CC BY
28
УДК 531.1; 531.8
В. К. МАНЖОСОВ, А. А. САМСОНОВ
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ СВЯЗИ
Рассмотрена модель плоского рычажного механизма с линейным перемещением ведущего звена. Для анализа движения механизма используются уравнения связи. Для поиска решения нелинейного уравнения применяется метод последовательных приближений. Алгоритм позволяет найти решение уравнения с заданной степенью приближения к истинному значению. Полученные результаты показали возможность использования уравнений связей для анализа механизма в различных положениях ведущего звена
Ключевые слова: плоский механизм, уравнения связи, метод последовательных приближений, передача движения, угол давления, угол передачи движения.
Плоские четырёхзвенные механизмы широко распространены в технике. На рисунке 1 приведены характерные схемы известных четырёхзвенных механизмов: кривошипно-ползунный механизм, кри-вошипно-коромысловый, кулисный, синусный [1].
а) кривошипно-ползунный механизм
\ / б) кривошипно-коромысловый механизм
7777777.
а) кулисный механизм а) синусный механизм
Рис. 1. Характерные схемы четырёхзвенных механизмов
Отметим некоторые публикации [2-8], которые связаны с исследованием плоских рычажных механизмов. Обратим внимание, что механизмы, имеющие поступательную кинематическую пару, в процессе движения характеризуются изменением расстояния между определёнными точками этого механизма (расстояния между точками А и С в кривошипно-ползунном механизме, расстояния между точками В и С в кулисном и синусном механизмах).
На рис. 2 представлена схема плоского четырёхзвенного рычажного механизма, в котором изменение расстояния между точками В и С обеспечивается за счёт линейного перемещения звена 4
© Манжосов В. К., Самсонов А. А., 2017
относительного звена 3. Звеньями, выполняющими функции ведущего звена, могут быть как звено 2 (если задана функция угла поворота (2 = (2 (V)) или 3 (если задана функция угла поворота
(р3 = (р3 (V)), так и звено 4 (если задана функция sBC = sBC (V), определяющая расстояние между точками В и С).
2 и 3 - звенья с вращательными кинематическими парами А и В; 4 - шток
Рассмотрим условия передачи движения в механизме, когда ведущим звеном является звено 4. Для функционирования рычажного механизма необходимо определить возможность передачи движения от ведущего звена к ведомому, когда угол передачи движения находится вне зоны критических значений. Ниже изложена процедура анализа условий передачи движения в механизме (рис. 2) с использованием уравнений связей.
Движение механизма рассматриваем в плоскости XOY . Механизм имеет стойку 1, ведомое звено 2, ведущее звено 4 в виде штока цилиндра 3, шарнирно закрепленного на стойке.
Для рассматриваемого механизма запишем уравнение связи между точками В и С в виде
(хс - хв)2 + (Ус - Ув )2 - sBc = ^ (1) где хС и уС, хв и yB - координаты точек С и В; sBC - расстояние между точками В и С. Координаты точек В, С и F определяются из уравнений:
хс = XA + 1л, Cos Pi + lAC sin P2 , Ус = Ja + lA, sln Pi - lAc Cos Pi , (2)
XF = XA + (lA,
+ Ia2 ) cos Pi - If cosp + P), yF = Ул + (A + ) sin Pi - If sinp + P), (3)
где xA и yA - координаты точки A; lA, - длина AA,; lA,C - длина A,C ; lA - длина A,A2; lF - длина A2F; p2 - угол, определяющий положение звена 2 относительно оси х; р3 - угол, определяющий
положение звена 3 относительно оси х; P - угол A,A2F .
При определении координат считаем, что геометрические параметры механизма (координаты неподвижных точек А и В, длины звеньев, изменение во времени расстояния sBC и угол а) заданы. Рассмотрим уравнение (1). Оно может быть преобразовано к виду:
(XA + lA, COs P2 + lA,C sln P2 - XB )2 + (yA + lA, sin P2 - lA,C COs P2)2 - Slc = 0, SBC = S01 + S1(t) , (4)
где s01 - минимальное расстояние между точками В и С; s, (t) - перемещение штока 4 цилиндра. Представим (4), используя относительные величины координат точек и длин звеньев:
(XA - XB + U COs P2 + lA1C sin P2)2 + (yA + L, sin P2 - lA1C COs P2)2 - Slc = 0, (5)
где Xa = XA / S01 ; ХВ = ХВ / S01 ; lA1 = lA1 / S01 ; lA1C = lA1C / S01 ; = yA / S01 ; SBC = SBC / S01 .
