Анализ кинематики привода с карданной передачей Текст научной статьи по специальности «Физика»

подача пара давлением 4 атм и периодический сброс конденсата. На выходе из коллектора начальное значение температуры составляло 190оС. Опыт проводился до тех пор, пока значения температуры и давления не вышли на установившийся режим работы. В результате эксперимента получилось два графика, давления и температуры, которые имели нелинейный характер. На рис. 7 показан график давления в авто-

клаве.

Отсюда следует вывод, что характер давления пара и воздуха достаточно близки, но т.к. при проведении эксперимента с паром часть тепла отдавалась на нагрев конструкции и окружающей среды, то математическая модель пара требует уточнения, что предполагается выполнить в последующих работах.

Библиографический список

1. Автоклав АВТМ. Руководство по эксплуатации АВТМ 2000-4000-12.5. Завод Курганхиммаш, 1987.

2. Дунаев М.П., Киргин Д.С. Позиционный метод регулирования работы автоклава в режиме вулканизации // труды Всероссийской науч.-практ. конф. «Повышение эффективности производства и использования электроэнергии в условиях Сибири». Иркутск: ИрГТУ, 2010. С. 101-107.

3. Гоппе Г.Г. Математическая модель расхода потоков жидкостей в трубопроводах как звено САР // Автоматизация химических производств. НИИТЭХИМ. №4. М., 1973.

С. 32-43.

4. Шевелев Ф.А. Таблицы для гидравлического расчета стальных, чугунных, асбестоцементных, пластмассовых и стеклянных водопроводных труб. Изд. 5-е. М., Стройиздат, 1973. 112 с. (Всесоюз. науч.-исслед. Ин-т водоснабжения, канализации и гидротехн. сооружений и инж. гидрогеологии ВОДГЕО).

5. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в Ма^аЬ 6.0. СПб.: КОРОНА принт, 2001. 320 с.

УДК 621.01:534

АНАЛИЗ КИНЕМАТИКИ ПРИВОДА С КАРДАННОЙ ПЕРЕДАЧЕЙ В.Г. Груди нин1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены основные соотношения между кинематическими параметрами звеньев карданных передач, а также условия уменьшения переменной составляющей угловой скорости ведомого вала карданной передачи при заданной угловой скорости ведущего вала. Приведено условие выполнения синхронной карданной передачи. Предложен способ снижения модуляции частоты вращения выходного вала карданной передачи. Ил. 5. Библиогр. 2 назв.

Ключевые слова: механическая система; машинный агрегат; механическая передача; карданная передача; неравномерность вращения; гаситель угловых вибраций.

ANALYSIS OF CARDAN DRIVE KINEMATICS V.G. Grudinin

1Грудинин Владимир Гарриевич, старший преподаватель кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405146, 89041371795.

Grudinin Vladimir, Senior Lecturer of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405146, 89041371795.

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article examines basic relations between the kinematic parameters of driveline shunt links, as well as conditions to reduce the variable component of angular speed of the driven shaft of the driveline shunt for the given angular speed of the driving shaft. The condition of synchronous driveline shunt realization is given. A method to reduce the rotation frequency modulation of the output cardan shaft is proposed. 5 figures. 2 sources.

Key words: mechanical system; mechanical unit; mechanical transmission; driveline shunt; irregularity of rotation; angular vibration damper.

В работе приняты следующие условные обозначения: А - амплитуда колебаний I -го звена механизма; В - -й карданный шарнир; В - шарнир, соединяющий валы Д и Д; Д - нй карданный вал; Д и Д+1 - ведущий и ведомый карданные валы;

г

^ , - ведомая и ведущая карданные вилки на валу Д ; - передаточное отношение между / и 1 +1 звеньями механизма; Д г+1 - плоскость, проходящая через оси валов Д и Д и называемая плоскостью передачи для данных валов; Р(^) -плоскость карданной вилки ^; Ц г+1 - острый угол между осями валов в плоскости передачи, рад; Д -угол между соседними плоскостями передач Д г+1 и Р+1 г+2 ; 7 - угол между плоскостями карданных вилок на валу Д , рад; £[ - угловое ускорение вала Д , рад/с2; ^ - угол поворота вала в выбранной системе отсчёта, рад; ^ - фазовый угол карданного шарнира В (угол между плоскостью ведущей вилки

Р\ F

и плоскостью

Р

г+1)

Щ - угловая скорость

вала Д, рад/с.

