CC BY
103
УДК 519.237.5
И. М. Якимов, А. П. Кирпичников, Г. Р. Зайнуллина, З. Т. Яхина
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Ключевые слова: аналитическая модель, имитационная модель, замкнутые системы массового обслуживания: М/М/1//Ы, М/М/т//Ы, М/М/т/в/Ы, М/М/т/Е/Ы, система ОРББ Ш с расширенным редактором, параметры, транзакты, генераторы транзактов, очереди, обслуживающие аппараты, вероятность, математическое ожидание, дисперсия, критерий Стью-
дента, критерий х2.
Приводятся результаты аналитического и имитационного моделирования замкнутых системы массового обслуживания: без отказов M/M/m//N, с отказами по занятости всех обслуживающих аппаратов M/M/m/0/N и с отказами по длине очереди М/М/m/E/N. Для имитационного моделирования использована система GPSS W, возможности которой расширены новым редактором. Проведены имитационное и аналитическе моделирование и поведена оценка их результптов параметрическими методами. Проведена оценка степени влияния количества обслуживающих аппаратов и мест в очереди на эффективность функционирования замкнутой системы массового обслуживания.
Keywords: analytical model, simulation model, closed systems of mass-Servicing: M/M/1//N, M/M/m//N, M/M/m/0/N, М/М/m/E/N, system GPSS W with advanced editor, parameters, TRANSACT, generator TRANSACT, queues, servicing devices, probability, expectation value, variance, Student's t test, criterion x2.
The results of the analytical and simulation of the closed system of mass-servicing: without failure M/M/m//N, with the failures of the employment all servicing units M/M/m/0/N and failures along the length of the queue М/М/m/E/N. For the simulation system GPSS W used with the Advanced Editor. A comparison of the results of simulation and analytical modeling ofparametric methods. The evaluation of the degree of influence of the number of service units and locations in the queue for the performance of the closed system of mass-servicing.
Введение
В настоящее время имитационное моделирование (ИМ) эффективно применяется для исследования вероятностных объектов различного назначения. Но ИМ является численным методом и характеризуется наличием методической ошибки и поэтому представляется целесообразным, по возможности, оценивать разность результатов ИМ и аналитического моделирования (АМ). Аналитические методы моделирования описаны в большом количестве работ. В данной статье использованы результаты, опубликованные в книге [1]. Для ИМ использована система GPSS W с расширенным редактором, позволяющая вводить структурные схемы моделируемых объектов в виде формализовнных риснков [2]. Сравнение результатов ИМ и АМ открытой системы массового обслуживания М/М/1 приведено в [3].
В данной статье приведены результаты исследования однофазной замкнутой системы массового обслуживания (ЗСМО). ЗСМО используются для формализованного представления вероятностных объектов с ограниченным количеством клиентов. Например, это может быть информационная система, в которой запросы, поступающие от персональных компьютеров (ПК), исполняются серверной подсистемой (СП). Результаты, полученные СП отправляются ПК, пославшим запросы.
Ещё один пример - производственный процесс по обслуживанию оборудования, которое в процессе выполняемой работы может выходить из строя, или потребовать регулировки. Ремонтные и регулировочные работы производятся специализированными службами, после проведения которых оборудование возвращается в основной рабочий процесс.
В работе используется терминоогия, принятая для системы ИМ GPSS W: клиент - это источник заявок, постпающих в систему на обслуживание; транзакт - это заявка, генерируемая клиентом, является динамическим объектом, движущимся в модели, при поступлении транзактов в объекты модели они выполняют, предусмотренные для них действия; обслуживающий аппарат (ОА) - это исполнительный объект, имитирующий выполнение заявок в системе, количество ОА в системе - т; очередь -это объект, имитирующий задержку заявки на обслуживание, если в момент её поступления все ОА заняты и не произошёл отказ в обслуживании заявки позаданному уловию.
Для сравнения результатов ИМ и АМ ЗСМО использованы методы параметрического анализа однородности [4].
Параметрический анализ оценки результатов ИМ и АМ
Рассмотрим основные параметрические методы оценки результатов ИМ по результатам АМ.
1. Оценка отличия результатов ИМ от результатов АМ, выраженная в процентах:
А - = У' ~У '' • 100, (1)
У/
где у* - оценка /'-го параметра, определённая по результатам ИМ; у* - значение /'-го параметра, вычисленное по результатам АМ.
Результаты принято считать приемлемыми, если разница в результатах не превышает 5 %.
