Анализ алгоритмов распознавания комплексных гауссовских процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.883

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОМЕЛЬЧЕНКО А.В., ГОЛУБ С.П., КИВВА Ф.В., КОЛЕСНИКОВ О.А., ШАПИРО А.А.

Рассматриваются свойства комплексных гауссовских случайных процессов. Выводится аналитическое выражение для вероятности ошибки распознавания байесовским решающим правилом двух комплексных гауссовских случайных процессов с различными корреляционными функциями. В соответствии с установленным аналитическим выражением строятся рабочие характеристики распознавания стационарных гауссовских процессов с экспоненциальными корреляционными функциями. Достоверность полученных выражений подтверждается результатами статистического моделирования.

Анализ алгоритмов распознавания гауссовских сигналов с разными корреляционными функциями осложняется тем, что отсутствуют конструктивные аналитические выражения, связывающие вероятности ошибок распознавания с параметрами корреляционных функций. Поэтому значения вероятностей ошибок распознавания сигналов приходится вычислять приближенно, для чего наиболее часто используется метод статистического моделирования на ЭВМ или численные методы нахождения вероятностей ошибок по характеристическим функциям распределения решающих статистик [1,2]. Однако в рамках указанных подходов трудно обеспечить необходимую точность построения характеристик алгоритмов, что обуславливает актуальность разработанных аналитических методов исследования алгоритмов распознавания гауссовских сигналов с разными корреляционными функциями.

Целью настоящей работы является создание математического аппарата для исследования качества алгоритмов распознавания узкополосных гауссовских случайных процессов с различными корреляционными функциями.

Для достижения сформулированной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Выразить функцию распределения квадратичной формы от комплексного случайного вектора с гауссовским законом распределения через элементарные функции.

2. Найти аналитические выражения для вероятностей ошибок распознавания двух комплексных гауссовских случайных векторов алгоритмами, в которых решающая статистика имеет вид квадратичной формы.

3. Получить аналитическое выражение для средней вероятности ошибки распознавания гауссовских комплексных случайных процессов байесовскими решающими правилами.

РИ, 2003, № 4

4. Построить рабочие характеристики байесовских алгоритмов распознавания гауссовских стационар -ных процессов с корреляционными функциями экспоненциального вида и сопоставить эти характеристики с результатами моделирования.

Рассмотрим решение указанной задачи для комплексных гауссовских процессов с нулевыми или одинаковыми математическими ожиданиями.

1. Определение комплексного гауссовского случайного процесса и его свойства

Модель комплексных гауссовских случайных процессов удобна для представления узкополосных случайных сигналов в задачах радиолокации и связи [2]. Одним из важных свойств , упрощающих анализ таких процессов, является четность собственных значений корреляционных функций.

Пусть Z(t), t є [0, T] — случайный процесс с комплексными значениями и корреляционной функцией

R(t,u) = M[(Z(t) - m(t))(Z * (t) - m * (t))] , (1) обладающий свойством

M{[Z(t) - m(t)] • [Z(u) - m(u)]} = 0 (2)

при всех t и u . Здесь m(t) = M[Z(t)]; M(Z) — символ математического ожидания случайной величины Z; * — символ комплексного сопряжения.

Тогда, согласно [2], Z(t) есть комплексный гауссов случайный процесс, если каждый комплексный линейный функционал от Z(t) является случайной величиной с комплексным нормальным распределением.

Вектор отсчетов комплексного гауссовского случайного процесса

Z = [Z(t1),Z(t2),...,Z(tn)] (3)

имеет комплексное нормальное распределение с характеристиками

m = м [Z], (4)

r = m{(Z - m)(Z - m)*} , (5)

где * — символ транспонирования матрицы с одновременным комплексным сопряжением его элементов. При этом сопоставленный Z вектор размерности 2n

Z2n = [Re(Z(ti )),...,Re(Z(tn )),Im(Z(ti )),...,Im(Z(tn))]

(6)

имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

m2n = [Re(m1),...,Re(mn),Im(m1),...,Im(mn)] (7) и корреляционной матрицей блочного вида

R

_ 1 _ 2

Re R - Im R ImR ReR .