Основные соотношения между кинематическими параметрами звеньев карданных передач.

Для получения кинематических характеристик механизма с карданными шарнирами необходимо знать зависимость угла поворота ведомого вала от угла поворота ведущего вала, а также получающиеся из этой зависимости функции. Соотношение между угловыми перемещениями валов одношарнирной карданной передачи выражается известной формулой [1]

' - Л

(р2 = arctg

1

v cos a12

(1)

Для определения угловой скорости ведомого вала и передаточного отношения карданной передачи продифференцируем выражение (1) по времени:

Щ2 =

щ•cos a

12

22 1 - sin cos (

Щ

(2)

cosa

12 i1 + tg

22 а12 • sin (11

г21

cosa

12

1-2 2

1 - sin a12 • cos (

(3)

= f («12. (1 )•

Из выражения (3) следует, что соотношение угловых скоростей ведомого и ведущего валов карданной передачи является переменной величиной, ведомый вал вращается неравномерно. Передаточное отношение /21 принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя, т.е. при ф1=0, п, 2п и т.д.:

и, = (е /е ) =-1-.

21 V 2 1 /шах

cosa

12

Наименьшее значение щ/щ принимает при (=ж/2,3ж/2 и т.д.:

(щ2/Щ )m

Дифференцируя выражение (2) по времени, полу-

г21 =

/min = cosa12-

чим:

cosa

^2 =

1 - sin2 a12 • cos2( dt

22 cos a12^ sin a12^ sin2(

(1

"12_

22 - sin a12 • cos (

Щ =

(4)

£1 • г21

- ю2 ■ /21 • sina12 ■ tga12 • sin 2^.

Соотношения (1) - (4) справедливы лишь для случая, когда угол поворота ведущего вала отсчитывает-ся от положения, в котором ось его вилки находится в плоскости передачи карданных валов, соединяемых данным шарниром (рис. 1). Если угол поворота карданного вала D1 отсчитывается не от плоскости передачи (^ # 0), то соотношение (1) принимает вид:

д

¿/77

34 В.

« р Вз

Р Рг д р

д

aw В„ D„+1

Рис. 1. Схема пространственной поликарданной передачи

ср2 = arctg

-— tg (Р +Vi )-

cosa

12

í

- arctg

• tg¥i

^ СО S y

. (5)

Соответствующим образом изменяются и другие кинематические соотношения валов карданной передачи:

1

a

Р

®2 =

121

• cosa12

1 - sin2 а12 • cos2(p + Wi)'

cosa

12

1 - sin2 a12 • cos2(px + w)

(6)

^2 = • i21 ®1 • i21 '

• sin a • tga12 • sin 2(px + w).

Формулы (1) - (6) полностью характеризуют кинематику карданного шарнира как передаточного механизма. Свойства этого механизма иллюстрируются известными графиками, приведенными на рис. 2.

Поликарданную передачу, состоящую из нескольких шарниров, можно представить как последовательное соединение одношарнирных передач (рис. 3).

Г'

a I

а

I an

Ъ I

Ъз Vn

1 Vn-1

Рис. 3. Схема поликарданной передачи

Угловые перемещения и другие кинематические зависимости для ведомого вала передачи определяются путем решения рекуррентных соотношений для каждой из одношарнирных передач, составляющих многошарнирный карданный механизм.

p = arctg

- arctg

cosa

—tg(v+ W )

ir/ x 1 1'

12

v cos a 2

tg¥1

(Рз = arctg

- arctg

—^W+WJ

cosa 2 2

23

1

Л

v cos аз

" tg W 2

Pn = arctg

1

cosa

tg(p + W )

nn

- arctg

n, n + 1

1

-W,

V cosan,n+1 У

(7)

