CC BY
27
УДК 66.013.5.001.57
М. Д. Тришкина*, В. В. Макаров
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия 125480, Москва, ул. Героев Панфиловцев, д. 20 , корп. 1 * e-mail: [email protected]
АНАЛИЗ АКТИВНОСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРОГРАМИРОВАНИИ
Разработан алгоритм геометрического программирования с ограничениями на варьируемые переменные в виде позиномиальных неравенств. Алгоритм применен практически для оптимизации режимных параметров технологического процесса и анализа активности ограничений рассматриваемого метода, метода редукции общий задачи геометрического программирования к задаче с нулевой степенью трудности.
Ключевые слова: оптимизация; геометрическое программирование; позином; геометрическое неравенство; двойственность; активность ограничений.
Задача нелинейного программирование - это задача выбора таких неотрицательных значений некотороых переменных, подчиненной системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум или минимум функции.
Основная трудность решения задач нелинейного программирования состоит в том, что эти задачи являются многоэкстремальными, и известные численные методы их решения гарантируют в общем случае сходимость минимизирующих последовательностей лишь к точкам локальных экстремумов.
Отсутствие универсального метода решения задач нелинейного программирования
послужило причиной появления различных узкоспециализированных методов, решающих конкретные задачи. Один из методов нелинейного программирования -
геометрическое программирование.
Геометрическое программирование - есть раздел математического программирования, изучающий определенный класс
оптимизационных задач, которые встречаются в основном в инженерно-экономических расчетах. Методы геометрического программирования дают возможность эффективно проводить анализ и решение задач оптимизации, в которых критерий оптимальности и ограничения выражаются нелинейными функциями
определенного вида.
Основным требованием метода является, чтобы все технические характеристики проектируемых объектов были выражены количественно в виде обобщенных положительных многочленов от регулируемых параметров.
По сравнению с другими методами нелинейного программирования, геометрическое программирование имеет следующие
преимущества: геометрическое
программирование позволяет выявить картину сравнительной зависимости проектов и характеристик слагаемых частей целевой функции; геометрическое программирование имеет возможность находить минимальное
значение целевой функции до определения оптимальных значений параметров;
геометрическое программирование дает возможность определения количественной оценки степени трудности решаемой задачи; принципы геометрического программирования поддаются адаптированию к требованиям машинной алгоритмизации с целью разработки универсального программного комплекса.
Класс позиномов довольно широк и ими описывается множество закономерностей в технике, экономике и других сферах. Позиномиальные целевые функции с ограничениями, имеющими вид позинома, имеют ряд свойств, которые полезны при оптимизации.
Главное свойство таких целевых функций заключается в том, что они имеют одну стационарную точку, которая должна быть глобальным минимумом. Нижняя граница всегда может быть вычислена, если все ограничения являются позиномами, ограниченными сверху единицами.
Еще одним полезным свойством является, то что независимо от степени трудности, можно использовать метод объединения.
Общая позиномиальная задача
геометрического программирования состоит в определении минимума позинома при наличии ограничений в виде позиномиальных неравенств [1,2]:
— [1о 1 а-"
т_1п во (х) = шт\ £ ^ П Х104
х х I j=l 1=1
(1)
при
gk0=ZckJIK4 * 1
< 1, (2)
где С > 0; а^ , акщ - произвольные действительные числа.
Алгоритм решения задачи (1-2) определяются степенью ее трудности:
j=1 i=1
т = £:к-(I+1).(3)
к=0
Непосредственное решение задачи (1-2) (нелинейной с нелинейными ограничениями), называемой прямой задачей, затруднительно. Поэтому вместо прямой задачи (1-2) обычно
решают
двойственную
ей
формулируемую двойственности:
согласно
тах ё 18)=
8
при ограничениях:
К ^к (
ПП
к=0]=1
С
к]
'к]
1Х к к
задачу, теореме
(4)
К ^
ЕЕа к!]5 к] =° к=1]=1
Jo
I] 1, (5) ]=1
Jk
^8к] = X к. . ]=1
Связь прямой и двойственной задач имеет вид условий инвариантности как следствия теоремы двойственности и геометрического неравенства как экстраполирующим
неравенством Коши.
