Аналитическое решение задачи совместного тепло- и массопереноса в процессе горячей сушки мясных и рыбных продуктов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

3. Донченко, Л.В. Безопасность пищевого сырья и продуктов питания / Л.В. Донченко, В.В. Надыкта. -М.: Пищепромиздат, 1999. - 356 с.

4. Корячкина, С.Я. Новые виды мучных и кондитерских изделий / С.Я. Корячкина. - Орел: Труд, 2001. -212с.

5. Платова, Л. Применение пищевых волокон в различных группах продуктов / Л. Платова, А. Кочеткова // Бизнес пищевых ингредиентов. - 2008. - № 6(9).

6. Магомедов, Г.О. Новый мучной порошкообразный полуфабрикат / Г.О. Магомедов, Н.М. Дерканосова, Л.Л. Кривопишина // Пищевая пром-сть. - 1996. - №4.

7. Типсина, Н.Н. Производство мучных кондитерских изделий: учеб. пособие / Н.Н. Типсина, Е.А. Стру-

пан, Т.В. Полякова. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2007. - 135 с.

8. Типсина, Н.Н. Мучные изделия: учеб. пособие / Н.Н. Типсина. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2007. -

172 с.

9. Типсина, Н.Н. Мелкоплодные яблоки Сибири в кондитерских изделиях пищевой промышленности и

массовом питании / Н.Н. Типсина. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 1997. - 103 с.

'--------♦-----------

УДК 664.8.047:518.1(049) Б.А. Вороненко, Б.К. Гусев, В.В. Пеленко, В.В. Стариков

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СОВМЕСТНОГО ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В ПРОЦЕССЕ ГОРЯЧЕЙ СУШКИ МЯСНЫХ И РЫБНЫХ ПРОДУКТОВ

Решена система дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса для нахождения полей температуры, влагосодержания и давления внутри капиллярно-пористого тела - рыбы. Краевая задача решена методом интегрального преобразования Лапласса. В результате получена формула, удобная для инженерных расчетов полей температуры в теле и скорости его нагрева.

Ключевые слова: поле температуры, совместный тепломассоперенос, краевая задача, инженерный расчет.

B.A.Voronenko, B.K. Gusev, V.V. Pelenko, V.V. Starikov ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF JOINT HEAT AND MASS TRANSFER IN THE PROCESS OF HOT DRYING OF MEAT AND FISH PRODUCTS

Differential equations system of joint heat and mass transfer for identifying the temperature fields, humidity content and pressure inside the capillary-spongy fish body was solved. The boundary problem was solved by means of the Laplace integral transformation method. Formula that is well-behaved for the engineering analysis of temperature fields in the body and its heating speed was received.

Key words: temperature field, joint heat and mass transfer, boundary problem, engineering analysis.

В работе [1] рассмотрен один из этапов приготовления крупы из крупной рыбы при предварительном ее пропекании в сушильной печи. В печи рыбу пропекают в течение 2,5 часа при температуре 150 -170°С до тех пор, пока мясо ее станет плотным и будет свободно отделяться от позвоночной кости.

Для рассматриваемого этапа характерен высокоинтенсивный молярно-молекулярный тепло- и мас-соперенос. Поэтому для нахождения полей температуры, влагосодержания и давления внутри капиллярнопористого тела - рыбы - необходимо решить систему дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса [2-4] с учетом соответствующих условий взаимодействия тела (тушки рыбы) с окружающей средой (краевых условий):

сг ди

aqУ t + ~ (1)

дт с д т

Ч

— = amV2u + amS42t + apCpV2P; (2)

dp __-2 s du

^ = apV P-------------—; (3)

от cp dr

Обрабатываемый продукт принимаем за тело одной из основных геометрических форм - неограниченную пластину.

