CC BY
13
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
C. 226-237.
7. Sidorov N., Loginov B., Sinitsin A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. - Kluwer Ac. Publ., 2002. -548 p.
8. Keener J. P. Buckling Imperfection Sensitivity of Columns and Spherical Caps // University of Arizona. - 1974.- P. 173-188.
9. Крейн С. Г. Функциональный анализ. - М. : Наука, 1972. - 544 с.
10. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. -М. : Наука, 1968. - 503 с.
11. Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. - Иркутск : Изд-во ИГУ, 1982. - 311 с.
УДК 621.914.6: 004.942 Андросов Сергей Павлович,
канд. техн. наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Омского государственного технического университета, тел.: (3812)-652026, 89081155106, e-mail: [email protected] Браилов Иван Григорьевич, д-р техн. наук, профессор кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии, тел.: (3812)-651176
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕЖУЩИХ КРОМОК ЧЕРВЯЧНОЙ МОДУЛЬНОЙ ФРЕЗЫ С ЗАКРУГЛЕННОЙ
ВЕРШИНОЙ ЗУБЬЕВ
S.P. Androsov, I. G. Brailov
ANALYTICAL DESCRIPTION OF HOB MODULAR CUTTER WITH ROUNDED CUTTING EDGES
Аннотация. В работе рассматривается аналитическая модель червячной модульной фрезы для обработки цилиндрических зубчатых колес на основе ее описания параметрическими векторными функциями. Модель предназначена для исследования процесса формообразования при зубо-фрезеровании.
Ключевые слова: червячная модульная фреза, моделирование, векторная функция, зубо-фрезерование.
Abstract. This rapper deals with the analytical pattern of a hob modular cutter for the cylindrical gears processing on basis of its description by parametric vector functions. The model is intended for the investigation of a form-building process in the gear milling.
Keywords: hob modular cutter, modelling, vector function, gear milling.
В производстве зубчатых колес фрезерование червячными фрезами является самым распространенным способом. Несмотря на широкое применение и достаточно большую теоретическую и экспериментальную проработку, данный способ остается с нерешенными и противоречивыми задачами [1, 2].
Зубофрезерование с точки зрения анализа взаимодействия заготовки с червячной фрезой, их кинематики и силовых воздействий является
сложным пространственным и многопараметрическим процессом.
Настоящая работа посвящена разработке аналитической модели червячной модульной фрезы на основе ее описания параметрическими векторными функциями. Моделирование инструментов со сложным профилем, к которым относится червячная фреза, дает возможность исследования операций резания и формообразования зубьев. Например, решение следующих задач: нахождение координат точек режущих кромок зубьев фрезы, осуществляющих снятие металла; определение сил, возникающих при зубообработке на каждом из зубьев фрезы при различных их положениях в пространстве. Кроме того, необходимость определения сил при зубофрезеровании, как отмечается в работе [3], обусловлена не только точностными показателями зубчатого колеса, но и возможностью расчета оптимальных режимов резания.
В статье рассматривается модель червячной модульной фрезы с закругленной вершиной зубьев. Модель является проволочной, так как она предусматривает описание векторными функциями только режущих кромок зубьев фрезы. В модели не рассматриваются участки закругления ножки зуба, а также кромки впадин, поскольку они не принимают участия в резании и формообразовании зубьев. Модель учитывает винтовой характер режущих кромок зубьев фрезы.
Современные технологии. Механика и машиностроение
Профиль зуба фрезы в нормальном сечении (рис. 1) имеет пять участков. Участки О1А и О5Б образуют боковые режущие кромки, наклоненные под углом профиля а0. Эти участки в своих локальных системах координат О^й и О5У525 описываются векторами:
" 0 Г (5) = '
7 (1) =
У5
- z.
(1)
Периферийная режущая кромка О3С в своей локальной системе координат О3У323 описывается вектором
"0
Г (3) =
Уэ 0
(2)
Участки закругления вершины зуба АО3 и СО5 описываются векторными функциями дуги окружности:
(3)
Модули векторов 7 (2) и 7 (4) равны радиусу Ра0 (РИС. 1).