2. Далее проверяется гипотеза о равенстве средних значений параметров ЗСМО, которые
получены в результате ИМ и АМ с использованием критерия Стьюдента.
*
Нулевая гипотеза Н0 : т1г = т1г, альтернативная
ТТ *
гипотеза На : ши Ф ши.
Проверка производитя по критерию Стьюдента, вычисляемого по формуле [4]:
Ь=4п
/та,- -ти
О
(2)
Критическая величина критерия Стьюдента Цыг=1.960 [5], при величине доверительной вероятности в=0.95 и С/=п-1 =10000-1=9999 - количество степеней свободы, где п=10000 - это количество реализаций. И если ^ - вычисленное значение критерия Стьюдента меньше или равно критической величины, можем принять нулевую гипотезу.
3. В методе же доверительного интервала оценки математических ожиданий при ИМ вычисляются суммированием случайных чисел. Поэтому на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей построим доверительные интервалы по нормальному закону.
Левая и правая граница доверительного интервала и половинаего ширины вычисляются по формулам [4]:
а,
4П
*в; У,^ = У, -е,; Уцна» = У, +е,. (3)
Рекомендуемое значение доверительной вероятности в=0.95. Критическое значение критерия Стьюдента найдено по статистическим таблицам Гцкги=1.960 [5].
4. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей: р1 - что транзакту будет отказано в обслуживании и р2 - что обслуживающий аппарат занят (коэффициент использования
обслуживающего аппарата).
Нулевая гипотеза Н0 : р, = pi, альтернативная
гипотеза На : р* Ф pi.
Проверка производится по формуле (2), в которой в знаменатель записывается значение стандартного отклонеия вероятности, вычисляемое по формуле:
а,
Ч Рг • (1 - Рг ) .
(4)
Если вычисленное значение не превышает критическое значение критерия Стьюдента /ркги=1.960, найденного по статистическим таблицам [5], при рекомендуемом значении доверительной вероятности в=0.95, для количества степеней свободы С/=п-1=10000-1=9999, то нулевая гипотеза принимается.
5. Попадание вероятностей, найденных ИМ, в доверительные интервалы производится по формулам (3), в которых для вычисления стандартных отклоений вероятностей используется формула (4).
6. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий основных параметров ЗСМО, полученных имитационным и аналитическим моделированием для ,-го параметра по критерию X [4].
Нулевая гипотеза Н0: а*2 = а,2, и альтернативная ей гипотеза о равенстве дисперсии На : О*2 Ф О2.
Анализ производится по формулам:
*2
х2 = V-1
а
при а > аI,
ж/=р-1 а
а
*2
(5)
Критическая величина критерия Стьюдента 1ркгй=1.960 [5], при величине доверительной вероятности в=0.95 и С/=п-1 =10000-1=9999 - количество степеней свободы, где п=10000 - это количество реализаций. И если - вычисленное значение критерия Стьюдента меньше или равно критической величины - то гипотеза принимается.
Аналитическое моделирование замкнутой СМО типа М/М/т/Б/Ы
Модель ЗСМО М/М/т/ЕЖ принята за базовую, на основе которой при изменении параметров: т, Е и N можно легко реализовать другие модели ЗСМО. Основные параметры ЗСМО вычислены при среднем времени задержки транзактов у клиетов: к = 32
к
единиц времени, при среднем времени обслуживания / = зо единиц времени, при количестве кли-
оЪя1
ентов N=8, при количестве ОА т=3 и при ограничении на количество мест в очереди Е=2, по формулам, полученным по аналитической модели [2].
1. Пропускная способность системы:
Р=4ы/4=0,938 (6)
2. Вероятность отсутствия транзактов в системе:
Ро =
" N[к]рк Щ±Е N[к]рк 2-! к! " т 1 тк - т
■■ 0,004,
(7)
где N !к] = N (м - 1 )(N - 2) ••• (N - к + 1) - факто-риальные многочлены;
3. Вероятности наличия транзактов в системе:
Рк =
N[к ] рк
к!
р0; при к < т ;
(8)
Рк =■
N [кV
| „ к - т
Р 0 ; при т < к < т + Е. (9)
По формуле (9) вычислим вероятность, что количество транзактов в системе равно т+Е: Рт+Е=0.373.
