Аналитическое решение одной задачи теплопроводности при объемном нагреве насыщенной пористой среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.7

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАГРЕВЕ НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

© 2009 г. В.Н. Козлов1, А.И. Акимов2, М.А. Фатыхов

„3

1 Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251,

1 Saint Petersburg State Polytechnic University, Polytekhnicheskaya St., 29, Saint Petersburg, 195251,

2

[email protected]. ги

Оренбургский государственный педагогический университет, ул. Советская, 19, г. Оренбург, 460844, root@ospu. esoo.ru

3 Башкирский государственный педагогический университет, ул. Октябрьской Революции, 3а, г. Уфа, Республика Башкортостан, 450000, [email protected]

2

[email protected]. ru

Orenburg State Pedagogical University, Sovetskaya St., 19, Orenburg, 460844, root@ospu. esoo.ru

3 Bashkir State Pedagogical University,

Octyabrskaya Revolutcia St., 3a, Ufa, Bashkortostan Republic, 450000, [email protected]

Рассматривается решение задачи, описывающей изменения температуры и давления в пористой среде, насыщенной жидкостью. Изменение температуры и давления происходит в результате воздействия на среду высокочастотными полями, в результате которого возникают объемные источники тепла.

Ключевые слова: теплофизика, теплоперенос, математическая модель, аналитическое решение, пористая среда, объемный нагрев.

Solution of the problem describing changes of temperature and pressure in the porous medium saturated by liquid is considered. These changes are consequence of influence on medium by means of high-frequency fields. As a result, there are volumetric sources of heat.

Keywords: thermal physics, heat transmission, mathematical modeling, analytical solution, porous medium, volumetric heating.

В различных отраслях народного хозяйства существуют установки и технологические процессы, основанные на непосредственном воздействии на среды высокочастотными и сверхвысокочастотными полями. При этом достигается улучшение ряда технических, технологических и экономических показателей: улучшение условий труда, снижение вредных воздействий производства на окружающую среду, создание чистой технологии, возможность автоматизации производственных процессов, равномерная и объёмная обработка материалов с заданными физическими свойствами и др.

В среде с высокочастотным электромагнитным полем создаются объёмные источники тепла. Вследствие нагрева происходит уменьшение вязкости и расширение жидкости, заполняющей трубу. Эти явления в свою очередь приводят к перераспределению температуры и давления в среде.

Рассмотрим решение задачи, описывающей изменения температуры и давления в пористой среде, насыщенной жидкостью:

ЗТ

Ht

Z

32Р

дх

<32Т дх2

ар

dt

-V

оТ 2«R

-2а х

дх

ср

V= -

к SP

ju = const.

/и дх

при условиях: T(x,0) =T 0 <ЗТ

(ЗхЧсЬО

= 0,

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

Р(0.1)=РГ. (6)

Р(со,0 = Д*,0) = Ро. (7)

В этих выражениях О - температура; В - давление; В) - мощность источника электромагнитной энергии; V - скорость фильтрации; а - коэффициент поглощения электромагнитных волн; пр - объемная теплоемкость среды; % - коэффициент пьезо про водности среды,; ё - проницаемость среды; - вязкость жидкости, насыщающей пористую среду;

Ва - давление на галерее; В) - начальное давление в пористой среде; о - координата; t - время.

Для простоты и получения аналитического решения в данной задаче считается, что вязкость жидкости не изменяется в процессе излучения.

Решение задачи (2) при условиях (6) и (7) имеет вид

х

Р(х,/) = Рг-(Рг-Р0)е;/(

).

Из формулы (3) имеем

к

1

Г=-(РГ-Р„) -

И

4Xt

(8)

(9)

Для нахождения температуры Т(^х) рассмотрим решение более общей задачи:

ат а2т

— = а —- +ЬЦх) — +т,х)+ф,х)Т, (10)

81 ^ дх

?>0, 0<г<оо,

при условиях (4) и (5).