Передаточное отношение всего механизма равно произведению передаточных отношений одношарнир-ных карданных передач:

К

а

_ n+1 _

dp dp dpA

а

dPn

n+1

dPn

dp dp dp

= i • i • i • • i

'21 '32 '43 ••• 'n+1,n •

(8)

Передаточное отношение одношарнирной передачи - величина переменная, зависящая от фазового угла у-/, поэтому формула (8) определяет мгновенное передаточное отношение. Передаточное отношение для каждой ступени зависит от начальной фазы соответствующего карданного шарнира (рис. 4) и для общего случая пространственной поликарданной передачи у^ + 0; у2 ^ 0; ... уп ^ 0 определится соотношением:

in+1, 1 f

p, al2, а

23?

V "

, а

n,n+

1, W2, W3, ... W,

(9)

n J

ф W = 0 аг w< 0 w2i = a2~ai W* 0

0o

ж/2

3ж/2

2ж

9г

Рис. 4. Угловая скорость ведомого вала одинарной карданной передачи при различных углах

Таким образом, определение величины передаточного отношения и закономерности его изменения для многошарнирной карданной передачи превращается в достаточно сложную задачу.

Зависимость между угловыми перемещениями ведущего и ведомого валов поликарданной передачи выражается формулой

а ■

pn+1 = arctg где a = ^•a2 •...• an

b • tgp + e

(10)

b = ..• an- 1 •bn +

+ al •a2 ' an-2 • bn-1 e n +

+ ax •a2 ' an-2 • bn-2 e n -1

+ ax •a2 •e4 • e 5 • ... e n +

+ al b b2 'e3 • e • e4 .. .• e n +

+b • e • e2 e3- ... e n

e = v an;

аз an

а

а

ж

1

n

аг = c°sa11+1 -(l + tg2/,)

Ьг = -sin ahl+i ■ tg Yl; a =1 + cos2a ,+i ■ tgV, ■

Зависимость (10) при решении задач кинематики приводит к громоздким расчетам и является малопригодной для практического использования. Если воспользоваться разложением функций в ряды, то можно получить более простые и удобные для использования соотношения. В дальнейшем будет рассмотрен случай стационарного расположения осей валов карданной передачи, т.е. случай, когда а12=соп$^ а23 =соп$^ ап, n-1=const.

Фазовый угол для произвольного карданного шарнира (см. рис. 4) определяется равенством

п

W = 2-7' - в-ii+i +

(

+ arctg

1

■

vcos a-i, i

g w,-i

(ii)

Рассмотрим в первую очередь одношарнирную передачу. В качестве исходного условия примем ^=0 (см. рис. 1) и воспользуемся зависимостью (1) между угловыми перемещениями валов D1 и D2. Кинематическая передаточная функция, полученная из (1) дифференцированием ф2 по ф1, может быть разложена в ряд по

п

x = -A-i, i+i +

+ tg2a- sin2 pr «i; dp2 _ cosa

42

dp 1 - sin a2 • cos p 1

(12)

cosa

42 -(1 + tgai2- sin2 (Pi) Преобразуя выражение (12) в степенной ряд, получим

i

dp dp cos a 2

ri-

2 • 2 tg a • sin p +

4 • 4

+ tg ai2 • sin p -

,6 -6 tg ai2 - sin Pi J

(13)

+... + u„

После замены степени sin ф1 синусами кратных углов выражение (13) можно преобразовать к виду

Г i 2 3 4 ^ ~tg ai2 tg ai 2 o

5

v i6

r i

tg a 2

Pi +

+

4

tg ai2 -

+

i . 4

tg ai2 +

i5 6

+ — tg ai2

v 64 i2

tg 4a2

36

-Т~Л tg ai2 + ... v 64

sin 2p +

sin 4p + (14)

J

+ 1

1

i92

tg6a -... I sin6p +

+... + un ].

Постоянный коэффициент при ф1 мало отличается от единицы (большинство применяемых в практике карданных передач имеют а12 < 20°).