В локальной системе координат OYZ для первого зуба первой рейки векторы (1), (2), (3) запишутся:
" 0 " " 0 "
Гл (2) = -Ра0 Sin Y2 ; Гл (4) = Ра0 SÍnY4
_ Ра0 C0S Y2 _ _ Ра0 C0S Y4 _
ш
г0(1) = [ M ] 70л (1) + Гл (1) =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
R
f 0 _
" 0 " 0 "
У1 = У1
_ z1 _ _ Rf 0 + Z1 _
7,0(2) = [M] 70, (2) + Г, (2) =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0
У + У 2
_RaО - Ра0 _
0
Ра0 sm Y2
PaO C0SY2
0
У1 + У2 - Pa0 SÍn Y2 Ra 0 Pa 0 í1 " C0S Y2 ) 10 0
7,0(3) = [M ] 70л (3) + Гл (3) =
0 1 0 0 0 1
0
У1 + У2
" 0" 0
+ У3 = У1 ^ У2 + У3
0 Ra0
Гл0 (4) = [м] 7л (4) + 7 (4) =
0
Ра0 Sin Y2
Ра0 C0S Y2 .
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0
0
У1 + У2 + У3
Ra 0 — Ра 0 _
У1 + У2 + У3 + Ра0 SÍnY2
Ra0 —Ра0 í1 — C0SY2 )
+
+
Рис. 1. Профиль зубьев фрезы: ра0 - радиус закругления на головке зуба; а0 - угол профиля; ш0 - модуль зубьев;
С - коэффициент радиального зазора; - радиус внутреннего цилиндра; Л0 - радиус делительного цилиндра;
Ло0 - радиус наружного цилиндра; Ря0 - нормальный шаг зубьев; уг и у4 - параметрические углы дуги
окружности
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Гло(5) = [ M ] Г л (5) + Г (5) =
1 о о
0 1 о
001
о
У1 + У 2 + Уз + У 4
Rf о + Z5
" о " о
+ У5 — У1 + У 2 + Уз + У4 + У 5
z5 _
(4)
где [M] - матрица параллельного переноса системы координат; гол (1) , Гол (2) , Г)л (3) , Гол (4) И Гол (5) - векторы переноса локальных систем координат 01Y1Z1, 02Y2Z2, 03Y3Z3, 04Y4Z4 и 05Y5Z5 соответственно.
В формулах (4) параметрические углы у2 и у4 имеют значения:
о°<г2< 9о° - а0; о°<^< 9о°-а0 .
Радиус закругления на головке зуба фрезы определяется по формуле [3]
Л -Т^. (5)
1 - sin а0
Моделирование по зубьям фрезы с учетом винтового движения описывается вектором T(i, j,к,n) (рис. 2, а). Начало вектора r(i, j,к,n)
размещается в торцевом сечении фрезы в центре О0 основной (глобальной) системы координат X000Y0Z0. Ось 00Y0 совмещена с осью фрезы.
Вектор Г (i, j, к, m) имеет следующие обозначения: i - номер вектора на зубе, j - номер зуба на рейке фрезы; к - номер рейки на фрезе; n - количество точек на векторе. Количество точек n на векторе может принимать значение от 1 до любого целого числа p в зависимости от необходимой точности.
Вектор Г (i, j,1, n) в общем виде для зубьев первой рейки записывается
R(i, j,к,n) sin$(¿, j,к,n)
a ф (i, j,к, n) R (i, j, к, n) cos^(i, j, к, n )
где R(i, j,к,n) - текущий радиус, который может принимать значения в пределах от величины радиуса внутреннего цилиндра Rf о фрезы до радиуса ее наружного цилиндра Ra0; ф1 (i, j, к, n) - текущий параметрический угол (рис. 2, б), который изменяется в пределах от нулевого значения до Фтах ; а - параметр, характеризующий движение по винтовой линии вдоль оси фрезы 00Y0.
Г (i, j,1, n) -
(6)
Рис. 2. Образование винтового движения
Значение параметра а определяется выражением
P
а — -
2л
где Pk - шаг винтовой стружечной канавки.
(7)
По делительному цилиндру радиуса R шаг
P вычисляется по формуле
Р _2л R
рк —
(8)
где ут0 - угол подъема винтовой стружечной канавки фрезы.
Максимальное значение угла ф1тах определяется зависимостью
и 2ж
Ф —
r1max
"ф •
P
(9)
где и - длина активного участка режущих зубьев фрезы.
С учетом выражения (9) параметр а определяется отношением
и V
а = 7^= ~' (10)
ф; а
где V - скорость перемещения конца вектора г (', 7,1, п) вдоль оси О^0; а - угловая скорость вращения этого же вектора вокруг оси О0Z0.