2

e

х

e

В предположении, что Ъ^,х), е(^х), _Д^х) ограниченные, непрерывно дифференцируемые функции, эту задачу можно рассматривать как частный случай второй краевой задачи на полупрямой для квазилинейного уравнения теплопроводности:

ат д2т

дт

--а—- =F(t, х, Т, — ), t>О, 0<х< 00

dt дх2

дх

(11)

сТ

при условиях (4) и (5) с правой частью /•'(/, х, Т\—),

дх

ограниченной, непрерывной по х и удовлетворяющей

С/Т

условию Липшица по х, Т и — :

дх

F{t,x,T,—) - F(t, х,Т,— ) дх дх

<<

«К-

T-T

dt dt

, K= const.

(12)

Мы будем предполагать, что условие (12) выполняется в области

П = |о < Г<Га , 0 < х< оо, \т\<ё, < ^,

где ^ и ё - достаточно малые постоянные.

В случае F(t,x) = 0 решение задачи (11), (4), (5) даётся формулой

Т (t,x) =Т0 (t,x) = JG(t,x,f) T0dif О

где G(t,x,Ç) = -

1

e 4at +e

(х+^У 4at

(13)

- (14)

функция Грина второго рода для уравнения теплопроводности на полупрямой.

Известно также, что для функции (13) имеет место оценка

2 "

до"

-G(t,x,Ç)

C

1+к t ~2~

exp

V

t

(15)

где Йё т] - положительные постоянные: к = О, 1,2, ... , /X).

Теперь мы можем заменить задачу (11), (4), (5) эквивалентным интегро-дифференциальным уравнением Щх)=Т0 (t,x) +

' œ дТ(т ¿Pi

о о

(16)

где Т0 (^х) определяется из (13).

Уравнение (16) будем решать методом последовательных приближений, полагая

Тп+1 (/,х)= Т0 (/,х) +

' 00 дТ (т ¿)

+ jdr \G(t-г,х,F\T,Тп(т,£), "I >Ç)]dÇ ,

О 0 n=0, 1, 2.

Пусть В = Sup|F|. В предположении, что |ТИ| <d,

5Т„

дх

< d, оценим Ти+1 -Т0 и — [ Ти+1 - Т0 ].

дх

С учётом (15) имеем

, 00

|Ти+1 ~Т0| < BC\dr Je ^

0 0 \t-

dÇ

< BCIt.

(Ти+1 -То)

t СО -U— Jf

<BC\dz\e t-t Ç

t-т

< 2BCIyTt,

0 0

где / = ¡е с!р - интеграл Эйлера-Пуассона.

о

Эти неравенства показывают, что при малых I зна-ЗТ

чения Т(; | и —не выйдут из области О . Без

дх

ограничения общности можно считать, что для Т\ — Т0 и её производной по х выполняется неравенство

3Kl

Ol- Т0 )

<BL-

2

-t

r(2-f )

(17)

где L = ICI, К = 0, 1, Г(£) = \e~xxS~ldx - гамма-

0

функция Эйлера.

Докажем, что предел lim Ти(/,х) = Т(/,х) суще-

и—но

ствует и является регулярным решением задачи (11), (4), (5). Для доказательства равномерной сходимости процесса последовательных приближений достаточно установить равномерную сходимость ряда

О ™ О Ж.

^^То«, х)+ I —- \п х)-х) , х=0,1. (18) дхк п=1дхк

С этой целью произведём оценку его членов. Второй член уже оценён с помощью неравенства (17). Для оценки следующего по порядку члена ряда (15) воспользуемся условием Липшица ( а ), имеем

к2

3К2

агКг

«2-Ti

, ' 1 I

0Ki=0

aKi

dxKl

Ci -To

j 2 dr.

è2=0,l.

В силу (17)получим С2-Т1

5хк2

< 5Х2К X

X I

1 Г(^121) , 1-

К1"°Г(2-— ) о 2

Положив т - a t и замечая, что

Kj+K2

к^к2 2 dr.

t 1--Jr 2 dx = 0

x — x

2

К[+К2

К1+К2 (

1 1- ^ 2-= ]а 2 da t 2 =В о

1

2 —

К, +К

А „ к1+к2

12 2

2--t 2

здесь В (a,ß)= \ха 1 dx - бета-функция Эй-

лера.

