CC BY
18
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 3
УДК 517 DOI: 10.17213/1560-3644-2021-3-30-34
АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПАМЯТЬЮ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА И МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО
© 2021 г. Абас Висам Махди Абас1, Р.В. Арутюнян2
1Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия, 2Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, г. Москва, Россия
ANALYSIS AND OPTIMIZATION OF NONLINEAR SYSTEMS WITH MEMORY BASED ON VOLTERRA INTEGRO-FUNCTIONAL SERIES AND MONTE-CARLO METHODS
Abas Wisam Mahdi Abas1, R.V. Harutyunyan2
1Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia, 2Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Абас Висам Махди Абас - аспирант, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]
Арутюнян Роберт Владимирович - канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Вычислительная математика и математическая физика», Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, г. Москва, Россия. E-mail: [email protected]
Рассматриваются вопросы анализа и оптимизации нелинейных динамических систем с памятью на основе модели «черного ящика» (вход-выход). Преимущественно рассматриваются случаи пассивного эксперимента или ограниченного выбора типов тестовых сигналов. За основу принят подход на основе интегростепенных рядов Вольтерра. Такие интегрофункциональные представления существуют как для скалярного, так и многомерного вариантов. Основная проблема заключается в идентификации ядер данных рядов на основе некоторого набора входных сигналов и соответствующих откликов. Существенным обстоятельством является то, что при анализе и оптимизации нелинейных динамических систем методом интегро-функциональных рядов может возникнуть проблема вычисления многомерных интегралов. В данной статье рассматривается случай, когда известен некоторый набор реализаций входного и выходного сигналов, которые могут быть в принципе случайными процессами. По этим данным осуществляется отыскание ядер в разложении на основе решения соответствующего нелинейного многомерного интегрального уравнения Фредгольма I рода. Соответствующая задача относится к некорректно поставленным и для ее решения применен метод регуляризации по А.Н. Тихонову. В статье предлагается применять в данной задаче методы Монте-Карло и квази Монте-Карло, характерный лучшей сходимостью.
Оптимизация системы возможна на основе интегростепенного ряда Вольтерра, если вектор входного сигнала многомерный. В статье рассмотрен пример задачи оптимизации, в которой роль управляющих играют все координаты входного сигнала и требуется обеспечить поддержание требуемого выходного сигнала при ограничениях на входные сигналы и минимальном значении некоторого критерия.
Отмечено, что для данной задачи также возможно эффективное применение полустатистического метода решения интегростепенного уравнения совместно с методом квази Монте-Карло.
Ключевые слова: динамическая нелинейная система; анализ; оптимизация; интегрофункциональные ряды; интегральные уравнения; высокая размерность; методы Монте-Карло и квази Монте-Карло.
Abas Wisam Mahdi Abas - Graduate Student, Department «Applied Mathematics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]
Harutyunyan Robert V. - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department «Computational mathematics and mathematical physics», Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia. E-mail: [email protected]
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 3
The article deals with the analysis and optimization of nonlinear dynamic systems with memory based on the «black box» model (input-output). The cases of a passive experiment or a limited choice of test signal types are mainly considered. The approach based on Volterra integrals is taken as a basis. Such integro-functional representations exist for both scalar and multidimensional variants. The main problem is to identify the cores of these series based on a certain set of input signals and corresponding responses. An essential circumstance is that when analyzing and optimizing nonlinear dynamical systems by the method of integro-functional series, the problem of calculating multidimensional integrals may arise. This article considers the case when a certain set of implementations of input and output signals is known, which can be in principle random processes. According to these data, the kernels are found in the decomposition based on the solution of the corresponding nonlinear multidimensional Fredholm integral equation of the first kind. The corresponding problem belongs to the incorrectly posed ones and the regularization method according to A. N. Tikhonov is used to solve it. The article proposes to apply the Monte Carlo and quasi Monte Carlo methods, characterized by better convergence, in this problem.
Optimization of the system is possible on the basis of the Volterra integral series, if the input signal vector is multidimensional. The article considers an example of an optimization problem in which all the coordinates of the input signal play the role of controls and it is required to ensure the maintenance of the required output signal with restrictions on the input signals and the minimum value of a certain criterion.