Если обозначить постоянные коэффициенты в (14) при sin 2лф1 (n=1, 2, 3 ...) через

Г i 2 ^ ~Jg ai2 -

i

cosa

4

i 4

tg ai2 +

i5 6

+ — tg ai2 - .. 64

= e,

cosa

tg ai2 -

3 6

tg ai2 + -

v 64

=e

!2>

J

cosa vi92

i 6 _ v

tg ai2 ... I ei3,

(15)

то получим

p2 = pi + eiisin2pi + + e12 sin 4p + e13 sin 6p +...

(16)

При уменьшении угла а12 амплитуды высших гармоник ряда быстро уменьшаются, так как в подавляющем большинстве практически важных случаев применяются карданные передачи с углом а12 < 20°; ^а12 > 0,9397; tga12 < 0,3640; tg2a12 < 0,1325; tg4a12 < 0,0175; tg6012 < 0,000232; ец=< 0,03124; е12=< 0,00056; е1з=<0,0000012.

i

i

Таким образом, при практических расчетах можно пользоваться приближенной формулой

Р2=Р + еи , (17)

где

1 Ц^а^ 15

еи = + + '

4 cos а12 4 cos

64 cos а

12

Приближенное значение

а

12 4

В общем случае поликарданной передачи при наличии фазовых углов % + 0 появляются дополнительные гармоники второго порядка, и для углов поворота валов поликарданной передачи будет справедливо соотношение:

Рп+1 = (1 ~®п + ^^Р + Зп (18)

2 т 2

где ^п, = V «п, +

an1

Полученные соотношения между угловыми перемещениями валов удобны для кинематического и динамического исследования механизмов с карданными передачами, так как выражения (17) и (18) легко определяются дифференцированием выражения фп+1 по времени:

da„

С+1 =■

уп+1

dt

= щ -в +

(19)

+2^c°s2(p +5п) • sni;

+1

d 2Vn+1 dt2

(20)

-4Щ2 • sni • sin2(pi + ^) + + 2^1 • sni • cos2(Pi +8n) В частном случае, при щ = const,

^n+i = -4Щ2 • sni •sin 2(^i + Sn).

Уравнение (19) показывает, что уменьшение переменной составляющей угловой скорости ведомого вала карданной передачи при заданной угловой скорости ведущего вала (ш1 = const) можно осуществить только за счёт амплитуды S^-ой гармоники. Рассмотрим условия, при которых постоянный коэффициент Sn1 принимает экстремальные значения при заданных

eii e2i

e

п1

Если принять ^1=0; ^2=0; ... ; ^п=0 или ^1= п/2; ^2= п/2; ..., ^п= п/2, то

sni = arn = encos2^i +

+e21 cos 2^2 +-----+ ея1 cos 2yn.

Значение Sn1 будет максимальным, если ^1=0; cos2^1=1; ^2=0; cos2^2=1; ...; ^n=0; cos2^n=1, т.е.

n

Snimx = eii + e2i + - + eni =Z ei . (22)

Если значения фазовых углов будут чередоваться ^=0; щ2= п/2; щ3=0; щ4=п/2; ...; щп-1=0; щп= п/2, то значения функции соответствующих углов будут: ^2^=1; ^2щ2=-1; ^2щ3=1; ^2щ4=-1; ...; 1=1; ^2щп=-1.

Подставляя значения функции в выраже-

ние (21), получим:

^1тах = е11 " е21 + е31 - + ' '' + - ^«1 • (23)

Значение Бп1 в соотношении (23) меньше, чем в (22), но из этого не следует, что величина Бп1 в (23) будет минимальной. Минимальным значение Бп1 будет только в случае, если фазовые углы подобраны таким образом, что разность между суммой положительных и суммой отрицательных членов уравнения (23) будет минимальной по абсолютной величине. Таким образом, при изменении фазовых углов щ карданных шарниров величина коэффициента Бп1 будет

колебаться от его минимального значения sn1Ш:a до максимального значения sn1ш¡lx:

V < V ^ V

п1шт — п1 — п1шах .

Степень неравномерности вращения ведомого вала определяется коэффициентом неравномерности:

а -а а а

с _ max_min _ max min

с

с

^21max ^21min

. (24)

Здесь принято щ = щ = const.

