ),U )| p=p( r r) ,

(5)

dy° (t).

dt

Эу (x, P) Эу (x, P)

1

3x1

3x„

J

i= x° (t)

P= P( r (t), r (t))

dx° (t) d(e)V dtfx

dt

dt

dt

+лХр+Xx

dt

dt

Уравнение (5) аналогично уравнению (3). Отсюда напрашивается вывод: приближенное решение х° (t)

, у ° (t)

является корректным тогда и только тогда, если величины

XФ (t),

4e)x d£X

(e) У

имеют во вре-

dt dt

мени колебательный характер, а их значения соизмеримы со значениями соответствующих флуктуаций

v d^e) x d^e) У v dX x dX у

X„n (t,w) , — . Ведь в этом случае величины Xф (t) , —— ——

у ' dt м ф

dt

dt

dt

можно отождествить с со-

оствующими флуктуациями X л (t, w) ,

d( )x d( )у

Но, однако, в соответствие с уравнением (5)

dt dt

невозможно проанализировать корректность решения системы (1) (к которому мы вышеописанным образом

v dXx dXу

свели систему (3)), т.к. эта система (5) относительно X ф (t) , —--—, ——— не имеет единственного

решения. Поэтому, необходимо ввести величины, по которым можно анализировать корректность приближенного решения.

Для качественного анализа динамики протекания неравновесных процессов в работах [8 - 10] вводились в соответствие с (4) внешние силы, а также в [10] в соответствие с (2) от переменных у

переходили к переменным P . Разрешив (2) относительно P , имеем:

P = P(x,y) . (6)

Отсюда согласно (6) и (2) имеем:

dP =

dP (X, у) dP (X, у)

dx1 dxm

dx +

У( xp)

dP ( x, у ) dP ( x, у )

V

dyi

dy

dy , (7)

'y J

а отсюда согласно (6) и (7) имеем:

(srIr r\ SrIr r\ ^ (

dy (X, P) dy (X, P)

dx1

dx„

dP (X, у) dP (X, у)

dyi

jp=p( r, у)

Согласно (7) имеем:

dP (t) ( dP (X, у) dP (X, у)

dt ( dX1 dXm lx=X(t) dt

у=у(н.тр)

согласно (2), (3), (8) имеем:

dX (t)

dymy y

dP (X, у) dy1

у=у(У,Р)

dP (X, у) dP (X, у)

dX1

dx„

dP (X, y)

Ъуту

Xrr=Xrr(tr) r

y=x( R(t ),P(t))

(8)

dy (t) dt

(9)

( dP ( X, y) dP (X, y) ^

У1

^m

=X(>)

X= x( X(t), Щ

dy (t) d(e) у d^y

dt

dt

dt

+

dP ( X, у ) dP ( X, у )

dx1

dx„

( dX (t) d(e)X d^X

(10)

X=X(t) I dt

a=y( X(t),p(t))

отсюда, согласно (9), (10) имеем:

dt

dt

= 0,

dP (t) ( dP (X, у) dP (X, у)

dt

dx:

dXm

d (e) X + 4Л X

(t) I dt dt

y=утр))

dP (X, у)

dl1

dP (X, у)

dym„

;=X (t )

X=у (X (t ),Р^))

ddl + dei 1 (11)

dt dt

Введя случайную составляющую

( dP (X, у) dP (X,y) 1

-л P dt

скорости изменения параметров баланса P в соответствие с:

dt

V

dX1

dX,

d{f)x I dp (X,y)

m J

(t) dt

X=y( X(t ),P(t))

dP ( X, у )

получим согласно (11), (12):

dP (t) ( dP (X, у) dP (X, y) 1

dt V dX1 dXm JX=X(')

d (e)X dt

=y( X(t ).P(<)}

V dy1 dymy JX=X (t) x x=y( X (t ),P(t))

dP ( X, у) dP (x, y)1 dt^y

i(e) x

-сл у dt

, (12)

у

dym

-+-

. (13)

X=x(0

у=X( xWp/))

dt dt

Используя выражение (4) для внешних сил и введя аналогично (4) сумму внутренних и внешних случайных сил в соответствие с:

d (е) X

X; (t,w) = Xсл (t,W) + A-1 (X ,у ,U)-d^X , (14)

