CC BY
34
УДК 621.33.01 (075.8)
Г. К. ГЕТЬМАН, С. Л. МАР1КУЦА (Д11Т)
АНАЛ13 АНАЛ1ТИЧНИХ ФУНКЦ1Й ДЛЯ АПРОКСИМАЦ11 УН1ВЕРСАЛЬН01 МАГН1ТН01 ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЯГОВИХ ДВИГУН1В ПОСТ1ЙНОГО ТА ПУЛЬСУЮЧОГО СТРУМУ
Розглянуто ряд функцш для апроксимацп ушверсально! магнгтно! характеристики та и похщно!, оцшено 1х точн1сть та вщповвдшсть висунутим вимогам.
Ключовi слова: ушверсальна магштна характеристика, тягов1 двигуни постшного та пульсуючого струму, похвдна, апроксимац1я
Рассмотрен ряд функций для аппроксимации универсальной магнитной характеристики и ее производной, оценена их точность и соответствие выдвинутым требованиям.
Ключевые слова: универсальная магнитная характеристика, тяговые двигатели постоянного и пульсирующего тока, производная, аппроксимация
A number of functions for approximating the universal magnetic curve and its derivatives, their accuracy and conformity to the requirements put forward by the authors have been studied.
Keywords: universal magnetic curve, traction DC and AC motors, derivative, approximation
Ушверсальну магштну характеристику, за-пропоновану М. Д. Находкшим та В. С. Хвос-
ховуе розмагшчуючу Д1Ю реакци якоря, оскшь-ки вона створена шляхом обробки експеримен-
товим [1] використовують для розрахунку елек- тально визначених внутршшх навантажуваль-тромехашчних характеристик тягових двигушв них характеристик реальних тягових двигушв. постшного та пульсуючого струму. Вона являе Тому при використанш ще! характеристики не
собою залежшсть магштного потоку головних полюс1в вщ магшторушшно! (намагшчуючо!)
потр1бно враховувати розмагшчуючу дда реак-цп якоря. Параметри ушверсально! магштно!
сили Ф (F ), виражених у вщносних одиницях. характеристики наведено зпдно [2] в табл. 1 та
Дал1 в тексп шд позначенням Ф*(^) будемо розум1ти реальну ун1версальну характеристику, а шд Ф(F) - функщю для ii апроксимац1!.
Ун1версальна магштна характеристика вра-
на рис. 1, де Кн - коеф1ц1ент насичення; Ф та
*
F - в1дпов1дно значения магн1тного потоку та магн1торуш1йно'1 сили.
Таблиця 1
Ушверсальна магштна характеристика
№ з/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
кн 0 1 1,01 1,015 1,02 1,027 1,03 1,035 1,044 1,052 1,061 1,068 1,076
F* 0 0,145 0,15 0,155 0,16 0,165 0,17 0,175 0,18 0,185 0,19 0,195 0,2
Ф* 0 0,426 0,44 0,452 0,464 0,475 0,488 0,5 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55
№ з/п 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
кн 1,085 1,091 1,1 1,11 1,125 1,131 1,142 1,156 1,168 1,172 1,18 1,198 1,205
F* 0,205 0,21 0,215 0,22 0,225 0,23 0,235 0,24 0,245 0,25 0,255 0,26 0,265
* Ф 0,56 0,57 0,578 0,585 0,592 0,6 0,608 0,615 0,622 0,63 0,639 0,641 0,65
№ з/п 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
кн 1,22 1,235 1,24 1,255 1,265 1,28 1,285 1,415 1,543 1,67 1,79 1,91 2,04
F* 0,27 0,275 0,28 0,285 0,29 0,295 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6
Ф* 0,655 0,66 0,668 0,672 0,679 0,682 0,69 0,73 0,764 0,795 0,823 0,849 0,87
№ з/п 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
кн 2,15 2,27 2,38 2,49 2,61 2,74 2,84 2,95 3,06 3,16
F* 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1
Ф* 0,89 0,91 0,928 0,945 0,96 0,971 0,988 1 1,014 1,026
© Гетьман Г. К., Маркуца С. Л., 2011
63
1нколи, при проведенш розрахунюв виникае де шдексами 7 та 7 +1 позначено значения маг-
необхщшсть визначення похщно! ушверсально! штного потоку Ф* та магшторушшно! сили Г*
магштно! характеристики. II можна визначити на початку та в кшщ вщповщних штерватв
як: магшторушшно! сили.
йф* Дф ф*+1 - ф* Похщну ушверсально! магштно! характери-
(1) стики, у вигляд! кусочно -П0СТШН01 функцп, зображено на рис. 1.
