CC BY
15
Наука й Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-040В
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 07. С. 222-233.
DOI: 10.7463/0717.0001283
Представлена в редакцию: 11.06.2017 Исправлена: 25.06.2017
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 004.942
Анализ геометрической разрешимости. Теорема о d-элементах
БОЖКО А.Н.1' ' аЬогЬко@тЬох-Ш
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В статье обсуждается проблема геометрической разрешимости при сборке сложных технических систем. Предложен метод минимизации числа прямых геометрических проверок. Показано, что множество всех собираемых фрагментов конструкции, свободных от геометрических препятствий, образует замкнутую алгебраическую систему - решетку. Это дает возможность решать проблему геометрического доступа алгебраическими методами. Рассмотрены три метода генерации решетки: анализ решетки «сверху-вниз», восстановление решетки по совокупности образующих и вероятностные вывод по байесовским сетям доверия.
Ключевые слова: сборка; автоматизация проектирования сборочных процессов; геометрическая разрешимость; гиперграф; решетка
Введение
В процессе моделирования систем и процессов различной физической природы часто приходится решать задачу планирования перемещений (motion planning, path planning). Качественная постановка этой задачи очень проста. Задана система объектов в пространстве. Определены стартовая и финальная позиции некоторого мобильного объекта (элемента компьютерной сцены, робота, исполнительного органа сборочного автомата или станка с ЧПУ и др.). Требуется определить траекторию объекта, которая переводит его из стартовой позиции в финальную, без столкновений с остальными элементами системы.
Данная проблема возникает и в процессе сборки технических систем (машин, приборов, установок и др.). Здесь статическая подсистема - это собранный фрагмент изделия и элементы технологической оснастки, а перемещаемый объект - деталь, которая устанавливается в служебное положение в составе конструкции. На этапе проектирования маршрутных технологических процессов сборки и при синтезе разбиений изделия на сборочные единицы нет необходимости в генерации траектории движения детали. Для данных проектных решений достаточно только подтвердить существование такой траектории или констатировать наличие непреодолимых геометрических препятствий. Такая облегченная постановку задачи планирования перемещений называется анализом геометрической разрешимости или проверкой геометрического доступа [2,3].
В публикациях по автоматизации проектирования предложены многочисленные разновидности так называемого прямого метода моделирования геометрической разрешимости [10,11]. Суть этого метода - в проверке пересечения геометрической модели мобильного объекта со статическим фрагментом при движении первого по выбранной прямолинейной (чаще всего) траектории. В [4] приведен развернутый обзор исследований данного направления.
Оказалось, что даже в лучшей редакции прямой метод требует очень больших вычислительных затрат для изделий средней сложности, состоящих из нескольких десятков деталей [4,11]. Поэтому важной и актуальной является задача определения минимального числа геометрических проверок, по результатам которых можно синтезировать корректные проектные решения: последовательность сборки и декомпозицию изделия на сборочные единицы. К сожалению, в работах по автоматизации проектирования сборочных процессов (computer aided assembly planning) этой задаче уделено недостаточное внимание. К числу немногих исключений принадлежат работы автора [2-4].
В [3] описана теоретико-игровая модель анализа геометрической разрешимости. Задача сформулирована как неантагонистическая игра ЛПР и природы по окрашиванию вершин упорядоченного множества в два цвета. В терминах данной модели, выбор цвета для неокрашенной вершины - это единичная проверка некоторой геометрической ситуации. В этой работе предложены рациональные стратегии окрашивания упорядоченных множеств в различных проектных ситуациях.
Данная статья является продолжением работы [6], в которой приведена теоретико-решеточная формализация геометрической разрешимости и доказана важная теорема о разрешенных цепях. Напомним основные определения.
Геометрические ситуации и разрешенные цепи
Структуру любого изделия, детали которого в процессе сборки ведут себя как абсолютно твердые тела, можно описать в виде s-гиперграфа. Любой конструктивный фрагмент изделия (сборочная единица, узел и пр.), который может быть собран независимо, представляется в виде s-подграфа данного гиперграфа
Пусть X = {x }"=1 - множество деталей некоторого изделия, а H = (X, R) -s-гиперграф, описывающий сборочную структуру изделия. Упорядоченная по включению совокупность всех s-подграфов гиперграфа H представляет собой решетку (F(H), <) или
в кратком обозначении - F(H). Для любых двух s-подграфов (A, RA) и (B, RB),
A, B е X; Ra , RB е R, решетки F(H) (A, RA ) < (B, RB ) тогда и только тогда, когда A е B [1].