получим согласно (2) - (4), (13), (14) :

^ = a( X (t), у (t ),U (t))(X (x (t), у (t) ,U (t))+X (e)(x (t), у (t ),U (t))+X; (t,w)),

X(X,y,U) = -VjF(X,у(X,P),U)|P=P(X x),у(t) = у(X(t),P(t)),X(e)(X,y,U) = A-1 (X,y,U)

dP (t) ( dP (X, у) dP (X, у)

dt I dx1 dXm lx=x(t) dt

x=x^dpt))

d (e)X ( dP (X, y) dP (X, у)d

у

dym

~ x(t)

;=X(xX(t).P(t))

і d(e)X dt ’

d(Є) у + -cP .

dt dt

(15)

В случае замкнутой системы параметры баланса P постоянны [7]. В общем случае незамкнутой системы не все параметры баланса P могут меняться - часть из них Рс может быть постоянной, а остав-

шаяся часть Pv меняется:

Р=(PT PvT)T. (16)

Согласно (16) уравнение (15) в силу

-лРс

dt

= 0 примет вид:

+

у у

+

сл

У У

У У

_ a(x(t),у(t),U(t))(X(x(t),у(t),U(t)) + X(e)(x(t),у(t),U(t)) + X^(t,w)),у(t)_ у(R(t), р(t))

I j(e) r

X(x,y,U) = -VrF(x,у (x,P),U)|p_P{,ry),X(e) (x,y,U) = A-1 (X,y,U),P(t) _ (PT PT (t))

(17)

dPv (t) _ Г dPv (x,у) dPv (x,у)

dt I 0Xi dxm jx_x(t) dt

у_ R( x(t)P(t))

dЄ x

:_x(t)

d (Є) у + X, Pv

dt dt

dPv (x, у) ЭР„ (x, у)

v Эу1 Э-Ч v

у_ у( x(t),P(t))

Итак, с помощью преобразований (4), (б) - (17) мы от системы (3) перешли к системе (17), эквивалентной, как видно из (2), (7), (8), (10), (12), (14) системе (3). Введя аналогично (12), (14)

^P X (t) ~dT, Xф (t)

соответственно аналогичные

аф Pv _ Г Эр ( X,у ) Эр ( X,у )

dt I 3x1

0x,

do, P dt

(e)r г

, X; (t,w), а также согласно (б) приближенное решение

dyex

т j.. (t) dt

у_Rx (t),P° (t))

- +

3PV (x, у) Эр (x, у)

ЭЛ

Ут

l(e) R

d4, у

o (t) dt

у_ у(і" (t )P W)

, (18)

Pv°(t)_Pv(x°(t),у°(t)) , (19)

d (e)x

*Ф(0_їф(t) + A-1 (x,R,U)-d- , (20)

получим из (5), используя (4), (7), (8), (16), (18), (20), аналогично (4), (б) - (17) уравне-

dx° (t)

dt

_ A(x° (t),у° (t),U(t))(X(x° (t),у° (t),U(t)) + X(e) (Г (t),у (t),U(t)) + XФ (t)),у° (t) _ у (x (t), P° (t))

d (e)x

X(x,у ,U) _ -VrF(x,у (R,P),U) p_P (x у,XM (x,y,U) _ A-1 (x,у/j)-~px,P (t) _ (р Pf (t))

(21)

dP-V (t) | ЭД (x, у) Эр (x, у)

dt I Э^

dx

(

\

.. . ЭРГ (x,у) ЭРГ (x,у) d(e)у + d^Pv

ЭХт p _x (t) dt I Эу Эуту jx _ 5 o (t) dt dt ’

у_уИ)р(0) 1 у J у_ у( x (t),P o (t))

аналогичное (17). Из (21) видно, что отклонение приближенного решения от точного формально вы-

зывается внешней силой

X ф (t) и формаль

ной составляющей скорости

ЛфР

dt

изменения параметров балан-

са P . Определив согласно (19) приближенное решение PV (t) , мы согласно (21) уточняем приближенное

решение

dфP

у° (t) . Затем мы из (21) определяем — и Xф (t) . Если эти величины носят колебательный

T

у у

ние

характер во времени

а их значения соизмеримы с соответствующими флуктуациями

dcn P

dt

X; (t,w),

определяемыми из (12) и (14) соответственно, то приближенное решение x° (t) и уточненное у°(t)

корректно.

