CC BY
94
8. Силованюк В. П. Деформація та руйнування матеріалів 10. Антоненко Н. М. Моделювання дископодібної щілини
біля включень під статичним навантаженням / в композиті шар-півпростір / Н. М. Антоненко // Су-
B. В. Силованюк, Р. Я. Юхим // Фіз.-хім. механіка мате- часні проблеми фізики, хімії та біології. «ФізХімБіо -
ріалів. - 2007. - № 6. - С. 31-35. 2012» : матерiали I міжнар. наук.-техн. конф., Севасто-
9. Юхим Р. Міцність пружно-пластичних тіл із періодич- поль, 28-30 листопада 2012 р. - Севастополь : СевНТУ,
ними системами паралельних та колінеарних включень / 2012. - С. 41-43.
Р. Юхим, П. Горбач // Вісник Тернопільського держав- 11. Слепян Л. И. Механика трещин / Л. И. Слепян. - Ленин-
ного технічного університету. - 2010. - Т. 15, № 2. - град : Судостроение, 1981. - 295 с.
C. 67 72. Одержано 04.03.2013
Антоненко Н.М. Моделирование дискообразной щели на границе упругого слоя и упругого полупространства
Предложен способ решения задачи о дискообразной щели с наполнителем на границе упругого слоя и упругого полупространства. Для построения интегрального уравнения задачи использовано интегральное преобразование Ханкеля. Проанализировано влияние наполнителя щели и толщины слоя на распределение нормальных напряжений на ее берегах.
Ключевые слова: дискообразная щель, наполнитель, интегральное преобразование Ханкеля, интегральное уравнение.
Antonenko N. Modeling of a penny-shaped crack with filler between an elastic layer and an elastic semi-space
Пє problem of a penny-shaped crack with filler between an elastic layer and an elastic semi-space is solved. The integral Hankel transforms has been used. The influence offiller and thickness of layer on the distribution of normal stresses on the edge of the crack has been researched.
Key words: penny-shaped crack, filler, method of Hankel integral transformation, integral equation.
УДК 536.21
М. Г. Олененко, канд. физ.-мат. наук И. Г. Величко Национальный технический университет, г. Запорожье
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛА В АНИЗОТРОПНОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЕ
Решается двумерная задача о стационарном распределении тепла в анизотропной пластине, состоящей из произвольного конечного числа спаянных параллельных полос. На одной границе задана температура или поток, на другой поддерживается нулевая температура. Решение получено в виде интегралов Фурье. Приведен пример расчета для двухслойной пластины.
Ключевые слова: многослойная анизотропная пластина, температура, тепловой поток, преобразование Фурье, функции податливости.
Введение
В связи с возрастанием технологических требований к материалам, используемым в различных сферах жизни, возникает необходимость разработки математических моделей, описывающих деформацию материалов под действием силовых, температурных, электрических и магнитных полей. Одной из простейших моделей такого типа является несвязная термоупругость.
В этом случае первым этапом решения задач является расчет тепловых полей. Таким задачам для одно-
родных изотропных тел посвящены классические монографии таких авторов, как: В. З. Партон, П. И. Перлин, А. Д. Коваленко, В. Новацкий [1-3]. Для многослойных тел, в связи с трудностями удовлетворения условий на границах сред, авторы, как правило, ограничиваются не более чем двухслойными средами. Исследованию существенно многослойных сред посвящены работы [4, 5]. Для многослойных анизотропных тел аналогичное решение задач термоупругости является открытым вопросом.
© М. Г. Олененко, И. Г. Величко, 2013
BB
Для задач термоупругости изотропных многослойных сред одним из эффективных методов аналитического решения является метод функций податливости [6], который является развитием метода начальных функций Власова [7], и изначально разрабатывался для решения задач упругости многослойных изотропных тел. Использование функций податливости для решения задач о распространении тепла в многослойных изотропных пластинах описано в работе [5]. В данной работе результаты статьи [5] перенесены на случай пластины с анизотропными слоями.