йГ аг ^ - г*
ф 1
й Ф * йГ
3
0,8 -- 2,4
0,6 -- 1,8
0,4 -- 1,2
0,2 -- 0,6
0
-
-
- N Ф^ *
— - а Ф*/йЕ*
-
- 7
/
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,: Г
Рис. 1. Ушверсальна магттна характеристика та и похщна
3 наведеного рисунка видно, що користува-тися ушверсальною магштною характеристикою та И похщною не досить зручно, оскшьки не встановлено чпгого взаемозв'язку м1ж !хш-ми параметрами. Це призводить до того, що при проведенш розрахунюв, основним способом визначення значень магштного потоку Ф та похщно! йФ /йГ е граф1чний спос1б, який вимагае значних затрат часу.
Питания анаттичного представления як кривих намагшчування феромагштних матер1а-л1в, так 1 магштних характеристик електричних машин досить повно висв1тлене в техшчнш л> тературь Що стосуеться апроксимацп ушверсально! магштно! характеристики тягових двигу-шв, то на даний час юнують лише дв1 вщом1 авторам пропозицп, викладеш в [3, 4].
Приведен! вище обставини, а також важли-вють цього питания для практичних розрахун-юв тягових електричних машин, спонукало ав-тор1в вивчити можливють представления маг-
штно! характеристики та И похщно! за допомо-гою ряду вщомих анаттичних вираз1в.
Анаттичш вирази магштно! характеристики тягового двигуна можуть використовуватися при моделюванш як стацюнарних, так 1 перех1-дних електромехашчних процешв. Тому бажа-но, щоб вони задовольняли наступним вимо-гам:
1) апроксимуюча функщя повинна якомога точно вщображати ушверсальну характеристику;
2) похщна функцп повинна вщображати якомога близько похщну магштно! характеристики;
3) функщя не повинна мати точок переги-
ну;
4) похщна анаттично! функцп повинна бути неперервною.
5) анаттична функщя повинна бути однозначною непарною функщею, для яко!:
ф(_Г) = -ф(Г). (2)
6) похщна функци Ф(Р) повинна бутн позитивною парною функщею, для яко!:
^ ^ г-р); 1
77 Г (3)
-> 0 при -со< Р . у 7
йР
Останш дв1 вимоги вщносяться лише до тя-гових двигушв послщовного збудження, яю набули найбшьшого розповсюдження на затз-ничному транспорт!.
В якосп анаттичних вираз1в для апроксимацп ушверсально! магштно! характеристики розглянемо функци, наведен! в табл. 2. Вирази 1...9 (див. табл. 2) взято з [5]; вираз 9' - з [6]; вираз 10 отримано на основ! наведених у [4] вираз1в взаемозв'язку м1ж магштним потоком, магшторушшною силою та коефщентом наси-чення:
ф*(Кн) = 0,94 + 0,14717(Кн -2,5)- 0,03417(Кн -0,25)2 -0,035(Кн -2,5)3 -- 0,02333(Кн - 2,5)4 + 0,02533(Кн - 0,25)5; (4)
Пор1вняльний ана. 1П аналггичних вираз1в для ап
Р* (Кн ) = 0,42А"Н - 0,27. (5)
При шдстановщ виразу (5) в (4) отримаемо формулу для апроксимацп ушверсально! магш-тно1 характеристики у вигляд1 полшому 5-1 степей!, яка мае наступний вигляд:
Ф= -0,0063 + 0,24• Р5 -2,87• Р4 +
+ 7,3 • Р3 - 7,62 • Р2 + 4,04 • Р . (6)
В табл. 3 наведено вирази для апроксимацп похщно! функци Ф*(¥"). 1х отримано шляхом диференщювання функцш 1.. .10 табл. 2.
Точнють апроксимацп ушверсально! магштно! характеристики та И похщно! за допомо-гою аиаттичиих вираз1в, приведених в табл. 2 та 3, оцшено на пром1жку 0 < ¥ < 1,1.
3 метою зменшення похибки апроксимацп функци ёФ*Ш¥ не враховано пром1жок 0 < ¥ < < 0,145, оскшьки його пром!жш точки нам не вщом1. У випадку иеобхщност! розрахунку похщно! при 0 < ¥ < 0,145 рекомендуемо прийма-ти И р1вною похщнш у точщ ¥ =0,145.