Заключение

Итак, в настоящей статье мы получили формализм (19), (21) анализа корректности численного ре-

шения потенциально-потоковых уравнений, основанный вышеописанной на специфике моделируемой системе. Благодаря этому рассмотренный формализм гарантирует корректность численного решения потенциально-потоковых уравнений. Этот формализм анализа корректности приближенного решения может быть включен в алгоритм численного решения потенциально-потоковых уравнений. Алгоритмы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описанные в [13, 14], дают возмож-

ность определить численное решение в следующий момент времени, зная его значение в текущий момент времени. Это дает возможность корректировать вышеописанным формализмом корректность приближенного решения на текущем шаге интегрирования, гарантируя этим самым получение корректного решения после вычисления всех шагов интегрирования. Это также обуславливает возможность использование потенциально-потокового метода в САПР.

ЛИТЕРАТУРА

1. Старостин И.Е., Халютин С.П. Потенциально-потоковый метод - инструмент качественного анали-

за и моделирования динамики неравновесных процессов // Материалы X Всероссийской научнотехнической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского». - М.:

Издательский дом Академии им. Н.Е. Жуковского, 2013. - С. 40 - 45.

2. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т.3: Теория неравновесных систем. -

М.: Едиториал УРСС, 2002. - 432 с. В 3-х т.

3. Айзеншиц Р. Статистическая теория необратимых процессов. - М.: Изд-во Иностр. лит., 1963. -127 с.

4. Эткин В. А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). - СПб.: Наука, 2008. - 409 с.

5. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика: от тепловых двигателей до диссипативных структур. - М.: Мир, 2002. - 461 с.

6. Старостин И.Е., Халютин С.П., Быков В.И. Связь матрицы восприимчивостей потенциально -потоковых уравнений с физическими свойствами неравновесной системы // Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий: Материалы Х международной научно-практической конференции «Инфо-2013». - М.: МИЭМ НИУ ВШЭ, 2013. - С. 260 - 262.

7. Халютин С.П., Старостин И.Е. Потенциально-потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки, 2012, Т.2. - С. 25 - 35.

8. Быков В.И., Халютин С.П., Старостин И.Е. Качественный анализ динамики процессов в неравновесных системах на основе потенциально-потокового метода // Труды международного семинара «Надежность и качество - 2012», т. 1. - Пенза: Издательство ПГУ, 2012. - С. 488 - 491.

9. Быков В.И., Старостин И.Е., Халютин С.П. Качественный анализ динамики процессов в неравновесных системах на основе потенциально-потокового метода методом обратной связи // Информатика и системы управления: кибернетическая физика, 2013, № 3(37) . - С. 75 - 89.

10. Быков В.И., Старостин И.Е., Халютин С.П. Анализ формирования диссипативных структур в сложных сосредоточенных системах на основе потенциально-потокового метода. Кибернетический подход // Сложные системы, 2012, № 5, с. 72 - 89.

11. Старостин И.Е. Определение параметров схемы замещения потенциально-потоковой модели никель -кадмиевого аккумулятора методом гидрооксидных пленок // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. (Пенза, 2011). - Пенза: Издательство ПГУ, 2011. - С. 318 -324.

12. Старостин И.Е. Учет случайных факторов при моделировании неравновесных процессов потенциально-потоковым методом // Инновационные информационные технологии: Материалы международной научно-практической конференции. Т. 2. - М.: МИЭМ НИУ ВШЭ, 2013. - С. 378 - 384.

13. Жук Д.М., Маничев В.Б., Ильницкий А.О. Методы и алгоритмы решения дифференциально -алгебраических уравнений для моделирования систем и объектов во временной области // Информационные технологии, 2010, №7. - C. 16 - 24; № 8. - C. 23 - 26.

14. Новиков А.Е., Новиков Е.А. Численное решение жестких задач с небольшой точностью // Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 1. - C. 46 - 56.

15. Ващенко Г.В. Вычислительная математика. Основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. - Красноярск: СибГТУ, 2008. - 65 с.