It is noted that for this problem, it is also possible to effectively use the semi-statistical method of solving an integrative equation together with the quasi Monte Carlo method.
Keywords: dynamic nonlinear system; analysis; optimization; integro-functional series; integral equations; high dimension; Monte-Carlo and quasi Monte-Carlo methods.
Введение
Математическую модель типа вход-выход, не учитывающую конкретную физическую природу динамического процесса, принято называть черным ящиком (рис. 1, где изображен черный ящик, соответствующий конкретному отображению у(1) = Р [ х(£), V ] нелинейного динамического
процесса). Традиционно такой процесс определяется набором переходных характеристик. Под идентификацией динамической системы понимается процесс нахождения переходных характеристик с помощью алгоритмов подбора и обработки массивов входных - выходных сигналов. Входные факторы обозначим вектором X = {Х1, Х2, ... Хт}, выходные - вектором У = {Уь У2, •• Уп}, а фактор случайности, который условно объединяет все случайные факторы, - С. В силу отмеченных обстоятельств модель исследований является многофакторной. Математический оператор отклика с учетом случайных возмущений можно записать в виде выражения
y(t) = F [ х(1),С(1 ),t ].
Рис. 1. Схема типа «черный ящик» многофакторного динамического нелинейного объекта исследования / Fig. 1. Scheme of the "black box" type of a multifactorial dynamic nonlinear object of research
Для стационарного процесса геометрическое отображение этой функции в векторном пространстве является поверхностью отклика. Если в процессе эксперимента значения входных факторов Х экспериментатор задает по определенному заранее составленному плану, то такой эксперимент называется активным, а если экспериментатор лишь регистрирует текущие значения Х - пассивным. В первом случае входные факторы являются управляемыми, а во втором -контролируемыми.
В 1930 г. итальянский математик Вито Вольтерра, комбинируя различные представления сигнала, в монографии [1] ввел понятие ин-тегростепенного ряда вида
1
ТО ТО
F[x(t)] = X- J ... J Kn (t,si,...,sn)Пx(sr)dsr, (1) ?}=i n •
n=1 n • -то -ТО
r=1
t e [a,b]
и доказал, что разложение (1) обобщает обычную формулу Тейлора для функций п переменных, причем в выражении (1) функции Кп (V,^,...,£и) непрерывны и не зависят от х(1).
Фундаментальным результатом оказалось то, что ряд Вольтерра (1) описывает нелинейные системы с памятью. В этой формуле функции К (V, ^,..., ) могут быть ядрами Вольтерра или
переходными функциями (характеристиками). Для различных п ряд (1) характеризует различные порядки нелинейности. Сходимость ряда Вольтерра гарантируется теоремой Фреше. Таким образом, основная задача состоит именно в
ТО
n
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
восстановлении этих переходных характеристик на основании откликов системы на специально подобранные входные сигналы. Отметим, что задача идентификации динамических систем на основе рядов Вольтерра, является обратной задачей. В ряде работ [2 - 4] отрезок ряда Вольтерра рассматривается как уравнение Вольтерра I рода относительно входного вектора х(0 в предположении, что ядра уже восстановлены и требуется найти входной сигнал, обеспечивающий желаемый отклик.
Таким образом, при анализе и оптимизации нелинейных динамических систем методом интегро-функциональных рядов может возникнуть проблема вычисления многомерных интегралов. В работах [2 - 4] идентификация ядер разложений типа (1) осуществляется на основе тестовых сигналов специального вида (обычно ступенчатых) и выводятся формулы для ядер на их основе. Однако на практике не всегда для тестирования системы можно выбирать любой желаемый сигнал. Для случая пассивного эксперимента такой подход, вообще говоря, не приемлем. В данной статье рассматриваем случай, когда известен некоторый набор реализаций входного и выходного сигналов, которые могут быть в принципе случайными процессами. По этим данным осуществляется отыскание ядер в разложении (1) на основе решения соответствующего нелинейного многомерного интегрального уравнения Фредгольма I рода. Соответствующая задача относится к некорректно поставленным и для ее решения применен метод регуляризации по А.Н. Тихонову. Таким образом, одной из основных задач является вычисление многомерного интеграла. Для этого в статье предлагается применять методы Монте-Карло и квази Монте-Карло.