Постановка задачи
Рассмотрим анизотропную пластину, состоящую из п бесконечных параллельных полос, материал каждой из которых является анизотропным, причем одна из осей анизотропии параллельна границам полос, а вторая перпендикулярна. Полосы будем нумеровать сверху вниз, начиная с единицы. В каждом слое введем локальную прямоугольную декартову систему координат, как показано на рисунке 1. Каждая полоса с номером і характеризуется высотой Ні и коэффициентами теплопроводности Кх, Кг и коэффициентами температуропроводности Хіх, Хіг, которые связаны между
К
собой соотношениями [8]: X. =------—, т = х, г, где
— срР
Срі - изобарная удельная теплоемкость, р. - плотность. В дальнейшем также будем использовать характеристику К. = ^КК . На верхней границе пластины известна температура. На нижней границе пластины поддерживается нулевая температура. Ставится задача описать установившееся тепловое поле.
Распределение температур в і -й полосе описывается функцией Ті (х, г ).
Математически решение задачи сводится к решению уравнения:
X,
д 2Т дх2
+ Х,
д 2Тг дг2
= 0
(1)
на каждой из полос. На общей границе полос выполняются условия равенств температур и равенств потоков (закон Фурье) [9]:
Тг (х, и, ) = т+1(х,о),
Кг дТ (х, \ ) = К(і + 1) Ц+- (х,0).
(2)
Граничные условия задачи:
Т (х,0)= /(х), Гп (х, Ип ) = 0, (3)
где / (х) - заданная функция.
Метод решения
Задача решается с помощью интегрального преобразования Фурье по переменной х. Предполагается, что все функции, входящие в уравнения, удовлетво -ряют условиям существования преобразования. В пространстве трансформант уравнение (1) принимает вид:
(4)
где штрих означает дифференцирование по переменной 2 , а р = |^|, С, - параметр интегрального преобразования, т2 = —х = ——: —— = ——, т, > 0 .
—— срР срР ——
Общее решение уравнения (4):
(5)
Введем вспомогательные функции для каждой полосы, связанные с трансформантами функций, описывающих температуру и поток на верхней границе полосы:
Пі (0=Т (с,0), в, (с) = -і-7і'(с,0). (6)
ТР
Подставляя (5) в (6), находим, что С1і = П, С2і = ві. Таким образом:
тшттттЩ:
• і і і і * < 111111111 V 1 1 1 111 'і1 і «. і. і 11 і і < і і і • і 11 \ 1 1 1 1 І 1 1 1 І І 1 <1,411 1 > .'-.І .1 II* 1 ' 1 1 II 1
І * * * *.**•* V *. * * * • • • * /••• *. * • * * * * • • 7 • • • • • І
21, 21,..., ^
Рис. 1. Многослойная пластина
Тг (С —г )= Пг (С)сИтгР— + Бг (С)^ТгР— , , = П •
Это означает, что для нахождения температуры в точках г -й полосы, достаточно определить вспомогательные функции этой полосы.
Условия (2) в пространстве трансформант обращаются в следующие:
т ( и ) = T+1(Z,0), —г—Тг' (с, И, ) = к(г+1 )—7Г+1,(с,о).
Отсюда получаем зависимость между вспомогательными функциями соседних полос:
вг+l (Z)=— T+l(Z,o)=—Klz—— t'(, h ) =
ті+і P K l
K(i +l)z ті+1 P K т
K(i+l)z ті+lP
{xiPnishPi +TlPBlchPl ) =
______iz______i_
K(i +l)z ті+1
K
(nishPi +BichPi ) =
K
(hpl +Blchpl),
i+l
Пг+1 (0 = ^+1 (С,0) = Тг ( И ) = П,сИРг + Б^г . (8)
Здесь и далее pi =т1рИ1.