Используем численный способ решения нелинейного уравнения (5) методом последовательных приближений. Допустим, имеется нелинейное уравнение вида f (у, х) = 0 и необходимо найти для
заданного х, значение у,, при котором /(у1, х.) « 0 . Заданы диапазоны изменения аргумента х и интересующей нас функции у: хт1П < х < xmax, утт < у < утах.
Процедура последовательных приближений продолжается до тех пор, пока для заданного х. не будет найдено значение у1, при котором (-г) < /(у., х.) < £ . Далее должно быть задано новое значение хт1П < х1+1 < хтах и аналогично отыскивается значение у1+1, при котором (-£) < /(у1+1, х.+1) < £ .
В соответствии с изложенным алгоритмом разработана численная процедура поиска решений нелинейного уравнения (5), где аргументом является переменная я вс = явс / я01, а определяется
Ч>2 = Рг (я вс ) .
В таблице 1 приведены значения р2 при решении уравнения (5) с различной степенью приближения р2 к точному значению (£ е (0,01; 0,001; 0,0001) при следующих параметрах механической системы: 1Л = 0,156; хв = 0,462; 1А = 1,237; 1АС = 0,325; уА = 0,437; 1 < Звс < 1,687.
_Таблица 1
= SBC (t) АВС ~ S01 Значения р2 при приближенном решении уравнения (5), рад Аналитический расчёт р2 из уравнения (6)
Расчёт р2при приближении s = 0,01 Расчёт р2при приближении s = 0,001 Расчёт р2при приближении s = 0,0001
1 0Д3093 0,12793 0Д2756 0,12756
,,0687 0,26285 0,26,35 0,26097 0,26091
,,,374 0,39476 0,39026 0,39064 0,39064
i.206, 0,5,468 0,51918 0,5,955 0,51953
1,2748 0,64660 0,64959 0,64969 0,64970
i,3435 0,7785, 0,7830, 0,78320 0,78313
i,4i22 0,92242 0,92242 0,92204 0,92199
,,4809 ,,06632 1,06932 ,,06895 1,06897
,,5436 ,,2342, ,,22822 ,,22784 1,22791
Х,6,8 1,40210 ,,405,0 1,40511 1,40515
i,687 ,,6X796 ,,6,347 1,61310 1,61319
В последнем столбце табл. 1 приведены результаты аналитического расчёта р2 по формуле
l A + l AC + (Уа ~ Ув )2 + (ХВ ~ ХА )2 - -^BJC Jl4 + lAtC У - y„ р2 = arc cos-. —. + arctg -—=--arctg —-B . (6)
2<J ¿A +1 ac • VcyA-yBT+^xJ и хв- xa
Обратим внимание, что при степени приближения s = 0,0001 различие можно наблюдать лишь в пятом знаке после запятой. Это указывает на возможность использования уравнений связей при анализе передаточных свойств механизма для различных положений ведущего звена. Для определения угла р3 = р3(р2) обратимся к схеме (рис. 2) и запишем уравнение:
Уа + lA, sin Р2 - Ас cos Р2 Уа + L, sin Р2 -1 Ас cos Р2 р3 = arctg-:-= arctg-
Xa + U cos Р2 + 1AC sin P2 - xB Xa +1 л cos P2 +1 AC sin P2 - Хв
Рассмотрим процедуру определения угла передачи движения у (рис. 3). Угол передачи движения у, дополняет угол давления а, до п / 2 (угол давления а, - угол между направлением силы Р4 и направлением скорости Vc).
На рис. 3 представлены схемы передачи движения от звена 4 звену (схема а - толкающий режим, схема б - тянущий режим). В обоих случаях угол передачи движения у, равен углу АСВ.
Б
а)
Рис. 3. Схемы передачи движения от звена 4 звену 2: схема а - толкающий режим, схема б - тянущий режим
Угол передачи движения у определяется из уравнения:
у = arccosi
11+1% + 4с -[(У а - У в )2 + (хв - ха )2]
2фА +12
Ас
у = arccosJ
1А + 1 А2с + * ВС2 - [(УА - Ув )2 + (ХВ - ХА )2]
+ 1 АС ' 5ВС
1 = I / V •
1в 1в ' •'о:'
1 = I / V
1А 1А ' Л01 •
где 1 А = 1А / 501 ; 1 ас = 1АС / 501 ; = (0 / 501 ; Результаты расчёта (рАС = (рАС (VIвс ) , р2 = р2 ($вс ), р3 = р3 (5ВС ) и у1 = у1(5 ВС) для параметров механизма ХА = 0,156; Хв = 0,462; 1 А1 = 1,237; I Ас = 0,325; уА = 0,437; 1 <5ВС < 1,687; 51 = ЯД/1) / 501 приведены в табл. 2 и изображены в виде диаграмм на рис. 4.