(8)

Доказано [5], что если собственными значениями матрицы R будут aj,j = 1,...,n, то для матрицы 2n

65

собственными значениями будут, соответственно, пары а1; а n, а n.

Если матрица R не вырождена, то плотность вероятности вектора Z 2n может быть определена по формуле

P(z2n) = rc_n|R| 1 exp{-(z-m)*R_1(Z-m)} . (9)

Комплексные гауссовские случайные процессы могут быть стационарными или нестационарными. Для стационарных процессов наиболее распространен вариант, когда среднее комплексного гауссовского случайного процесса Z(t) = Zc(t) + iZ s (t) равно нулю, а его действительная и мнимая части связаны соотношениями [2]:

Rcc(x) = Rss(t) = 1. Re[R(x)];

1 (10) Rsc (т) = -Rcs (0 = -Rsc (-T) = - • Im[R(x)],v 7

где использованы обозначения

R(x) = M[Z(t) • Z * (t -x)];

Rcc(x) = M[Zc(t) • Zc(t-x)];

Rsc(x) = M[Zs(t) • Zc(t-x)]; (11)

Rss(x) = M[ZS (t) • Zs(t -x)].

Действительная и мнимая части стационарного комплексного гауссовского случайного процесса являются гауссовскими случайными процессами с одинаковыми характеристиками, взаимосвязь между которыми устанавливается соотношениями (10). Эти процессы статистически независимы только при условии, что спектральная плотность исходного узкополосного процесса симметрична относительно несущей [2].

2. Постановка задачи распознавания

Полагается, что распознаванию подлежат два гауссовских случайных сигнала, которые представлены временными отсчетами гауссовских комплексных случайных процессов z(t) = ^(t) + jp(t), t є R . Векторы представления сигналов

Z = K(kAt) + jp(kAt), k = й] (12)

имеют нулевые математические ожидания и отличаются корреляционными матрицами, которые соответственно равны

Ri = Mi[ZZ*], i = 1,2. (13)

Здесь M. [Z ] — символ условного математического ожидания статистики z по распределению i -го процесса; * — символ транспонирования матрицы с одновременным комплексным сопряжением его элементов.

Необходимо найти вероятности ошибок распознавания сигналов алгоритмом

i=1

_ ^ <

Z BZ > d, (14)

i=2

где в — эрмитова матрица размерности n х n ; d — вещественное число (порог). В соответствии с этим 66

алгоритмом выносится решение в пользу первого сигнала, если решающая статистика не превышает порога d . В противном случае принимается решение в пользу второго сигнала.

3. Аналитические выражения для вероятности ошибок распознавания комплексных гауссовских случайных сигналов

Полный вывод выражений для ошибок распознавания сигналов громоздок. Поэтому опишем лишь основные этапы их обоснования.

Воспользуемся изоморфизмом эрмитовых матриц B размерности nx n и вещественных матриц

Re B - Im B

B2n -

(15)

_ImB ReB _

размерности 2n x 2n и представим квадратичную форму

h = Z* BZ

(16)

в виде h = Z2rnB2nZ2n , где tr — символ транспонирования матрицы.

Характеристическая функция решающей статистики h для разных гипотез имеет вид [1,3]

fi(u) = [ П(1 - 2juak)nk]“1, i = 1,2. (17)

k=1

Здесь ak, k = 1, N; i = 1,2 — различные собственные значения матриц — Ri B , i = 1,2 (или различные собственные значения матриц R2nB2n, i = 1,2), N — количество различных собственных значений; nk, k = 1,N — кратность k-го собственного значе-N

ния, причем Z nk = n. Разлагая многочлен (17) на

k=1

элементарные дроби, получаем

■ N nk . . . s

fi(u) =EZ AkJ(1 - 2juak), i = 1,2., (18)

k=1 s=1

где коэффициенты разложения

Ai

ks

1

(nk -s) !