Метод Монте-Карло находит широкое применение в практике решения вычислительных задач, в том числе при решении интегральных уравнений (ИУ) [1 - 10]. В то же время не все возможности данного метода используются полностью. Так, при решении интегральных уравнений преимущественно используется вариант этого метода, основанный на суммировании резольвенты и использовании цепей Маркова [8]. Это обстоятельство значительно сужает класс решаемых задач, так как требуется ограничение нормы интегрального оператора единицей. В работе [9] предложен подход, названный полустатистическим и основанный на применении квадратурной формулы со случайными узлами. В
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 3
данной статье исследуется более рациональный в рассматриваемой задаче метод квази Монте-Карло, характеризующийся лучшей сходимостью.
Описание полустатистического метода
Рассмотрим нелинейное ИУ Фредгольма
вида
yu(х)--jK(x,y)b(u(y),y)dy = f(x), xeV, (2)
V
где u(x) - искомая функция; x - точка области V из га-мерного евклидова пространства; ц и X -некоторые вещественные или комплексные числа; K(x, y) - ядро интегрального оператора; b(u, y) -некоторая непрерывная функция; fx) - свободный член.
Предположим, что известны n случайных точек о&ласти V: y1 = (y1,...,y^)у = (y"y"m), полученные из распределения с плотностью p(y), yeV. Условие нормировки:
j p (y) dy =i.
V
Интеграл в уравнении (2) можно приближенно вычислять при помощи традиционной схемы вычисления интегралов методами Монте-Карло и квази Монте-Карло [4 - 10]. Используем
точки y1 = ^y^ y'm ) y" = (y? y"m ) , как узлы коллокаций в известном вычислительном методе, при помощи которого получим из (2) соответствующую квадратурную формулу
т - - t^jb (Uj , yJ ) = f , U - U(y> ), (3)
"j=1 p(y ) J
i = 1,...,".
Поскольку остаточный член квадратурной суммы метода Монте-Карло с любой наперед заданной вероятностью стремится к нулю при стремлении числа узлов к бесконечности, то обоснованно предполагать, что при достаточно гладком ядре и ограниченности оператора, обратного к оператору интегрального уравнения (2), решение (3) сходится к точному в одной из вероятностных мер. В литературе соответствующие вопросы сходимости детально рассмотрены применительно к задаче суммирования ряда Неймана [6] и для полустатистического метода [5 - 9, 10].
Отличие метода квази Монте-Карло заключается в применении вместо случайных узлов низкодисперсных последовательностей типа последовательностей Хальтона и Соболя. Также авторы применяли оригинальный подход на основе случайных последовательностей со специ-
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 3
ально уменьшенной дисперсией. Применение низкодисперсных последовательностей позволяет существенно улучшить сходимость метода. Соответствующие примеры эффективного применения отмеченного подхода содержатся в наших статьях [5, 6].
Примеры идентификации ядер в разложении (1)
Пример 1. Рассматривается множество входных сигналов вида х (/, та) = /то, где то - некоторый случайный параметр, выходные сигналы имеют вид у (/, то) = (/ /2 +1 / 3)то + (/ /4 +1 / 3)то2.
Решается интегральное уравнение (1) с учетом линейного и квадратического членов:
1
| К1 (/, 5) Л ( 51, то) dsl +
о
11
+||К2 (/,51,s2)Х2 (¿1,52,то)ds1ds2 = у(/,то), / е[0,1].
00
где К(1, 51) и К(1, 51, S2) - искомые функции, ядрами интегрального уравнения являются функции
(5, то) = х (5, то), X 2 ( 51,52, то) = х (51, то) х (^ то) /2!
Данное интегральное уравнение относится к разряду некорректно поставленных задач с относительно широким множеством решений, из которых отметим такие решения, как
^(1, 51) = 1 + 51, К2О, 51, 52) = 1 + 51 + 52.