Подставляя щ

в выражение (20), полу-

чаем:

(е1 + 2еА 1)- (е1- 2еА 1) (25)

е «

Таким образом, степень неравномерности вращения определяется величиной коэффициента Бп1 и, следовательно, является функцией углов аи+1 (/=1, 2, ..., п). Для одинарного карданного механизма величина коэффициента неравномерности зависит только от значений угла а12. Фазовый угол в данном случае не оказывает влияния на величину коэффициента неравномерности 5. На рис. 2 приведены графики 5 и /21тах

в зависимости от угла а12. В сдвоенных и поликарданных механизмах фазовые углы карданных шарниров оказывают существенное влияние на величину коэффициента неравномерности 5 и передаточное отношение 'п1шах .

При оптимальном выборе фазовых углов можно значительно снизить неравномерность вращения, а при неудачном выборе неравномерность вращения будет возрастать [2].

Выбор параметров синхронной карданной передачи. Создание кинематических синхронных передач имеет важное практическое значение и заслуживает более подробного рассмотрения. Угловую скорость ведомого вала можно представить как сумму угловой скорости ведущего вала и относительной угловой скорости ш1 и относительной скорости шп+11.

2

i=i

Для одинарной карданной передачи

®2 = щ + ®21; ®21 = ®2 — щ. Для поликарданной передачи

щ„+1 =щх +щ21 + ®32 + - + ®п+1,п ,

®п+1,п = ®п+1 — ®

1—х

®

(26)

(27)

быть осуществлена приближенно синхронная карданная передача, т.е. передача равномерного вращения (Бп1=0). На основании

ап1 = ап—1,1 + еп1 ■ С08 2(^п — вп—1), Ьп1 = Ьп—1,1 + — вп—1)

г+1,г-

запишем:

г=1

Для одинарной карданной передачи графики ш21, полученные на основании уравнения (17), представлены на рис. 4. Как видно из графиков, наличие фазового угла у1 не влияет на величины , и 5

(об этом уже говорилось выше). Наличие фазового угла у1 приводит только к сдвигу на угол 2у1 экстремальных значений ®т„ и ® ■ .

НшЛ

Иная картина возникает, если карданная передача многошарнирная. В такой передаче углы могут либо увеличивать, либо уменьшать суммарную относительную скорость ®и+1 г Проиллюстрируем сказанное на

примере синхронной передачи с тремя карданами. На рис. 5,а приведены графики относительных скоростей ®21, ®32, ®43 и ®А1 = ®21 +®32 +®АЗ при произвольных значениях фазовых углов. Если принять фазовые углы карданов равными нулю (у1=0; у2=0; у3=0), то суммарная относительная скорость ®41 станет максимальной (рис. 5,6). Амплитуда ®41 равна сумме амплитуд ®21, ®32, ®43.

Синхронная карданная передача может быть выполнена, если обеспечить фазовые углы карданов,

при которых суммарная скорость ® равна нулю

(рис. 5,е).

Рассмотрим теперь условия, при которых может

V2 =

$п1 =

ап—1,1 +

+

к 1,1

+ еп1 ■ С0® 2(^п — вп—1 )_ + епГ*'т2{^п —вп—1 )

+

= 1,1 + еп21 +

(28)

+ 2$п—1,1 -епГ5т2(^п — вп—1 +^п );

1в2Лп =

а

к

"И—1,1

Минимальное значение £п1тт будет обеспечено, если в соотношении (28) выполняется условие: Бт 2(щп —вп—1 + Хп) = 1,

2{¥п —вп—1 + К) = — л/2

или

2{¥п —вт-1 + К ) = 3л/2. (29) Подставляя (36) в (35), получим

^ = Ип—1,1 — еп\. О0)

Если = еи1, то $и1 = 0 и карданная передача будет синхронной. По аналогии с (28) для коэффициента п запишем при произвольном значении

2

= S* + е2 +

+ 2Sn-2,1 • -1,1 • sin2(^„-1 - вп-2 + Лп-1)

или

с < с < с

Sn-1,1min — Sn-1,1 — S п—1.