Таблиця 2
ксимаци ушверсальноТ магштноТ характеристики
№ Вираз Коефщенти Макси-мальне в1дхилен-ня Середня в1дносна похибка апроксимацп Коефщент детермшаци
а Ь с % % Я2
1 Ф = а4¥ 1,129403 - - 15,85 7,6 0,8963
2 Ф = а 0,990962 - - 9,46 4,9 0,9664
3 Ф = а^¥ 1,030286 2,642764 - 7,02 4,1 0,9777
4 Ф = ау[¥ - ЬР 1,443911 0,430729 - 6,14 3,1 0,9866
5 ¥ Ф =- а + ЬР 0,204252 0,796878 - 2,74 1,4 0,9973
6 1 + а Ф =-Р 1 + аР 3,886580 - - 2,72 1,4 0,9973
7 Ф = а ■ (1 - е ~ЬР ) 0,994567 3,938335 - 4,45 1,4 0,9940
8 Ф = а ЩЬР) 0,956957 3,152187 - 7,09 2,9 0,9817
9 Ф = а аг^(ЬР) 0,722791 4,699688 - 2,88 0,9 0,9975
9' Ф = а аг^(ЬР) + сР 0,634174 5,451962 0,116353 1,51 0,8 0,9991
10 5 ф = ^ аР 1 = 0 - - - 1,26 0,6 0,9997
Коефщенти анаттичиих вираз1в 1...10 (див. табл. 2 та 3), розраховано зпдно методу найменших квадрапв, з використанням про-грамного забезпечення «8ТЛТ18Т1СЛ 6.0». 1х
розраховано окремо, для функци, апроксимую-чо1 магштиу характеристику, \ окремо для функци, апроксимуючо! И похщну. Оскшьки, при спшьних коефщентах, знайдених для функци
Ф(Р), анаттичш вирази для апроксимацп пох1- похщно! виразами 1...10 (див. табл. 2 та 3), да-дно1 мали досить низьку точшсть. ють графши, наведен! на рис. 2 та 3.
Наочне уявлення про яюсть апроксимацп ушверсально! магштно! характеристики та и
Таблиця 3
Пор1вняльний ана. ш анал1тичних вираз1в для апроксимацп иохвдиоТ магштиоТ характеристики
Коефщенти Середня вщносна похибка апроксимацп Коефщент детермшацп
а Ъ с % Я2
1,514351 - - 66,6 0,6391
1,813531 - - 52,6 0,7521
284323 768293 - 28,9 0,8744
0,573434 0,572998 - 27,4 0,8895
0,072422 0,614944 - 23,0 0,8999
1,795216 - - 61,6 0,6485
1,056059 5,509757 - 35,6 0,8722
0,879387 4,060004 - 40,5 0,8531
0,793926 6,488805 - 26,4 0,8949
0,778187 8,515138 0,188524 17,1 0,9046
- - - 19,0 0,9019
№
Вираз
Ф'=-
2Р
Ф'
3Р'
Ф' = -
т—г 1
аР
ЪР
Ф'
2Р
1/2
- Ъ
ф' = -
1
ЪР
а + ЪР (а + ЪР) :
Ф' =
1 + а Р • (1 + а)
1 + аР (1 + аР) :
Ф' = аЪе
-ЪР
Ф' = аЪ ■ (1 - (Ш(ЪР))2)
ф' = -
аЪ
1 + (ЪР)2
9'
ф'
аЪ
1 + (ЪР)2
- + с
10
ф' = 5ЪР 4 - 4сР 3 -+ 3с1Р 2 - 2еР + к
Критер1ями точносп апроксимацп, були об- - Середня вщносна похибка апроксимацп: раш: максимальне вщхилення, середня вщнос-
1
е ■ = —
В1ДН.
п ¿=1
X
ф.
•100%, (8)
на похибка апроксимацп та коефщент детерм1-нацп. Результати оцшок зведено до табл. 2 та 3 вщповщно.
Максимальне вщхилення розраховано за на- де п - загальна кшьюсть дослщжуваних точок. ступною формулою: - Коефщ1ент детермшацп:
ф, - Фг
А макс = таХ
Ф - Ф
•100%, г = 1, п, (7)
Я2 = 1 -ф2 = 1 —
" А
2>г - Ф , )2
г=1
I (ф,- - ф , )2
(9)
¿=1
де Ф {- табличне значения функци;
л
Ф г - значения функци зпдно анал1тичного _
виразу. де ФI - середне арифметичне значения функци
Середню вщносну похибку апроксимацп — 1 "
та коефщент детермшацп розраховано зпдно (Ф г = ). з [7] за наступними формулами:
г=1
а
1
а
2
3
а
4
5
6
7
8
9
1,6 -
'1) 1,2 ■ 1 - и, —
1 - о!
0 6 - о)
0,6 ■
Ф = 0,4 -0 2 - Ф = а 3 ^
0,2 - 0 < 0 <
/
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Рис. 2. Апроксимацш ушверсально! магштно! характеристики анаттичними виразами, де О - координата ушверсально! магштно! характеристики (табл. 1); - - графши апроксимуючих функцш (табл. 2)
\
5 ф = £ a F i=0
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Рис. 2 (заюнчення)
Рис. 3. Апроксимащя похвдио! ушверсально! магштно! характеристики за допомогою аналгтичних вираз1в, де О - координати похвдио! ушверсально! магштно! характеристики (рис. 1); _ - графши апроксимуючих функцш (табл. 3)
3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0
к
(7)
Ф'- аЬе -№
¡0
!о< >0| ,о 1 1Я'
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0
3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0
Г( Г)
V
Ф' = аь
1 + (Ь^)2
*о< С1( 1о1
0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 2 1 4 1 6 1 8 2
> 1С 1
1
ф' = 5Ь^4 - 4с^ 3 + + 3дР2 - 2в¥ + к
]
1 /
\ /
/
V Г
\ )
Ч /
* 1СМ г
3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0
3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0
-
о ( 1
/
Ф'- аЬ • (1 - (Ш(Ь¥))2)
1.