Для решения применим метод регуляризации по Тихонову. При помощи квадратурного полустатистического метода и метода коллока-ций интегральное уравнение приводится к СЛАУ Az = d с известными матрицей и свободным членом. В результате регуляризации получаем новую СЛАУ AтAz + ATd с некоторым параметром регуляризации ц.
При численных вычислениях применялись следующие значения для числа узлов интегрирования в одномерном и двумерном интегралах соответственно, а также значение параметра регуляризации П1 = 10, П2 = 10, ц = 0,01; размерность СЛАУ П0 = П1 + П2.
Значения случайного параметра задавались по правилу то. = Уi, где у, - случайное число в
интервале от 0 до 1. Координаты узлов интегрирования вычислялись при помощи последовательности Хальтона по правилу: 51, = Ня(/, 2), 52, = Д*(/, 3).
Результаты вычислений представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1 / Table 1
Приближенные значения одномерного ядра / Approximate values of the one-dimensional kernel
i Ki (t = 1, sii) К (t = 1, s i)
1 2,00916 1,50000
2 1,00458 1,25000
3 3,01374 1,75000
4 0,50229 1,12500
5 2,51145 1,62500
6 1,50687 1,37500
7 3.51603 1.87500
8 0,25115 1,06250
9 2,26031 1,56250
10 1,25573 1,31250
Таблица 2 / Table 2
Приближенные значения двумерного ядра / Approximate values of the two-dimensional kernel
i K2 (t = 1 S1i , S2i) K2 (t = 1 S1i, S2i )
1 1,29952 3,66666
2 2,59904 3,83334
3 0,64976 3,72222
4 0,43318 3,13888
5 3,79028 4,80556
6 0,64976 3,19444
7 3,79028 4,86112
8 0,43318 3,90278
9 0,16244 3,19908
10 0,90244 3,36574
Случай векторного входного сигнала и оптимизация системы
Оптимизация системы возможна на основе интегростепенного ряда Вольтерра, если вектор входного сигнала многомерный, например,
х(/) = (х(/),...,хр(/))Т. В этом случае интегросте-
пенной ряд Вольтерра имеет следующий вид [1, 2]:
Р [ х(/)] =
ТО ТО
= Z Z J ••• J КЧ,..лп (t, S„ )П Xir (sr )dsr
и=11<г'1<...<гп<p -то -то
г=1
Рассмотрим пример задачи оптимизации, в которой роль управляющих играют все координаты входного сигнала. Требуется обеспечить поддержание требуемого выходного сигнала:
то то то п
£ £ | ••• | КЧ,...гп (^ s1•••, 5п )П Щг (5г )dsг =
п=11<г'1<...<гп<р -то -то г=1
= у (/),
при ограничениях на входные сигналы
р то
Z J u2(s)ds < С(
о,
i=1 -то
ТО
n
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 3
и минимальном значении некоторого критерия, например:
Г 2
j (ui(s) - w(s)) ds
• min.
Для данной задачи также возможно эффективное применение полустатистического метода решения интегростепенного уравнения совместно с методом квази Монте-Карло.
Заключение
В статье исследовано применение для задач анализа и оптимизации нелинейных динамических систем с памятью комбинированного метода, сочетающего интегростепенной ряд Вольтерра, полустатистический метод решения интегральных уравнений Фредгольма большой размерности, метод квази Монте-Карло. Рассматриваемые подходы позволяют расширить круг решаемых задач теории анализа и оптимизации систем, поскольку значительно уменьшены ограничения на размерность и величину нормы интегрального оператора. Рассмотрена серия примеров, демонстрирующих степень эффективности исследуемого метода.
Литература
1. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integro-differential equations. New York: Dover Publ., 2005. 226 р.
2. Сидоров Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения: монография. Иркутск: Изд-во Иркутского гос. ун-та, 2013. 293 с.