Для упрощения терминологии, множества вершин любого s-гиперграфа будем называть ^-множеством.
Определение 1. Геометрической ситуацией назовем кортеж (A, x), где x - деталь, A-s-множество и A U {х} является s-множествами.
Определение. 2. Ситуацию (А, х) назовем разрешенной, если существует движение, которое переводит деталь х в служебное положение в изделии, то есть реализует ^-множество А и {х} в трехмерном пространстве. В противном случае ситуация называется запрещенной.
Определение 3. Максимальная (А,В)-цепь решетки F(H), которая начинается в ^-множестве А и заканчивается в ^-множестве В, А < В, называется разрешенной, если каждое ее ребро соответствует разрешенной геометрической ситуации.
В [6] доказана важная теорема, утверждающая, что если в решетке F(H) существует максимальная разрешенная цепь, соединяющая наименьший и наибольший элементы, то такая цепь найдется и для любого ^-множества А ^ X . Эта теорема в точных алгебраических терминах выражает свойство, которое хорошо согласуется с геометрической интуицией человека. А именно, если существует хотя бы одна последовательность сборки изделия, свободная от геометрических препятствий, то такая последовательность найдется для любого собираемого фрагмента изделия.
На рис.1, а изображена простая конструкция крепления вала, а на рис. 1, б показана решетка F(H) всех обираемых множеств данной конструкции. Пунктирные линии обозначают разрешенные цепи. Жирным пунктиром изображена разрешенная цепь, которая соединяет минимальный элемент решетки (пустое множество) с максимальным (все детали изделия).
1 г. 3.4.5.6,7,-8
а) б)
Рис. 1. Конструкция крепления вала (а) и решетка F(H) данной конструкции (б)
Утверждение. Если ситуация (А, х) является разрешенной, то любая ситуация (В, х) такая, что В ^ А, также является разрешенной.
Действительно, если ^-множество А не содержит геометрических препятствий для установки детали х, то их не может быть в меньшем по составу собираемом множестве В.
Определение 4. Пусть дана решетка F(И). ^-множество А е Г(И) назовем ^-множеством (^-элементом), если в решетке F(И) существует хотя бы одна максимальная разрешенная (А,1)-цепь.
Иными словами, ^-множество - это такой фрагмент конструкции, который не содержат геометрических препятствий, и сборку которого можно продолжить до изделия в целом.
Теорема 1. Пусть в решетке F(И) есть по крайней мере одна максимальная разрешенная (0,1)-цепь. Для любых ^-элементов А и В решетки их решеточное пересечение А л В = В также является ^-элементом.
Доказательство. Пусть А и В два ^-элемента решетки F(И). Если эти элементы сравнимы, то справедливо А л В = В либо А л В = А и теорема выполняется тривиально. Рассмотрим случай, когда эти элементы несравнимы и обозначим решеточное пересечение С = А л В . Отметим, что в решетке F(И) решеточное пересечение эквивалентно теоретико-множественному.
Объединение всех атомов, которые входят в разрешенною (Л,^¥)-цепь. образует дополнение А = X \ А. Представим это дополнение в виде непересекающегося объединения
двух множеств В С и ЛГ\(лиД) = то есть А = \ С). Обозначим
х.х. ,...,х атомы, входящие в дополнение В = В \ С. Пусть итерация этих атомов сов падает с порядков следования атомов в разрешенной цепи (ЛД^-цепи (рис. 2).
Обозначим С, I = 1, к, элемент решетки F(И), который принадлежит разрешенной (А,Х)-цепи и получается сразу после установки атома х. . Например, С1 получается сразу после установки атома с номером ¡1 (рис. 3). Элемент С] включает в себя множество А,
Теорема о ^-элементах
Рис. 2. Разложение множества А
атом {х } и некоторые атомы из Х(А и В). Используем данный факт для определения решеточного пересечения
По аналогии с предыдущей формулой можно найти пересечение элементов С2 и В
Рис. 3. Разрешенные цепи и решеточные пересечения
В общем случае, для любого I = 1, к справедливо выражение
С, А1? =^иГйч>]П1г=сиГи^>)
и-] ) ----- ]
(1)
Из формулы (1) следует, что (См л В) \ (С{ л В) = {хг;+1}, I = 1, к -1. Поскольку справедливо равенство
то элементы С л В и С соединяет в решетке F(И) ребро, помеченное атомом {х } (рис. 3). Рассмотрим две ситуации (с \{х}, \ ) и (с, х^ ) . Очевидно, что выполняются неравенства С < А < |с }}. Первая ситуация является разрешенной, поскольку принадлежит
разрешенной (А,Х)-цепи. Согласно утверждению, ситуация (С, х^ ) также является разрешенной.