В соответствии с принятыми допущениями [1, 5] и с учетом несущественного изменения теплофизических характеристик обрабатываемого продукта в процессе копчения, нагрев внутренних слоев рыбы в сушильной печи можно описать следующей краевой задачей связанного тепло- и массопереноса: требуется решить одномерную систему уравнений

dt(x,r) d2t(x,r) sr ди(х,т)

—- = аа--------------+-----------------(4)

дт дх с дт

Ч

ди(х,т) д2и(х,т) д2р(х,т)

(5)

0/>(х, т) д2р(х, т) s 5г/(х, г)

дт р дх2 ср дт ’ ^

(О < л; < /, т > О);

при начальных условиях:

t(x, 0) = tQ = const:; (7)

г/(х, 0 ) = и0 = const; (8)

р(х, 0) = р: = const (9)

и следующих граничных условиях:

—Л + q = Q; (10)

дх

р(1, т) = pQ= const\ (11)

ди(1,т) dt(l,r)

-am—----------+ aj—-----------+ P(u(l,r)-u ) = 0; (12)

ox ox

dt(0,r) _ ди(0,т) _ др(0,т) _ Q (13)

дх дх dx

Здесь

(4)-(6) - уравнения теплопереноса, влагопереноса и молярного массопереноса соответственно; уравнение (10) - граничное условие второго рода, задающее поток теплоты через поверхность тела; равенство (11) - граничное условие первого рода, отражающее факт выравнивания внутреннего избыточного давления парогазовой смеси (суммарное давление нагреваемого в капилляре воздуха с учетом давления водяных паров) на выходе ее на поверхность материала;

уравнение (12) - граничное условие третьего рода, описывающее влагообмен с окружающей средой; уравнение (13) - условия симметрии.

Краевая задача (4)-(13) решена аналитически методом интегрального преобразования Лапласа. Решение для поля безразмерного потенциала переноса теплоты (распределение поля температур) получено в следующем виде:

со 3

Т{Х, Fo) = Г° = Ф, - X Z Сп, cos(У,И„Х)е-^°, (14)

tc ^0 п=1 i=l

где

ф,=

-1 ( ( 7 7 -1Л Л

П СТ^. агРг V,

у! У20) Ьо —— 3 Х2+3 гг2«г + У-О) + У21(01 Уг4 Уг4

1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1

V,2 1 у] со, 1 1 1 У2 V,2

V V УУ

<Рп =

I I 2

УРг

V

1

Мп - последовательные положительные корни характеристического уравнения

сгс^О./О

.3

1Л

V,

0:

<Рп =

I I 2

УРг

V

г

1

= ,^-1Пг+4о +^Лп,-4о,

(I = 1, 2, 3) [6, 7];

Правильные значения Ух одновременно удовлетворяют соотношению

)1~2172+^)1~ 2 = _зЯ‘;

/?3 2 1 ях =-£-+&; я2 = --А3+-ЛА-А;

£) =

3 1

л3 г +

У

V-

У

Л 1 1 Х~е

А =1+—+—

Ьи Ьи

Рг =

Ьи

+ -

1-£Г

А

1

ЬиЬи,

Выполняются соотношения:

У12 +У2+У3 -01’

р1-р2+рз=1, т.е.у1-у2+у3=0;

(15)

(16)

(17)

(18)

1

ъ = (1 ■- ^)(1 -к2)- Ьи^ С1 - к2);

со, = БКоВгт + ЮД1-1'2);

Г, = (-V, + у2с/^(у^1 )с1х(у2цп) + у?с^(у^1п )с^(у?^1п));

Г2 = П^З (-^2 + ^ё^хМп )С1<А^г^п ) + ^3Сгё(^2Мп У*ё(^зМп ));

Гз = ^к2 (-к, + л/ха.^{у^п )с/я(к2//7 ) + к,с/^(к2//7 )с/^(к,//7 )).

Из аналитического решения (14) видно, что безразмерная температура зависит от большого количества чисел подобия.

Решение характеристического уравнения (15) дает бесчисленное множество корней [1п, значения которых растут:

Мх<М2 <~<Мп <•••

Благодаря этому неравенству бесконечный ряд в решении (14) сходится достаточно быстро. Поэтому, начиная с определенного значения числа Фурье, допустимо, с заранее заданной степенью точности, из всего ряда разложения использовать один-два первых члена, что позволит получить формулу, удобную для инженерных расчетов полей температур в теле и скорость его нагрева.