С учётом последней формулы имеем

<BL2 Кх

5K2 -Ti;:

2

i x z K^0 Г(1 2

Г(2- Kl

к,+к,

^+К2 2

Методом математической индукции установим, что общий вид оценок членов ряда (18) следующий:

и ^П Тп—\

</]/"[<" 1 /

К^К2

2

( n \

ZK,

_

2

х I -к,,..„к„_,=о

Г(2-^ )г[з-^+К2

- 1...Г

n + 1-

n

_

2

ZK,.

n

ZK ,

м

n

Ек,

м

n

Si< j

м

(19)

t П-—- 1 и- —- И+1--

\т 2 dr = \a 2 da t 2 = о о

' и+1 ^

S К,

= B

2

п+1

ZK,

м

и+1--t 2 =

Г С

и+1

ZK,

« + 1-

У=1

n

п + 2-

и+1 ^

J = 2 2

и+1 / 2

Итак, для случая и+1 получили неравенство:

яК-я I 1

' ^BLn+lKnx

к„

Чи+1 Ln

X Z -

Kl.....К„=0

и+1

I К

и +1 -

П2-Ьц..г

я + 2 -

1Ку

j=i

- =0,1.

Таким образом, неравенство (19) справедливо для любого п. Используя известные функции гамма-функции, из (19) получаем более простые оценки

Пусть неравенство (19) справедливо для п. Докажем его справедливость для п+1. Используя условие Липшица, имеем

^К-в+1

Си+1 ~ Т„

t 1 ^LK\ £ ок =о

arK"+i

К„.

XT 2 dr, Ки+1=0Д. В силу (19) получаем

дкп

^п Vi

дх n

Q^n+l

8xK"+l

^и+1

<BLn+LK nx

f n \

Z K,.

j=i

X Z -к1;...,ки=о

2

1...Г

n +1-

n

Zz1_

2

n

T-fj

t n-^—

xj г 2 dt. о

Полагая в последнем интеграле г = ta. получим

dKn

дх

Kn

BLnKn-1

и---

■/ 2

(20)

n

ZK. 2

где [x] - целая часть числа х.

Оценки (20) показывают, что ряд (20) сходится равномерно в достаточно узкой полуполосе 0 < t < t0, 0 < х < со. Следовательно, предел lim Ти (/. х) = Т(/. х)

И—»СО

существует и является регулярным решением задачи (11), (4), (5). Обратимся теперь к исходной задаче (1), (4), (5). Для этого случая мы имеем

2огРр „-2ах ср

f(t,х) =-a-e~'iccx, c(t,х) = 0, b(t,х) = -V{t,х) ;

дТ _ 2«Р0 ^

F(t,x, Т — )=-

дх пр

- V (t,x)

<ЭТ

дх

Нулевое приближение определяется формулой

Т0 (t,x) = Т0 G(t =

' _ {x-cf _ 3 ~

+ e

= T0J

о

4at

4at

2JTrat

д

0

2

2

2

2

t

n+1

2

1

2

n

1

затем находим Ъ для достаточно малых Р.

Р0 2 а£

о о СР

Этот интеграл имеет следующий вид:

„2

Ti<*j=T0 -

4 äa

■2yfáV °

0

2 4йт

2аЛ

1

ierfc y = —j=e y —yerfcy , erfcy = —j= ¡

Находим T2

T2 t X^= T° +

^Ti

Jz.

0 0

cp oq

t 00

= Т! -/¿г

о о

Для вычисления интеграла необходимо найти

дЪ ^

. Для этого необходимо вычислить интеграл

дх о

]y[7e-4aa2<-Qerfcl Х

2у[ат

dr =

г Г -4aa2t-t~Zc ■ Í = J л/т е ^ ^—lerjc

п дх

-4аа2<-^ 1

( \ х

2у[ат

dr =

-ег/с

2у[ат 1 2 у[ат

= )4те О

= -~t=J е-4а"2 \dT .

¿■Ja о \2\ат

Тогда решение примет вид

Т2<-0=Т1 "

г 2

оо л/ ЛХг

dr =

__í_je"4 аа2<-т

2 Ja (

-erfc

2д/<

dC-fle"

Це~2а(' \<Ц,

где А=-$т-

Полученное решение позволяет выяснить влияние фильтрации жидкости на распределение температуры при объемном нагреве среды высокочастотным электромагнитным излучением. Оно может быть использовано, в частности, также для тестовых исследований [1].

Литература

1. Тихонов А.Н, Самарский А.А Уравнения математической физики. М., 1972. 680 с.

Поступила в редакцию

23 декабря 2008 г..

z

e