В общем случае, для любых двух геометрических ситуаций (С \{х },х I и (сн л В, х |, I = 1, к -1 выполняется неравенство л В < Сг1 < С \{х } . Кроме того, каждая ситуация вида (С \{х },х I является разрешенной, поскольку принадлежит разрешенной (А,Х)-цепи. Поэтому ситуация (сн л В, х ) также является разрешенной для
любого I = 2, к . Это значит, что элемент А л В соединяет с элементом В разрешенная цепь. По условиям теоремы В является ё-элементом, поэтому существует разрешенная ( А л В ,1)-цепь, а элемент А л В является ё-элементом решетки F(H). Теорема доказана.
Теорема 2. Множество В(Н) с Р(Н) всех ё-элементов решетки F(H) является под-полурешеткой относительно операции решеточного пересечения.
Доказательство. Справедливость теоремы немедленно следует из теоремы 1, поскольку в решетке F(H) операция решеточного пересечения совпадает с теоретико-множественным пересечением ё-множеств.
Лемма. Если упорядоченное множество (Р, <) имеет наибольший элемент и для любой пары элементов а,Ь е Р существует \^{а,Ъ}, то упорядоченное множество (Р,<) является решеткой [8].
Теорема 3. Непустое множество всех ё-элементов решетки F(H) является решеткой (Н), л, относительно операций решеточного пересечения л и объединения vD ё-элементов.
Доказательство. Если множество В(Н) Ф 0, то оно включает в себя хотя бы один ё-элемент С. Согласно определению 4, существует максимальная разрешенная (С,1)-цепь, поэтому наибольший элемент (единица, 1) решетки F(H) принадлежит D(H). Для любых двух ё-элементов А и В решетки F(H) положим тЦА, В} = А л В . Множество О(И) имеет наибольший элемент и для каждой пары его элементов существует точная нижняя грань, поэтому, согласно лемме, D(H) является решеткой.
В решетке (0(Н), л, операция пересечения совпадает с пересечением в
(Р(Н), л, V) . Операция vD, в общем случае, отличается от операции V в решетке F(H), но всегда выполняется неравенство А vD В > А V В.
На рис. 4 изображена решетка (0(Н), л, конструкции крепления вала, показанной на рис. 1. На этом рисунке большие вершины изображают ё-элементы, а разрешенные
цепи нарисованы толстыми линиями. Эта решетка представляет собой частный случай, когда А vD В = А V В.
Рис. 4. Решетка -О(И) конструкции крепления вала
Восстановление решетки О(И) и способы генерации ^-элементов
Теорему 3 можно использовать для организации различных одношаговых и многошаговых процедур рационального анализа геометрической разрешимости. Это очень перспективное направление, требующее отдельного глубокого исследования. Отметим возможные подходы к решению данной задачи.
Целью анализа геометрической разрешимости может быть определение всей решетки О(И) или некоторой ее части, которая дает достаточно альтернатив для следующих этапов процедуры последовательного принятия решений. Из теоремы 3 немедленно следует, что для проверки необходимо выбрать такое множество вершин решетки F(И), элементы которого являются попарно несравнимыми (антицепь). Пусть проверка показала, что выбранные вершины являются ^-вершинами (не содержат препятствий). Тогда это множество можно расширить, получая всевозможные решеточные пересечения и объединения выбранных элементов. Таким образом, геометрические связи изделия объективи-
руются без использования прямых геометрических тестов, только за счет алгебраических свойств решеток F(H) и Б(И).
Другое очень перспективное направление в задаче минимизации числа проверок, основано на технике восстановления решеток. Для этого требуется найти такое набор элементов (в алгебраической теории решеток они называются образующими), которые при помощи решеточных операций позволяют получить все элементы решетки D(H). Поскольку решетка Б(И) априори неизвестна, то можно воспользоваться множеством образующих большей решетки F(H). Значительную часть решетки D(H) (иногда всю) можно восстановить по совокупности сечений.
Выше описана схема одношаговой процедуры анализа разрешимости, когда множество проверяемых вершин определяют полностью до реализации любых геометрических тестов. Можно предложить и несколько рациональных многошаговых процедур, в которых совокупность анализируемых вершин определяют по результатам ранее сделанных проверок.