Таким образом, нам для решения задачи достаточно знать вспомогательные функции только первой полосы. Остальные вспомогательные функции определяются по рекуррентным соотношениям (8). Одну из вспомогательных функций можно определить непосредственно из граничных условий. Опишем способ получения второй из этих функций. Согласно (3):
Тп ( Ип ) = ПпСИРп + Бп^Рп = 0 .
Отсюда
Лп =-ВnthPn , Bn = -nncthPn.
(9)
Как видим, вспомогательные функции п -й полосы являются линейно зависимыми. Аналогично [5] можно показать, что это остается верным для любого слоя,
т. е. для любого г = 1 п имеет место формула:
П. = -d.B..
ii г г
(l0)
Функцию di (^) будем называть функцией термоподатливости г -й полосы (по аналогии с [5]). Получим рекуррентные формулы для вычисления функции
di (^). Введем обозначения: &Ирг = ^ , еИр! = С.. Тогда из (8)
П,+1 = Ц,с, +еД. = -disici + вД. = в,(- diCi + Si). С другой стороны
П,+i = -d,+iBi+i = -d,+А (ПД- +в,с, ) =
= -d.+1Д.(- dz.S. + в.С.) = -d.+1Д.в.(- dS. + C ).
i + 1 i\ ill II/ .+ 1 i i\ ii I/
Здесь Ai =
Kz _Г_
K(i + l)z т1 +l
Поскольку это равенство имеет место для всех Бп (^),
то, делаем вывод, что:
-d.C. + 5. = -^.+,Д.(-d.S. + С ),
г г г г+1 г V гг г / ’
откуда получим рекуррентные формулы для определе ния функции di
+ СД++,Д
_1_і і +l і
C + S,d,+lA,
(ll)
Сравнивая (10) и (9), найдем, что для нижнего слоя
dn = thPn .
(l2)
Методом математической индукции легко показать, что все функции являются четными по ^ , то есть
di = di (р).
Функции податливости зависят только от толщин полос и коэффициентов теплопроводности полос. Все они могут быть вычислены, начиная с той, которая относится к нижней полосе, и, заканчивая функцией d1. Зная одну из вспомогательных функций первой полосы, и функцию податливости первой полосы, можно найти вторую вспомогательную функцию первой полосы. Зная пару вспомогательных функций первой полосы, мы можем, как отмечалось выше, найти решение исходной задачи.
В случае, когда величины К. для всех слоев совпадают (при этом Кх могут отличаться), будем иметь т. = 1 для любого г и полученные формулы для функций податливости совпадают с известными формулами для изотропного случая [5].
Функциями di удобно пользоваться, если на верхней границе задан поток. Если же на верхней границе
1
задана температура, то удобнее ввести функции гі =
d
Перечислим свойства функции (они легко получа-
ются из аналогичных свойств функций di):
В1 = -ГгПг
Г =
r+C + A tSt r+S + AC
rn = cthPn .
(13)
(14)
(із)
9Q
Числовой пример
В качестве примера рассмотрим пластину, состоящую из двух полос. Получим явные формулы для Т (с)
и Т2 (^), используя соотношения, полученные ранее
тах для анизотропных слоев:
Т1 (^) = Пі (с^1 рг - г^кт1 рг) =
= / (^/скх1 рг - С|С'2 + 5ь%1 рг
1И С2 $ + 4ОД 1 _
(16)
Т2 (^) = П2 (сИт2рг - г2^Ит2рг) =
=} (?{С'-Сл+Д;2 ^ сИт2р—-1 “"2р ) (17)
Пусть пластина, состоящая из двух полос одинаковой толщины И = 1, имеющих коэффициенты теплопроводности К1х, К2х, К1г, К2г. Обозначив К1х через — , построим графики распределения температур в первом и втором слоях при следующих коэффициен-
К1х К1у К 2 х К 2 у
а К 3 К К 3 К
Ь 3 К К 3 К К
с К 3 К 3 К К
а 3 К К К 3 К
В том случае, когда температура на верхней границе описывается формулой:
1 - х, х < 1,
|^0, |х| > 1, получим следующие результаты:
Рис. 2. Распространение тепла в первом (а, Ь) и во втором слоях пластины (с, аГ) при смене ориентации осей анизотропии
Из графиков видно, что смена направления анизотропии в первом слое намного более существенно влияет на распределение температуры в теле, чем смена во втором слое. Как и следовало ожидать, изменение параметров анизотропии приводит к существенному изменению температурных полей. Этот эффект наиболее заметен вблизи общей границы слоев.