1max "

(31)

Так как предельно возможные значения £и_11т;п и

^и-птах' то осуществление приближенно синхронной передачи возможно при выполнении условия

Sn- 1,1min — en1 — Sn- 1,1max '

(32)

При выполнении условия (32) можно путем соответствующего выбора угла в формуле (31) получить = еп1, т.е. осуществить приближенно синхронную карданную передачу.

В случае, если е , > S ,,

3 ' n1 n-1,1max

или е л < S ,, ■

n1 n-1,1min

синхронную карданную передачу осуществить нельзя. Здесь для обеспечения минимальной неравномерности вращения ведомого вала карданной передачи необходимо чередовать значения фазовых углов ^=0; у2=п/2; уз=0; ... таким образом, чтобы разность между суммой положительных и суммой отрицательных членов в уравнении (30) по абсолютной величине была минимальной.

В реально существующих конструкциях не всегда удаётся создать привод с оптимальной кинематикой и, в частности, реализовать условие, позволяющее привести карданную передачу к передаче равных угловых скоростей. В этих случаях для уменьшения модуляции круговой частоты вращения рабочего органа машины (например, ротора генератора) вводят в приводы гасители колебаний [3]. Введение дополнительного звена в исходную механическую систему изменяет динамику и кинематику привода [4].

1. Артоболевский И.И. Теория пространственных механизмов. М.: Гостехиздат, 1937.

2. Грудинин Г.В., Перфильев П.Д. Кинематический анализ карданной передачи электроустановки, работающей от двигателя автомобиля // Механика и процессы управления: ст. сб. Вып. 2. Иркутск: Изд-во ИПИ, 1975.

3. Грудинин В.Г. Исследование влияния дополнительных

Библиографический список

связей в колебательных механических системах вращательного типа // Вестник ИрГТУ. 2011. № 2. С. 34-40. 4. Грудинин В.Г. Способ динамического гашения крутильных колебаний, основанный на введении дополнительных связей второго порядка, взаимодействующих с полем инерционных сил // Вестник ИрГТУ. 2011. № 5. С. 6-15.

УДК 621.165:539.4

АНАЛИЗ НДС НЕЛИНЕЙНОЙ ОБЛАСТИ СДВИГОВОЙ ТРЕЩИНЫ В ТРУБОПРОВОДАХ

О.В. Клейдман1, А.М. Тартыгашева2, К.Е. Камаева3

1,3Казанский государственный энергетический университет, 420066 г. Казань ул. Красносельская, 51.

2Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 420043, г. Казань, ул. Зеленая, 1.

Представлено численное исследование влияния типа нагружения и физико-механических свойств материала на параметры напряженно-деформированного состояния и механики разрушения в вершине сдвиговой трещины. Расчет выполнен в контактной постановке с учетом трения берегов трещины и физически нелинейного поведения материала в её вершине. Определены закономерности влияния различных типов нагружения и свойств материала на коэффициенты интенсивности напряжений и J-интеграл. Ил. 7. Табл. 2. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: контактная задача; трещина; физическая нелинейность; метод конечных элементов; трение; J-интеграл.

ANALYSIS OF THE STRESS-STRAIN STATE OF THE NONLINEAR AREA OF A SHEAR CRACK IN PIPELINES O.V. Kleidman, A.M. Tartygasheva, K.E. Kamaeva

Kazan State Power Engineering University,

1 Клейдман Ольга Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры динамики и прочности машин, тел.: (843) 5194315,е-таН: [email protected]

Kleidman Olga, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Dynamics and Strength of Machines, tel.: (843) 5194315, e-mail: [email protected]

2Тартыгашева Анастасия Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики, тел.: (843) 5104791, е-mail: [email protected]

Tartygasheva Anastasia, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Theoretical Mechanics, tel.: (843) 5104791, e-mail: [email protected]

3Камаева Клавдия Евгеньевна, аспирант, тел.: (843) 5194315, e-mail: [email protected]

Kamaeva Klavdiya, Postgraduate, tel.: (843) 5194315, e-mail: [email protected]