Таблица 2
5ВС Угол рас Угол р2 Угол р3 Угол у
в рад. в град. в рад. в град. в рад. в град. в рад. в град.
1 -0,1294 -7,4157 0,12756 7,31253 0,27548 15,7918 0,40484 23,20752
1,0687 0,00398 0,22827 0,26091 14,9565 0,42649 24,4482 0,42250 24,21994
1,1374 0,13372 7,66536 0,39064 22,3936 0,56347 32,3009 0,42975 24,6356
1,2061 0,2626 15,0535 0,51953 29,7817 0,69139 39,6335 0,42878 24,57997
1,2748 0,39277 22,5155 0,6497 37,2437 0,81366 46,6427 0,42088 24,12725
1,3435 0,52621 30,1648 0,78313 44,8930 0,933 53,4839 0,40678 23,31912
1,4122 0,66507 38,1248 0,92199 52,8530 1,05185 60,2972 0,38678 22,17242
1,4809 0,81204 46,5502 1,06897 61,2784 1,1728 67,2303 0,36075 20,68009
1,5436 0,97099 55,6616 1,22791 70,3898 1,29903 74,4666 0,32804 18,80496
1,618 1,14822 65,8217 1,40515 80,5499 1,43535 82,2813 0,28712 16,45955
1,687 1,35627 77,7477 1,61319 92,4759 1,55081 88,8997 0,23451 13,44379
Углы поворота р2 и р3 монотонно возрастают с увеличением ). Минимальное значение Р2тт = 7,31°, максимальное значение р2тах ~ 92,470. Для угла р3 эти значения соответственно составляют р3тш = 15,79° и р3тах « 88,89°. Угол поворота рАС идентичен углу р2 и отличается от него на величину Др2 = 14,72°.
& 100
гС
а
>
Vi
—? Л
0,137 0,274 0,412 0,544
Перемещение штока цилиндра, Si(f)
0,687
Рис. 4. Диаграммы углов рАС , р2, р3 и у1 в зависимости от перемещения штока цилиндра isl(t) при xA = 0,156; xB = 0,462; lA1= 1,237; I AC = 0,325; jA = 0,437; 0 < s(t) < 0,687
Угол передачи движения ^ меняется незначительно. В основном он находится в диапазоне от
24,63° до 20,68° и лишь в конце движения уменьшается до 13,44°.
Для передачи движения с минимальными затратами энергии целесообразно, чтобы угол передачи движения был близок к я /2 . Значения у1 в диапазоне от 24,63° до 13,44° значительно отличаются от рациональных. В этой связи возникает необходимость определения границы «мёртвой зоны» -y1min, ниже которой передача движения из-за трения в кинематических парах невозможна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. - М. : Наука, 1988. - 640 с.
2. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Филипповский В. П. Механические импульсные генераторы с шар-нирно-рычажным захватывающим устройством. - Фрунзе : Илим, 1975. - 148 с.
3. Абдраимов С., Джуматаев М. С. Шарнирно-рычажные механизмы переменной структуры. - Бишкек : Илим, 1993. - 177 с.
4. Алмаматов М. З. Новая концепция синтеза плоских рычажных механизмов. - Бишкек : Текник, 2005. - 150 с.
5. Манжосов В. К., Петрова Т. Е. Передача движения в кривошипно-коромысловом механизме // Вестник УлГТУ. - 2013. - №1. - С. 20-23.
6. Liu K. and W. P. B°yle. Dimensi°nal Optimizati°n for the Crank-R°cker Mechanism using TK S°lver // Int. J. Engng Ed.V°l. 13, N°. 6, 1997. - pp. 417- 425.
7. Galal A. Hassaan, M°hammed A. Al-Gamil and Maha M. Lashin. Optimal Kinematic Synthesis °f 4-bar Planar Crank-R°cker Mechanisms for a specific Stroke and time Rati° // Internati°nal J°urnal °f Mechanical and Pr°ducti°n Engineering Research and Devel°pment (IJMPERD), V°l. 3, Issue 2, Jun 2013. - pp. 87-98.
8. Subhash N. Waghmare, R°shan B. Mendhule, M.K. S°npimple. Optimal Synthesis °f Crank R°cker Mechanism f° P°int t° P°int Path Generati°n // Internati°nal J°urnal °f Engineering Inventi°ns. V°l. 1, Issue 2, 2012. -pp. 47 - 55.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара. [E-mail: [email protected] ].
Самсонов Александр Анатольевич, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи и патенты в области создания механизмов различного технологического назначения.
Поступила 06.08.2017 г.