Сборка всегда сопровождается усложнением геометрии собираемого изделия. На последней сборочной операции, когда сборочный полуфабрикат содержит максимальное число деталей, в конструкции объективируются все запрещенные группировки деталей и геометрические препятствия. Поэтому анализ на геометрическую разрешимость целесообразно проводить сверху-вниз. На первом шаге проверить все вершины решетки F(H), которые покрывает наибольший элемент. Затем найти все решеточные пересечения полученных ё-элементов и перейти к анализу вершин следующего уровня, статус которых еще не определен. Процедура завершается восстановлением всей решетки Б(И) или достаточно представительной ее части.
Анализ геометрической разрешимости при сборке можно поставить как задачу вероятностного вывода на алгебраических байесовских сетях [10]. В этом случае решетку F(H) рассматривают как байесовскую сеть, каждой вершине А которой приписано априорная вероятность р(А) события А = {данная вершина является ё-вершиной}. Ребрам (А,В) решетки сопоставлены условные вероятности р(В|А) событий вида В|А = {вершина В является ё-вершиной, при условии, что вершина А - ё-вершина}.
Если не существует никакой предварительной информации о геометрических связях в изделии, то в начале решения задачи все априорные вероятности равны 0,5. В общем случае, выполняется предположение о том, что вероятность р(А) растет с уменьшением ранга вершины в решетке F(H), поэтому начальную ситуацию можно описать и некоторым неравномерным распределением вероятностей.
Проверку на разрешимость выполняют методом «снизу-вверх». Выбирают некоторое множество несравнимых вершин решетки и для них выполняют надлежащие геометрические проверки. Информация, полученная после реализации геометрических проверок, позволяет пересчитать вероятности следующих событий: С = {вершины верхних уровней решетки F(H) являются ё-вершинами} и Б = {вершины нижних уровней решетки F(H) не являются ё-вершинами}. После генерации значений для апостериорных вероятностей
можно выбрать новое множество перспективных вершин, проверить их, пересчитать вероятности и так далее до полной генерации решетки D(H).
Заключение
Рассмотрена проблема минимизации числа геометрических проверок при синтезе последовательности сборки сложных изделий. Показано, множество всех независимо собираемых фрагментов изделия, которые свободных от геометрических препятствий, представляют собой хорошо организованную структуру - решетку D(H). Данное утверждение позволяет применить алгебраические методы теории решеток для решения геометрических задач. Кроме того, решетка D(H) может служит основой для организации различных интерактивных процедур проверки на геометрическую разрешимость. Предложены три базовые схемы анализа: анализ элементов решетки сверху-вниз, восстановление решетки D(H) и вероятностный вывод на байесовких сетях доверия.
Список литературы
1. Божко А.Н. Алгебраические модели процесса сборки изделия // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 12. С. 216-232.
DOI: 10.7463/1216.0852565
2. Божко А.Н. Геометрическая разрешимость трехмерных сцен // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Приборостроение. 2013. № 3(92). С. 76-89.
3. Божко А.Н. Игровое моделирование геометрического доступа // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2009. № 12. Режим доступа: http://technomag.neicon.ru/doc/134322.html (дата обращения 21.01.2016).
4. Божко А.Н. Методы анализа геометрической разрешимости при сборке изделий // Интернет-журнал Науковедение. 2016. Т. 8. № 5(36). С. 72. DOI: 10.15862/82TVN516
5. Божко А.Н. Моделирование позиционных связей в механических системах // Информационные технологии. 2012. № 10. C. 27-33.
6. Божко А.Н. Теоретико-решеточное моделирование геометрической разрешимости при сборке изделий // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 6. С. 118-130. DOI: 10.7463/10.7463/0617.0001226
7. Божко А.Н. Теоретико-решеточная модель конструкции // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 9. Режим доступа: http://technomag.neicon.ru/doc/207577.html (дата обращения 09.11.2016).
8. Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки. Определения, свойства, примеры. 2-е изд. М.: URSS; Либроком, 2013. 348 с.
9. Тулупьев А.Л., Николенко С.И., Сироткин А.В. Байесовкие сети: Логико-вероятностный подход. СПб.: Наука, 2006. 607 с.