3. Милов В.Р. Восстановление многомерных нелинейных
зависимостей по экспериментальным данным // Научные проблемы водного транспорта. 2003. № 4. URL: https:// cyberleninka.ru/article/n/vosstanovlenie-mnogomernyhneliney nyh-zavisimostey-po-eksperimentalnym-dannym (дата обращения 20.03.2021).
4..Apartsyn A.S., Solodusha S.V., Spiryaev V.F. Modeling of nonlinear dynamic systems with Volterra polynomials: elements of theory and applications // International Journal of Energy Optimization and Engineering. 2013. Vol. 2, №4. P. 16 - 43.
5. Абас В.М.А., Арутюнян Р.В. Методы решения интеграль-
ных уравнений на случайной и псевдослучайной сетке и их применение в прикладных задачах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2021. № 1 (209). С. 27 - 37. D0I:10.17213/1560-3644-2021-1-27-37
6. Некрасов С.А., Абас В.М.А. Исследование методов решения интегральных уравнений на случайной и псевдослучайной сетке Результаты исследований - 2021. Материалы VI Национальной конференции профессорско-преподавательского состава и научных работников ЮРГПУ (НПИ). Новочеркасск, 2021. С. 22.
7. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю., Кореневский М.Л. Комбинированный метод решения интегральных уравнений // Диф. уравнения и процессы управления. 1998. № 1. С.1 - 40.
8. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике (вводный курс). СПб.: Изд-во Бином. 2011. 192 с.
9. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Метод численного решения интегральных уравнений на случайной сетке // Диф. уравнения. 1990. Т. 26, №2. С. 333 - 341.
10. Берковский Н.А. Модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург. 2006. 15 с.
References
1. Volterra V. (2005) Theory of functionals and integral and integro-differential equations New York: Dover, 2005. 226 p.
2. Sidorov D.N. (2013) Methods of analysis of integral dynamic models: theory and applications: monograph. Irkutsk: Publishing house of ISU, 2013. 293 p. ISBN 978-5-9624-0813-2. (In Russian).
3. Milov V.R. (2003) Restoration of multidimensional nonlinear dependencies based on experimental data. Scientific problems of water transport, 2003, no. 4. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n7vosstanovlenie-mnogomernyh-nelineynyh-zavisim os-tey-po-eksperimentalnym-dannym (accessed 20.03.2021). (In Russian).
4. Apartsyn A.S., Solodusha S.V., Spiryaev V.F. (2013) Modeling of nonlinear dynamical systems with Volterra polynomials: elements of theory and applications. International Journal of Energy Optimization and Engineering, 2013, vol. 2, no. 4. pp. 16-43.
5. Abas W.M.A., Harutyunyan R.V. (2021) Methods for solving integral equations on a random and pseudo-random grid and their application in applied problems Izvestiya vuzov. The North Caucasus region. Technical sciences, 2021, no. 1 (209), pp. 27-37. D0I:10.17213/1560-3644-2021 -1 -27-37 (In Russian).
6. Nekrasov S.A., Abas W.M.A. Investigation of methods for solving integral equations on a random and pseudo-random grid/ In the collection: Research results-2021. Vi Materials of the National Conference of the teaching Staff and Researchers of the YURSPU (NPI). Novocherkassk, 2021. p. 22. (In Russian).
7. Ivanov V.M., Kulchitsky O.Yu., Korenevsky M.L. (1998) Combined method for solving integral equations. Differential equations and control processes, 1998, no. 1, pp. 1-40. (In Russian).
8. Ermakov S.M. (2011) The Monte Carlo method in computational mathematics (introductory course). Saint Petersburg, Binom Publishing House. 2011. 192 p. (In Russian).
9. Ivanov V.M., Kulchitsky O.Yu. (1990) Method of numerical solution of integral equations on a random grid. Differential. equations, 1990, vol. 26, no. 2, pp. 333-341. (In Russian).
10. Berkovsky N.A. (2006) Modernization of the semi-statistical method for numerical solution of integral equations. Abstract of the dissertation of the Candidate of Physical and Mathematical Sciences. St. Petersburg. 2006. 15 p. (In Russian).
Поступила в редакцию /Received
09 августа 2021 г. /August 09, 2021