4. Среднее количество занятых ОА:
__т-1
т = т - £ (т - к)Рк = 2,824 . (10)
5. Средний коэффициент использования одного
ОА:
к.з. = т /т = 0,941. (11)
6. Среднее количество транзактов в очереди:
, ... , ^т-Е т
1 =N 1-^Рт+Е -ЩС0
=1,0455
7. Среднее количество транзактов в системе:
к = 0
к = ш +1
к = 0
к=Ы-{ Ы-т-Е )рш
т
=3,8699
(13)
Р
8. Вероятность отказа в обслуживании:
N-т-Е
Ротк = ЛГ 7 Рт+Е = 0,271
N - к
9. Вероятность ожидания:
Рожид=РЩ=Р 1-]СРк 1=0,520
Р Ы-к ^ к=о )
10. Вероятность обслуживания:
1 т
Робсл = 1\г к РЕкРк = 0,209. р (N - к ))
11. Абсолютная пропускная спсобность:
^(/у-*) 1-РоШ ч7Ц=0т. (17)
12. Среднее время ожидания:
(18) (19)
(14)
(15)
(16)
]_ А
13. Среднее время обслуживания: I =10- = 30
1 обсл д ~ V ■
14. Среднее время пребывания в системе:
к
1 преб
= — = 41,103. А
(20)
Вычисленные значения веротностей и средние значения приведены в таблице 1.
15. Дисперсия количества транзактов в очереди:
а2 = трожид - (1+ррщ-Щ)/ (21)
' р ( )
-( N-т-Е рЕ-I -РожидРт+Е = 0.695!
16. Дисперсия количества транзактов в ОА:
Щ 1- Рожид-Рш-щ)~1-Р ^^^[т^+Рожи) Рт+Е
оЩ =-
1+Р
0,232
(22)
17. Дисперсия количества транзактов в системе:
01 =—(■-д { т ( Р + Р ожид Р (т - т )[ -
р ( 1 + р)
-Р ( N - щ - Е [[р ( щ - щ )-Рожид + ( )
+ ( 1 + р)(Е - 1 Рщ + е }= 1,3.
18. Дисперсия времени ожидания:
о1ж» =—ША [( N - т + 1 р-( N - т - Е )рщ + е -— т А
- (т1 -шр„жид )/р ]-Ижид = 12,797 . (24)
19. Дисперсия времени обслуживания:
°1ы = = 900. (25)
20. Дисперсия времени пребывания в системе:
0- =— +—— [(N+Ш+1) /-(N-т-Е /щ
(26)
-( Щ1 -ЩРожид)/р]-'22'ст = 106?776
21. Ковариация:
Кш1 = (ш - ш ) 1 = 0,184. (27)
Результаты вычисления дисперсий приведены в таблице 2.
Имитационное моделирование ЗСМО
Имитационное моделирование ЗСМО М/М/т/ЕШ проведено в системе GPSS W, возможности которой расширены новым редактором. Для создания имитационной модели ЗСМО М/М/т/ЕШ в системе GPSS W требуется нарисовать структурную схему, приведённую на рис.1.
Инициализация таблиц
Генерация N транзактов
Задержка Задержка Задержка
транзактов у * места * транзактов в транзактов в
клиентов очереди ОА
Возврат транзактов если все места в очереди
Возврат транзактов клиентам после обслуживания
Рис. 1 - Структурная схема ЗСМО М/М/ш/БМ в системе ОР88 W с расширенным редактором
Для ИМ в этой системе нарисуем стркутурную схему (рис.1.), к которой должны быть добавлены необходимые данные по функционированию с помощью расширенного редактора. Затем автоматически создается текст программной модули и проводится моделирование, результаты которого приведены в таблицах 1 и 2.
Вычислим требуемое количество реализаций имитационной модели для наиболее существенного показателя - времени ожидания транзактов в очереди по неравенству Чебышева по формуле [6]:
о2
((1 -Р) • )2 • (1 -Р)
■ = 9979 И 10000,
где { = 11,103 - среднее время ожидания тран-
ожид '
закта в системе, полученное по результатам АМ;
о = 12,797 - стандартное отклонение време-
ожид
ни пребывания транзактов в системе, полученное по результатам АМ;
в = 0,95 - рекомендуемое значение доверительной вероятности [6].
Сравнение результатов имитационного и аналитического моделирования
В таблице 1 приведены результаты оценок основных вероятностных и средних значений параметров, полученных АМ и ИМ.
В таблице 1-м в 4-м столбце приведены результаты АМ, в столбцах 5 и 6 - левая и правая границы доверительного интервала, построенного по результатам АМ (3). В 7-м столбце приведены результаты ИМ. В 8-м столбце приведена разница между результатами ИМ и АМ в процентах (1). Результат считается удовлетворительным, если разница не превышает 5%.