Общие выводы
В данной статье была рассмотрена двумерная задача о стационарном распределении тепла в анизотропном теле, состоящем из произвольного конечного числа спаянных неограниченных в плане, параллельных полос. Метод функций податливости, который применялся ранее только для изотропных сред, распространен на случай анизотропной пластины. Для вычисления температуры в каждом из слоев тела получены общие формулы в виде интегралов Фурье. Приведены примеры расчета, показывающие влияние изменения коэффициентов анизотропии на распределение температуры в двухслойной пластине. Планируется обобщить полученный результат на трехмерный случай.
Список литературы
1. Партон В. З. Методы математической теории упругости / В. Партон, П. Перлин. - М. : Наука, 1981. - 688 с.
2. Коваленко А. Д. Основы термоупругости / Анатолий Дмитриевич Коваленко. - К. : Наукова думка, 1970. -309 с.
3. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости / Витольд Новацкий. - М. : Мир, 1970. - 256 с.
4. Величко И. Г. Стационарная задача о распределении температуры в многофазной пластинке / И. Г. Величко, И. Г. Ткаченко // Вісник ЗДУ Фізико-математичні науки. Біологічні науки - 2004. - № 1. - С. 16-20.
5. Новые направления получения аналитических решений
краевых задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций [Електронний ресурс] / [В. А. Кудинов, Б. В. Аверин, А. Б. Ремезенцев и др.]. -Режим доступу: http://relay.itmo.by/jepter/MIF4/
уо1ише3/230.РБЕ
6. Вигдерович И. Э. Об использовании метода функций податливости при решении граничных задач для многослойных оснований сложной структуры / И. Э. Вигде-рович, В. Д. Ламзюк, А. К. Приварников // Докл. АН УССР - 1979. - С. 434-438.
7. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики / Владимир Васильевич Власов. - М. : Стройиздат, 1975. - 223 с.
8. Исаченко В.П. Теплопередача / В. Исаченко, В. Осипова, А. Сукомел. - М. : Энергия, 1975. - 488 с.
9. Снеддон И. Преобразование Фурье / И. Снеддон. - М. : Издательство иностранной литературы, 1955. - 668 с.
Одержано 26.02.2013
Олененко М.Г., Величко ЬГ. Аналітичний розв’язок задачі про стаціонарний розподіл тепла в анізотропній багатошаровій пластині
Розв ’язується двовимірна задача про стаціонарний розподіл тепла в анізотропній пластині, що складається з довільного числа спаяних паралельних смуг. На одній границі задано температуру або потік, на іншій підтримується нульова температура. Розв ’язок отримано у вигляді інтегралів Фур ’є. Наведено приклад розрахунку для двошарової пластини.
Ключові слова: багатошарова анізотропна пластина, температура, тепловий потік, перетворення Фур ’є, функція податливості.
Olenenko M., Velichko I. Analytical solution of a problem of the stationary distribution of heat in anisotropic multilayer plates
A problem of the stationary distribution of heat in anisotropic multilayer plates, which consists of random number of welded parallel stripes, is solved in the article. There is a given temperature or a flow on the one border and a zero temperature on the other. The solution has been got in the form of Foureu’s integral. An example of calculation for the double-layer plate is given.
Key words: multilayer anisotropic plate, temperature, thermal flow, Foureu’s transformation, compliance function.