При Т = 0 алгоритм решения двойственной задачи заключается в решении системы линейных уравнений ортогональности и нормализации и вычислении оптимального значения двойственной функции:
ё*| 8*
.(6)
Переход к прямой задаче осуществляется по условиям инвариантности:
=
I
С0] П хГ
1=1
I
^ кСк] П 1=1
01]
1
(7)
х
^И]
0
По теореме двойственности:
Б0|х | = ё*|8:
.(8)
Пример. Химико-технологическая система образована последовательно соединенными реактором и сепаратором. Годовые затраты на функционирование системы имеют вид:
80 (х)= 40х1х2 + 20х2х3 (9)
при ограничениях:
§1\х/ — 0,2x1 Х2 ^ 0,6X2 Х3 Сформулируем и решим систему уравнений относительно двойственных переменных:
(х)= 0,2х^1х^0,5 + 0,6х21х^0,67 < 1. (10)
(11)
81 -83 = 0
81 +82 - 0,583-84 = 0
82 - 0,6784 = 0
81 +82 = 1
Решением системы уравнений (11) является оптимальный вектор
8 = (^,...,84 J ,(12)
вектор двойственных переменных
*
8 = (0,5; 0,5; 0,5; 0,75)(13)
и значения
ё 18 1 = 51,8.(14)
Переход к прямой задаче по условию инвариантности позволит определить оптимальный вектор прямой задачи:
(х*,х2, х3)= (0,44; 1,43; 0,77)(15)
мальные значения кр
*( * Л 8 I х 1 = 51,8.(16)
*
х =
и выписать оптимальные значения критерия:
*( *
В выражение двойственной функции вводят множитель Лагранжа:
\ = + 84 = 0,5 + 0,75 = 1,25. (17)
Проверим выполнимость ограничения (10): а (х)= 0,2 • 0,44_1 • 1,43"0,5 + 0,6 • 1,43_1 • 0,7740,67 = 0,88.
(18)
Так как X = 1,25 > 0, то:
81 (х )< 1.(19)
Тогда:
[В1(х = 0,88.(20)
Следовательно, ограничения является активным, то есть влияет на оптимальное решение (оптимум находится внутри допустимой области).
Приведенная выше общая задача геометрического программирования при наличии позиномиальных неравенств связана с поиском максимума нелинейной функции, при линейных ограничениях ортогональности и нормализации [1]. В этом случае целесообразно выполнить редукцию общей задачи к задаче нулевой степени трудности.
В некоторых случаях это возможно путем сжатия позиномов [3] в левых частях ограничений и сохранения позинома в критерии. Если в результате процедуры сжатия степень трудности окажется равной нулю, то принимается выше приведенный алгоритм. Однако возникает ошибка аппроксимации, нарушающая условия инвариантности и необходима организация итерационной процедуры.
Другой подход к решению общей задачи состоит в непосредственном решении прямой
задачи, совмещенной с процедурой сжатия позинома критерия и ограничений [3]. Тогда исходная задача сводится к итеративной процедуре решения задачи линейного программирования стандартным симплекс-методом [3]. Для задач специальной структуры
возможна декомпозиция, в результате которой исходная задача представляется в виде нескольких локальных задач нулевой степени трудности и координирующий задачи небольшой размерности [4].
Тришкина Мария Дмитриевна, студентка 1 курса магистратуры факультета Информационных технологий и управления РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Макаров Владимир Валентинович, д.т.н., профессор кафедры Кибернетики химико-технологических процессов РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Литература
1. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. - М.: Мир, 1972. - 311 с.
2. Уайлд Д. Оптимальное проектирование. - М.: Мир, 1981. - 272 с.
3. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. - М.: Наука, 1981. - 352 с.
4. Avriel M., Dembo R., Passy V. Solution of Generalized Geometric Programs // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1975. V. 12. P. 149.
TrishkinaMariaDmitriyevna*, Makarov Vladimir Valentinovich
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia *e-mail: [email protected]
CONSTRAINTS ACTIVITIES IN GEOMETRIC PROGRAMMING HAS BIEN INVERSTIGATED
Abstract
Geometric programming under constraints algorithm has been worked out. The algoritm for technological systems optimization and constraints activity analysis has been applied.
Key words: optimization; geometric programming; posinom; geometric inequalities; duality; constraints activity.