Т
\
5
\
\ и
\ ¡о
!о< >01 !Й< >
0 2 0 4 0 6 0 8 1 2 1 4 1 6 1 8
(Ф)
1
I
Ф' = аЬ + с
1 1 + (Ь^ )2
\
ч
Ч
'О
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Рис. 3 (заюнчення)
3 виконаного анатзу видно, що вс1 з розгля- - I група - вирази, котр1 дають середню вщ-нутих аналггичних вираз1в, по точносп апрок- носну похибку апроксимацп в межах 1 %. До симацп, умовно можна подшити на три групп: них вщносяться вирази 9, 9' та 10 (див. табл. 2).
Крив1 ще! групи найбшьш точно описують уш-версальну магштну характеристику.
- II група - вирази, KOTpi дають середню вщ-носну похибку апроксимацп в межах 3 %. До них вщносяться вирази 5, 6, 7 та 8 (див. табл. 2).
- III група - вирази, KOTpi дають середню вщносну похибку апроксимацп бшьше 3 %. До них вщносяться вирази 1, 2, 3 та 4 (див. табл. 2).
Пор1вняльний анал1з вщповщносп похщних анал1тичних вираз1в похщнш ушверсально! ма-гн1тно1 характеристики (див. табл. 3) показуе, що найбшьш точно вщповщае другш вимоз1 вираз 9'(середня вщносна похибка апроксимацп складае 17,1 %), менш точш вирази 5, 9 та 10.
1ншим вимогам, котрим повинш вщповщати анал1тичш вирази апроксимуючих функцш, найбшьш повно вщповщають вирази 9 та 9'. Вираз 10 даним вимогам не вщповщае взагаль
Висновки
В данш робот1 викладено результати nopiß-няльного анал1зу р1зних анал1тичних вираз1в для апроксимацп ушверсально! магштно! характеристики та И похщно!.
В якосп показниюв точносп апроксимуючих вираз1в використано максимальне вщхи-лення, середня вщносна похибка апроксимацп та коефщент детермшаци.
Як показали дослщження, практично Bei анал1тичш вирази в бшьшш чи меншш Mipi, описують реальну магштну характеристику. Найбшьш точними з них е 5, 6, 9, 9'та 10. Але кр1м точност1 до апроксимуючих вираз1в були висунут1 певн1 вимоги, яким найбшьш повно вщповщають вирази 9 та 9'.
Таким чином, для апроксимацп ушверсально! магштно! характеристики та !! похщно! мо-
жна рекомендувати використовувати вирази
9 та 9'.
Б1БЛ10ГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Находкин, М. Д. Универсальная магнитная характеристика тяговых электродвигателей постоянного тока [Текст] / М. Д. Находкин, В. С. Хвостов // Вестник электропромышленности. - 1958. - № 1. - С. 44-48.
2. Магистральные электровозы. Тяговые электрические машины [Текст] / В. И. Бочаров [и др.]. -М.: Энергоатомиздат, 1992. - 464 с.
3. Гетьман, Г. К. Об использовании универсальной магнитной характеристики для расчета электромеханических характеристик тяговых двигателей [Текст] / Г. К. Гетьман, С. Н. Голик // В1сник Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. !м. акад. В. Лазаряна. - 2007. - Вип. 16. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2007 - С. 21-25.
4. Безрученко, В. М. Тягов1 електричш машини електрорухомого складу [Текст] / В. М. Безрученко, В. К. Варченко, В. В. Чумак. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2003. - 252 с.
5. Архангельский, Б. И. Аналитическое выражение кривой намагничивания электрических машин [Текст] / Б. И. Архангельский // Электричество. - 1950. - № 3. - С. 30-32.
6. Макаров, А. В. Разработка и исследование системы управления межсистемной несинхронной связи на основе ферромагнитных элементов [Текст] : дис. ... канд. техн. наук: 05.14.02 / А. В. Макаров. - ЛПИ, 1985. - 217 с.
7. Присенко, Г. В. Прогнозування сощально-еконо-м1чних процеав [Текст] : навч. поабник / Г. В. Присенко, £. I. Равжович. - К.: КНЕУ, 2005. - 378 с.
Надшшла до редколегп 12.01.2011.
Прийнята до друку 18.01.2011.