{

n

d k

dunk

- s

- s

fi(u)(1 - 2juak)nk}

1 ___________ __________

^ u = j-, s = 1,nk; k = 1,N; i = 1,2. (19)

Из разложения характеристической функции (18) найдем выражения для соответствующих функций распределения решающих статистик и получим, что если порог d > 0, то

N nk 1 і s-1 1

= Z ZAks exp(-pk) z-(Bk)r;

k=1 s=1 r=0 r!

a'k >0

рош.1 = P[h > di=1]

(20)

, N nk 2 1 s-1 1 1 r

Рош2 = P[h<di = 2] = 1- z ZAksexp(-pk) £-(pk)r;

k=1 s=1 r=0 r

ak >0

k

(21)

РИ, 2003, № 4

где суммирование выполняется по тем к, которым соответствуют положительные значения

ak, ц k = 0,5-^, k = Щ і = 1,2.

ak

Если же d < 0, то в выражениях (19)-(21) необходимо произвести замену индекса i, воспользоваться этими выражениями и затем выполнить обратную замену индексов при вычисленных значениях вероятностей ошибок распознавания.

4. Особенности анализа алгоритмов распознавания с использованием средств вычислительной техники

На основе установленных выражений легко найти расчетные формулы для средних вероятностей ошибок распознавания комплексных узкополосных гауссовских сигналов байесовскими решающими правилами. Как известно [1,3], байесовское решающее правило распознавания двух гипотез имеет вид і=і

p1p(z/1) < P2P(z/2), (22)

i=2

где z — вектор наблюдаемых данных; Pj,P2 — априорная вероятность гипотез; p(Z /1), p(Z /2) — условные плотности вероятности распределения

вектора z .

разложения характеристической функции распределения решающей статистики на простые дроби. Коэффициенты, соответствующие собственным значениям кратности 1, легко вычисляются по формуле

■ N а! 1 — ---

А‘ =П(1--т> , nk = U-; k = 1,N; і = 1,M.

k }І ak

k^l

(23)

Опыт практического использования полученных выражений для вероятностей ошибок распознавания (20),(21) показывает, что для обеспечения приемлемой точности коэффициенты разложения характеристической функции Aks, k = 1, nk; і = 1,2 должны вычисляться с повышенной точностью.

5. Результаты анализа алгоритмов распознавания

Разработанная методика позволяет проводить анализ алгоритмов распознавания комплексных гауссовских случайных процессов с произвольными корреляционными функциями. В качестве иллюстрации рассмотрим анализ байесовского алгоритма распознавания стационарных комплексных гауссовских случайных процессов с экспоненциальными корреляционными функциями

R1 (т) = exp(-a|x|), R2 (т) = exp(-p|x|),

С учетом вида плотности вероятности наблюдаемого вектора z2n для каждой (9) из гипотез байесовское решающее правило (22) может быть приведено к виду (14), где матрица B = Rj"1 - R 21, а порог

d

Таким образом, для байесовского решающего правила

Рош.ср _ РгРош.1 + Р2Рош.2, где Рош.1, Рош.2 оїреде-

ляются в соответствии с выражениями (20),(21), в которых коэффициенты ak = 1 -A,k; a2 = Xk1 -1, k = 1, N; Xk, k = 1, 2,... — собственные значения матрицы R1[R2]_1.

Другой важной областью применения полученных формул является построение на их основе процедур анализа адаптивных байесовских решающих правил и формулирование требований к точности оценивания параметров сигналов. Для этого следует использовать выражения (8), (9), в которых

параметры ak, k = 1,n i = 1, 2 находятся как собственныезначения матрицRi{R1] 1 -[R2] 1}, i=12 соответственно. Здесь R1,R2 — корреляционные

А А

матрицы сигналов, R1, R2 — оценки корреляционных матриц сигналов, используемые в алгоритмах распознавания.

Основная сложность при анализе алгоритмов распознавания сигналов с применением формул (20), (21) заключается в нахождении коэффициентов

= ln

p1|R2| p 2 |R11

где a > p > 0 .

При этом без ограничения общности будем полагать, что на распознавание предъявляется выборка из n отсчетов одного из процессов, взятая с интервалом дискретизации д = 1.