Современные технологии. Механика и машиностроение
Для любой точки режущих кромок фрезы текущее значение параметрического угла ф(г, 7, к, п) определяется выражением
у(г,7, к, п)
ф (i, j, к, n) =-
(11)
ш
r (i, j, к, n) =
а с^Гто
где у(г,7,к,п) - координата по оси ОУ точки на зубе в нормальном сечении фрезы в системе координат ОУХ.
Координаты точек режущих кромок первого зуба в нормальном сечении фрезы, описывающих векторами с номерами г = 1, г = 3, г = 5 , определяются выражениями:
у(г,7,к,п) = у(г -1,7,к,р) +1 (г,п)ёу (7(г)); ^^^
г(г, 7,к,п) = г(г -1,7,к,р) +1 (г,п)(Тл(г)).
где ёу (Г (г)) и ёг (Г (г)) - единичные векторы
векторных функций ¥л (г); I(г,п) - выбранное
значение части длины векторов Ул (г), 0 < I < |г (г )|
Для векторов первого зуба с номерами г = 2, г = 4 координаты вычисляются по формулам:
у(г,7,к,п) = у(г -1,7,к,р) + 7у(1,п); г(г, 7,к,п) = г(г -1,7,к,р) ± Г (г,п), где Г (г,п), Г (г,п) - проекции го векторов с номерами г = 2, г = 4 на координатные оси ОУ и OZ.
Координата у (г, 7, к, п) любой точки режущих кромок второго и последующих зубьев фрезы определяется выражением
у (г, 7, к, п) = у (г, 7 -1, к, р) + Р^. (14)
Значения текущего радиуса Я (г, 7, к, п) вычисляются по формуле
Я(г, 7, к, п) = Я,о + г(г, 7, к, п). (15)
Зубья других реек описываются следующим образом. Номер рейки к изменяется от 1 до числа реек, равного числу зубьев фрезы ^. Зубья каждой из реек поворачиваются на угол £( к ) = (к -1) где \у = 2л / (рис. 2, б). В результате точка 01 (рис. 1) начала координат каждой рейки смещается по осям О0Х0 и О0Х0 на следующие величины:
х = -Я/08т^ ; г = Я/0ео8^. (16)
По оси О0У0 смещение точки 01 каждой из реек определяется по формуле
Р (к - 1)
. (18)
(19)
С учетом (17) вектор (6) запишется R (i, j,к,n) sin$(i, j,к,n)
a j,к,n) + £(к) _ R (i, j, к, n)cos Ф1 (i, j, к, n)
Принимая во внимание поворот на угол £(к), вектор r *(i, j, к, n) для каждой из реек имеет значение
cos£( к ) 0 - sin£( к ) r *(i, j, к, n) = [Ml ] Г (i, j, к ,.n) = 0 1 0
sin£( к ) 0 cos£( к )
R (i, j, к, n ) sinф (i, j, к, n )
аф(1, j, к, n ) + S(h ) R (i, j, к, n ) cosф (i, j, к, n ) где [Щ ] - матрица поворота против часовой стрелки вокруг оси O0Y0.
После перемножения матрицы [Ых ] и вектора r (i, j, к, n) векторная функция, описывающая режущие кромки зубьев всех реек червячной фрезы, окончательно определяется выражением
R (i, j, к, n) sin (фф (i, j, к, n) - £ (к))
аф1 (i, j, к, n ) + £( к ) R (i, j, к, n) cos (Ф1 (i, j, к, n) - £ (к))
В результате разработана аналитическая модель червячной модульной фрезы, описывающая положение режущих кромок всех её зубьев в пространственном отображении, что дает возможность исследовать процесс резания и формообразования при зубообработке цилиндрических зубчатых колес.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Фингер М. Л. Цилиндрические зубчатые колеса. Теория и практика изготовления. - М. : Научная книга, 2005. - 368 с.
2. Клепиков В. В. Совершенствование процессов обработки зубчатых колес за счет конструкторских и технологических параметров : автореф. дис. ... докт. техн. наук : 05.03.01. - М. : МГИУ, 2001. - 41 с.
3. Полохин О. В., Тарапанов А. С., Харламов Г. А. Исследование и проектирование процессов зу-бонарезания инструментами червячного типа. -М. : Машиностроение, 2006. - 148 с.
r'(/, j, к, n) =
.(20)
*( к ) =
Z0 cosr„0
(17)