В 9-м столбце приведена оценка попадания оцениваемых величин в доверительные интервалы. Только один показатель - вероятность использования ОА (коэффициент загрузки) не попадает в доверительный интервал.
п =
Таблица 1 - Результаты оценок основных вероятностных и средних значений параметров ЗСМО
M/M/m/E/N
№ Код Наименование АМ Лев. гран. Прав. гран. ИМ Разн. в % Оценка интер. t, Оценка Стьюд.
1 Ротк Вероятность отказа в обслуживании 0,271 0,262 0,279 0,270 0,200 + 0,122 +
2 Рисп Вероятность использования ОА 0,941 0,939 0,943 0,944 0,269 - 1,077 +
3 l Среднее количество транзактов в очереди 1,045 1,029 1,061 1,050 0,482 + 1,293 +
4 m Среднее количество транзактов в ОА 2,824 2,814 2,833 2,831 0,269 + 0,807 +
5 k Среднее количество транзактов в системе 3,869 3,846 3,891 3,881 0,327 + 1,289 +
6 t ОЖИД Среднее время ожидания транзактов в очереди 11,103 10,826 11,380 11,259 1,400 + 1,800 +
7 t обе Среднее время задержки транзактов в ОА 30,000 29,412 30,588 30,364 1,212 + 1,365 +
8 t прев Среднее время пребывния транзактов в системе 41,103 40,153 41,753 41,624 1,267 + 2,025 -
Итого по 8 тестам: + 8 - 0 + 7 - 1 + 7 - 1
В 10-м столбце приведены вычисленные значения критерия Стьюдента (2), (4) и в 11-м столбце оценка результатов по критерию Стьюдента.
Удовлетворительные оценки получены по 22 тестам из 24 проведённых, что составляет 92%. Таким образом, результаты сравнения вероятностных
Таблица 2 - Результаты оценок дисперсий ЗСМО
и средних значений, полученных ИМ и АМ, позволяют сделать заключение о достоверности результатов ИМ.
В таблице 2 приведены результаты сравнения оценок дисперсий, полученных при ИМ АМ.
№ Код Наименование АМ ИМ Разн. в % Оценка разницы /,2 Оценка по критерию
1 Дисперсия количества транзактов в очереди 0,699 0,704 0,651 + 10071 +
2 2 Дисперсия количества транзактов в ОА 0,232 0,227 2,170 + 10219 +
3 4 Дисперсия количества транзактов в системе 1,300 1,296 0,368 + 10030 +
4 _2 ОЖИД Дисперсия времени ожидания транзактов в очереди 199,465 195,187 2,145 + 10218 +
5 _2 обсл Дисперсия времени задержки транзактов в ОА 900,000 920,260 2,251 + 10224 +
6 _2 преб Дисперсия времени пребывания транзак-тов в системе 1099,465 1116,595 1,518 + 10155 +
Итого по 6 тестам: + 6 - 0 + 6 - 0
В таблице 2 в 4-м столбце приведены результаты АМ, в столбце 5 - результаты ИМ. В 6-м столбце приведена разница между результатами ИМ и АМ в процентах (1). В 7-м столбце приведены оценки сравнения, результат принимается удовлетворительным, если разница не превышает 5%. В столбце 8 приведены вычисленные значения критериев /2 (6) и в 9-м столбце - оценки различий результатов ИМ и АМ проверкой гипотезы о равенстве дисперсий по критерию /2.
Удовлетворительные оценки получены по всем 12 проведённым тестам. Таким образом, результаты сравнения вероятностей, средних значений и дисперсий, полученных ИМ и АМ, позволяют сделать заключение о достоверности результатов ИМ.