Выбор в качестве объекта для анализа модели стационарных гауссовских случайных процессов с экспоненциальными функциями корреляции объясняется широким ее применением для описания узкополосных сигналов в задачах радиолокации и связи.

На рис. 1 представлены рабочие характеристики байесовского алгоритма распознавания двух описанных процессов в виде зависимостей средних вероятностей ошибок распознавания от числа наблюдаемых отсчетов n при заданных значениях параметров аир. На этом же рисунке в виде точек приводятся результаты статистического моделирования, подтверждающие достоверность построенных характеристик.

На рис. 2 даны характеристики байесовского алгоритма распознавания двух процессов в виде зависимостей средних вероятностей ошибок распознавания от числа наблюдаемых отсчетов n при заданных значениях параметров а и р для случая Р > a > 0 . На этом рисунке также в виде точек приводятся результаты статистического моделирования, подтверждающие достоверность построенных характеристик.

Объем контрольной выборки для каждого из сигналов в процессе моделирования составлял 10000 реализаций.

РИ, 2003, № 4

67

Рис.1. Зависимость средних вероятностей ошибок распознавания при а = 0,9 и различных значениях параметра Р

Отметим, что полученные выражения для вероятностей ошибок распознавания (20),(21) справедливы и для нестационарных случайных процессов, в частности, периодически коррелированных случайных процессов. Кроме того, выражения (20), (21) могут быть использованы для анализа не только байесовских, но и адаптивно байесовских решающих правил. Поэтому полученные выражения (20), (21) представляются весьма важными для анализа алгоритмов распознавания комплексных (и связанных с ними узкополосных) случайных процессов.

По сравнению с известными подходами, использующими численные методы и методы статистического моделирования [1,3], предложенный подход к анализу алгоритмов распознавания случайных процессов характеризуется меньшим объемом требуемых вычислений и более высокой точностью.

Весьма актуальной будет разработка аналогичных полученным аналитических выражений для распознавания гауссовских случайных процессов с различными корреляционными функциями и разными математическими ожиданиями, а также многоальтернативного случая.

Таким образом, в данной работе получены новые аналитические выражения для вероятностей ошибок распознавания двух узкополосных гауссовских случайных процессов с разными корреляционными функциями и нулевыми математическими ожиданиями. Предложена методика и выработаны рекомендации по созданию на основе полученных выражений программных средств для анализа алго-

ритмов распознавания радиосигналов с гауссовскими законами распределения.

Рис. 2. Зависимость средних вероятностей ошибок распознавания при а = 0,1 и различных значениях параметра Р

Литература: 1.Фомин Я. А., Тарловский Г. Р. Статистическая теория распознавания образов. М.: Радио и связь, 1988. 2. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 3: Пер. с англ. /Под ред. В.Т. Горяи-нова. М.: Сов. радио, 1977. 644 с. 3. ФукунагаК. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. 368 с. 4. Лоэв М. Теория вероятности. М.: ИЛ, 1982. 5. Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория: Пер. с англ. М., 1980.

Поступила в редколлегию 18.03.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Иванов В.К.

Омельченко Анатолий Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры ’’Сети связи” ХНУРЭ. Научные интересы: методы обработки сигналов и распознавание образов. Адрес: Украина, 61115,Харьков,ул.17Партсъ-езда,8,кв.33,тел. 702-14-29.

Голуб Сергей Петрович, млад. науч. сотр. ИРЭ НАН Украины. Адрес: Украина, 61085, Харьков, ул. Ак. Проскуры, 12.

Кивва Феликс Васильевич, д-р физ.-мат. наук, завотделом ИРЭ НАН Украины. Адрес: Украина, 61085, Харьков, ул.Ак.Проскуры,12, тел. 44-83-58.

Колесников Олег Александрович, канд. техн. наук, доцент кафедры ’Сети связи” ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Грайворонская,21, кв. 1. тел. 702-14-29.

Шапиро Александр Абрамович, канд. техн. наук, старш. науч.сотр. ИРЭ НАН Украины. Адрес: Украина, 61085, Харьков, ул.Ак.Проскуры,12, тел. 44-83-58.

РИ, 2003, № 4

68