10. Bahubalendruni R., Biswal B. A review on assembly sequence generation and its automation // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Pt. C: J. of Mechanical Engineering Science. 2016. Vol. 230. Iss. 5. Pp. 824-838. DOI: 10.1177/0954406215584633
11. Delchambre A. Computer-aided assembly planning. Dordrecht: Springer, 2012. 283 p. DOI: 10.1007/978-94-011-2322-8
12. Ericson Ch. Real-time collision detection. Amst.; Boston: Elsevier, 2005. 593 p.
Science ¿Education
of the Bauman MSTU
El
tft
tronic journa
iSSH 1994-0408
/
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 07, pp. 222-233.
DOI: 10.7463/0717.0001283
Received: 11.06.2017
Revised: 25.06.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Analysing Geometric Obstacles. A Theorem on d-Elements
A.N. Bozhko1' ' abozhkojSinboxju
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: assembly, computer aided assembly planning, geometric obstacles, hypergraph, lattice
The product geometry is a fundamental constructive property that has a strong impact on the basic design choices of the assembly process: the product assembly flotation and decomposition into assembly units. The assembly process must be mounted so that the previously set components and elements of technological system could not create geometric obstacles for the main and auxiliary working moves. The paper considers mathematical modelling methods of geometric constraints and restrictions in computer-aided design systems.
Publications, about computer-aided design propose numerous varieties of the so-called direct modelling method for geometric obstacles. The principle of this method is to verify the intersection of the geometric model of a mobile object with a static fragment when the first moves along the chosen straight -line (most often) trajectory.
It turned out that even in the best version, the direct method is computationally very expensive for products of medium complexity, consisting of several dozen components. Therefore, it is important and urgent to determine the minimum number of geometric verifications, the results of which can be used to synthesize the correct design choices: the assembly flotation and product decomposition into assembly units.
The paper proposes a theoretical-lattice formalization of the geometric obstacle of the product. It is shown that the aggregate of all constructive fragments that are assembled independently and do not contain geometric obstacles form a closed algebraic structure that is a lattice. A theorem on d-elements is proved. This theorem allows us to solve the problem of geometric obstacle by cost-conscious algebraic methods. The paper offers three ways for lattice generation: analysis of anti-chains "top-down", lattice reconstruction using a set of generative elements, and probabilistic conclusion based on the Bayesian networks of confidence.
References
1. Bozhko A.N. Algebraic models of product assembly process. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2016, no. 12, pp. 216-232. DOI: 10.7463/1216.0852565 (in Russian)
2. Bozhko A.N. Geometrically resolvability of three-dimensional scenes. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering], 2013, no. 3(92), pp. 76-89 (in Russian).
3. Bozhko A.N. Game modelling of geometric access. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2009, no. 12. Available at: http://technomag.neicon.ru/doc/134322.html , accessed 21.1.2016 (in Russian).
4. Bozhko A.N. Methods of analysis of geometric obstacles in the assembly of products. Inter-net-zhurnalNaukovedenie [Sociology of Science], 2016, vol. 8, no. 5(36), p. 72.
DOI: 10.15862/82TVN516 (in Russian)
5. Bozhko A.N. Modeling of positional relationships in mechanical systems. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2012, no. 10, pp. 27-33 (in Russian).
6. Bozhko A.N. Theoretical-lattice modeling of geometric obstacles in the assembly of products. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2017, no. 6, pp. 118-130. DOI: 10.7463/10.7463/0617.0001226 (in Russian)
7. Bozhko A.N. Theoretically-lattice model of the design. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 9. Available at: http://technomag.neicon.ru/doc/207577.html , accessed 09.11.2016 (in Russian).
8. Gurov S.I. Bulevy algebry, uporyadochennye mnozhestva, reshetki. Opredelenima, svoostva, primery [Boolean algebras, ordered sets, lattices. Definitions, properties, examples]. 2nd ed. Moscow: URSS; Librokom Publ., 2013. 348 p. (in Russian).
9. Tulup'ev A.L., Nikolenko S.I., Sirotkin A.V. Bajesovskie seti: Logiko-beroiatnostnyj podkhod [Bayesian networks: Logical- probabilistic approach]. S.-Petersburg: Nauka Publ., 2006. 607 p (in Russian).
10. Bahubalendruni R., Biswal B. A review on assembly sequence generation and its automation. Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Pt. C: J. of Mechanical Engineering Science, 2016, vol. 230, iss. 5, pp. 824-838. DOI:10.1177/0954406215584633
11. Delchambre A. Computer-aided assembly planning. Dordrecht: Springer, 2012. 283 p. DOI: 10.1007/978-94-011-2322-8
12. Ericson Ch. Real-time collision detection. Amst.; Boston: Elsevier, 2005. 593 p.