Анализ влияния количества обслуживающих аппаратов и ограничения на количество мест в очереди на показатели функционирования ЗСМО
Разработанные базовые аналитическая и имитационная модели ЗСМО позволяют оценить влияние изменения количества ОА - т и допустимой длины очереди - Е на показатели эффективности функционирования ЗСМО. В данной работе проведено моделирование трёх ЗСМО: М/М/т/Е/Ы - с отказами по заданному ограничению на количество мест в очереди Е, М/М/т/0/Ы - с отказами, если в системе заняты все обслуживающие аппараты (ОА), т.е. без очереди и М/М/т//Ы - без отказов, т.е. с очередью неограниченной длины. Для вычисления показателей эффективности ЗСМО трёх типов, по шести вариантам для каждого типа, использованы одни и
те же формулы (6) - (27) при изменении в них количества ОА т _ 3'5' и ограничения на количество Е _ 05
мест в очереди _ ' На рис.2 - рис.4 приведены графики изменения трёх наиболее существенных показателей: вероятности отказа в обслуживании -
ротк, среднего времени обработки заявок - 1"ёяд и среднего коэффициента загрузки одного ОА - рисп. Особый интерес представляет изменение допустимой длины очереди - Е, не требующей никаких доплнительных затрат, и в то же время позволяющей существенно влиять на показатели функционирования ЗСМО. В частности, по рис.3 - рис.4 для т=3 отметим что при уменьшении ограничения на длину очереди Е с 5 до 1 вероятность отказов ротк увеличивается с 0 до 0.397 и если такой результат признать приемлемым, то можно уменьшить среднее время выполнения заявок с 50.982 единиц времени до 31.257 единиц времени, т.е. на 38.69%, что является весьма существенным результатом. Ко-эфициет загрузки ОА в этом случае понизится с 0.964 до 0.906, т.е. всего на 6%.
Рис. 2 - Зависимость вероятности отказа в обслуживании заявок от количества мест в очереди - Е и количества ОА - т
Рис. 3 - Зависимость среднего времени выполнения одной заявки от количества мест в очереди -Е и количества ОА - т
По этим же 18 вариантам проведено ИМ ЗСМО. Структурная схема, приведённая на рис.1 для ЗСМО М/М/т/Е/Ы, трансформируется. Для системы М/М/т/0/Ы убирается модуль задержки транзакта в очереди и меняется модуль проверки на отказы, которые наступают, если все ОА в системе заняты.
Для системы M/M/m//N убирается модуль проверки на отказы и соответствующая отказам стрелка. Для реализации имитационной модели ЗСМО на языке GPSS W по её структурной схеме разработана би-лиотека программ используемых в модели модулей, из которых и собирается требуемая модификация модели ЗСМО.
Рис. 4 - Зависимость вероятности использования ОА (коэффициента загрузки одного ОА) от количества мест в очереди- Е и количества ОА - т
Заключение
Проведённое исследование позволило сделать следующте выводы.
1. Расширенный редактор системы вР88 W позволяет создавать имитационные модели СМО на основе рисунков их структурных схем и отказаться, таким образом, от программирования имитационных моделей к их «рисованию».
2. Разработанные базовые модели ИМ и АМ ЗСМО М/М/т/Е/Ы позволяют легко полчать по ним другие модели ЗСМО простым изменением параметров: т' Е и N и в частности построить модели систем: М/М/1Ш, М/М/тШ и М/М/т/0/Ы.
3. Построенные модели позволяют провести количественную оценку вносимых изменений в ЗСМО по количеству ОА и количеству мест в очереди и выбрать наиболее целесообразный вариант построения структуры ЗСМО. Графики зависимостей значений показателей эффективности функционирования ЗСМО, привидённые на рис.2 - рис.4, показывают, что изменение количества мест в очереди, не требующее каких-либо затрат, приводит к увеличению вероятности отказов заявкам в обслуживании, но в то же время уменшает среднее время выполнения заявок и повышает динамичность ЗСМО.
Литература
1. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. - Казань: Изд-во Казанс. Гос. ун-та, 2011. - 200 с.
2. Якимов И.М., Старцева Ю.Г., Кирпичников А.П., Мокшин В.В. Моделирование сложных систем в среде имитационного моделирования ОРББ W с расширенным редактором. Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №4 . С. 298-303.
3. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Зайнуллина Г.Р., Яхина З.Т. Оценка достоверности результатов имитационного моделирования по результатам аналитического
моделирования. Вестник Казан. технол. ун-та, 2015. Т. 18, №6 . С. 173-178. 4. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. - М.: Мир, 1980. - 615 с.
5. Оуэн Д.Б. Сборник статистических таблиц. - М.: Изд.-во. ВЦ АН СССР, 1966. - 586 с.
6. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 418 с.
© И. М. Якимов - канд. техн. наук, профессор кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ им А.Н.Туполева; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Г. Р. Зайнуллина - бакалавр кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ им А.Н.Туполева, gls666@yandex.ru; З. Т Яхина - канд.техн.наук, доцент кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ-КАИ им А.Н.Туполева.
© I. M Yakimov - PhD, Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev; A P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; G. R. Zajnullina — Bachelor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev, gls666@yandex.ru; Z. T. Iakhina -- PhD, Associate Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev.