Обозначения

? = 1(х, у, г,т),1(х,т) - температура;

и = и(х, у, г, т),и(х, т) - влагосодержание;

р = р(х, у, г, г), р{х, т) - нерелаксированное избыточное давление;

^ ф:,г)-*0 _ _ ,

1 —------------------безразмерный потенциал теплопереноса; 1о - начальная температура;

!с~*О

^с - постоянная температура среды;

_ щ-и(х,т)

6 = —----------------безразмерный потенциал массо-, влагопереноса;

и0-ир

и0 - начальное влагосодержание; ир - равновесная влажность;

л — л Р — Р

р = £.__£-0.- Р —-------— безразмерный потенциал фильтрационного переноса;

Ро Ро

р0 - постоянное начальное распределение фильтрационного потенциала переноса; х, у, г - текущие координаты;

I - характерный размер тела, равный для неограниченной пластины половине ее толщины; т - время;

- коэффициент температуропроводности;

£ - коэффициент фазового превращения; г - удельная теплота парообразования;

Сц - удельная теплоемкость материала;

ат - коэффициент потенциалопроводности влаги;

5 - термоградиентный коэффициент;

ар - коэффициент молярного переноса (коэффициент конвективной диффузии, или коэффициент потенциалопроводности фильтрационного движения парогазовой смеси);

cp - удельная пароемкость среды;

V72 Л д2 д2 д2

V = Д = —— Ч------------— Ч------ — оператор Лапласа;

дх ду dz

А - коэффициент теплопроводности;

q = const - плотность потока влаги, подводимого к поверхности твердого тела; в - коэффициент массообмена;

X — — — безразмерная координата;

аст

Fo = —---------критерий гомохромности (число Фурье);

Г

Lu = —ш~ — число Лыкова - критерий взаимосвязи интенсивностей внутреннего процесса массы %

(влаги) и тепла в процессе сушки; аР

Lu = — - число Лыкова - критерий взаимосвязи молярного тепломассопереноса;

гАи

Ко =-----------число Коссовича;

с At

ч

Аи = и0 - ир; At = tc -10.

и ГСРРо с

Ви = —-----------число Булыгина;

с At

ч

л

Рп =-----------число Поснова;

А и

1^ Ф я1

Кг =-----------=------------------теплообменное число Кирпичева;

9 Л At а с г о At

Ч Ч

р - плотность материала; о-

ni =------------число Био (массообменное);

m а

m

а. 1 а а2 аъ

Определитель Ъ. г = К К К

С. г С С2 С3

ах (Ь2с3 - Ь3с2 ) - а, (Л,с3 - Ъъсх) + а3 (Ъхс2 - Ъ2сх)

Выводы

Решение систем дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса является довольно сложной задачей, но с другой стороны в инженерной практике часто необходимо иметь результаты расчета краевых задач подобного типа. На основании решения данной задачи аналитическим методом интегрального преобразования Лапласа получена упрощенная формула применимая для инженерных расчетов.

Литература

1. Вороненко, Б.А Постановка задачи тепломассопереноса процесса горячей сушки рыбы I Б.А. Вороненко, В.В. Пеленко, В.В. Стариков II Ресурсосберегающие технологии и оборудование пищевой промышленности: межвуз. сб. науч. тр. - СПб.: Изд-во СПбГУНиПТ, 2006. - С. 71-75.

2. Лебедев, П.Д. Сушка инфракрасными лучами I П.Д. Лебедев. - М.: Госэнергоиздат, 1955. - 232 с.

3. Лыков, А.В. Теория переноса энергии и вещества I А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. - Минск: Изд-во АН БССР, 1959. - 329 с.

4. Лыков, А.В. Теория тепло и массопереноса I А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. - М. - Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 535с.

5. Рогов, И.А. СВЧ- и ИК-нагрев пищевых продуктов I И.А. Рогов, С.В. Некрутман. - М.: Пищ. пром-сть, 1976. - 210 с.

6. Окунев, Л.Я. Высшая алгебра I Л.Я. Окунев. - М.: Учпедгиз, 1958. - 336 с.

7. Загускин, В.Л. Справочник по численным методам решения уравнений I В.Л. Загускин. - М.: Физмат-гиз, 1950. - 216 с.